완비 측도 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 완비화
- 3.1. 완비화의 구성
4. 완비성이 필요한 이유
5. 예시
6. 성질
참조

1. 개요

완비 측도 공간은 측도 공간 (X, Σ, μ)에서 모든 영집합의 부분 집합이 가측 집합일 때를 말한다. 완비하지 않은 측도 공간은 완비화를 통해 완비 측도 공간으로 만들 수 있으며, 이는 기존 시그마 대수에 영집합의 부분 집합을 추가하고 측도를 확장하는 과정을 거친다. 유클리드 공간 위의 보렐 측도는 완비 측도가 아니며, 르베그 측도가 그 완비화이다. 완비성은 르베그 측도 구성과 곱측도 정의에 중요한 역할을 하며, 마하라므 정리에 의해 완비 측도 공간은 연속체에 대한 측도와 가산 계수 측도로 분해될 수 있다.

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완비 측도 공간
완비 측도 공간
정의	측도 공간 (X, Σ, μ)에서 Σ의 모든 부분 집합이 측도 가능하면 (그리고 필연적으로 0의 측도를 가짐) μ는 완비 측도라고 함.
관련 개념	측도 공간 영집합
성질	측도 공간 (X, Σ, μ)이 주어졌을 때, Σ를 포함하는 최소의 완전한 σ-대수를 찾는 것이 가능하며 Σ̄로 표시하고 Σ의 완성이라고 함.
비고	르베그 측도는 완비 측도의 한 예임.

2. 정의

측도 공간 $(X,\Sigma,\mu)$ 이 다음 조건을 만족하면, '''완비 측도 공간'''이라고 한다.

모든 영집합의 부분 집합은 가측 집합이다. 즉, $T\subset S\in\Sigma$ 이고 $\mu(S)=0$ 이면 $T\in \Sigma$ 이다.

이 경우, 영집합의 부분 집합은 측도의 공리에 따라 항상 영집합이 된다.

3. 완비화

측도 공간이 완비하지 않은 경우, 이를 완비 측도 공간으로 확장할 수 있다. 이 과정을 '''완비화'''라고 한다. 완비화는 기존의 시그마 대수에 영집합의 부분 집합들을 추가하여 새로운 시그마 대수를 만들고, 이를 기반으로 측도를 확장하는 방식으로 이루어진다.^[3]

완비화가 필요한 이유는 곱공간 문제에서 찾을 수 있다. 예를 들어 실수선에 르베그 측도를 구성하고, 이를 바탕으로 평면 $\R^2$ 에 대한 2차원 르베그 측도를 곱측도로 구성할 때, 단순하게 각 집합의 곱으로 이루어진 시그마 대수를 사용하면 문제가 발생한다. 모든 단일 집합은 1차원 르베그 측도가 0이므로, 임의의 부분 집합 $A$ 에 대해 $\{0\} \times A$ 의 측도는 0이 된다. 그러나 $A$ 가 비가측 집합이라면, $\{0\} \times A$ 는 정의되지 않지만, 이 집합을 포함하는 더 큰 집합은 측도가 0이 된다. 따라서 이 "2차원 르베그 측도"는 완비가 아니므로, 완비화 과정이 필요하다.

3. 1. 완비화의 구성

''Z''를 ''X''의 영측도 집합의 모든 부분 집합의 집합으로 정의한다. 이는 직관적으로 Σ에 아직 포함되지 않아 완비성을 만족시키지 못하게 하는 원소들이다.^[3]
Σ₀을 Σ와 ''Z''에 의해 생성된 ''σ''-집합 대수로 정의한다. 즉, Σ와 ''Z''의 모든 원소를 포함하는 가장 작은 ''σ''-대수이다.^[3]
''μ''는 Σ₀로의 확장 ''μ''₀을 가지며, 이는 ''μ''의 외측도이며, 다음 하한에 의해 주어진다.^[3]

::

\mu_{0} (C) := \inf \{ \mu (D) \mid C \subseteq D \in \Sigma \}.

그러면 (''X'', Σ₀, ''μ''₀)는 완비 측도 공간이며, (''X'', Σ, ''μ'')의 완비화이다.^[3]

위의 구성에서 Σ₀의 모든 원소는 어떤 ''A'' ∈ Σ와 어떤 ''B'' ∈ ''Z''에 대해 ''A'' ∪ ''B''의 형태를 가지며, 다음이 성립한다.^[3]

::

\mu_{0} (A \cup B) = \mu (A).

4. 완비성이 필요한 이유

실수선에 르베그 측도를 구성하여 이 측도 공간을 $(\R, B, \lambda)$ 라고 하자. 평면 $\R^2$ 에 대한 2차원 르베그 측도 $\lambda^2$ 를 곱측도로 구성할 때, $\R^2$ 에 대한 -대수를 $B \otimes B$ 로, 즉 $A_1, A_2 \in B$ 에 대한 모든 가측 "직사각형" $A_1 \times A_2$ 를 포함하는 가장 작은 시그마 대수로 정의한다.

이러한 방식은 측도 공간을 정의하지만 결함이 있다. 모든 단일 집합은 1차원 르베그 측도에서 0의 값을 가지므로, 다음이 성립한다.

$\lambda^2(\{0\} \times A) \leq \lambda(\{0\}) = 0$

이는 $A$ 의 임의의 부분 집합에 대해 성립한다. 그러나 $A$ 가 비가측 집합과 같은 실수선의 비가측 부분 집합이라고 가정하면, $\{0\} \times A$ 의 $\lambda^2$ -측도는 정의되지 않지만, 다음이 성립한다.

$\{0\} \times A \subseteq \{0\} \times \R,$

이 더 큰 집합은 $\lambda^2$ -측도에서 0의 값을 가진다. 따라서 "2차원 르베그 측도"는 완비적이지 않으며, 완비화 절차가 필요하다.^[4]

측도 공간 $(X, \Sigma, \mu)$ 이 완비이기 위한 필요충분 조건은 다음과 같다. ''X'' 위의 실수값 $\Sigma$ -가측 함수열이 반드시 가측이라고는 할 수 없는 ''X'' 위의 실수값 함수 ''f''에 거의 어디서나 수렴할 때, ''f'' 또한 $\Sigma$ -가측 함수이다. 이것은 ''X'' 위의 실수값 $\Sigma$ -가측 함수의 전체가 이루는 집합 $M(X)$ 가 '거의 어디서나 수렴'이라는 위상에서 닫혀있다는 것, 즉 완비임을 의미한다.

5. 예시

유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 위의 보렐 측도는 완비 측도가 아니다. 르베그 측도는 보렐 측도의 완비화이다.^[1] ''n''차원 르베그 측도는 1차원 르베그 공간의 ''n''겹 곱의 완비화이다.^[1]

칸토어 집합은 보렐 집합이고 측도가 0이지만, 멱집합의 농도는 실수보다 엄격하게 크다. 따라서 칸토어 집합의 부분 집합 중 보렐 집합에 포함되지 않는 것이 있어서 보렐 측도는 완비가 아니다.^[1]

6. 성질

마하라므 정리에 따르면, 모든 완비 측도 공간은 연속체에 대한 측도와 유한 또는 가산 계수 측도로 분해될 수 있다.

참조

_[1] 서적 Measure Theory http://link.springer[...] Springer New York 1950
_[2] 서적 Measure theory and integration http://www.sciencedi[...] Woodhead Publishing Limited 2003
_[3] 서적 Real and complex analysis McGraw-Hill 2013
_[4] 웹사이트 왜「완비」측도공간인가: https://mathlog.info[...] 2022-08-14

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