영집합

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 하르 영집합 (Haar Null)
6. 활용
참조

1. 개요

영집합은 측도 공간에서 측도가 0인 가측 집합의 부분 집합을 의미한다. 어떤 명제가 영집합이 아닌 곳에서 성립할 경우, 그 명제는 거의 어디서나 성립한다고 표현한다. 실수선에서 영집합은 모든 양수 ε에 대해, 그 집합을 덮는 구간들의 길이의 합이 ε보다 작도록 하는 구간들의 수열이 존재하는 집합으로 정의된다. 두 함수가 영집합을 제외한 모든 점에서 같은 값을 가질 때, 한 함수가 적분가능하면 다른 함수도 적분가능하며, 적분값은 같다. 영집합의 모든 부분 집합이 가측 집합일 경우, 그 측도를 완비 측도라고 한다. 르베그 측도를 사용하는 경우, 원소 하나로 이루어진 집합이나 가산 집합은 영집합이 되며, 칸토어 집합과 같은 비가산 집합도 영집합이 될 수 있다. 하르 영집합은 바나흐 공간에서 평행 이동에 대한 확률 측도가 0인 집합을 의미하며, 르베그 적분 정의와 Lp 공간 정의에 활용된다.

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영집합
일반 정보
유형	측도 영
성질	모든 부분 집합은 가측 집합임 르베그 측도는 0임

2. 정의

측도 공간 $(X,\Sigma,\mu)$ 에서, 측도가 0인 가측 집합의 부분 집합 $S\subset X$ 를 $X$ 의 '''영집합'''이라고 정의한다.

어떤 명제가 $X$ 위에서 성립하지 않는 점들의 집합이 영집합일 때, 이 명제는 $X$ 에서 '''거의 어디서나''' 성립한다고 한다.

실수선 $\Reals$ 의 부분집합 $A$ 에 대해, 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 다음 조건을 만족하는 열린 구간 $U_1, U_2, \ldots$ (여기서 구간 $U_n = (a_n, b_n) \subseteq \Reals$ 의 길이는 $\operatorname{length}(U_n) = b_n - a_n$ )이 존재하면, $A$ 는 영집합^[1]이며, 무의미한 집합이라고도 한다.

$A \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty U_n \ ~\textrm{이고}~ \ \sum_{n=1}^\infty \operatorname{length}(U_n) < \varepsilon$

수학적 분석에서 이 정의는 $A$ 의 열린 덮개의 수열이 존재하고, 그 덮개들의 길이의 극한이 0이 되어야 함을 의미한다.

3. 성질

두 함수 $f$ , $g$ 가 영집합을 제외한 모든 점에서 같은 값을 가질 때, 함수 $f$ 가 적분 가능할 조건과 $g$ 가 적분 가능할 조건은 같다. 또한, 적분 가능할 경우 두 함수의 적분값은 같다.

영집합의 모든 부분 집합이 가측 집합일 경우, 그 측도를 완비 측도라고 정의한다. 이 경우 그 부분 집합은 역시 영집합이 된다.

$(X,\Sigma,\mu)$ 를 측도 공간이라고 하면, 다음 성질이 성립한다.

성질
$\mu(\varnothing) = 0$ (정의에 의해)
가산 개의 합집합은 자체로 영집합이다. ( $\mu$ 의 가산 가법성에 의해)
영집합의 (가측) 부분 집합은 자체로 영집합이다. (단조성에 의해)

이러한 사실들을 종합하면 $(X,\Sigma,\mu)$ 의 영집합들이 𝜎-아이디얼을 이룬다는 것을 알 수 있다. 따라서 영집합들은 무시 가능한 집합으로 해석될 수 있으며, 이는 "거의 어디서나"의 측도론적 개념을 생성한다.

4. 예시

실수 집합의 모든 유한 집합 또는 가산 무한 부분 집합은 영집합이다. 예를 들어, 자연수 집합, 유리수 집합, 대수적 수 집합은 모두 가산 무한이며, 실수 집합의 부분 집합으로 간주될 때 영집합이다.^[1]

칸토어 집합은 비가산 집합이지만 르베그 측도가 0인 영집합이다. 칸토어 집합은 0과 1 사이의 모든 수를 포함하고 삼진법 전개에서 0과 2만 포함하기 때문에 비가산적이며, 0에서 1까지의 실수의 닫힌 구간에서 시작하여 길이에 2/3를 연속적으로 곱하여 구성되기 때문에 영집합이다.^[1]

차원이 n보다 작은 ℝⁿ의 부분 집합은 ℝⁿ에서 르베그 측도가 0이다. 예를 들어, ℝ²에서 직선이나 원은 영집합이다.^[1]

사르드의 보조정리에 따르면, 매끄러운 함수의 임계값 집합은 측도가 0이다.^[1]

4. 1. 르베그 측도

르베그 측도는 유클리드 공간에서 길이, 면적, 부피를 일반화한 개념이다. 르베그 측도에서 영집합은 임의의 양수 ε에 대해, 그 집합을 덮는 구간들의 총 길이 합이 ε보다 작도록 하는 구간들의 수열이 존재하는 집합이다.^[1]

만약 ''N''이 실수 집합

\Reals

의 부분 집합일 때, 다음 조건을 만족하면 ''N''은 르베그 측도가 0이고,

\Reals

에서 영집합으로 간주된다.

: 임의의 양수

\varepsilon

에 대해,

I_1, I_2, \ldots

라는

\Reals

의 구간의 수열이 존재하여 ''N''이

I_1, I_2, \ldots

의 합집합 안에 포함되고, 합집합의 총 길이가

\varepsilon

보다 작다.

이 조건은 구간 대신 ''n''-정육면체를 사용하여

\Reals^n

으로 일반화될 수 있다. 르베그 측도가 없더라도 모든 다양체에서 의미를 갖도록 만들 수 있다.

예시는 다음과 같다.

$\Reals^n$ 에 관하여, 모든 단일 집합은 영집합이므로 모든 가산 집합도 영집합이다. 특히, 유리수 집합 $\Q$ 는 $\Reals$ 에서 조밀 집합임에도 불구하고 영집합이다.
칸토어 집합의 표준적인 구성은 $\Reals$ 에서 영집합인 비가산 집합의 예이다.
차원이 ''n''보다 작은 $\Reals^n$ 의 모든 부분 집합은 $\Reals^n$ 에서 르베그 측도가 0이다. 예를 들어, 직선이나 원은 $\Reals^2$ 에서 영집합이다.
사르드의 보조정리: 매끄러운 함수의 '''임계값''' 집합은 측도가 0이다.

\lambda

가

\Reals

에 대한 르베그 측도이고 π가

\Reals^2

에 대한 르베그 측도이면, 곱 측도

\lambda \times \lambda = \pi

이다. 영집합의 관점에서, 다음 등식은 푸비니 정리라고 불린다.^[2]

$A \subset \Reals^2$ 및 $A_x = \{y : (x , y) \isin A\}$ 에 대해, $\pi(A) = 0 \iff \lambda \left(\left\{x : \lambda\left(A_x\right) > 0\right\}\right) = 0.$

4. 2. 푸비니 정리 (Fubini's Theorem)

곱측도 $\lambda \times \lambda = \pi$에 대해, 영집합에 관한 다음 등식이 푸비니 정리이다.^[2]

:

\pi(A) = 0 \iff \lambda \left(\left\{x : \lambda\left(A_x\right) > 0\right\}\right) = 0.

($A \subset \Reals^2$ 및 $A_x = \{y : (x , y) \isin A\}$)

이는 곱 측도 공간에서, 한 변수에 대한 적분이 거의 모든 곳에서 0이면 전체 적분도 0이라는 의미이다.

4. 3. 보렐 가측이 아닌 영집합

칸토어 집합의 부분 집합 중에는 보렐 가측이 아닌 집합이 존재한다.^[1] 표준 칸토어 집합

K

는 닫혀있으므로 보렐 가측이며 측도 0을 가진다. 르베그 측도는 완전하기 때문에 보렐 가측이 아닌

K

의 부분 집합

F

는 르베그 가측이다.^[1]

양의 측도를 갖는 모든 집합은 비가측 부분 집합을 포함한다.

f

를 칸토어 함수라고 하면, 이 함수는

K^c

에서 국소적으로 상수이며,

[0, 1]

에서 단조 증가하며,

f(0) = 0

이고

f(1) = 1

이다.

f(K^c)

는

K^c

의 각 성분마다 하나의 점을 포함하므로 가산이다. 따라서

f(K^c)

는 측도 0을 가지므로

f(K)

는 측도 1을 갖는다.

g(x) = f(x) + x

는 엄격히 단조 함수이고 연속적이므로 위상 동형 사상이다.

g(K)

는 측도 1을 갖는다.

E \subseteq g(K)

를 비가측 집합이라고 하고,

F = g^{-1}(E)

라고 하면,

g

는 단사 함수이므로

F \subseteq K

이며, 따라서

F

는 영 집합이다.

F

가 보렐 가측이라면,

g(F)

도 보렐 가측이 된다. (

g(F) = (g^{-1})^{-1}(F)

는 연속 함수

h = g^{-1}

를 통한

F

의 역상이다.) 그러므로

F

는 영 집합이지만 보렐 가측이 아닌 집합이다.^[1]

5. 하르 영집합 (Haar Null)

분리 가능한 바나흐 공간 $(X, \|\cdot\|)$ 에서 덧셈은 모든 부분 집합 $A \subseteq X$ 를 모든 $x \in X$ 에 대한 평행 이동 $A + x$ 로 이동시킨다. $X$ 의 보렐 집합의 σ-대수 위에 모든 $x$ 에 대해 $\mu(A + x) = 0$ 이 되도록 하는 확률 측정이 존재할 때, $A$ 는 '''하르 영집합'''이다.^[3]

이 용어는 평행 이동에 대한 측정의 영 불변성을 나타내며, 하르 측도에서 발견되는 완전한 불변성과 연관시킨다.

위상군의 일부 대수적 속성은 하르 영집합과 부분 집합의 크기와 관련이 있다.^[4] 하르 영집합은 $A$ 가 희소 집합이 아닐 경우 $A^{-1} A$ 가 항등원의 열린 근방을 포함한다는 것을 보이기 위해 폴란드 군에서 사용되었다.^[5] 이 속성은 슈테인하우스 정리의 결론이기 때문에 휴고 슈타인하우스의 이름을 따서 명명되었다.

6. 활용

두 함수 $f$ , $g$ 가 영집합을 제외한 모든 점에서 같은 값을 가질 때, 함수 $f$ 가 적분 가능할 조건과 $g$ 가 적분 가능할 조건은 같으며, 적분 가능할 경우 두 함수의 적분값은 같다.

영집합의 모든 부분 집합이 가측 집합일 경우, 그 측도를 완비라고 정의한다. 이 경우 그 부분집합은 역시 영집합이 된다.

영집합은 르베그 적분의 정의에서 중요한 역할을 한다. 함수 $f$ 와 $g$ 가 영집합을 제외하고 같으면 $f$ 가 적분 가능할 때와 $g$ 가 적분 가능할 때가 같으며, 그 적분값도 같다. 이는 영집합에서만 다른 함수의 동치류 집합으로 Lp 공간을 정의하는 동기를 부여한다.

모든 비완비 척도는 영집합의 부분 집합이 측도 0을 갖는다고 주장함으로써 완비 척도로 완성될 수 있다. 르베그 측도는 완비 척도의 예시이며, 어떤 구성에서는 비완비 보렐 측도의 완비로 정의된다.

참조

_[1] 서적 A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration American Mathematical Society 2009
_[2] 논문 Fubini's theorem for null sets 1989
_[3] 논문 Convexity and Haar Null Sets https://www.ams.org/[...] 1997
_[4] 논문 Sizes of subsets of groups and Haar null sets 2005
_[5] 논문 The Steinhaus property and Haar-null sets 2009

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