거의 어디서나

3. 성질

만약 어떤 속성 $P$가 거의 어디서나 성립하고, P가 속성 $Q$를 함축하면, 속성 $Q$도 거의 어디서나 성립한다. 이는 측도의 단조성으로부터 따른다.^[5]

만약 $(P\_n)$이 유한하거나 가산 개의 속성들이고, 각 속성이 거의 어디서나 성립하면, 그 속성들의 결합 $\backslash forall\; n\; P\_n$도 거의 어디서나 성립한다. 이는 측도의 가산 부분 가법성으로부터 따른다.^[5]

반대로, 만약 $(P\_x)\_\{x\backslash in\; \backslash mathbf\; R\}$이 비가산 개의 속성들의 집합이고, 각 속성이 거의 어디서나 성립한다고 해도, 그 속성들의 결합 $\backslash forall\; x\; P\_x$는 반드시 거의 어디서나 성립하지는 않는다. 예를 들어, $\backslash mu$가 $X\; =\; \backslash mathbf\; R$상의 르베그 측도이고 $P\_x$가 $x$와 같지 않다는 속성(즉, $P\_x(y)$는 $y\; \backslash neq\; x$일 때 참)이라면, 각 $P\_x$는 거의 어디서나 성립하지만, 결합 $\backslash forall\; x\; P\_x$는 어디에서도 성립하지 않는다.^[5]

4. 예시

• ''f'' : '''R''' → '''R'''이 르베그 적분 가능 함수이고 $f(x)\; \backslash ge\; 0$ (거의 모든 곳에서) 이면, 모든 실수 에 대해,

• ''f'' : [''a'', ''b''] → '''R'''이 단조 함수이면, ''f''는 거의 모든 곳에서 미분 가능하다.
• 유계인 함수는 리만 적분 가능하고, 연속인 것과 거의 모든 곳에서 같은 조건이다.
• [0, 1] 구간의 거의 모든 실수는 십진법 전개에서 셰익스피어의 희곡 전체 텍스트를 ASCII로 포함한다. (정규수 참조)

5. 초여과기를 이용한 정의

실해석학 외의 분야에서 '거의 어디서나'라는 개념은 때때로 초여과기를 사용하여 정의한다. 집합 ''X''에 대한 초여과기 ''F''는 다음 조건을 만족하는 ''X''의 부분 집합들의 최대 집합이다.

• ''U'' ∈ ''F''이고 ''U'' ⊆ ''V''이면 ''V'' ∈ ''F''이다.
• ''F''에 있는 임의의 두 집합의 교집합은 ''F''에 속한다.
• 공집합은 ''F''에 속하지 않는다.

6. 한국 수학계의 관점

대한민국 수학계에서는 '거의 어디서나'라는 개념이 측도론, 실해석학, 확률론 등 다양한 분야에서 중요하게 다뤄진다. 특히, 측도론의 발전과 함께 이 개념은 더욱 심도 있게 연구되고 있다.^[1]

중도진보적 관점에서 볼 때, 이 개념은 사회 현상을 수학적으로 모델링하고 분석하는 데 유용하게 활용될 수 있다. 예를 들어, 사회적 불평등이나 경제적 격차를 분석할 때, '거의 어디서나'라는 개념을 사용하여 예외적인 경우를 제외하고 일반적인 경향을 파악할 수 있다.^[2]

7. 같이 보기

• 측도 공간
• 영집합
• 확률 공간
• 거의 확실하게

참조

_[1] 웹사이트 Almost Everywhere http://mathworld.wol[...] 2019-11-19
_[2] 서적 Measure theory https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[3] 웹사이트 Definition of almost everywhere {{!}} Dictionary.com https://www.dictiona[...] 2019-11-19
_[4] 논문 On the Convergence Almost Everywhere of Rademacher's Series and of the Bochnerfejér Sums of a Function almost Periodic in the Sense of Stepanoff https://academic.oup[...] 1932-01-01
_[5] 웹사이트 Properties That Hold Almost Everywhere - Mathonline http://mathonline.wi[...] 2019-11-19