외측도

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1. 개요

외측도는 집합 X의 부분 집합에 대해 정의되는 함수로, 공집합에 0을 할당하고, 단조성을 가지며, 가산 준가법성을 만족한다. 외측도는 카라테오도리 가측 집합을 정의하는 데 사용되며, 이 가측 집합들은 시그마 대수를 형성하고, 외측도를 이 시그마 대수로 제한하면 완비 측도가 된다. 거리 외측도는 거리 공간에서 정의되며, 보렐 집합을 가측 집합으로 포함한다. 카라테오도리 확장 정리는 집합 반환 위의 준측도를 사용하여 외측도를 구성하는 방법을 제공한다. 외측도를 구성하는 방법에는 집합 덮개를 이용하는 방법 I과 거리 공간에서 하우스도르프 측도를 구성하는 방법 II가 있다. 르베그-스틸티어스 측도, 르베그 측도, 하우스도르프 외측도 등이 외측도의 예시이며, 정칙 외측도는 외부에서 가측 집합으로 근사될 수 있는 외측도이다. 외측도는 사상과 부분 집합을 통해 변환될 수 있으며, 가측성과 관련된 성질을 유지한다.

외측도

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 카라테오도리 확장 정리
5. 외측도의 구성
6. 예
7. 정칙 외측도
8. 외측도의 추이와 제한

2. 정의

집합 $X$ 위의 (추상적) 외측도는 다음 세 조건을 만족시키는 함수 $\mu^*\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty]$이다.

* $\mu^*(\varnothing)=0$
* 임의의 $S\subseteq T\subseteq X$에 대하여, $\mu^*(S)\le\mu^*(T)$
* (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 $\mathcal S\subseteq\mathcal P(X)$ ($|\mathcal S|\le\aleph_0$)에 대하여, $\textstyle\mu^*\left(\bigcup\mathcal S\right)\le\sum\mu^*(\mathcal S)$

집합 $X$ 위의 외측도 $\mu^*$에 대한 카라테오도리 가측 집합은 다음 조건을 만족시키는 집합 $S\subseteq X$이다.

* 임의의 $T\subseteq X$에 대하여, $\mu^*(T)=\mu^*(S\cap T)+\mu^*(T\setminus S)$

카라테오도리 가측 집합의 집합은 $\mathcal M(\mu^*)$로 표기한다.

3. 성질

집합 $X$ 위의 (추상적) 외측도((abstract) outer measure^영어)는 다음 세 조건을 만족시키는 함수 $\mu^*\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty]$ 이다.

* $\mu^*(\varnothing)=0$
* 임의의 $S\subseteq T\subseteq X$ 에 대하여, $\mu^*(S)\le\mu^*(T)$
* (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 $\mathcal S\subseteq\mathcal P(X)$ ( $|\mathcal S|\le\aleph_0$ )에 대하여, $\textstyle\mu^*\left(\bigcup\mathcal S\right)\le\sum\mu^*(\mathcal S)$

집합 $X$ 위의 외측도 $\mu^*$ 에 대한 카라테오도리 가측 집합(Carathéodory measurable set^영어)은 다음 조건을 만족시키는 집합 $S\subseteq X$ 이다.

* 임의의 $T\subseteq X$ 에 대하여, $\mu^*(T)=\mu^*(S\cap T)+\mu^*(T\setminus S)$

카라테오도리 가측 집합의 집합은 $\mathcal M(\mu^*)$ 로 표기한다. $\mathcal M(\mu^*)$ 는 $\mathcal P(X)$ 의 부분 시그마 대수를 이루며, $\mu^*|_{\mathcal M(\mu^*)}$ 는 $(X,\mathcal M(\mu^*))$ 위의 측도를 이루며, 또한 완비 측도를 이룬다. 즉, $(X,\mathcal M(\mu^*),\mu^*|_{\mathcal M(\mu^*)})$ 는 완비 측도 공간이다.

거리 공간 $(X,d_X)$ 속 두 집합 $S,T\subseteq X$ 사이의 거리는 다음과 같다.

: $d_X(S,T)=\inf_d_X(s,t)$

거리 공간 $(X,d_X)$ 위의 외측도 $\mu^*$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $\mu^*$ 를 거리 외측도(metric outer measure^영어)라고 한다.

* 임의의 $S,T\subseteq X$ 에 대하여, 만약 $d_X(S,T)>0$ 이라면, $\mu^*(S\cup T)=\mu^*(S)+\mu^*(T)$
* $\mathcal B(X)\subseteq\mathcal M(\mu^*)$ . 즉, 모든 보렐 집합은 $\mu^*$ -카라테오도리 가측 집합이다. (이에 따라 $(X,\mathcal B(X),\mu^*|_{\mathcal B(X)})$ 는 측도 공간을 이루지만, 이는 완비 측도 공간일 필요가 없다.)
* 모든 열린집합은 $\mu^*$ -카라테오도리 가측 집합이다.

거리 공간 $(X,d_X)$ 위의 거리 외측도 $\mu^*$ 가 주어졌을 때, 모든 상반연속 함수와 하반연속 함수 $(X,\mathcal M(\mu^*))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))$ 는 가측 함수이다.

4. 카라테오도리 확장 정리

카라테오도리 확장 정리는 준측도로부터 외측도를 구성하고, 이로부터 측도를 얻는 방법을 제시한다.

카라테오도리 확장 정리를 위해 필요한 요소는 다음과 같다.
* 집합 $X$
* 집합 반환 $\mathcal S\subseteq\mathcal P(X)$
* 준측도 $\mu\colon\mathcal S\to[0,\infty]$

여기서 집합 $X$ 속의 집합 반환 $\mathcal S\subseteq\mathcal P(X)$ 은 다음 세 조건을 만족시키는 집합족이다.
* $\varnothing\in\mathcal S$
* (이항 교집합에 대한 닫힘) 임의의 $S,T\in\mathcal S$ 에 대하여, $S\cap T\in\mathcal S$
* 임의의 $S,T\in\mathcal S$ 에 대하여, $\textstyle S\setminus T=\bigcup\mathcal F$ 인 유한 개의 서로소 집합들의 족 $\mathcal F\subseteq\mathcal S$ ( $|\mathcal F|<\aleph_0$ )이 존재한다.

또한, 집합 $X$ 속의 집합 반환 $\mathcal S$ 위에 정의된, 음이 아닌 확장된 실수 값의 함수
: $\mu\colon\mathcal S\to[0,\infty]$
는 다음 두 조건을 만족하는 $\mathcal S$ 위의 준측도이다.
* (가산 가법성) 임의의 가산 서로소 집합 $\mathcal T\subseteq\mathcal S$ ( $|\mathcal T|\le\aleph_0$ )에 대하여, 만약 $\textstyle\bigcup\mathcal T\in\mathcal S$ 이라면, $\textstyle\mu\left(\bigcup\mathcal T\right)=\sum\mu(\mathcal T)$ . (특히, $\mathcal T=\varnothing$ 을 생각하면 $\mu(\varnothing)=0$ 을 얻는다.)
* 다음 두 조건을 만족시킨다.
(유한 가법성) 임의의 유한 서로소 집합 $\mathcal T\subseteq\mathcal S$ ( $|\mathcal T|<\aleph_0$ )에 대하여, 만약 $\textstyle\bigcup\mathcal T\in\mathcal S$ 이라면, $\textstyle\mu\left(\bigcup\mathcal T\right)=\sum\mu(\mathcal T)$ . (특히, $\mathcal T=\varnothing$ 을 생각하면 $\mu(\varnothing)=0$ 을 얻는다.)
(가산 준가법성) 임의의 가산 집합 $\mathcal T\subseteq\mathcal S$ ( $|\mathcal T|\le\aleph_0$ )에 대하여, 만약 $\textstyle\bigcup\mathcal T\in\mathcal S$ 이라면, $\textstyle\mu\left(\bigcup\mathcal T\right)\le\sum\mu(\mathcal T)$

이제, 다음과 같은 함수를 정의한다.
: $\mu^*\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty]$
: $\mu^*\colon A\mapsto\inf\left\{\sum\mu(\mathcal T)\colon\mathcal T\subseteq\mathcal S,\;|\mathcal T|\le\aleph_0,\;A\subseteq\bigcup\mathcal T\right\}$

카라테오도리 확장 정리에 따르면, 다음 조건들이 성립한다.
* $\mu^*$ 는 $X$ 위의 외측도이다.
* $\sigma(\mathcal S)\subseteq\mathcal M(\mu^*)$
* $\mu^*|_{\mathcal S}=\mu$
* 만약 $\textstyle X=\bigcup\mathcal T$ 이며 $\infty\not\in\mu(\mathcal T)$ 인 가산 집합 $\mathcal T\subseteq\mathcal S$ ( $|\mathcal T|\le\aleph_0$ )이 존재한다면, $\mu^*|_{\sigma(\mathcal S)}$ 는 $(\mu^*|_{\sigma(\mathcal S)})|_{\mathcal S}=\mu$ 를 만족시키는 유일한 $\sigma(\mathcal S)$ 위의 측도이다.

여기서, 집합 $X$ 에 대한 외측도는 다음을 만족하는 집합 함수이다.
$\mu: 2^X \to [0, \infty]$
* 공집합의 널 : $\mu(\varnothing) = 0$
* 가산 부분 가법성 : $X$ 의 임의의 부분집합 $A, B_1, B_2, \ldots$ 에 대해,
$\text{if } A \subseteq \bigcup_{j=1}^\infty B_j \text{ then } \mu(A) \leq \sum_{j=1}^\infty \mu(B_j).$

$\mu$ 가 대안적 정의에서의 외측도라고 가정하면, $A, B_1, B_2, \ldots$ 를 $X$ 의 임의의 부분집합이라고 하고,
$A \subseteq \bigcup_{j=1}^\infty B_j.$
라고 가정한다. 그러면
$\mu(A) \leq \mu\left(\bigcup_{j=1}^\infty B_j\right) \leq \sum_{j=1}^\infty\mu(B_j),$
가 성립하며, 첫 번째 부등식은 대안적 정의의 두 번째 조건에서, 두 번째 부등식은 대안적 정의의 세 번째 조건에서 따른다. 따라서 $\mu$ 는 원래 정의의 의미에서 외측도이다.

집합 $X$ 의 적당한 부분 집합으로 이루어진 족 $C$ 는 공집합을 원소로 포함하는 것으로 하고, $p$ 는 $C$ 상의 음이 아닌 확장 실수 값 집합 함수로, 공집합에서의 값은 0으로 한다. $X$ 의 임의의 부분 집합 $E$ 에 대해 $\varphi(E) := \inf \bigg\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i) : E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C\biggr\}$ (즉, $E$ 를 덮는 $C$ 의 원소로 이루어진 임의의 집합열 $\{A_i\}$ 에 걸쳐, 총합 $\sum_{i=0}^\infty p(A_i)$ 의 하한, 단 그러한 열을 취할 수 없을 때에는 하한의 값은 무한대라고 약속한다)에 의해 정의할 때, $\varphi$ 는 $X$ 상의 외측도를 제공한다.

5. 외측도의 구성

외측도를 구성하는 방법에는 여러 가지가 있다. 그 중 먼로(Munroe)가 제시한 두 가지 유용한 방법은 다음과 같다.

방법 I:

집합 의 부분 집합족 는 공집합을 포함하고, 는 에서 정의된 음이 아닌 확장된 실수 값을 가지는 함수이며 공집합에서 0의 값을 가진다고 하자. 이때, 의 임의의 부분 집합 에 대해 다음과 같이 정의한다.

: $\varphi(E) := \inf \bigg\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i) : E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C\biggr\}$

즉, 하한은 를 덮는 의 원소로 구성된 모든 수열 에 걸쳐 있으며, 이러한 수열이 존재하지 않으면 하한은 무한대가 된다. 이렇게 정의된 는 에 대한 외측도이다.

방법 II:

이 방법은 거리 공간에서 외측도를 구성하는 데 더 적합하며, 하우스도르프 측도 구성에 사용된다. 가 거리 공간이라고 가정한다. 는 공집합을 포함하는 의 부분 집합족이고, 는 공집합에서 0이 되는 상의 음이 아닌 확장된 실수 값 함수이다. 각 에 대해,

: $C_\delta= \{A \in C: \operatorname{diam}(A) \leq \delta\}$

이고

: $\varphi_\delta(E) = \inf \biggl\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i)\,\bigg|\,E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C_\delta\biggr\}.$

가 감소함에 따라 하한이 더 작은 클래스에 대해 취해지므로, 는 일 때 성립한다. 따라서

: $\lim_{\delta \rightarrow 0} \varphi_\delta(E) = \varphi_0(E) \in [0, \infty]$

가 존재한다(무한대일 수도 있음). 이렇게 정의된 는 에 대한 거리 외측도이다.

6. 예

* 르베그-스틸티어스 외측도: 실수 집합 위에서 증가 함수를 이용해 정의한 외측도이다.
* 르베그 외측도: 실수 집합 또는 유클리드 공간 위에서 구간 또는 직사각형의 길이를 일반화하여 정의한 외측도이다. 르베그 적분의 근간이 된다.
* 하우스도르프 외측도: 거리 공간 위에서 정의되는 외측도로, 임의의 실수 차원으로 일반화할 수 있다.

7. 정칙 외측도

Outer measure^영어는 임의의 부분 집합 $A\subseteq X$ 가 μ-가측 집합에 의해 '외부에서' 근사될 수 있다면 정칙이라고 한다. 이는 다음 조건 중 하나와 동치이다.

* $\mu(A)=\inf\{\mu(B)\mid A\subseteq B, B\text{ is μ-measurable}\}$
* $A$ 를 포함하고 $\mu(B)=\mu(A)$ 를 만족하는 μ-가측 부분 집합 B가 존재한다.

두 번째 조건은 자동으로 첫 번째 조건을 만족시킨다. 첫 번째 조건에서는 $\mu(B_i)\to\mu(A)$ 가 되도록 하는 $B_i$ 의 가산 교집합을 취함으로써 두 번째 조건을 만족시킨다.

8. 외측도의 추이와 제한

어떤 사상 $f:X\to Y$ 가 주어졌을 때, $f_\sharp \mu : 2^Y \to [0, \infty]$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $\big(f_\sharp\mu\big)(A)=\mu\big(f^{-1}(A)\big).$

정의로부터 $f_\sharp \mu$ 가 $Y$ 상의 외측도임을 직접 확인할 수 있다.

$B$ 를 $X$ 의 부분집합이라고 하자. $\mu_B : 2^X\to[0,\infty]$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $\mu_B(A)=\mu(A\cap B).$

$\mu_B$ 가 $X$ 에 대한 또 다른 외측도라는 것을 정의로부터 직접 확인할 수 있다.

만약 집합 $X$ 의 부분집합 $A$ 가 $\mu$ -가측이라면, 모든 $X$ 의 부분집합 $B$ 에 대해 $\mu_B$ -가측이다.

사상 $f:X\to Y$ 와 $Y$ 의 부분집합 $A$ 가 주어졌을 때, $f^{-1}(A)$ 가 $\mu$ -가측이면 $A$ 는 $f_\sharp \mu$ -가측이다. 더 일반적으로, $f^{-1}(A)$ 가 $\mu$ -가측일 필요충분조건은 모든 $X$ 의 부분집합 $B$ 에 대해 $A$ 가 $f_\sharp (\mu_B)$ -가측인 것이다.