완화곡선

3. 종류

완화곡선은 도로 및 철도의 선형 설계 시 적용되며, 주로 다음과 같은 종류가 있다.

• 3차 포물선곡선: 과거 철도 선형에 사용되었다.
• 반파장 사인 체감곡선: 철도 선형에 사용된다.
• 나선형 곡선: 도로 선형에 적용된다.
• 렘니스케이트 곡선: 도로 선형에 적용된다.
• 클로소이드 곡선: 나선의 일종으로, 곡률이 곡선 길이에 반비례하며 주로 고속도로 선형에 사용된다.

3. 1. 3차 포물선곡선 (Cubic Parabolic Curve)

3. 2. 반파장 사인 체감곡선 (Successive Diminution Curve)

3. 3. 나선형 곡선 (Spiral Curve)

3. 4. 렘니스케이트 곡선 (Lemniscate Curve)

3. 5. 클로소이드 곡선 (Clothoid Curve)

4. 기하학적 특성

철도 궤도 기하학은 본질적으로 3차원 공간이지만, 실용적인 목적으로는 수직 및 수평 성분을 별도로 다루는 것이 일반적이다.^[8][9]

수직 기하학은 일반적으로 고정된 경사(기울기)를 가진 구간들의 연속으로 설계된다. 이 경사 구간들은 수직 전이 곡선으로 연결되며, 이 곡선에서는 국부 경사가 거리에 따라 선형적으로 변하고 고도는 거리에 대한 2차 방정식으로 표현된다. 여기서 경사는 궤도 상승 각도의 탄젠트 값을 의미한다. 수평 기하학은 직선(접선) 구간과 곡선(원호) 구간의 연속으로 설계되며, 이 구간들은 완화 곡선(전이 곡선)으로 연결된다.

철도 궤도에서 두 레일 간의 높이 차이를 캔트(Cant)라고 한다. 캔트는 물체가 곡선 경로를 따라 이동할 때 필요한 구심 가속도를 보상하기 위해 설치된다. 이를 통해 승객이나 화물이 경험하는 측면 가속도를 최소화하여 승차감을 향상시키고, 화물 이동(운송 중 화물이 움직여 사고나 손상을 유발하는 현상) 가능성을 줄인다.^[8][9] 캔트는 레일 자체의 기울기(롤 각도)와는 구별되어야 한다. 캔트는 두 레일 간의 높이 차이, 즉 전체 궤도 구조의 기울기를 의미한다. 수평 정렬이나 궤도의 캔트와 관계없이, 개별 레일은 일반적으로 바퀴가 가하는 수평력을 상쇄하기 위해 안쪽(궤간 쪽, 바퀴 접촉면)으로 약간 기울여('롤' 또는 '캔트'되어) 설계된다.

직선 구간(접선)에서 0인 캔트는, 직선과 곡선을 연결하는 완화 곡선 구간 전체에 걸쳐 점진적으로 변화하여 다음 곡선 본체에 설정된 값에 도달한다. 완화 곡선 구간의 길이에 걸쳐 궤도의 곡률 역시 직선 구간에 접하는 끝점(곡률 0)에서 시작하여, 곡선 본체의 곡률 값(곡선 반지름의 역수)으로 변화한다.

가장 간단하고 일반적으로 사용되는 완화 곡선 형태는 캔트와 수평 곡률이 모두 궤도를 따라 이동하는 거리에 따라 선형적으로 변하는 경우이다. 이 나선을 따라가는 점의 데카르트 좌표는 프레넬 적분으로 주어진다. 결과적인 모양은 오일러 나선의 일부와 일치하며, 이는 '클로소이드' 또는 때때로 '코르누 나선'이라고도 불린다.^[5][7] 완화 곡선은 일정한 비영(non-zero) 곡률의 궤도 구간을 곡률이 0이거나 다른 비영의 일정한 곡률을 가진 구간과 연결할 수 있다. 같은 방향으로 휘어지는 연속적인 곡선은 진행 곡선, 반대 방향으로 휘어지는 연속적인 곡선은 반대 곡선이라고 하기도 한다.

오일러 나선은 궤도 캔트 변화율(즉, 궤도의 뒤틀림)에 대한 주어진 제한 하에서 가장 짧은 완화 구간을 제공한다. 그러나 오랫동안 인식되어 온 바와 같이, 각 끝점에서 발생하는 큰 (개념적으로는 무한한) 롤 가속도와 저크(구심 가속도 변화율)로 인해 바람직하지 않은 동적 특성을 가진다.^[5] 개인용 컴퓨터의 성능 덕분에 이제 오일러 나선보다 동역학적으로 더 우수한 특성을 가진 나선을 사용하는 것이 실용적이다.

5. 계산

완화곡선은 운전자가 평면곡선부 주행에 적응할 수 있도록 적절한 길이로 설치된다. 완화곡선의 길이($L$)는 다음 식으로 계산할 수 있다.^[10]

: $L\; =\; \backslash frac\{V\}\{3.6\}\; \backslash times\; t$

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

• $L$: 완화곡선의 길이 (단위: m)
• $V$: 설계속도 (단위: km/h)
• $t$: 운전자가 곡선 구간을 인지하고 대비하는 데 필요한 주행 시간 (일반적으로 2초 적용)

참조

_[1] 웹사이트 The Clothoid https://pwayblog.com[...] 2023-06-07
_[2] 서적 A Manual of Civil Engineering https://archive.org/[...] Charles Griffin
_[3] 서적 The Transition Curve https://archive.org/[...] Wiley
_[4] 서적 The Railway Transition Spiral https://archive.org/[...] Engineering News Publishing
_[5] 서적 The Transition Spiral and Its Introduction to Railway Curves https://archive.org/[...] Van Nostrand
_[6] 간행물 Transition Curves for Railways https://books.google[...]
_[7] 학술지 Euler Integrals and Euler's Spiral--Sometimes called Fresnel Integrals and the Clothoide or Cornu's Spiral http://www.glassblow[...] 1917-06
_[8] 웹사이트 Railway Alignment Design and Geometry http://www.engr.uky.[...]
_[9] 서적 Practical Guide to Railway Engineering American Railway Engineering and Maintenance-of-Way Association
_[10] 웹인용 풍수지리를 고려한 도로 노선계획 (Road route planning considering feng shui) https://www.riss.kr/[...] 공주대학교 대학원 2018