클로소이드

3. 수식

원곡선반경 R, 클로소이드 곡선길이를 L, C를 계수라 하면

:$\backslash frac\{1\}\{R\}\; =\; C\; \backslash cdot\; L$

식을 다음과 같이 정리하고, $\backslash frac\{1\}\{C\}$를 A²으로 나타낼 수 있다. A는 클로소이드 파라미터(clothoid parameter)라 한다.

:$R\; \backslash cdot\; L\; =\; \backslash frac\{1\}\{C\}$

:$R\; \backslash cdot\; L\; =\; A^2$

클로소이드는 프레넬 적분을 해석한 것이다.

클로소이드 곡선은 곡률을 일정 비율로 변화시켰을 때 그려지는 궤적이다.^[22] 곡률 반경과 시점으로부터의 곡선 길이를 각각 $R$과 $L$이라고 할 때, 두 값의 곱은 상수가 된다.

:$RL=A^2$

$A$는 클로소이드 파라미터라고 불리며, 길이의 차원을 갖는 상수이다.

이 식에서, 무차원량 $r=R/A$ 및 $l=L/A$를 각각 정의하면, $rl=1$이 되어 $r$ 및 $l$의 기하학적 성질로부터, 실제 응용에는 스케일 인자로서 기능하는 $A$를 조절하는 것으로 충분하다.

이는 초등 기하학의 삼각형의 닮음과 같이, 많은 곡선 중에서 극히 드문 닮음 규칙을 갖는 곡선이다.

이 닮음 규칙을 이용하여 직선・원호・클로소이드 곡선의 복합적인 도로 노선 설계가 가능하게 된다.

시점의 좌표를 유클리드 공간상의 원점으로 하고, $x$축을 원점에서의 접선 방향으로 취하면, 무차원화된 좌표 $(x,y)$는 매개변수 $\{\backslash theta\}$와 이미 정의된 무차원화된 곡선 길이 $l$을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$x(l)=\{\backslash int\}\_\{0\}^\{l\}\{\backslash cos\}\backslash frac\{\{\backslash theta\}^2\}\{2\}d\{\backslash theta\},\{\backslash quad\}y(l)=\{\backslash int\}\_\{0\}^\{l\}\{\backslash sin\}\backslash frac\{\{\backslash theta\}^2\}\{2\}d\{\backslash theta\}$

본 식 중의 적분은 프레넬 적분으로 알려져 있다.

또한, $0$의 곡률을 갖는 것이 직선이고, 그렇지 않은 유한값으로 곡률을 고정한 것이 원이다.^[22]

== 프레넬 적분 표현 ==

원곡선반경 R, 클로소이드 곡선길이를 L, C를 계수라 하면

:$\backslash frac\{1\}\{R\}\; =\; C\; \backslash cdot\; L$

식을 다음과 같이 정리하고, $\backslash frac\{1\}\{C\}$를 A²으로 나타내서 표현할수도 있다. A를 클로소이드 파라미터(clothoid parameter)라 한다.

:$R\; \backslash cdot\; L\; =\; \backslash frac\{1\}\{C\}$

:$R\; \backslash cdot\; L\; =\; A^2$

클로소이드는 프레넬(Fresnel)의 적분을 해석한 것이다.

만약 $$a\; =\; 1$$ 이면, 이는 정규화된 오일러 곡선의 경우인데, 이 때 데카르트 좌표는 프레넬 적분(또는 오일러 적분)으로 주어진다.

$$\backslash begin\{align\}$$

C(L) &=\int_0^L\cos\left(s^2\right) \, ds\\

S(L) &= \int_0^L\sin\left(s^2\right) \, ds

\end{align}

클로소이드 곡선은 곡률을 일정 비율로 변화시켰을 때 그려지는 궤적이다.^[22] 곡률 반경과 시점으로부터의 곡선 길이를 각각 $R$과 $L$이라고 할 때, 두 값의 곱은 상수가 된다.

:$RL=A^2$

$A$는 클로소이드 파라미터라고 불리며, 길이의 차원을 갖는 상수이다.

시점의 좌표를 유클리드 공간상의 원점으로 하고, $x$축을 원점에서의 접선 방향으로 취하면, 무차원화된 좌표 $(x,y)$는 매개변수 $\{\backslash theta\}$와 이미 정의된 무차원화된 곡선 길이 $l$을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$x(l)=\{\backslash int\}\_\{0\}^\{l\}\{\backslash cos\}\backslash frac\{\{\backslash theta\}^2\}\{2\}d\{\backslash theta\},\{\backslash quad\}y(l)=\{\backslash int\}\_\{0\}^\{l\}\{\backslash sin\}\backslash frac\{\{\backslash theta\}^2\}\{2\}d\{\backslash theta\}$

본 식 중의 적분은 프레넬 적분으로 알려져 있다.

== 단위 클로소이드 ==

원곡선반경 R, 클로소이드 곡선길이를 L, C를 계수라 하면

:$\backslash frac\{1\}\{R\}\; =\; C\; \backslash cdot\; L$

식을 다음과 같이 정리하고, $\backslash frac\{1\}\{C\}$를 A²으로 나타낼수도 있다. A는 클로소이드 파라미터(clothoid parameter)라 한다.

:$R\; \backslash cdot\; L\; =\; \backslash frac\{1\}\{C\}$

:$R\; \backslash cdot\; L\; =\; A^2$

A = 1인 경우를 단위 클로소이드(unit clothoid)라고 하고 식으로는 다음처럼 나타낸다.

:$r\; \backslash cdot\; l\; =\; 1$

클로소이드 곡선은 곡률을 일정 비율로 변화시켰을 때 그려지는 궤적이다. 곡률 반경과 시점으로부터의 곡선 길이를 각각 $R$과 $L$이라고 할 때, 두 값의 곱은 상수가 된다.

:$RL=A^2$

$A$는 클로소이드 파라미터라고 불리며, 길이의 차원을 갖는 상수이다.

이 식에서, 무차원량 $r=R/A$ 및 $l=L/A$를 각각 정의하면, $rl=1$이 된다.

정규화된 오일러 스파이럴은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$

x &= \int_0^L \cos \left(s^2\right) \,ds \\

y &= \int_0^L \sin \left(s^2\right) \,ds

\end{align}

또는 멱급수로 표현할 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$

x &= \left . \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \frac{s^{4i+1}}{4i+1} \right |_0^{L} &&=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i)!} \frac{L^{4i+1}}{4i+1} \\

y &= \left . \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i+1)!} \frac{s^{4i+3}}{4i+3} \right |_0^{L} &&=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i}{(2i+1)!} \frac{L^{4i+3}}{4i+3}

\end{align}

정규화된 오일러 스파이럴은 매개변수 L이 무한대에 접근함에 따라 극한에서 단일 점으로 수렴하며, 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$

x^\prime &= \lim_{L \to \infty} \int_0^{L} \cos \left(s^2\right) \,ds &&= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 0.6267 \\

y^\prime &= \lim_{L \to \infty} \int_0^{L} \sin \left(s^2\right) \,ds &&= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 0.6267

\end{align}

정규화된 오일러 스파이럴은 다음과 같은 속성을 가진다.

$$\backslash begin\{align\}$$

2 R_c L_s &= 1 \\

\theta_s &= \frac{L_s}{2 R_c} = L_s ^2

\end{align}

그리고

$$\backslash begin\{align\}$$

\theta &= \theta _s\cdot\frac{L^2}{L_s^2} = L^2 \\

\frac{1}{R} &= \frac{d\theta}{dL} = 2L

\end{align}

== 3차 근사 ==

클로소이드 곡선은 프레넬(Fresnel)의 적분을 해석한 것으로, 다음과 같은 3차 함수식으로 간단히 나타낼 수 있다.

: $y\; =\; \backslash frac\{x^3\}\{6LR\}$

3. 1. 프레넬 적분 표현

3. 2. 단위 클로소이드

3. 3. 3차 근사

4. 응용

4. 1. 도로 및 철도 설계

4. 1. 1. 첨단 운전자 보조 시스템 (ADAS) 및 자동 운전

4. 2. 롤러코스터 설계

4. 3. 광학

4. 4. 기타 응용

5. 명칭

클로소이드 시점(직선에서 클로소이드로 진입하는 지점)은 KA(Klothoid Anfang), 클로소이드 종점(클로소이드에서 원호로 진입하는 지점)은 KE(Klothoid Ende)라고 쓴다. 코르누 나선, 오일러 나선/Euler spiral^영어 등으로도 불린다.

참조

_[1] 서적 Practical handbook of curve design and generation CRC Press 1994
_[2] 논문 The Euler spiral: a mathematical history. https://digitalasset[...] Rapp. tech 2008
_[3] 논문 M´ethode nouvelle pour la discussion des probl´emes de diffraction dans le cas d’une onde cylindrique. 1874
_[4] 간행물 Family of superspirals with completely monotonic curvature given in terms of Gauss hypergeometric function
_[5] 서적 Principles of optics: electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light Pergamon Press 1993
_[6] 서적 Optics Addison-Wesley
_[7] 간행물 New Waveguide Fabrication Techniques for Next-generation PLCs https://www.ntt-revi[...] 2017-01-24
_[8] 간행물 Ultralow-loss, high-density SOI optical waveguide routing for macrochip interconnects 2012-05-11
_[9] 간행물 Dramatic size reduction of waveguide bends on a micron-scale silicon photonic platform 2013-07-18
_[10] 간행물 Normal Mode Bends for Circular Electric Waves 1957-09
_[11] 간행물 Teaching Feynman's sum-over-paths quantum theory https://pubs.aip.org[...] 1998-03-01
_[12] 서적 The Perfect Corner: A Driver's Step-By-Step Guide to Finding Their Own Optimal Line Through the Physics of Racing Paradigm Shift Motorsport Books 2016-03-18
_[13] 웹사이트 Spiro http://levien.com/sp[...]
_[14] 웹사이트 "{{error|Error: The retired template {{tn|!}} has been transcluded; see [[mw:Help:Magic words#Escaped characters]] for details. To fix this, use only the code {{Magic word|!}} to generate the | character.}} \n Spiro 0.01 release {{error|Error: The retired template {{tn|!}} has been transcluded; see [[mw:Help:Magic words#Escaped characters]] for details. To fix this, use only the code {{Magic word|!}} to generate the | character.}} \n Typophile" http://www.typophile[...]
_[15] 간행물 Orange Peels and Fresnel Integrals 2012
_[16] 웹사이트 A Strange Map Projection (Euler Spiral) - Numberphile https://www.youtube.[...] 2018-11-13
_[17] 간행물 The Morphology of the Rat Vibrissal Array: A Model for Quantifying Spatiotemporal Patterns of Whisker-Object Contact 2011-04-07
_[18] 간행물 On the intrinsic curvature of animal whiskers 2023-01
_[19] 웹사이트 Clothoid https://www-spof.gsf[...] National Aeronautics and Space Administration
_[20] 문서 宙返りコースター バイエルン製スリル製造機 リーダーズ・ダイジェスト
_[21] 웹사이트 roller coaster Introduction of steel coasters https://www.britanni[...]
_[22] 웹사이트 クロソイド曲線 http://www.civil.kum[...] 国土交通省 2017-01-01
_[23] 서적 交通工学 https://www.asakura.[...] 朝倉書店
_[24] 서적 道路の日本史 古代駅路から高速道路へ http://www.chuko.co.[...] 中央公論新社 2015-05-25
_[25] 웹사이트 "「国道の維持管理」について(沼田維持修繕出張所編)" https://www.ktr.mlit[...] 国土交通省 2006-03-07
_[26] 웹사이트 国道17号・三国防災 http://www.ktr.mlit.[...] 国土交通省 2011-11-09
_[27] 간행물 名神・東名高速道路におけるドイツ人技師ドルシュの設計思想に関する研究 http://library.jsce.[...] 土木学会
_[28] 서적 名神高速道路建設誌 各論 日本道路公団
_[29] 간행물 曲率が弧長の区分2次関数となるG3補間曲線 http://id.nii.ac.jp/[...] 情報処理学会 1997-03
_[30] 웹사이트 Method and system for providing an electronic horizon in an advanced driver assistance system architecture http://patft.uspto.g[...] ナビゲーション·テクノロジーズ 2004-05-11
_[31] 웹사이트 運転支援システム、運転支援方法及び運転支援プログラム http://pat.reserge.n[...] 三英技研 2003-11-28
_[32] 서적 mental floss presents Instant Knowledge https://www.harperco[...] HarperCollins Publishers 2005-11-01
_[33] 서적 Roller Coaster: Wooden and Steel Coasters, Twisters, and Corkscrews hartwell Books 1998-09-01