위치벡터

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1. 개요

위치 벡터는 공간상의 한 점의 위치를 나타내는 벡터이다. 3차원 공간에서 위치 벡터는 데카르트 좌표계, 구면 좌표계, 원통 좌표계 등 다양한 좌표계를 사용하여 표현할 수 있으며, n차원 공간에서는 기저 벡터의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 두 점 사이의 상대 위치는 두 위치 벡터의 차이로 정의되며, 미분기하학, 역학 등 다양한 분야에서 활용된다. 위치 벡터의 시간 미분은 속도, 가속도, 저크 등을 계산하는 데 사용되며, 고차 도함수는 변위 함수의 근사치를 개선하는 데 기여한다.

위치벡터

위치 벡터 정보

정의	기하학에서 위치 벡터 또는 반지름 벡터는 유클리드 공간에서 임의의 원점 O에 상대적인 점 P의 위치를 결정하는 벡터이다.
표현	P의 위치 벡터는 OP로 표시된다. 서로 다른 원점을 사용하면 P의 위치 벡터가 달라진다.
사용	위치 벡터는 점 P의 위치를 원점 O에 연결하는 선형 함수로 사용할 수 있다.

형식적 정의

설명	n차원 공간에서 점 P의 위치 벡터는 n개의 숫자로 구성된 순서쌍으로 표현될 수 있다. 이 순서쌍은 일반적으로 공간의 원점을 기준으로 한 직교 좌표계를 사용하여 정의된다. 위치 벡터는 공간의 원점에서 점 P까지의 변위를 나타낸다고 생각할 수 있다. P의 위치 벡터가 주어지면 P의 데카르트 좌표를 읽을 수 있다. 따라서, 위치 벡터는 점 P의 위치와 좌표를 나타내는 데 사용될 수 있다.

응용

미분 기하학	공간 곡선은 위치 벡터를 매개변수로 사용한다. 이 매개변수는 좌표계와 독립적이며 곡선의 고유한 속성(예: 호 길이)을 사용하여 정의할 수 있다.
물리학	물리학에서 위치 벡터는 시간에 따라 변할 수 있으며, 이는 이동하는 점, 입자 등의 위치를 나타낸다.

좌표계 변환

변환	유클리드 공간에서 좌표계 간의 변환은 변환의 속성으로 설명할 수 있다. 벡터는 벡터 변환으로 설명할 수 있다.
속성	벡터는 좌표의 변환 후에도 동일하게 유지되는 속성을 나타낸다. 위치 벡터는 좌표계의 원점을 변경하면 변경되지만, 벡터의 변환 속성은 유지된다.

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 3차원
- 2.2. ''n'' 차원
3. 상대 위치
4. 응용
- 4.1. 미분기하학
- 4.2. 역학
5. 위치의 도함수

2. 정의

3차원 공간 곡선에서 위치 벡터 r은 스칼라 t로 매개변수화된다. r = a에서 빨간색 선은 곡선의 접선이고 파란색 평면은 곡선에 수직이다. 3차원 공간에서는 세 개의 차원 좌표 세트와 해당 기본 벡터를 사용하여 공간의 한 점의 위치를 정의할 수 있으며, 어떤 것이든 당면한 작업에 가장 간단한 것을 사용할 수 있다.

일반적으로 친숙한 데카르트 좌표계를 사용하거나 때로는 구면 좌표계 또는 원통 좌표계를 사용한다.

:r(t)
::≡ r(x,y,z) ≡ x(t)e_x + y(t)e_y + z(t)e_z
::≡ r(r,θ,ϕ) ≡ r(t)e_r(θ(t), ϕ(t))
::≡ r(r,ϕ,z) ≡ r(t)e_r(ϕ(t)) + z(t)e_z,

여기서 t는 매개변수 방정식이며, 직사각형 또는 원형 대칭 때문입니다. 이러한 서로 다른 좌표와 해당 기본 벡터는 동일한 위치 벡터를 나타낸다. 보다 일반적인 곡선 좌표를 대신 사용할 수 있으며, 연속체 역학 및 일반 상대성 이론과 같은 맥락에서 사용됩니다(후자의 경우 추가적인 시간 좌표가 필요하다).

선형대수학은 n차원 위치 벡터의 추상화를 가능하게 한다. 위치 벡터는 기저 벡터의 선형 결합으로 표현될 수 있다.

:r = Σx_ie_i = x₁e₁ + x₂e₂ + … + x_ne_n.

모든 위치 벡터의 집합은 위치 공간(위치 벡터가 원소인 벡터 공간)을 형성한다. 공간에서 다른 위치 벡터를 얻기 위해 더하고(벡터 덧셈), 길이를 스케일링(스칼라 곱셈)할 수 있기 때문이다. 각 x_i (i = 1, 2, …, n)가 임의의 값을 가질 수 있고, 값의 모음이 공간의 점을 정의하기 때문에 "공간"의 개념은 직관적이다.

위치 공간의 차원은 n이다 (dim(R) = n으로도 표시). 기저 벡터 e_i에 대한 벡터 r의 좌표는 x_i이다. 좌표의 벡터는 좌표 벡터 또는 n-튜플 (x₁, x₂, …, x_n)을 형성한다.

각 좌표 x_i는 여러 매개변수 t로 매개변수화될 수 있다. 하나의 매개변수 x_i(t)는 곡선 1D 경로를 설명하고, 두 개의 매개변수 x_i(t₁, t₂)는 곡선 2D 표면을 설명하며, 세 개의 x_i(t₁, t₂, t₃)는 공간의 곡선 3D 부피를 설명한다.

기저 집합 B = {e₁, e₂, …, e_n}의 선형 덮개는 위치 공간 R과 같으며, span(B) = R로 표시한다.

2.1. 3차원

일반적으로 친숙한 데카르트 좌표계를 사용하거나 때로는 구면 좌표계 또는 원통 좌표계를 사용한다.

:

\begin{align}\mathbf{r}(t)& \equiv \mathbf{r}(x,y,z) \equiv x(t)\mathbf{\hat{e}}_x + y(t)\mathbf{\hat{e}}_y + z(t)\mathbf{\hat{e}}_z  \\& \equiv \mathbf{r}(r,\theta,\phi) \equiv r(t)\mathbf{\hat{e}}_r\big(\theta(t), \phi(t)\big) \\& \equiv \mathbf{r}(r,\phi,z) \equiv r(t)\mathbf{\hat{e}}_r\big(\phi(t)\big) + z(t)\mathbf{\hat{e}}_z, \\\end{align}

여기서 t는 매개변수 방정식이며, 직사각형 또는 원형 대칭 때문입니다. 이러한 서로 다른 좌표와 해당 기본 벡터는 동일한 위치 벡터를 나타낸다. 보다 일반적인 곡선 좌표를 대신 사용할 수 있으며, 연속체 역학 및 일반 상대성 이론과 같은 맥락에서 사용됩니다(후자의 경우 추가적인 시간 좌표가 필요하다).

2.2. ''n'' 차원

선형대수학은 n차원 위치 벡터의 추상화를 가능하게 한다. 위치 벡터는 기저 벡터의 선형 결합으로 표현될 수 있다.

: $\mathbf{r} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i = x_1 \mathbf{e}_1 + x_2 \mathbf{e}_2 + \dotsb + x_n \mathbf{e}_n.$

모든 위치 벡터의 집합은 위치 공간(위치 벡터가 원소인 벡터 공간)을 형성한다. 공간에서 다른 위치 벡터를 얻기 위해 더하고(벡터 덧셈), 길이를 스케일링(스칼라 곱셈)할 수 있기 때문이다. 각 x_i (i = 1, 2, …, n)가 임의의 값을 가질 수 있고, 값의 모음이 공간의 점을 정의하기 때문에 "공간"의 개념은 직관적이다.

위치 공간의 차원은 n이다 (dim(R) = n으로도 표시). 기저 벡터 e_i에 대한 벡터 r의 좌표는 x_i이다. 좌표의 벡터는 좌표 벡터 또는 n-튜플 (x₁, x₂, …, x_n)을 형성한다.

각 좌표 x_i는 여러 매개변수 t로 매개변수화될 수 있다. 하나의 매개변수 x_i(t)는 곡선 1D 경로를 설명하고, 두 개의 매개변수 x_i(t₁, t₂)는 곡선 2D 표면을 설명하며, 세 개의 x_i(t₁, t₂, t₃)는 공간의 곡선 3D 부피를 설명한다.

기저 집합 B = {e₁, e₂, …, e_n}의 선형 덮개는 위치 공간 R과 같으며, span(B) = R로 표시한다.

3. 상대 위치

점 P에 대한 점 Q의 상대 위치는 두 점의 위치 벡터의 차이로 정의되는 유클리드 벡터이다. 이는 대한민국의 물리학 교육 과정에서 운동을 기술하는 데 중요한 개념으로 다루어진다.

: $\Delta \mathbf{r}=\mathbf{s} - \mathbf{r}=\overrightarrow{PQ},$

여기서 $\mathbf{s}=\overrightarrow{OQ}$ 이다.

두 점 사이의 상대 방향은 단위 벡터로 정규화된 상대 위치이다. 변위 벡터는 주어진 거리에 걸쳐 주어진 방향으로 공간 점을 균일하게 평행 이동시키는 "동작"으로 정의할 수 있다. 따라서 위치 벡터는 공간 원점의 선택에 의존하고, 변위 벡터는 초기 점의 선택에 의존한다.

4. 응용

4.1. 미분기하학

위치 벡터는 미분기하학에서 연속적이고 미분 가능한 공간 곡선을 설명하는 데 사용되며, 이 경우 독립 변수는 시간이 아니어도 되고, 예를 들어 곡선의 호 길이일 수 있다.

4.2. 역학

위치 벡터 r(t)는 어떤 운동 방정식에서든 일반적으로 가장 탐구되는 양인데, 이 함수는 입자(즉, 질점)의 운동을 정의하기 때문이다. 즉, 어떤 시간 t에서의 주어진 좌표계에 상대적인 위치를 정의한다.

위치 측면에서 운동을 정의하기 위해 각 좌표는 시간에 의해 매개변수화될 수 있다. 시간의 각 연속적인 값은 좌표에 의해 주어진 연속적인 공간 위치의 시퀀스에 해당하므로, 많은 연속적인 위치의 연속체 극한은 입자가 추적하는 경로이다.

1차원의 경우, 위치는 하나의 성분만 가지므로, 스칼라 좌표로 효과적으로 축소된다. 예를 들어, x 방향의 벡터 또는 반경 r 방향일 수 있다.
: $\mathbf{x} \equiv x \equiv x(t), \quad r \equiv r(t), \quad s \equiv s(t).$
위치 벡터 r(t)는, 어떤 시간 t에서의 점입자의 위치를 나타낸다.

5. 위치의 도함수

고전 입자의 운동에 관한 양: 질량 m, 위치 r, 속도 v, 가속도 a

시간 t의 함수인 위치 벡터 r에 대해, 시간에 대한 시간 미분을 계산할 수 있다. 이러한 도함수는 운동학, 제어 이론, 공학 및 기타 과학 분야 연구에 일반적으로 사용된다.

* 속도
::

\mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t},

: 여기서 dr은 무한소 작은 변위 (벡터)이다.
* 가속도
::

\mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}.

* 저크
::

\mathbf{j} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{v}}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^3}.

위치의 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 도함수에 대한 이러한 이름은 기본적인 운동학에서 일반적으로 사용된다. 확장하여, 고차 도함수는 유사한 방식으로 계산할 수 있다. 이러한 고차 도함수에 대한 연구는 원래 변위 함수의 근사치를 개선할 수 있다. 이러한 고차 항은 무한 수열의 합으로 변위 함수를 정확하게 나타내기 위해 필요하며, 공학 및 물리학에서 여러 분석 기술을 가능하게 한다.