유리 표준형

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1. 개요
2. 정의
3. 유리 표준형
- 3.1. 유리 표준형의 유일성
- 3.2. 으뜸 유리 표준형
4. 동기
- 4.1. 순환 부분 공간
- 4.2. 불변 인자
5. 일반적인 경우와 이론
6. 조르당 표준형과의 관계
7. 역사와 어원
8. 알고리즘
참조

1. 개요

유리 표준형은 체 K 위의 정사각 행렬 M에 대해, 가역 행렬 G를 사용하여 얻는 M의 표준적인 형태이다. 이는 M으로 유도되는 가군의 불변 인자 분해를 통해 정의되며, M의 닮음 불변량인 불변 인자들을 이용하여 계산된다. 유리 표준형은 조르당 표준형과 유사하지만, 고유 다항식의 인수분해에 의존하지 않으며, 프로베니우스에 의해 도입되었다. 유리 표준형은 행렬의 닮음을 판단하는 데 사용되며, 계산을 위한 다양한 알고리즘이 존재한다.

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유리 표준형
개요
이름	유리 표준형 (有理標準形)
다른 이름	Frobenius normal form (프로베니우스 표준형) rational canonical form (라쇼날 캐노니컬 폼)
정의
대상	체 위의 정사각행렬
설명	성분을 가지는 의 행렬식은 의 고유 다항식이 된다. 의 불변 인자는 유일하게 결정된다.
조건	가 대수적으로 닫힌 체가 아닐 때 의 고유값이 에 있지 않을 때
활용	가 에 있는 고유값을 가질 필요충분조건을 판단
구성
기본 아이디어	벡터 를 선택하여 순환 부분 공간을 생성 를 반복적으로 적용하여 , v}} 등을 생성
목표	적절한 기저를 찾아 행렬 를 블록 대각 행렬 로 변환 각 블록은 companion 행렬 형태를 가짐
companion 행렬	고유 다항식 또는 불변 인자와 연관 와 는 유사 (similarity) 관계를 가짐
결과	행렬 는 불변 인자에 의해 유일하게 결정되는 유리 표준형을 가짐
응용
행렬 유사성 판별	두 행렬 , 가 동일한 불변 인자를 가지면 유사함 유리 표준형을 계산하여 행렬의 유사성 여부 판단
참고 문헌
참고 문헌	Hungerford 1974 Hoffman & Kunze 1971 Roman 2008

2. 정의

체 ''K''를 계수로 하는 일계수 다항식

:''p''(''x'') = ''a''₀ + ''a''₁''x'' + ... + ''a''_{''deg p''-1}''x''^{''deg p''-1} + ''x''^{''deg p''} ∈ ''K''[''x'']

:''a''₀, ''a''₁, ..., ''a''_{''deg p''-1} ∈ ''K''

의 '''동반 행렬'''(同伴行列, companion matrix^영어)은 다음과 같은 deg ''p'' × deg ''p'' 정사각 행렬이다.

:C(p)=

\begin{pmatrix}

0 & 0 & \cdots & 0 & -''a''₀ \\

1 & 0 & \cdots & 0 & -''a''₁ \\

0 & 1 & \cdots & 0 & -''a''₂ \\

\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \\

0 & 0 & \cdots & 1 & -''a''_{''deg p''-1}

\end{pmatrix}

∈Mat(deg ''p'';''K'')

3. 유리 표준형

체 $K$ 위의 임의의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in\operatorname{Mat}(n;K)$ 에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 가역 행렬 $G\in\operatorname{GL}(n;K)$ 및 유일한 일계수 다항식 집합 $\{d_1,d_2,\dots,d_k\}\subset K[x]$ 이 존재하며, $G^{-1}MG$ 를 $M$ 의 '''(불변 인자) 유리 표준형'''((invariant factors) rational canonical form^영어)이라고 한다.

: $G^{-1}MG=\operatorname{diag}(C(d_1),C(d_2),\dots,C(d_k))$

: $d_k(x)\mid d_{k-1}(x)\mid\cdots\mid d_1(x)$

: $\deg d_i\ge 1\qquad(\forall i\in\{1,2,\dots,k\})$

이는 $M$ 으로 유도되는 $K[x]$ -가군 $K^n$ ( $x\cdot v=Mv\qquad(\forall v\in K^n)$ )의 불변 인자 분해 $K^n\cong K[x]/(d_1(x))\oplus K[x]/(d_2(x))\oplus\cdots\oplus K[x]/(d_k(x))$ 에서, $M$ 에 대응하는 $K$ -선형 변환 $v\mapsto x\cdot v$ 의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.

: $\left\{1+(d_i(x)),x+(d_i(x)),\dots,x^{\deg d_i-1}+(d_i(x))\right\}\subset K[x]/(d_i(x))\qquad(i=1,2,\dots,k)$

다음은 유리 표준형의 한 예시이다.

'''Q''' 위에서 다음 행렬 A를 고려해보자.

: $\scriptstyle A=\begin{pmatrix}$

1& 3&-1& 0&-2& 0& 0&-2 \\
1&-1& 1& 1&-2&-1& 0&-1 \\
2&-6& 4& 3&-8&-4&-2& 1 \\
1& 8&-3&-1& 5& 2& 3&-3 \\

0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1 \\0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0 \\1& 0& 0& 0& 2& 0& 0& 0 \\0& 0& 0& 0& 4& 0& 1& 0 \end{pmatrix}.

''A''는 최소 다항식

\mu = X^6 - 4X^4 - 2X^3 + 4X^2 + 4X + 1

을 가지므로, 단일 벡터의 반복된 이미지에 의해 생성된 부분 공간의 차원은 최대 6이다. 특성 다항식은

\chi = X^8 - X^7 - 5X^6 + 2X^5 + 10X^4 + 2X^3 - 7X^2 - 5X - 1

이며, 이는 최소 다항식에

X^2 - X - 1

을 곱한 값이다.

k=0,1,\ldots,5

에 대해

A^k(e_1)

벡터는 선형 독립이며 최소 다항식

\mu

를 갖는 순환 부분 공간을 생성한다. 이 순환 부분 공간에 대한 보완적인 안정 부분 공간(차원 2)이 존재하며, 벡터

v=(3,4,8,0,-1,0,2,-1)^\top

와

w=(5,4,5,9,-1,1,1,-2)^\top

에 의해 생성된 공간이 그 예이다.

A\cdot v=w

이므로 보완적인 부분 공간은

v

에 의해 생성된 순환 부분 공간이며, 최소 다항식

X^2 - X - 1

을 갖는다.

\mu

가 전체 공간의 최소 다항식이므로,

X^2 - X - 1

이

\mu

를 나누어야 하며, ''A''의 불변 인자는

X^2 - X - 1

및

\mu = X^6 - 4X^4 - 2X^3 + 4X^2 + 4X + 1

이다. ''A''의 유리 정규형은 해당 컴패니언 행렬을 대각 블록으로 갖는 블록 대각 행렬이다.

:

\scriptstyle C=\begin{pmatrix}0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1 \\0& 0& 1& 0& 0& 0& 0&-4 \\0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-4 \\0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 2 \\0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 4 \\0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0 \end{pmatrix}.

이 형식이 달성되는 기저는 위의 벡터

v,w

와

k=0,1,\ldots,5

에 대한

A^k(e_1)

벡터로 형성된다.

:

\scriptstyle P=\begin{pmatrix}3& 5& 1&-1& 0& 0& -4& 0\\4& 4& 0&-1&-1&-2& -3&-5\\8& 5& 0&-2&-5&-2&-11&-6\\0& 9& 0&-1& 3&-2&  0& 0\\

1&-1& 0& 0& 0& 1& -1& 4\\

0& 1& 0& 0& 0& 0& -1& 1\\2& 1& 0& 1&-1& 0& 2&-6\\

1&-2& 0& 0& 1&-1& 4&-2 \end{pmatrix}에 대해,

A=PCP^{-1}.

이 성립한다.

3. 1. 유리 표준형의 유일성

유리 표준형은 유일하게 결정된다. 즉, 주어진 행렬에 대해 조건을 만족하는 다른 유리 표준형은 존재하지 않는다.

3. 2. 으뜸 유리 표준형

체

K

위의 임의의

n\times n

정사각 행렬

M\in\operatorname{Mat}(n;K)

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬

G\in\operatorname{GL}(n;K)

및 유일한 기약 일계수 다항식의 양의 거듭제곱의 중복집합

\{p_1^{e_1},p_2^{e_2},\dots,p_l^{e_l}\}\subset K[x]

이 존재하며,

G^{-1}MG

를

M

의 '''으뜸 유리 표준형'''(primary rational canonical form^영어) 또는 '''초등 인자 유리 표준형'''(elementary divisors rational canonical form^영어)이라고 한다.

:

G^{-1}MG=\operatorname{diag}(C(p_1^{e_1}),C(p_2^{e_2}),\dots,C(p_l^{e_l}))

여기서

C(p_i^{e_i})

는 다항식

p_i^{e_i}

의 동반 행렬을 의미한다. 즉, 으뜸 유리 표준형은 기약 다항식의 거듭제곱 꼴인 다항식의 동반 행렬들을 대각 블록으로 하는 블록 대각 행렬이다.

이는

K[x]

-가군

:

K^n

:

x\cdot v=Mv\qquad(\forall v\in K^n)

의 으뜸 분해

:

K^n\cong K[x]/(p_1^{e_1}(x))\oplus K[x]/(p_2^{e_2}(x))\oplus\cdots\oplus K[x]/(p_l^{e_l}(x))

에서,

K

-선형 변환

v\mapsto x\cdot v

의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.

:

\left\{1+(p_i^{e_i}(x)),x+(p_i^{e_i}(x)),\dots,x^{\deg(p_i^{e_i})-1}+(p_i^{e_i}(x))\right\}\subset K[x]/(p_i^{e_i}(x))\qquad(i=1,2,\dots,l)

4. 동기

선형대수학에서 두 정사각 행렬이 서로 닮음인지 확인하는 문제는 중요하다. 두 행렬이 모두 대각화 가능하면 고유 공간 분해를 통해 고유값과 그 중복도를 비교하여 닮음 여부를 결정할 수 있다. 그러나 이 방법은 모든 고유값을 명시적으로 구하기 어렵거나, 고유값이 원래 체의 확대체에만 존재할 수 있으며, 행렬이 대각화 가능하지 않을 수 있다는 단점이 있다.

이러한 문제를 해결하기 위해 유리 표준형이 사용된다. 유리 표준형은 가능한 한 큰 불변 부분 공간으로의 직합 분해를 사용하면서도, 각 부분 공간에 대한 작용을 간단하게 설명한다. 이 부분 공간들은 순환 부분 공간이라고 불리며, 단일 0이 아닌 벡터와 행렬의 반복적인 작용에 의해 생성된다. 순환 부분 공간의 기저는 해당 벡터와 그 연속적인 이미지들 중 선형 독립인 것들을 사용하여 얻을 수 있다. 이 기저에 대한 선형 연산자의 행렬은 모닉 다항식의 수반 행렬이 된다.

순환 부분 공간으로의 직합 분해는 항상 존재하며, 다항식의 인수분해가 필요하지 않다. 하지만 순환 부분 공간은 더 작은 순환 부분 공간의 직합으로 분해될 수 있다. 따라서 두 행렬의 유사성을 결정하려면 추가 조건이 필요하다. 각 순환 부분 공간에 대응하는 최소 다항식들은 서로 나누어져야 하며, 상수 다항식 1은 허용되지 않는다. 이러한 다항식 목록을 행렬의 단인자라고 하며, 두 행렬은 동일한 단인자 목록을 갖는 경우에만 서로 닮는다. 행렬의 유리 표준형은 단인자인 최소 다항식을 갖는 순환 부분 공간으로의 분해에 적합한 기저에서 표현함으로써 얻어진다.

4. 1. 순환 부분 공간

유리 표준형은 벡터 공간을 순환 부분 공간의 직합으로 분해하는 것을 기반으로 한다. 순환 부분 공간은 단일 벡터와 행렬의 반복적인 작용에 의해 생성되는 공간이다.

어떤 행렬 ''A''가 있을 때, 0이 아닌 벡터 ''v''를 선택하고, ''v''에 ''A''를 반복적으로 곱해서 얻어지는 벡터들의 집합 {''v'', ''Av'', ''A''²''v'', ...}을 생각할 수 있다. 이 벡터들이 생성하는 부분 공간을 순환 부분 공간이라고 한다. 이 부분 공간은 ''A''에 의해 불변하는 성질을 가진다. 즉, 순환 부분 공간에 속하는 어떤 벡터에 ''A''를 곱해도 여전히 그 부분 공간에 속한다.

순환 부분 공간의 기저는 ''v''와 ''A''를 반복적으로 곱해서 얻어지는 벡터들 중에서 선형 독립인 것들을 선택하여 얻을 수 있다. 이 기저에 대한 선형 변환의 표현 행렬은 모닉 다항식의 수반 행렬이 된다.

예를 들어, 행렬 A와 벡터 v에 대해 Av = w라고 하면, 보완적인 부분 공간은 v에 의해 생성된 순환 부분 공간이 되며, 최소 다항식 X² - X - 1을 갖는다.

4. 2. 불변 인자

체 위의 정사각 행렬에 대하여, 순환 부분 공간으로 분해한 후 각 순환 부분 공간에 대응하는 최소 다항식들을 '불변 인자'라고 한다. 두 행렬이 서로 닮음인 것은, 두 행렬의 불변 인자가 일치할 때이다.

행렬의 불변 인자는 행렬에 의해 정의된 ''K''[''X'']-가군의 불변 인수이다. 두 행렬은 동일한 불변 인수 목록을 갖는 경우에만 서로 닮는다.

5. 일반적인 경우와 이론

체 $K$ 위의 임의의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in\operatorname{Mat}(n;K)$ 에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 가역 행렬 $G\in\operatorname{GL}(n;K)$ 및 유일한 일계수 다항식 집합 $\{d_1,d_2,\dots,d_k\}\subset K[x]$ 이 존재하며, $G^{-1}MG$ 를 $M$ 의 '''(불변 인자) 유리 표준형'''((invariant factors) rational canonical form^영어)이라고 한다.

: $G^{-1}MG=\operatorname{diag}(C(d_1),C(d_2),\dots,C(d_k))$

: $d_k(x)\mid d_{k-1}(x)\mid\cdots\mid d_1(x)$

: $\deg d_i\ge 1\qquad(\forall i\in\{1,2,\dots,k\})$

이는 $M$ 으로 유도되는 $K[x]$ -가군

: $K^n$

: $x\cdot v=Mv\qquad(\forall v\in K^n)$

의 불변 인자 분해

: $K^n\cong K[x]/(d_1(x))\oplus K[x]/(d_2(x))\oplus\cdots\oplus K[x]/(d_k(x))$

에서, $M$ 에 대응하는 $K$ -선형 변환 $v\mapsto x\cdot v$ 의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.

: $\left\{1+(d_i(x)),x+(d_i(x)),\dots,x^{\deg d_i-1}+(d_i(x))\right\}\subset K[x]/(d_i(x))\qquad(i=1,2,\dots,k)$

두 정사각 행렬 ''A''와 ''B''가 서로 닮음인지 확인하기 위해, 각 행렬에 대해 벡터 공간을 안정적인 부분 공간의 직합으로 분해하고 이러한 부분 공간에 대한 각각의 작용을 비교할 수 있다. 예를 들어, 둘 다 대각화 가능하다면, 고유 공간으로의 분해를 통해 고유값과 그 중복도를 비교하여 유사성을 결정할 수 있다.

그러나 두 행렬이 서로 닮은지 결정하기 위해 이러한 정교한 분해가 반드시 필요한 것은 아니다. 유리 표준형은 각 부분 공간에 대한 작용을 매우 간단하게 설명하면서도 가능한 한 큰 안정적인 부분 공간으로의 직합 분해를 대신 사용하는 것을 기반으로 한다. 이러한 부분 공간은 순환 부분 공간이라고 불리며, 기저는 선형 독립이 유지되는 한 ''v''와 그 연속적인 이미지를 사용하여 얻는다.

순환 부분 공간으로의 직합 분해는 항상 존재하며, 이를 찾기 위해 다항식을 인수분해할 필요는 없다. 그러나 순환 부분 공간은 더 작은 순환 부분 공간의 직합으로 분해될 수 있다. 따라서 두 행렬에 대해 공간을 순환 부분 공간으로 분해하고 해당 최소 다항식을 아는 것만으로는 그들의 유사성을 결정하기에 충분하지 않다. 유사한 행렬에 대해 정확히 일치하는 순환 부분 공간으로의 분해를 얻기 위해 추가 조건이 부과된다. 연관된 최소 다항식 목록에서 각 다항식은 다음 다항식을 나누어야 한다. 결과 다항식 목록을 행렬의 불변 인수라고 하며, 두 행렬은 동일한 불변 인수 목록을 갖는 경우에만 서로 닮는다. 행렬 ''A''의 유리 표준형은 ''A''의 불변 인수인 연관된 최소 다항식을 갖는 순환 부분 공간으로의 분해에 적합한 기저에서 표현함으로써 얻는다.

기저체 ''F''와 ''F'' 위의 유한 차원 벡터 공간 ''V''가 주어졌을 때, ''V''는 다음의 ''F''[''X'']-모듈 동형 사상을 허용한다.

:''V'' ≅ ''F''[''X'']/''f''₁ ⊕ … ⊕ ''F''[''X'']/''f_k''

여기서 ''f_i'' ∈ ''F''[''X'']는 양의 차수를 갖는 단항 다항식이며, ''f''₁ | ''f''₂ | … | ''f_k'' 관계를 만족한다. 이러한 조건에서 다항식 ''f_i''의 목록은 유일하다.

각 불변 인수 ''f_i''에 대해 해당 동반 행렬 ''C''_{''f_i''}를 취하고, 이 블록으로 형성된 블록 대각 행렬은 ''A''의 '''유리 표준형'''을 생성한다.

6. 조르당 표준형과의 관계

유리 표준형은 조르당 표준형과 유사하지만, 특성 다항식의 인수분해에 의존하지 않는다는 차이점이 있다. 특수한 경우, 즉 고유 다항식이 선형 인수로 분해될 때는 유리 표준형이 조르당 표준형으로 축소될 수 있다.^[1]

프로베니우스 정규형은 고유 다항식의 인수분해 형태를 반영하지 않는데, 이는 기본 체 ''F''에서 존재하더라도 마찬가지이다. 이는 프로베니우스 정규형을 고유 다항식의 인수분해에 의존하는 다른 정규형, 특히 대각 형식( ''A''가 대각화 가능할 경우) 또는 더 일반적으로 조르당 정규형(고유 다항식이 선형 인수로 분해될 경우)과 상당히 다르게 만든다.

기본 유리 표준형은 순환 모듈의 분해에 해당하는 블록 대각 행렬이며, 순환 모듈의 특정 기저를 선택하는 데 해당하는 대각 블록에 '일반화된 조르당 블록'이라고 하는 특정 형식을 갖는다. 일반화된 조르당 블록은 다음과 같은 형태의 블록 행렬이다.

: $\scriptstyle\begin{pmatrix}C&0&\cdots&0\\U&C&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&U&C\end{pmatrix}$

여기서 ''C''는 기약 다항식의 동반 행렬이고, 는 오른쪽 상단 모서리에 1을 제외한 모든 항목이 0인 행렬이다. 선형 기약 인수 의 경우, 이러한 블록은 단일 항목 및 로 축소되며, (전치된) 조르당 블록을 찾는다. 모든 일반화된 조르당 블록에서 주 대각선 바로 아래의 모든 항목은 1이다.^[2]

7. 역사와 어원

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 도입하였다.^[5]^[6] ‘유리’(rational^영어)라는 표현은 유리 표준형을 얻기 위해 체를 확대할 필요가 없다는 사실을 반영하는데, 이는 유리 표준형이 임의의 체를 성분으로 하는 행렬에 대하여 성립하기 때문이다.

8. 알고리즘

유리 표준형을 계산하는 알고리즘은 다음과 같다.

참조

_[1] 서적 Basic abstract algebra https://books.google[...]
_[2] 서적 Les maths en tête, Mathématiques pour M', Algèbre Ellipses 1998
_[3] 서적 Algebra Springer 1974
_[4] 서적 Advanced Linear Algebra Springer 2008
_[5] 저널 Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten 1879
_[6] 저널 Weierstrass and the Theory of Matrices 1977

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