페르디난트 게오르크 프로베니우스

1. 개요

페르디난트 게오르크 프로베니우스는 1849년 독일에서 태어나 1917년 사망한 독일의 수학자이다. 그는 미분방정식과 군론 분야에 기여했으며, 특히 군 표현론과 지표 이론을 창시하여 군의 구조를 연구하는 데 중요한 도구를 제공했다. 프로베니우스는 실로 정리의 증명, 프로베니우스 상호 법칙, 프로베니우스 군의 개념을 제시했으며, 수론 분야에서도 소수를 갈루아 군의 켤레류로 변환하는 방법을 제시하는 등 다양한 업적을 남겼다.

2. 생애

카를 바이어슈트라스의 지도 아래 미분방정식에 대한 연구로 박사 학위를 받은 프로베니우스는 요아힘슈탈 김나지움 및 소핀레알슐레(Sophienrealschule^독일어)에서 교사로 잠시 일했다. 그 후 베를린 대학교 교수를 거쳐 취리히 연방 공과대학교에서 17년간 교수로 재직했다. 레오폴트 크로네커 사후 카를 바이어슈트라스의 강력한 추천으로 베를린 대학교로 돌아와 프로이센 과학 아카데미 회원이 되었다.

2.1. 초기 생애와 교육

프로베니우스는 1849년 10월 26일 베를린 근교의 샤를로텐부르크(Charlottenburg^독일어)에서 태어났다. 그의 아버지 크리스티안 페르디난트 프로베니우스(Christian Ferdinand Frobenius^독일어)는 개신교 목사였고, 어머니는 크리스티네 엘리차베트 프리드리히(Christine Elizabeth Friedrich^독일어)였다.

1860년, 11세 때 요아힘스탈(Joachimsthal^독일어) 김나지움에 입학하였고, 1867년에 졸업한 후 괴팅겐 대학교에서 한 학기를 보냈다. 그 뒤 베를린 대학교에서 레오폴트 크로네커, 에른스트 쿠머, 카를 바이어슈트라스 등의 강의를 들었다. 1870년에 미분방정식에 대한 논문으로 카를 바이어슈트라스의 지도하에 박사 학위를 받았다.

2.2. 교수 경력

프로베니우스는 베를린 대학교에서 1년 동안 교수로 재직한 뒤, 1875년부터 1892년까지 취리히 연방 공과대학교(당시 Eidgenössische Polytechnikum^독일어)에서 교수로 있었다. 취리히에서 결혼하여 가장이 되었으며, 17년 동안 취리히에서 일하며 수학의 다양한 분야에서 중요한 연구를 수행했다.

1891년 12월 레오폴트 크로네커가 사망하자, 카를 바이어슈트라스는 크로네커의 교수직을 채우기 위해 프로베니우스를 베를린으로 초빙하였다. 이에 따라 프로베니우스는 1893년 베를린 대학교로 돌아왔고, 프로이센 과학 아카데미의 회원이 되었다.

2.3. 사망

프로베니우스는 1917년 8월 3일 베를린에서 사망하였다.

3. 군론 연구

군론은 페르디난트 게오르크 프로베니우스 후반기 연구의 주요 관심 분야 중 하나였다. 프로베니우스는 양의 정수 n이 유한군 G의 위수 |G|를 나눌 때, G에서 방정식 xⁿ = 1의 해의 개수가 어떤 양의 정수 k에 대해 kn과 같다는 기본 정리를 증명했다. 또한 k = 1일 때 방정식 xⁿ = 1의 해가 G의 부분군을 이룬다는 문제를 제기했는데, 이 문제는 수년 전 가해군에 대해 해결되었고, 유한 단순군의 분류 이후인 1991년에야 일반적으로 해결되었다.

3.1. 실로 정리 증명

프로베니우스의 초기 업적 중 하나는 추상군에 대한 실로 정리의 증명이다. 이전의 증명들은 치환군에 대해서만 이루어졌었다. 그의 첫 번째 실로 정리(실로 부분군의 존재에 대한) 증명은 오늘날에도 널리 사용되는 것 중 하나이다.

3.2. 군 표현과 지표 이론

프로베니우스는 군의 구조를 연구하기 위한 기본 도구인 군 표현과 군의 지표 이론을 창시했다. 이 연구는 프로베니우스 상호 법칙의 개념과 프로베니우스 군의 정의를 이끌었다. 군 G가 프로베니우스 군이라는 것은 G의 부분군 H가 존재하여 모든 $x\backslash in\; G-H$에 대해 $H\backslash cap\; H^x=\backslash \{1\backslash \}$ 인 경우를 말한다.

그 경우, 집합 $N=G\backslash ,-\backslash !\backslash !\backslash bigcup\_\{x\backslash in\; G-H\}\backslash !\backslash !H^x$은 G의 항등원과 함께 멱영 부분군을 형성하는데, 존 G. 톰프슨이 1959년에 증명하였다. 그 정리에 대한 알려진 모든 증명은 지표를 이용한다. 그의 지표에 관한 첫 번째 논문(1896년)에서 프로베니우스는 모든 홀수 소수 p에 대해 위수 (1/2)(p³ − p)의 군 $PSL(2,p)$의 지표표를 구성하였다(이 군은 p > 3인 경우 단순군이다). 그는 또한 대칭군과 교대군의 표현론에 기본적인 공헌을 하였다.

3.3. PSL(2,p) 군의 지표표 구성

프로베니우스는 모든 홀수 소수 p에 대해 위수 (1/2)(p³ − p)를 갖는 $PSL(2,p)$ 군의 지표표를 구성하였다. 이 군은 p > 3인 경우 단순군이다.

3.4. 대칭군과 교대군 연구

프로베니우스는 군의 구조를 연구하기 위한 기본 도구인 군 표현과 군의 지표 이론을 창시했으며, 대칭군과 교대군의 표현론에 중요한 공헌을 하였다.

4. 수론 연구

프로베니우스는 소수를 유리수체 Q 위의 갈루아 군에서 켤레류로 변환하는 표준적인 방법을 제시하여, 갈루아 군 연구에 중요한 기여를 하였다.

4.1. 프로베니우스 켤레류

프로베니우스는 소수를 유리수체 Q 위의 갈루아 군에서 켤레류로 변환하는 표준적인 방법을 제시했다. 구체적으로, K/Q가 유한 갈루아 확대라면, K에서 p 위에 있는 각 소수 아이디얼 P에 대해, K의 모든 정수 x에 대해 조건 g(x) = x^p (mod P)를 만족하는 Gal(K/Q)의 유일한 원소 g가 존재한다. p에 대해 P를 바꾸면 g는 켤레로 변하고 (그리고 g의 모든 켤레는 이런 방식으로 나타난다), 따라서 갈루아 군에서 g의 켤레류는 p에 정준적으로 대응된다. 이를 p의 프로베니우스 켤레류라고 하며, 켤레류의 임의의 원소를 p의 프로베니우스 원소라고 한다.

만약 K를 m번째 분체로 취하면, 이는 Q 위의 갈루아 군이 m을 법으로 하는 단위 (따라서 아벨 군이며, 켤레류는 원소가 된다)이고, p가 m을 나누지 않으면 갈루아 군에서 프로베니우스 류는 p mod m이다. 이 관점에서, Q(또는 더 일반적으로, 임의의 수체 위의 갈루아 군) 위의 갈루아 군에서 프로베니우스 켤레류의 분포는 산술 수열의 소수에 대한 디리클레의 고전적인 결과를 일반화한다. Q의 무한 차수 확대의 갈루아 군에 대한 연구는 상세한 연구에 접근 가능한 원소들의 일종의 밀집 부분집합을 제공하는 이 프로베니우스 원소의 구성에 크게 의존한다.

4.2. 분체와 갈루아 군

프로베니우스는 소수를 유리수체 Q 위의 갈루아 군에서 켤레류로 변환하는 표준적인 방법을 제시했다. 구체적으로, K/Q가 유한 갈루아 확대라면, K에서 p 위에 있는 각 소수 아이디얼 P에 대해, K의 모든 정수 x에 대해 g(x) = x^p (mod P)를 만족하는 Gal(K/Q)의 유일한 원소 g가 존재한다. p에 대해 P를 바꾸면 g는 켤레로 변하고 (그리고 g의 모든 켤레는 이런 방식으로 나타난다), 따라서 갈루아 군에서 g의 켤레류는 p에 정준적으로 대응된다. 이를 p의 프로베니우스 켤레류라고 하며, 켤레류의 임의의 원소를 p의 프로베니우스 원소라고 한다.

만약 K를 m번째 분체로 취하면, 이는 Q 위의 갈루아 군이 m을 법으로 하는 단위가 된다. (따라서 아벨 군이며, 켤레류는 원소가 된다) 그리고 p가 m을 나누지 않으면 갈루아 군에서 프로베니우스 류는 p mod m이다.

이 관점에서, Q(또는 더 일반적으로, 임의의 수체 위의 갈루아 군) 위의 갈루아 군에서 프로베니우스 켤레류의 분포는 산술 수열의 소수에 대한 디리클레의 고전적인 결과를 일반화한다. Q의 무한 차수 확대의 갈루아 군에 대한 연구는 이 프로베니우스 원소의 구성에 크게 의존하는데, 이는 상세한 연구에 접근 가능한 원소들의 일종의 밀집 부분집합을 제공하기 때문이다.

4.3. 디리클레 정리 일반화

프로베니우스는 소수를 유리수체 Q 위의 갈루아 군에서 켤레류로 변환하는 표준적인 방법을 제시했다. 구체적으로, K/Q가 유한 갈루아 확대라면, K에서 p 위에 있는 각 소수 아이디얼 P에 대해, K의 모든 정수 x에 대해 조건 g(x) = x^p (mod P)를 만족하는 Gal(K/Q)의 유일한 원소 g가 존재한다. p에 대해 P를 바꾸면 g는 켤레로 변하고 (그리고 g의 모든 켤레는 이런 방식으로 나타난다), 따라서 갈루아 군에서 g의 켤레류는 p에 정준적으로 대응된다. 이를 p의 프로베니우스 켤레류라고 하며, 켤레류의 임의의 원소를 p의 프로베니우스 원소라고 한다.

만약 K를 m번째 분체로 취하면, 이는 Q 위의 갈루아 군이 m을 법으로 하는 단위 (따라서 아벨 군이며, 켤레류는 원소가 된다)이고, p가 m을 나누지 않으면 갈루아 군에서 프로베니우스 류는 p mod m이다. 이 관점에서, Q(또는 더 일반적으로, 임의의 수체 위의 갈루아 군) 위의 갈루아 군에서 프로베니우스 켤레류의 분포는 산술 수열의 소수에 대한 디리클레의 고전적인 결과를 일반화한다.

Q의 무한 차수 확대의 갈루아 군에 대한 연구는 상세한 연구에 접근 가능한 원소들의 일종의 밀집 부분집합을 제공하는 이 프로베니우스 원소의 구성에 크게 의존한다.

4.4. 무한 차수 확대

프로베니우스는 소수를 유리수체 Q 위의 갈루아 군에서 켤레류로 변환하는 표준적인 방법을 제시했다. Q의 무한 차수 확대의 갈루아 군 연구는 프로베니우스 원소 구성에 크게 의존하는데, 이 원소들이 상세한 연구에 접근 가능한 갈루아 군의 밀집 부분집합을 제공하기 때문이다.

5. 기타 업적

프로베니우스는 케일리-해밀턴 정리의 일반적인 경우에 대한 최초의 증명을 1878년에 제시하였다.

5.1. 케일리-해밀턴 정리 증명

프로베니우스는 1878년에 케일리-해밀턴 정리의 일반적인 경우에 대한 최초의 증명을 제시했다.

6. 저서

프로베니우스의 주요 저서는 다음과 같다.

* Gesammelte Abhandlungen (전집). Bände I, II, III. 베를린, 뉴욕: Springer-Verlag, 1968. 편집자: J.-P. 세르. ISBN 978-3-540-04120-7, MR 0235974

* De functionum analyticarum unius variabilis per series infinitas repraesentatione (De functionum analyticarum unius variabilis per series infinitas repraesentatione^라틴어) (라틴어), 박사 학위 논문, 1870

* Über die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten (Über die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten^독일어) (독일어), Journal für die reine und angewandte Mathematik 73, 1–30 (1871)

* Über die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen, deren Coefficienten rationale Functionen einer Variablen sind (Über die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen, deren Coefficienten rationale Functionen einer Variablen sind^독일어) (독일어), Journal für die reine und angewandte Mathematik 74, 254–272 (1872)

* Über den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der linearen Differentialgleichungen (Über den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der linearen Differentialgleichungen^독일어) (독일어), Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 236–270 (1873)

* Über die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen (Über die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen^독일어) (독일어), Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 214–235 (1873)

* Über die Determinante mehrerer Functionen einer Variablen (Über die Determinante mehrerer Functionen einer Variablen^독일어) (독일어), Journal für die reine und angewandte Mathematik 77, 245–257 (1874)

* Über die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen der linearen Differentialgleichungen (Über die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen der linearen Differentialgleichungen^독일어) (독일어), Journal für die reine und angewandte Mathematik 78, 93–96 (1874)

* Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Maaßes (Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Maaßes^독일어) (독일어), Journal für die reine und angewandte Mathematik 79, 185–247 (1875)

* Über algebraisch integrirbare lineare Differentialgleichungen (Über algebraisch integrirbare lineare Differentialgleichungen^독일어) (독일어), Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 183–193 (1875)

* Über das Pfaffsche Problem (Über das Pfaffsche Problem^독일어) (독일어), Journal für die reine und angewandte Mathematik 82, 230–315 (1875)

* Über die regulären Integrale der linearen Differentialgleichungen (Über die regulären Integrale der linearen Differentialgleichungen^독일어) (독일어), Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 317–333 (1875)

* Note sur la théorie des formes quadratiques à un nombre quelconque de variables (Note sur la théorie des formes quadratiques à un nombre quelconque de variables^프랑스어) (프랑스어), Comptes rendus de l'Académie des sciences Paris 85, 131–133 (1877)

* Zur Theorie der elliptischen Functionen (Zur Theorie der elliptischen Functionen^독일어) (독일어), Journal für die reine und angewandte Mathematik 83, 175–179 (1877)

* Über adjungirte lineare Differentialausdrücke (Über adjungirte lineare Differentialausdrücke^독일어) (독일어), Journal für die reine und angewandte Mathematik 85, 185–213 (1878)

* Über lineare Substitutionen und bilineare Formen (Über lineare Substitutionen und bilineare Formen^독일어) (독일어), Journal für die reine und angewandte Mathematik 84, 1–63 (1878)

* Über homogene totale Differentialgleichungen (Über homogene totale Differentialgleichungen^독일어) (독일어), Journal für die reine und angewandte Mathematik 86, 1–19 (1879)

* Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen (Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen^독일어) (독일어), Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 회보 26, 456—477 (1912)