이중 사슬 복합체

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 도롱뇽 정리
- 3.2. ''n''×''n'' 정리
4. 예
- 4.1. 사슬 복합체의 텐서곱
- 4.2. 순환 호몰로지
5. 역사
참조

1. 개요

이중 사슬 복합체는 아벨 범주 위의 사슬 복합체의 범주에서 다시 사슬 복합체를 취한 것으로, 수평 및 수직 경계 사상을 갖는 구조이다. 전체 사슬 복합체와 전체 호몰로지를 정의할 수 있으며, 수평 호몰로지와 수직 호몰로지도 존재한다. 이중 사슬 복합체는 도롱뇽 정리와 n×n 정리와 같은 중요한 성질을 가지며, 사슬 복합체의 텐서곱, 순환 호몰로지 등의 예시로 나타난다. 이 개념들은 20세기 중반에 정립되었으며, 특히 도롱뇽 정리와 교내/교외 사상은 조지 마크 버그먼에 의해 도입되었다.

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2. 정의

아벨 범주 위의 사슬 복합체의 범주 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 생각할 수 있다. 이를 '''이중 사슬 복합체'''라고 한다.

구체적으로, 이중 사슬 복합체는 다음과 같은 꼴이다.

: $\begin{matrix}&& \vdots && \vdots \\&& \downarrow && \downarrow \\\dotsb & \to & C_{m,n} & \overset{\partial_{m,n}^{\text{h}}}\to & C_{m-1,n} & \to & \dotsb \\&& {\scriptstyle \partial_{m,n}^{\text{v}}}\downarrow {\color{White}\scriptstyle \partial_{m,n}^{\text{v}}}&& {\color{White}\scriptstyle \partial_{m-1,n}^{\text{v}}}\downarrow {\scriptstyle \partial_{m-1,n}^{\text{v}}}\\\dotsb & \to & C_{m,n-1} & \underset{\partial_{m,n-1}^{\text{h}}}\to & C_{m-1,n-1} & \to & \dotsb \\&& \downarrow && \downarrow \\&& \vdots && \vdots\end{matrix}$

여기서 사용된 기호는 다음과 같다.

'''수평 경계 사상'''(horizontal boundary map^영어)

:

\partial_{\bullet,\bullet}^{\operatorname h} \colon C_{\bullet,\bullet} \to C_{\bullet-1,\bullet}

'''수직 경계 사상'''(vertical boundary map^영어)

:

\partial_{\bullet,\bullet}^{\operatorname v} \colon C_{\bullet,\bullet} \to C_{\bullet, \bullet-1}

수평 경계 사상과 수직 경계 사상은 다음 관계를 만족시킨다.

:

\partial_{m-1,n}^{\operatorname h}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname h} = 0

:

\partial_{m,n-1}^{\operatorname v}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname v} = 0

:

\partial_{m-1,n}^{\operatorname v}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname h} = \partial_{m,n-1}^{\operatorname h}\circ \partial_{m,n}^{\operatorname v}

2. 1. 전체 사슬 복합체

아벨 범주

\mathcal A

에서 가산 무한 직합이 존재한다고 할 때 (또는 정의에 등장하는 직합에서 오직 유한 개의 항들이 0이 아니라고 할 때), 이중 사슬 복합체

C_{\bullet,\bullet}\in\operatorname{Ch}_\bullet(\operatorname{Ch}_\bullet\mathcal A))

의 '''전체 사슬 복합체'''(全體사슬複合體, total chain complex^영어)

\operatorname{Tot}_\bullet(C) \in\operatorname{Ch}_\bullet(\mathcal A)

는 다음과 같은 사슬 복합체이다.

:

\operatorname{Tot}_n(C) = \bigoplus_{p+q=n} C_{p,q}

:

\partial_n^{\operatorname{Tot}(C)} = \bigoplus_{p+q=n} \partial_{p,q}^{\operatorname h} + (-)^p \partial_{p,q}^{\operatorname v}

이는 사슬 복합체를 이루므로, 마찬가지로 호몰로지를 취할 수 있다. 이를 '''전체 호몰로지'''(total homology^영어)라고 한다.

2. 2. 이중 사슬 복합체의 다른 부호 규칙

문헌에 따라 이중 사슬 복합체를 표기할 때 다른 부호 규칙을 사용하는 경우가 있다. 이 경우 수평/수직 경계 사상이 서로 교환 법칙 대신 반교환 법칙을 따르게 된다. 이 부호 규칙으로 전환하려면, 홀수 번째 열들의 수직 경계 사상에 음부호(-)를 붙인다. (물론, 대신 홀수 번째 행들의 수평 경계 사상에 음부호를 붙여도 비슷하다.)

이렇게 하면, 전체 사슬 복합체의 정의가 더 간단해진다.

2. 3. 수직 · 수평 호몰로지

아벨 범주

\mathcal A

위의 이중 사슬 복합체

C_{\bullet,\bullet}

가 주어졌을 때, '''수평 호몰로지'''(horizontal homology^영어)

:

\operatorname H^{\operatorname h} = \frac{\ker^{\operatorname h}}{\operatorname{im}^{\operatorname h}}

및 '''수직 호몰로지'''(vertical homology^영어)

:

\operatorname H^{\operatorname v} = \frac{\ker^{\operatorname v}}{\operatorname{im}^{\operatorname v}}

를 정의할 수 있다.^[1] 이는 수평/수직 경계 사상을 이용하여 정의된다.^[1]

2. 4. 교내 사상과 교외 사상

임의의 대상

A=C_{m,n}

에 대하여, 다음과 같은 사상들이 존재한다.

:

\begin{matrix}\searrow^{\partial^{\operatorname{vh}}}&\downarrow{\scriptstyle\partial^{\operatorname h}}\\\overset{\partial^{\operatorname h}}\to &A &\overset{\partial^{\operatorname h}}\to\\& \downarrow{\scriptstyle\partial^{\operatorname h}} & \searrow^{\partial^{\operatorname{vh}}}\end{matrix}

여기서

\partial^{\operatorname{vh}}=\partial^{\operatorname h}\circ\partial^{\operatorname v} =\partial^{\operatorname v}\circ\partial^{\operatorname h}

는 수직 경계 사상과 수평 경계 사상을 합성한 것이다.

용어	기호	정의
수평 호몰로지	$_{=}A$	$\frac{\ker\partial^{\operatorname h}_{mn}}{\operatorname{im}\partial^{\operatorname h}_{m-1,n}}$
수직 호몰로지	A^\>	$\frac{\ker\partial^{\operatorname v}_{mn}}{\operatorname{im}\partial^{\operatorname v}_{m,n-1}}$
기증자(寄贈者, donor^영어)	$A_\square$	$\frac{\ker\partial^{\operatorname{vh}}_{mn}}{\operatorname{im}(\partial^{\operatorname h}_{m-1,n}\sqcup \partial^{\operatorname v}_{m,n-1})}$
수령자(受領者, receptor^영어)	$^\square A$	$\frac{\ker(\partial^{\operatorname v}_{mn}\times\partial^{\operatorname h}_{mn})}{\operatorname{im}\partial^{\operatorname{vh}}_{m-1,n-1}}$

$_=A$ , $A^\|$ , $^\square A$ , $A_\bullet$ 는 모두 $A$ 의 부분 대상들의 몫 대상이므로, 이들 사이에는 다음과 같은 사상들이 존재한다.

: $\begin{matrix}^\square A & \to & A^\|\\\downarrow && \downarrow\\_=A & \to & A_\square\end{matrix}$

이는 다음과 같이 적을 수 있다.

: $\overset\square{\underset ={\scriptstyle\downarrow}} \overset\to{\underset\to A}\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}}$

이 사상들을 '''교내 사상'''(intramural map^영어)이라고 한다.^[5]

또한, 수평 경계 사상 $A\to B$ 가 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.

: $A_\square\to {}^\square B$

이는 다음과 같이 그릴 수 있다.

: $A_\square\nearrow {}^\square B$

마찬가지로, 수직 경계 사상 $\begin{matrix}A\\\downarrow\\B\end{matrix}$ 가 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.

: $\begin{matrix}A_\square\\\downarrow\\^\square B\end{matrix}$

이는 다음과 같이 그릴 수 있다.

: $\begin{matrix}A_\square\\\swarrow\\^\square B\end{matrix}$

이 사상들을 '''교외 사상'''(extramural map^영어)이라고 한다.^[5]

3. 성질

이중 사슬 복합체는 여러 수학적 정리를 통해 설명되는 특정한 성질을 갖는다. 하위 항목인 '도롱뇽 정리'와 'n×n 정리'에서 이러한 성질들이 구체적으로 다루어진다.

3. 1. 도롱뇽 정리

도롱뇽 정리에 따르면, 이중 사슬 복합체의 특정 부분에서 다음과 같은 6항 도롱뇽 완전열이 존재한다.^[5]

:

\begin{matrix}&& ^\square A\\&\!\!\!\!\nearrow\!\!\!\! && \!\!\!\!\searrow\!\!\!\!\\C_\square & & \!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\! && _= A \to A_\square \to {}^\square B\to {}_= B && \!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\! && ^\square D\\&&&&& \!\!\!\!\searrow\!\!\!\! && \!\!\!\!\nearrow\!\!\!\! \\&&&&&& B_\square\end{matrix}

여기서 삼각형들은 가환 삼각형이며, 위의 모든 사상들은 교내 사상 또는 교외 사상 또는 (완전열의 양끝의 경우) 교내 사상과 교외 사상의 합성이다. 이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.

:

\begin{matrix}{\color{White}_\square}C\underset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow} \\\swarrow \\\underset ={\overset\square{\scriptstyle\downarrow}} \underset\to A_\square &\nearrow &\overset \square{\underset ={\scriptstyle\downarrow}} \underset\to B_\square \\&& \swarrow \\&& \overset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow} D\color{White}_\square\end{matrix}

만약

_=A \cong {}_= B \cong 0

이라면, 교외 사상

A_\square \to {}^\square B

는 동형 사상이다.

마찬가지로, 다음과 같은 6항 도롱뇽 완전열이 존재한다.

:

\begin{matrix}&& ^\square A\\&\!\!\!\!\nearrow\!\!\!\! && \!\!\!\!\searrow\!\!\!\!\\C_\square & & \!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\! && A^\| \to A_\square \to {}^\square B\to {}B^\| && \!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\! && ^\square D\\&&&&& \!\!\!\!\searrow\!\!\!\! && \!\!\!\!\nearrow\!\!\!\! \\&&&&&& B_\square\end{matrix}

이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.

:

\begin{matrix}{\color{White}_\square} C\underset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow} & \nearrow & {}^{^{\scriptstyle \square}} \overset\to A\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}} \\&& \swarrow \\&& ^{^{\scriptstyle\square}} \overset\to B\overset\|{\underset\square{\scriptstyle\downarrow}} &\nearrow & \overset\square{\color{White}\scriptstyle\downarrow}D\color{White}^\square\end{matrix}

만약

A^\| \cong B^\| \cong 0

이라면, 교외 사상

A_\square \to {}^\square B

는 동형 사상이다.

3. 2. ''n''×''n'' 정리

아벨 범주에서, 다음과 같은 이중 사슬 복합체가 주어졌다고 하자.

:

\begin{matrix}&& 0 && 0 \\&& \downarrow && \downarrow\\0 &\to &A_{n-1,n-1} & \to \dotsb\to & A_{0,n-1} \\&& \downarrow && \downarrow \\&&\vdots &\ddots& \vdots\\&& \downarrow && \downarrow \\0 &\to & A_{n-1,0} & \to\dotsb \to & A_{0,0} \\\end{matrix}

만약 모든 열이 완전열이고, 첫째 행을 제외한 나머지 행들이 완전열이라면, '''

n\times n

정리'''에 따르면 첫째 행 또한 완전열이다.

이는 3×3 정리의 일반화된 형태로, 사회 시스템의 안정성과 효율성을 평가하는 데 중요한 도구로 사용될 수 있다. 3x3 정리와 마찬가지로, ''n''×''n'' 정리는 이중 사슬 복합체의 완전성을 판별하는 데 사용된다.

증명은 3×3의 경우와 동일하다. 즉, 대략 다음과 같다.

교외 사상들의 지그재그를 통해, $_\square(-) \cong (-)^\square \cong 0$ 임을 보인다.
첫째 행의 각 수평 경계 사상에 대한 도롱뇽 완전열을 사용하여, 그 수평 호몰로지가 0임을 보인다.

(0×0, 1×1, 2×2인 경우는 자명하게 참이다.)

4. 예

이중 사슬 복합체의 예는 다음과 같다.

두 사슬 복합체의 텐서곱
순환 호몰로지

4. 1. 사슬 복합체의 텐서곱

두 사슬 복합체의 텐서곱은 이중 사슬 복합체의 한 예시이다. 가환환

K

위의 결합 대수

A

위의

(A,A)

-쌍가군들의 아벨 범주

\operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)

를 생각해보자. 이 범주에서 두 사슬 복합체

:

C_\bullet, D_\bullet \in \operatorname{Ch}_\bullet(_A\operatorname{Mod}_A)

가 주어졌다고 가정한다.

그러면, 각 성분별 텐서곱을 통해 다음과 같이 이중 사슬 복합체

E_{\bullet,\bullet}

를 정의할 수 있다.

:

E_{m,n} = C_m \otimes_A D_n

:

\partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m-1,n}

:

\partial^{\operatorname h,E}_{m,n} = \partial^C_m \otimes\operatorname{id}_{D_n}

:

\partial^{\operatorname v,E}_{m,n} \colon \partial^{\operatorname h,E}_{m,n} \to \partial^{\operatorname h,E}_{m,n-1}

:

\partial^{\operatorname v,E}_{m,n} = \operatorname{id}_{C_m} \otimes\partial^D_n

이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체는 두 사슬 복합체의 텐서곱

:

(C\otimes D)_\bullet = \operatorname{Tot}_\bullet(E) =  \bigoplus_{p+q=\bullet} C_p \otimes_A D_q

과 같다.

4. 2. 순환 호몰로지

순환 호몰로지는 특별한 이중 복합체의 전체 호몰로지로 정의된다.

5. 역사

데이비드 북스바움은 1955년 논문에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 3×3 정리가 등장한다.^[3] 3×3 정리는 9개의 대상이 3×3 행렬로 배열되어 있으므로 이러한 이름이 붙었다.

1971년에 칼 에릭 린더홀름(Carl Eric Linderholm^영어)은 3×3 정리의 (올바른) 증명을 농담으로 다음과 같이 묘사하였다.^[4]

도롱뇽 정리 및 “교내 사상”, “교외 사상”이라는 용어는 조지 마크 버그먼(George Mark Bergman^영어, 1943~)이 1970년대에 도입하였다.^[5] “도롱뇽 정리”라는 이름은 S자 또는 갈지자 (之) 모양의 사상들의 열을 몸을 굽히며 움직이는 도룡뇽에 비유한 것이다.

참조

_[1] 서적 Homology Springer 1967
_[2] 서적 An introduction to homological algebra http://www.math.rutg[...] Cambridge University Press 1994
_[3] 저널 Exact categories and duality
_[4] 서적 Mathematics made difficult. A handbook for the perplexed World Publishing 1971
_[5] 저널 On diagram-chasing in double complexes http://www.tac.mta.c[...] 2012

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