순환 호몰로지

1. 개요

순환 호몰로지는 다양한 방식으로 정의될 수 있는 수학적 개념으로, 결합 대수의 호흐실트 (코)호몰로지를 정의하는 (공)사슬 복합체의 특수한 부분 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 정의되거나, 순환 대상의 개념을 사용하여 정의될 수 있다. 순환 호몰로지는 호흐실트 호몰로지와 순환 호몰로지를 연결하는 긴 완전열인 주기성 열을 가지며, 대수적 정의, 범주론적 정의, 순환 이중 복합체를 통한 정의 등 여러 가지 방법으로 정의될 수 있다. 순환 호몰로지는 호흐실트 공사슬 복합체와 순환 코호몰로지를 정의하는 부분 공사슬 복합체 사이의 관계를 통해 콘 완전열을 유도하며, 주기 순환 코호몰로지와 같은 개념을 정의하는 데 사용된다. 순환 호몰로지는 아핀 스킴의 대수적 드람 코호몰로지와 연관되며, 아티야-싱어 지표 정리의 일반화, K-이론과의 관계 등 다양한 응용 분야를 가지고 있다. 알랭 콘과 보리스 치간에 의해 1980년대에 독립적으로 도입되었으며, 콘은 대수적 드람 코호몰로지를 비가환 대수로 일반화하기 위해 이 개념을 개발했다.

2. 정의

순환 (코)호몰로지는 여러 가지 방법으로 정의될 수 있다.

* 결합 대수의 순환 (코)호몰로지는 호흐실트 (코)호몰로지를 정의하는 (공)사슬 복합체의 특별한 부분 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 정의될 수 있다.
* 범주에서, 단체 대상과 유사한 개념인 순환 대상을 정의하여, 순환 호몰로지는 특별한 Tor 함자로, 순환 코호몰로지는 특별한 Ext 함자로 정의될 수 있다.

표수가 0인 체 위의 링 A의 순환 호몰로지는 HC_n(A) 또는 H_n^λ(A)로 표기되며, A의 Hochschild 호몰로지 복합체와 관련된 Connes 복합체를 사용하여 정의된다.

알랭 콘(Connes)은 아벨 범주에서 순환 객체라는 개념을 사용하여 순환 호몰로지에 대한 범주적인 접근 방식을 발견했다. 이는 단순 객체의 개념과 유사하다. 순환 호몰로지(및 코호몰로지)는 (b, B)-이중 복합체를 사용하여 계산할 수 있는 유도 함자로 해석될 수 있다. 체 k가 유리수를 포함하는 경우, Connes 복합체와 관련된 정의는 동일한 호몰로지를 계산한다.

순환 호몰로지의 중요한 특징은 Hochschild 호몰로지와 순환 호몰로지를 연결하는 긴 완전열인 주기성 열의 존재이다.

2.1. 대수적 정의

순환 (코)호몰로지는 가환환 K 위의 결합 대수 A에 대하여, 호흐실트 (코)호몰로지를 정의하는 (공)사슬 복합체의 특별한 부분 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로 정의될 수 있다.

보다 일반적으로, 순환 호몰로지는 어떤 특별한 Tor 함자로서, 순환 코호몰로지는 어떤 특별한 Ext 함자로서 정의될 수 있다.

가환환 $K$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수 $A$가 주어졌다고 하자.
$A^\{\backslash otimes\_Kn\}$을 정의할 수 있으며, 이는 $(A,A)$-쌍가군을 이룬다.

다음과 같은 연산자들을 정의할 수 있다.
*$\backslash partial^i\; \backslash colon\; A^\{\backslash otimes\_K(n+1)\}\; \backslash to\; A^\{\backslash otimes\_K\; n\}$
$\backslash partial^0\; \backslash colon\; a\_0\; \backslash otimes\_K\backslash dotsb\backslash otimes\; a\_n\; \backslash mapsto\; a\_0a\_1\backslash otimes\_K\; a\_2\backslash otimes\_K\backslash dotsb\backslash otimes\_K\; a\_n$

** $\backslash partial^n\; \backslash colon\; a\_0\; \backslash otimes\_K\backslash dotsb\backslash otimes\; a\_n\; \backslash mapsto\; a\_na\_0\; \backslash otimes\_K\; a\_1\backslash otimes\_K\; \backslash dotsb\backslash otimes\_K\; a\_\{n-1\}$
*$\backslash partial\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; (-)^i\; \backslash partial^i$
*$\backslash partial\text{'}\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{n-1\}\; (-)^i\; \backslash partial^i$
*$t\backslash cdot\; \backslash left(a\_0\backslash otimes\_Ka\_1\backslash otimes\_K\backslash dotsb\backslash otimes\_Ka\_\{n-1\}\backslash right)\; =\; (-)^\{n-1\}a\_\{n-1\}\backslash otimes\_Ka\_0\backslash otimes\_Ka\_1\backslash otimes\_K\backslash dotsb\backslash otimes\_Ka\_\{n-2\}$
*$N\backslash colon\; A^\{\backslash otimes\_Kn\}\; \backslash to\; A^\{\backslash otimes\_Kn\}$
*$N=1+t+\backslash dotsb+t^\{n-1\}$

여기서 t는 순환군 $\backslash operatorname\{Cyc\}(n)=\backslash langle\; t|t^n=1\backslash rangle$의 $K$-선형 표현 원소이다.

이 연산자들은 다음 성질들을 만족시킨다.
* $(1-t)\backslash circ\backslash partial\text{'}\; =\; \backslash partial\; \backslash circ\; (1-t)$
* $\backslash partial\text{'}\backslash circ\; N\; =\; N\; \backslash circ\; \backslash partial$

표수가 0인 체 위에서, 순환 호몰로지는 Connes 복합체를 통해 정의될 수 있다.

2.1.1. 순환 코호몰로지의 기초적 정의

가환환 $K$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수 $A$가 주어졌다고 하자. $A$는 $(A,A)$-쌍가군을 이루며, 그 $K$-쌍대 가군 $A^\backslash vee=\backslash hom\_\{\backslash operatorname\{Vect\}\_K\}(A,K)$ 역시 $(A,A)$-쌍가군을 이룬다.

그렇다면, $A$의 호흐실트 공사슬 복합체(Hochschild cochain complex^영어)는 다음과 같은 $K$-공사슬 복합체이다.
:$C^n(A,A^\backslash vee)\; =\; \backslash hom\_K(A^\{\backslash otimes\; n\},\; A^\backslash vee)$
:$\backslash mathrm\; d\backslash colon\; C^n(A,A^\backslash vee)\backslash to\; C^n(A,A^\backslash vee)$
:$\backslash mathrm\; d\backslash phi(a\_0,\backslash dotsc,a\_\{n+1\})\; =\; (-)^\{n+1\}\backslash phi(a\_\{n+1\}x\_0,\backslash dotsc,a\_n)\; +\; \backslash sum\_\{i=0\}^n(-)^i\backslash phi(a\_0,\backslash dotsc,a\_ia\_\{i+1\},\backslash dotsc,a\_\{n+1\})$

그 코호몰로지는 $A^\backslash vee$ 계수의 호흐실트 코호몰로지 $\backslash operatorname\{HH\}^\backslash bullet(A;A^\backslash vee)$이다.

이제, 이 공사슬 복합체 위의, 정의역의 원소의 순서쌍 성분들에 순환 순열을 가하는 공사슬 복합체 자기 동형 사상
:$T\backslash colon\; C^\backslash bullet(A;A^\backslash vee)\; \backslash to\; C^\backslash bullet(A;A^\backslash vee)$
:$T\backslash phi(a\_0,\backslash dotsc,a\_n)\; =\; (-)^n\; \backslash phi(a\_n,a\_0,\backslash dotsc,a\_\{n-1\})$
을 생각하자. 이 자기 동형의 고정점으로 구성된 부분 벡터 공간
:$C\_\{\backslash mathrm\{cyc\}\}^\backslash bullet(A)\; =\; \backslash \{\backslash phi\; \backslash in\; C^\backslash bullet(A,A^\backslash vee)\backslash colon\; T\backslash phi=\backslash phi\backslash \}$
들은 공경계 사상 $\backslash mathrm\; d$에 대하여 닫혀 있어, 부분 공사슬 복합체를 이룬다. 그 코호몰로지
:$\backslash operatorname\{HC\}^\backslash bullet(A)$
를 $A$의 순환 코호몰로지라고 한다.

2.1.2. 순환 호몰로지의 기초적 정의

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$가 주어졌을 때, 텐서곱 $A^\{\backslash otimes\_Kn\}$을 정의할 수 있으며, 이는 $(A,A)$-쌍가군을 이룬다.

다음과 같이 호흐실트 경계 연산자(Hochschild境界演算子, Hochschild boundary operator^영어)를 정의할 수 있다.
:$\backslash partial\backslash colon\; A^\{\backslash otimes\_Kn\}\backslash to\; A^\{\backslash otimes\_K(n-1)\}$
:$\backslash begin\{aligned\}$
\partial \colon a_0\otimes_K\dotsb \otimes_Ka_n
\mapsto a_0a_1\otimes_Ka_2\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_n + \sum_{i=1}^{n-1}(-)^i a_0\otimes_K\dotsb a_{i-1}\otimes_K a_ia_{i+1}\otimes_Ka_{i+2}\otimes_Ka_n \\
\qquad + (-)^n a_na_0\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{n-1}
\end{aligned}

그러면, $\backslash partial^2\; =\; 0$이므로 $(A^\{\backslash otimes\_K\backslash bullet\},\; \backslash partial)$은 $K$-사슬 복합체
:$\backslash dotsb\backslash xrightarrow\backslash partial\; A^\{\backslash otimes\_K3\}\backslash xrightarrow\backslash partial\; A^\{\backslash otimes\_K2\}\backslash xrightarrow\backslash partial\; A$
를 이룬다. 이 사슬 복합체의 $n$차 대상은 $A^\{\backslash otimes\_K(n+1)\}$이다. 이를 호흐실트 사슬 복합체(Hochschild사슬複合體, Hochschild chain complex^영어)라고 하며, 그 호몰로지는 $A$의 $A$계수 호흐실트 호몰로지 $\backslash operatorname\{HH\}\_\backslash bullet(A;A)$이다.

또한, 다음과 같은 콘 경계 연산자(Connes境界演算子, Connes boundary operator^영어) $B$를 정의할 수 있다.
:$B\backslash colon\; A^\{\backslash otimes\_K(n+1)\}\; \backslash to\; A^\{\backslash otimes\_K(n+2)\}$
:$\backslash begin\{aligned\}$
B\colon a_0\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_n \mapsto
\sum_{i=0}^n (-)^{ni}1\otimes_Ka_i\otimes_K\dotsc\otimes_Ka_n\otimes_Ka_0\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{i-1}\\
\qquad-(-)^{ni}a_i\otimes_K1\otimes_Ka_{i+1}\otimes_K\otimes_Ka_n\otimes_Ka_0\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{i-1}
\end{aligned}


그러면, $B\backslash partial=-\backslash partial\; B$이므로 이는 호흐실트 호몰로지의 사상
:$B\_*\; \backslash colon\; \backslash operatorname\{HH\}\_\backslash bullet(A;A)\; \backslash to\backslash operatorname\{HH\}\_\{\backslash bullet+1\}(A;A)$
을 정의한다.

호흐실트 경계 연산자 $\backslash partial$와 콘 경계 연산자 $B$는 다음과 같은 이중 복합체를 정의한다.
:$\backslash begin\{matrix\}$
\vdots&&\vdots&&\vdots \\
{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}&&{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}&&{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}\\
A^{\otimes_K3}&\overset B\leftarrow&A^{\otimes_K2}&\overset B\leftarrow&A\\
{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}&&{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}\\
A^{\otimes_K2} & \overset B\leftarrow& A\\
{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial} \\
A
\end{matrix}
이 이중 복합체를 $\backslash mathcal\; B(A)$라고 하면, 각 차수에서의 성분은
:$\backslash mathcal\; B(A)\_\{m,n\}\; =$
\begin{cases} A^{\otimes_K(n-m+1)} & m \le n \\
0& m > n
\end{cases}
이다. 이 이중 복합체의 전체 복합체
:$\backslash operatorname\{Tot\}\_p(\backslash mathcal\; B(A))\; =\; \backslash bigoplus\_\{m+n=p\}\backslash mathcal\; B(A)\_\{m,n\}$
를 생각하자. 그렇다면, 그 호몰로지를 $A$의 순환 호몰로지라고 한다.
:$\backslash operatorname\; H\_\backslash bullet(\backslash operatorname\{Tot\}(\backslash mathcal\; B(A)))\; =\; \backslash operatorname\{HC\}\_\backslash bullet(A)$

2.1.3. 순환 호몰로지의 순환 이중 복합체를 통한 정의

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$에 대하여, 순환 이중 복합체 $\backslash operatorname\{CC\}\_\{\backslash bullet,\backslash bullet\}(A)$는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash operatorname\{CC\}\_\{m,n\}(A)\; =\; A^\{\backslash otimes\_K(n+1)\}$
:$\backslash begin\{matrix\}$
A^{\otimes_K1} & \overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K2} & \overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K3} &\overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K4} & \overset\partial\leftarrow&\dotsm\\
{\scriptstyle 1-t}\uparrow & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow \\
A^{\otimes_K1} & \overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K2} & \overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K3} &\overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K4} & \overset{-\partial'}\leftarrow&\dotsm\\
{\scriptstyle N}\uparrow & &{\scriptstyle N}\uparrow& &{\scriptstyle N}\uparrow & &{\scriptstyle N}\uparrow\\
A^{\otimes_K1} & \overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K2} & \overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K3} &\overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K4} & \overset\partial\leftarrow&\dotsm\\
{\scriptstyle 1-t}\uparrow & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow \\
A^{\otimes_K1} & \overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K2} & \overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K3} &\overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K4} & \overset{-\partial'}\leftarrow&\dotsm\\
{\scriptstyle N}\uparrow & &{\scriptstyle N}\uparrow& &{\scriptstyle N}\uparrow& &{\scriptstyle N}\uparrow \\
\vdots && \vdots && \vdots && \vdots
\end{matrix}

여기서 사용되는 기호는 다음과 같다.

* $\backslash partial^i\; \backslash colon\; A^\{\backslash otimes\_K(n+1)\}\; \backslash to\; A^\{\backslash otimes\_K\; n\}$
* $\backslash partial^0\; \backslash colon\; a\_0\; \backslash otimes\_K\backslash dotsb\backslash otimes\; a\_n\; \backslash mapsto\; a\_0a\_1\backslash otimes\_K\; a\_2\backslash otimes\_K\backslash dotsb\backslash otimes\_K\; a\_n$
*
* $\backslash partial^n\; \backslash colon\; a\_0\; \backslash otimes\_K\backslash dotsb\backslash otimes\; a\_n\; \backslash mapsto\; a\_na\_0\; \backslash otimes\_K\; a\_1\backslash otimes\_K\; \backslash dotsb\backslash otimes\_K\; a\_\{n-1\}$
* $\backslash partial\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; (-)^i\; \backslash partial^i$ (호흐실트 경계 연산자)
* $\backslash partial\text{'}\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{n-1\}\; (-)^i\; \backslash partial^i$
* $t\backslash cdot\; \backslash left(a\_0\backslash otimes\_Ka\_1\backslash otimes\_K\backslash dotsb\backslash otimes\_Ka\_\{n-1\}\backslash right)\; =\; (-)^\{n-1\}a\_\{n-1\}\backslash otimes\_Ka\_0\backslash otimes\_Ka\_1\backslash otimes\_K\backslash dotsb\backslash otimes\_Ka\_\{n-2\}$ ($\backslash operatorname\{Cyc\}(n)=\backslash langle\; t|t^n=1\backslash rangle$는 순환군)
* $N\backslash colon\; A^\{\backslash otimes\_Kn\}\; \backslash to\; A^\{\backslash otimes\_Kn\}$
* $N=1+t+\backslash dotsb+t^\{n-1\}$

이들은 다음을 만족시킨다.

* $(1-t)\backslash circ\backslash partial\text{'}\; =\; \backslash partial\; \backslash circ\; (1-t)$
* $\backslash partial\text{'}\backslash circ\; N\; =\; N\; \backslash circ\; \backslash partial$

순환 호몰로지는 순환 이중 복합체의 전체 복합체의 호몰로지이다.

:$\backslash operatorname\{HC\}\_\backslash bullet(A)\; =\; \backslash operatorname\; H\_\backslash bullet(\backslash operatorname\{Tot\}(\backslash operatorname\{CC\}(A)))$

2.2. 범주론적 정의

보다 일반적으로, 임의의 범주 속에서 단체 대상과 유사한 개념인 순환 대상의 개념을 정의할 수 있다. 이 개념을 사용하여 순환 호몰로지는 어떤 특별한 Tor 함자로서 정의될 수 있다. 마찬가지로, 순환 코호몰로지는 어떤 특별한 Ext 함자로서 정의될 수 있다.

다음이 주어졌다고 하자.

* 가환환 $K$
* $\backslash operatorname\{Mod\}\_K$ 속의 순환 대상 $M$

그렇다면, $\backslash operatorname\{Mod\}\_K$-순환 대상들의 범주

:$\backslash hom(\backslash triangle\_\{\backslash operatorname\{Cyc\}\}^\{\backslash operatorname\{op\}\},\backslash operatorname\{Mod\}\_K)$

는 아벨 범주를 이루므로 Ext 함자를 정의할 수 있으며, 또한 순환 가군의 텐서곱 함자를 정의할 수 있으므로 그 유도 함자로서 Tor 함자를 정의할 수 있다.

$M$의 순환 호몰로지는 Tor 함자

:$\backslash operatorname\{HC\}\_n(M)=\backslash operatorname\{Tor\}\_n^\{\backslash hom(\backslash triangle\_\{\backslash operatorname\{Cyc\}\}^\{\backslash operatorname\{op\}\},\backslash operatorname\{Mod\}\_K)\}(K,M)$

이다. 마찬가지로 $M$의 순환 코호몰로지는 Ext 함자

:$\backslash operatorname\{HC\}^n(M)=\backslash operatorname\{Ext\}^n\_\{\backslash hom(\backslash triangle\_\{\backslash operatorname\{Cyc\}\}^\{\backslash operatorname\{op\}\},\backslash operatorname\{Mod\}\_K)\}(M,K)$

이다. 만약 순환 범주 $\backslash triangle\_\{\backslash operatorname\{Cyc\}\}$ 대신 단체 범주 $\backslash triangle$를 사용하면, 대신 호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지를 얻는다.

$K$-결합 대수 $A$의 경우, 어떤 특별한 순환 가군 $C(A)\backslash colon\backslash triangle\_\{\backslash operatorname\{Cyc\}\}^\{\backslash operatorname\{op\}\}\backslash to\backslash operatorname\{Mod\}\_K$를 대응시킬 수 있으며, 결합 대수의 순환 (코)호몰로지는 $C(A)$의 순환 (코)호몰로지를 말한다.

3. 성질

호흐실트 코호몰로지와 순환 코호몰로지 사이에는 콘 완전열(Connes exact sequence)이라고 불리는 긴 완전열이 존재한다. 콘 주기 연산자(Connes periodicity operator)는 연결 사상 HCⁿ⁻¹(A) → HCⁿ⁺¹(A)를 의미한다.

콘 주기성을 사용하여, 주기 순환 코호몰로지(periodic cyclic cohomology)를 정의할 수 있다. 주기 순환 코호몰로지는 순환 코호몰로지 군들의 귀납적 극한으로 정의되며, 복소수 계수 위상 K군과 마찬가지로 두 개가 존재한다.

구체적으로, 표수 0의 체 $K$ 위의 결합 대수 $A$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 호흐실트 코호몰로지를 정의하는 공사슬 복합체 $C^\backslash bullet(A)$ 및 순환 코호몰로지를 정의하는 부분 공사슬 복합체
:$\backslash iota\backslash colon\; C^\backslash bullet\_\{\backslash mathrm\{cyc\}\}(A)\backslash to\; C^\backslash bullet(A)$
가 존재한다. 이는 공사슬 복합체의 짧은 완전열
:$0\backslash to\; C^\backslash bullet\_\{\backslash mathrm\{cyc\}\}(A)\backslash xrightarrow\; \backslash iota\; C^\backslash bullet(A)\backslash to\; \backslash frac\{C^\backslash bullet(A)\}\{\; C^\backslash bullet\_\{\backslash mathrm\{cyc\}\}(A)\}\; \backslash to\; 0$
을 정의하며, 이에 따라 긴 완전열
:$$
\dotsb\to\operatorname{HC}^n(A) \to\operatorname{HH}^n(A)\to\operatorname H^n\left(
\frac{C^\bullet(A)}{ C^\bullet_{\mathrm{cyc}}(A)}
\right)
\to \operatorname{HC}^{n+1}(A)\to\dotsb

을 얻는다.

그런데 다음이 성립한다.
:$\backslash operatorname\; H^n\backslash left($
\frac{C^\bullet(A)}{ C^\bullet_{\mathrm{cyc}}(A)}
\right) \cong
\operatorname{HC}^{n-1}(A)

즉, 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.
:$$
\dotsb\to\operatorname{HC}^n(A) \to\operatorname{HH}^n(A)\to\operatorname{HC}^{n-1}(A)
\to \operatorname{HC}^{n+1}(A)\to
\operatorname{HH}^{n+1}(A)
\to\operatorname{HC}^n(A)
\to\operatorname{HC}^{n+2}(A)\to
\dotsb


환 위의 표수가 0인 체 위의 링 A의 순환 호몰로지는 다음과 같이 표기된다.

:HC_n(A) 또는 H_n^λ(A)

이는 A의 Hochschild 호몰로지 복합체와 관련된 명시적인 체인 복합체를 사용하여 진행되었으며, 이를 Connes 복합체라고 한다.

모든 자연수 n ≥ 0에 대해, $t\_n$ 연산자를 정의하여 $\backslash mathbb\{Z\}/\; n\; \backslash mathbb\{Z\}$의 자연스러운 순환 작용을 A의 n번째 텐서 곱에 적용한다.

:$\backslash begin\{align\}$
t_n : A^{\otimes n} \to A^{\otimes n}, \quad a_1 \otimes \dots \otimes a_n \mapsto (-1)^{n-1} a_n \otimes a_1 \otimes \dots \otimes a_{n-1}.
\end{align}

A 자체를 계수로 하는 A의 Hochschild 복합체 그룹은 모든 n ≥ 0에 대해 $HC\_n(A)\; :=\; A^\{\backslash otimes\; n+1\}$로 설정하여 주어진다. 그러면 Connes 복합체의 구성 요소는 $C^\backslash lambda\_n(A)\; :=\; HC\_n(A)/\; \backslash langle\; 1\; -\; t\_\{n+1\}\; \backslash rangle$로 정의되며, 미분 $d\; :\; C^\backslash lambda\_n(A)\; \backslash to\; C^\backslash lambda\_\{n-1\}(A)$는 Hochschild 미분을 이 몫으로 제한한 것이다. Hochschild 미분이 실제로 이 코변량 공간을 통해 인수로 나눌 수 있음을 확인할 수 있다.

Connes는 나중에 아벨 범주에서 순환 객체라는 개념을 사용하여 순환 호몰로지에 대한 보다 범주적인 접근 방식을 발견했는데, 이는 단순 객체의 개념과 유사하다. 이러한 방식으로, 순환 호몰로지(및 코호몰로지)는 (b, B)-이중 복합체를 사용하여 명시적으로 계산할 수 있는 유도 함자로 해석될 수 있다. 체 k가 유리수를 포함하는 경우, Connes 복합체와 관련된 정의는 동일한 호몰로지를 계산한다.

순환 호몰로지의 두드러진 특징 중 하나는 Hochschild 호몰로지와 순환 호몰로지를 연결하는 긴 완전열의 존재이다. 이 긴 완전열을 주기성 열이라고 한다.

4. 예

표수 0의 체 $K$ 위의 매끄러운 아핀 스킴 $\backslash operatorname\{Spec\}A$에 대하여, $A$의 순환 코호몰로지와 (그 스펙트럼의) 대수적 드람 코호몰로지 사이의 관계는 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{HC\}^n(A)\backslash cong\backslash frac\{\; \backslash Omega\; ^nA\}\{\backslash mathrm\; d\backslash Omega\; ^\{n-1\}A\}\; \backslash oplus\; \backslash bigoplus\_\{i\backslash ge\; 1\}\backslash operatorname\; H\_\{\backslash mathrm\{dR\}\}^\{n-2i\}(\backslash operatorname\{Spec\}A)$

여기서

:$\backslash operatorname\; H\_\{\backslash mathrm\{dR\}\}^n(-)\; =\; \backslash operatorname\; H^n(\backslash Omega^\backslash bullet(-))$

는 알렉산더 그로텐디크의 대수적 드람 코호몰로지이다.

가환 대수 A의 표수 0인 체 k 위의 아핀 대수적 다양체의 정칙 함수에 대한 순환 코호몰로지는 그로텐디크의 대수적 드람 복소수를 사용하여 계산할 수 있다. 특히, 다양체 V=Spec A가 매끄러운 경우, A의 순환 코호몰로지는 다음과 같이 V의 드람 코호몰로지로 표현된다.

:$HC\_n(A)\backslash simeq\; \backslash Omega^n\backslash !A/d\backslash Omega^\{n-1\}\backslash !A\backslash oplus\; \backslash bigoplus\_\{i\backslash geq\; 1\}H^\{n-2i\}\_\{\backslash text\{dR\}\}(V).$

5. 응용

순환 호몰로지의 응용 분야 중 하나는 아티야-싱어 지표 정리에 대한 새로운 증명과 일반화를 찾는 것이다. 이러한 일반화에는 스펙트럼 트리플 및 푸아송 다양체의 변형 양자화를 기반으로 하는 지표 정리가 포함된다.

콤팩트한 매끄러운 다양체 위의 타원형 연산자 D는 K 호몰로지에서 한 클래스를 정의한다. 이 클래스의 한 불변량은 연산자의 해석적 지표이다. 이는 클래스 [D]와 HC(C(M))의 원소 1의 페어링으로 간주된다. 순환 코호몰로지는 매끄러운 다양체뿐만 아니라 엽층 구조, 오비폴드, 비가환 기하학에서 나타나는 특이 공간에 대해서도 타원형 미분 연산자의 더 높은 불변량을 얻는 방법으로 볼 수 있다.

6. 대수적 K-이론과의 관계

순환 추적 사상은 (예를 들어, 환 A의) 대수적 K-이론에서 순환 호몰로지로 가는 사상이다.

:$tr:\; K\_n\; (A)\; \backslash to\; HC\_\{n-1\}\; (A).$

어떤 상황에서는 이 사상을 사용하여 K-이론을 계산할 수 있다. 이 방향의 선구적인 결과는 굿윌리(Goodwillie)의 정리이다. 이 정리는 사상

:$K\_n(A,\; I)\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; Q\; \backslash to\; HC\_\{n-1\}\; (A,\; I)\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; Q$

이 0이 아닌 양면 아이디얼 I에 대한 A의 상대적 K-이론과 상대적 순환 호몰로지 사이에서 (A와 A/I의 K-이론 또는 순환 호몰로지의 차이를 측정) n≥1에 대해 동형사상임을 주장한다.

Goodwillie의 결과는 임의의 환에 대해 성립하지만, 빠른 축소를 통해 본질적으로 $A\; \backslash otimes\_\{\backslash mathbf\; Z\}\; \backslash mathbf\; Q$에 대한 설명일 뿐임을 알 수 있다. Q를 포함하지 않는 환의 경우, K-이론과 밀접한 관계를 유지하기 위해 순환 호몰로지를 위상적 순환 호몰로지로 대체해야 한다. (만약 Q가 A에 포함되어 있다면, A의 순환 호몰로지와 위상적 순환 호몰로지는 일치한다.) 이는 (고전적) Hochschild 호몰로지가 Q를 포함하지 않는 환에 대해 위상적 Hochschild 호몰로지보다 덜 잘 동작한다는 사실과 일치한다. 클라우젠(Clausen), 매튜(Mathew), 모로(Morrow)는 Goodwillie의 결과를 광범위하게 일반화하여, Henselian 보조정리가 아이디얼 I에 대해 성립하는 가환 환 A에 대해 상대적 K-이론이 상대적 위상적 순환 호몰로지와 동형사상이라고 주장했다 (Q와 텐서곱하지 않고). 그들의 결과는 또한 가버(Gabber)의 정리를 포함하는데, 이 정리는 이러한 상황에서 A에서 가역적인 정수 n을 모듈로 한 상대적 K-이론 스펙트럼이 사라진다고 주장한다. 자딘(Jardine)은 Gabber의 결과와 Suslin 강성을 사용하여 유한체의 K-이론에 대한 퀼렌의 계산을 재증명했다.

7. 역사

알랭 콘과 보리스 치간(Бори́с Л. Ци́ган^{우크라이나어}, Бори́с Л. Цыга́н^러시아어, Boris L. Tsygan^영어)이 1980년대에 독자적으로 도입하였다. 콘의 이론은 원래 코호몰로지를 기반으로 하였지만, 치간의 이론은 원래 호몰로지를 기반으로 하였다.

콘은 순환 코호몰로지의 이론을 1981년 독일에서 열린 학회에서 최초로 발표하였으며, 1983년에 “순환 코호몰로지”(cohomologie cyclique^프랑스어)라는 용어를 최초로 사용하였다. 콘의 원래 목적은 알렉산더 그로텐디크가 정의한 대수적 드람 코호몰로지를 비가환 결합 대수에 대하여 일반화하기 위한 것이었으며, 콘의 원래 정의는 호흐실트 호몰로지를 정의하는 사슬 복합체의 변형을 통한 것이었다. 1983년에 알랭 콘은 순환 대상의 개념을 도입하였으며, 이를 사용하여 순환 (코)호몰로지를 추상적으로 정의하였다.