쌍가군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 응용
참조

1. 개요

쌍가군은 두 환 R과 S에 대해 정의되는 대수적 구조로, 아벨 군 M에 R의 왼쪽 가군 구조와 S의 오른쪽 가군 구조가 호환되도록 결합된 것이다. 쌍가군은 가군의 일반화로 볼 수 있으며, 텐서곱, 준동형 사상, 그리고 특정 조건에서의 쌍가군 준동형사상과 같은 다양한 성질을 갖는다. 특히, 쌍가군은 호흐실트 호몰로지와 코호몰로지, 모리타 동치 및 모리타 쌍대성을 정의하는 데 활용되며, 2-범주와 프로펀터의 개념과도 관련이 있다.

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쌍가군
정의
유형	환 위의 왼쪽 가군 환 위의 오른쪽 가군
관련 개념	결합 대수 가군 환 쌍선형 형식
연산
스칼라 곱셈	환의 작용을 통한 스칼라 곱셈
성질
분류	단순 양쪽 가군 반단순 양쪽 가군
관련 정리	덴스리티 정리

2. 정의

환 ${\displaystyle R}$와 ${\displaystyle S}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle (R,S)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$은 다음 데이터로 주어진다.

아벨 군 ${\displaystyle (M,+)}$
${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군 구조 ${\displaystyle _{R}M}$
${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle S}$-오른쪽 가군 구조 ${\displaystyle M_{S}}$

이는 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다.

모든 ${\displaystyle r\in R}$, ${\displaystyle s\in S}$, ${\displaystyle m\in M}$에 대하여, ${\displaystyle (rm)s=r(ms)}$

보다 일반적으로, 가환환 ${\displaystyle K}$와 ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수 ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle (K;R,S)}$-쌍가군은 위 조건에 더하여 다음 조건을 만족시켜야 한다.

모든 ${\displaystyle k\in K}$에 대하여, ${\displaystyle km=mk}$

${\displaystyle (R,S)}$-쌍가군은 ${\displaystyle K=\mathbb {Z} }$일 때 ${\displaystyle (\mathbb {Z} ;R,S)}$-쌍가군의 개념과 같다.

두 ${\displaystyle (K;R,S)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$, ${\displaystyle _{R}N_{S}}$ 사이의 쌍가군 준동형 ${\displaystyle \phi :M\to N}$은 다음 조건들을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.

${\displaystyle \phi }$는 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, ${\displaystyle r\phi (m)=\phi (rm)\;\forall r\in R,\;m\in M}$이다.
${\displaystyle \phi }$는 ${\displaystyle S}$-오른쪽 가군의 가군 준동형을 이룬다. 즉, ${\displaystyle \phi (m)s=\phi (ms)\;\forall s\in S,\;m\in M}$이다.

만약 ''R''과 ''S''가 두 개의 환이라면, ''R''-''S''-'''쌍가군'''은 다음을 만족하는 아벨 군이다.

''M''은 좌 ''R''-가군이자 우 ''S''-가군이다.
모든 ''R''의 ''r'', ''S''의 ''s'', ''M''의 ''m''에 대해: ${\displaystyle (r.m).s=r.(m.s)}$

''R''-''R''-쌍가군은 ''R''-쌍가군이라고도 한다.

''R''과 ''S''가 두 개의 환일 때, ''R''-''S''-'''양쪽 가군'''은 아벨 군 ''M''으로, 다음 조건을 만족하는 것을 말한다.

''M''은 왼쪽 ''R''-가군이자 오른쪽 ''S''-가군이다.
모든 ${\displaystyle r\in R}$과 ${\displaystyle s\in S}$ 및 ${\displaystyle m\in M}$에 대하여 ${\displaystyle (rm)s=r(ms)}$가 성립한다.

양쪽 작용을 강조할 때에는 ${\displaystyle M={}_{R}M_{S}}$ 등으로 표기하기도 한다. ''R''-''R''-양쪽 가군은 ''R''-양쪽 가군이라고도 불린다.

3. 성질

쌍가군은 다음과 같은 성질을 갖는다.

가군과의 관계
텐서곱과 준동형 사상
쌍가군의 2-범주

이 내용은 '가군과의 관계', '텐서곱과 준동형 사상', '쌍가군의 2-범주' 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

''M''과 ''N''이 ''R''-''S''-쌍가군이라면, 맵 f|f^영어: ''M'' → ''N''는 왼쪽 ''R''-가군과 오른쪽 ''S''-가군의 준동형사상이 모두 성립할 경우 ''쌍가군 준동형사상''이다.^[1]

''R''-''S''-쌍가군은 실제로 링 R ⊗_'''Z''' S^op|R ⊗_'''Z''' S^op^영어 (곱셈이 인수를 교환하여 정의됨) 위의 왼쪽 가군과 동일하다. 여기서 ''S''^op는 ''S''의 반대 링이다. 쌍가군 준동형사상은 왼쪽 R ⊗_'''Z''' S^op|R ⊗_'''Z''' S^op^영어 가군의 준동형사상과 동일하다.^[2]

3. 1. 가군과의 관계

다음과 같은 개념들이 서로 동치이다.

개념
아벨 군
$\mathbb Z$ -가군
$(\mathbb Z,\mathbb Z)$ -쌍가군

환 $R$ 에 대하여, 다음과 같은 개념들이 서로 동치이다.

개념
$R$ -왼쪽 가군
$R^{\operatorname{op}}$ -오른쪽 가군
$(R,\mathbb Z)$ -쌍가군
$(\mathbb Z,R^{\operatorname{op}})$ -쌍가군

환 $R$ 에 대하여, 다음과 같은 개념들이 서로 동치이다.

개념
$R$ -오른쪽 가군
$R^{\operatorname{op}}$ -왼쪽 가군
$(\mathbb Z,R)$ -쌍가군
$(R^{\operatorname{op}},\mathbb Z)$ -쌍가군

가환환 $R$ 에 대하여, 다음과 같은 개념들이 서로 동치이다.

개념
$R$ -가군
$(R;R,R)$ -쌍가군
$(\mathbb Z,R)$ -쌍가군
$(R,\mathbb Z)$ -쌍가군

또한, 위 개념들에 대한 준동형들 또한 서로 동치이다. 예를 들어, $(K;R,S)$ -쌍가군 준동형은 $R\otimes_KS^{\operatorname{op}}$ -왼쪽 가군의 가군 준동형과 같은 개념이다.

즉, 쌍가군의 개념은 가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있으며, 반대로 가군의 개념을 쌍가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있다.

가환환 $R$ 에 대하여, 모든 $R$ -가군 (즉, $(R;R,R)$ -쌍가군)은 망각을 통하여 $(\mathbb Z;R,R)$ -쌍가군을 이루지만, 일반적으로 $(R;R,R)$ -쌍가군이 아닌 $(\mathbb Z;R,R)$ -쌍가군이 존재한다.

3. 2. 텐서곱과 준동형 사상

(R,S)

-쌍가군

_RM_S

및

(S,T)

-쌍가군

_SN_T

이 주어졌을 때, 텐서곱

:

_RM\otimes_SN_T

은 자연스럽게

(R,T)

-쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

:

(_RM\otimes_S-)\colon {}_S\operatorname{Mod}_T\to{}_R\operatorname{Mod}_T

:

(-\otimes_SN_T)\colon {}_R\operatorname{Mod}_S\to{}_R\operatorname{Mod}_T

를 정의한다.

또한,

(R,S)

-쌍가군

_RM_S

및

(R,T)

-쌍가군

_RN_T

가 주어졌을 때, 왼쪽 가군 준동형군

:

\hom_{_R\operatorname{Mod}}(_RM_S,{}_RN_T)

은

:

(sft)(m)=\left(f(ms)\right)t\qquad\forall s\in S,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom_{_R\operatorname{Mod}}(_RM_S,{}_RN_T)

를 통해

(S,T)

-쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

:

\hom_R(_RM_S,-)\colon {}_R\operatorname{Mod}_T\to {}_S\operatorname{Mod}_T

:

\hom_R(-,{}_RN_T)\colon {}_R\operatorname{Mod}_S\to {}_S\operatorname{Mod}_T^{\operatorname{op}}

를 정의한다. 반대로, 오른쪽 가군 준동형을 사용한다면

(R,S)

-쌍가군

_RM_S

및

(T,S)

-쌍가군

_TN_S

가 주어졌을 때, 준동형군

:

\hom_{\operatorname{Mod}_S}(_RM_S,{}_TN_S)

은

:

(tfr)(m)=t\left(f(rm)\right)\qquad\forall r\in R,\;t\in T,\;m\in M,\;f\in \hom_{\operatorname{Mod}_S}(_RM_S,{}_TN_S)

를 통해

(T,R)

쌍가군을 이루며, 쌍가군 범주의 가법 함자

:

\hom_S(_RM_S,-)\colon {}_T\operatorname{Mod}_S\to {}_T\operatorname{Mod}_R

:

\hom_S(-,{}_TN_S)\colon {}_R\operatorname{Mod}_S\to {}_T\operatorname{Mod}_R^{\operatorname{op}}

를 정의한다.

이는 다음과 같이 수반 함자를 이룬다.

:

(_RM\otimes_S-)\dashv \hom_R(_RM_S,-)

:

(-\otimes_RM_S)\dashv \hom_S(_RM_S,-)

특히,

T=\mathbb Z

또는

R=\mathbb Z

또는

S=\mathbb Z

를 놓으면 각종 가군 범주 위의 다음과 같은 가법 함자들을 얻는다.

:

(_RM\otimes_S-)\colon {}_S\operatorname{Mod}\to{}_R\operatorname{Mod}

:

(-\otimes_RM_S)\colon \operatorname{Mod}_R\to \operatorname{Mod}_S

:

\hom_R(_RM_S,-)\colon {}_R\operatorname{Mod}\to {}_S\operatorname{Mod}

:

\hom_R(-,{}_RM_S)\colon {}_R\operatorname{Mod}\to \operatorname{Mod}_S^{\operatorname{op}}

:

\hom_S(_RM_S,-)\colon \operatorname{Mod}_S\to \operatorname{Mod}_R

:

\hom_S(-,{}_RM_S)\colon \operatorname{Mod}_S\to {}_R\operatorname{Mod}^{\operatorname{op}}

:

(_RM\otimes_S)\dashv\hom_R(_RM_S,-)

:

(-\otimes_RM_S)\dashv\hom_S(_RM_S,-)

3. 3. 쌍가군의 2-범주

가환환 ${\displaystyle K}$에 대하여, 2-범주 ${\displaystyle \operatorname {Bimod} _{K}}$는 다음과 같이 구성된다.

대상: ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수 (즉, ${\displaystyle K\text{-uAssocAlg}}$의 대상과 같다.)
1-사상: 단위 결합 대수 ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S}$ 사이의 1-사상은 ${\displaystyle (K;R,S)}$-쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$이다. ${\displaystyle _{R}M_{S}}$의 정의역은 ${\displaystyle R}$, 공역은 ${\displaystyle S}$이다.
두 쌍가군 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$, ${\displaystyle _{S}N_{T}}$의 합성은 쌍가군의 텐서곱 ${\displaystyle _{R}M\otimes _{S}N_{T}}$이다.
환 ${\displaystyle R}$ 위의 항등 사상은 ${\displaystyle _{R}R_{R}}$이다.
2-사상: 같은 정의역과 공역을 갖는 두 1-사상 ${\displaystyle _{R}M_{S}}$, ${\displaystyle _{R}N_{S}}$ 사이의 2-사상은 ${\displaystyle (K;R,S)}$-쌍가군 준동형이다. 즉, 범주로서 ${\displaystyle \hom _{\operatorname {Bimod} }(R,S)={}_{R}K\text{-uAssocAlg} _{S}}$이다.

만약 ''M''과 ''N''이 ''R''-''S''-쌍가군이라면, 맵 f|f^영어: ''M'' → ''N''는 왼쪽 ''R''-가군과 오른쪽 ''S''-가군의 준동형사상이 모두 성립할 경우 ''쌍가군 준동형사상''이다.^[1]

''R''-''S''-쌍가군은 실제로 링 R ⊗_'''Z''' S^op|R ⊗_'''Z''' S^op^영어 (곱셈이 인수를 교환하여 정의됨) 위의 왼쪽 가군과 동일하다. 여기서 ''S''^op는 ''S''의 반대 링이다. 쌍가군 준동형사상은 왼쪽 R ⊗_'''Z''' S^op|R ⊗_'''Z''' S^op^영어 가군의 준동형사상과 동일하다.^[2]

4. 예시

양의 정수 ''n''과 ''m''에 대해, 실수로 이루어진 행렬의 집합 ''M''_''n'',''m''('''R''')은 ''R''-''S''-쌍가군이다. 여기서 ''R''은 행렬의 환 ''M''_''n''('''R''')이고, ''S''는 행렬의 환 ''M''_''m''('''R''')이다. 덧셈과 곱셈은 행렬 덧셈과 행렬 곱셈의 일반적인 규칙을 사용하여 수행된다. 가 아닌 경우 ''M''_''n'',''m''('''R''') 자체는 환이 아니다.
환 ''R'' 위의 임의의 대수 ''A''는 ''R''-쌍가군의 자연스러운 구조를 가진다.
''R''이 환인 경우, ''R'' 자체를 으로 간주할 수 있다. 이것은 ''R''^''n''(''R''의 ''n''-겹 직접 곱)으로 확장될 수 있다.
''M''이 ''S''-''R''-쌍가군이고 ''N''이 인 경우, 은 ''S''-''T''-쌍가군이다.
가환환 ''R'' 위의 임의의 가군은 쌍가군의 자연스러운 구조를 갖는다. 예를 들어, ''M''이 왼쪽 가군인 경우 오른쪽 곱셈을 왼쪽 곱셈과 동일하게 정의할 수 있다.
''M''이 왼쪽 ''R''-가군인 경우, ''M''은 이며, 여기서 '''Z'''는 정수환이다. 마찬가지로, 오른쪽 ''R''-가군은 으로 해석될 수 있다. 임의의 아벨군은 으로 취급될 수 있다.
''R''이 ''S''의 부분환인 경우, ''S''는 이다. 또한 및 이기도 하다.

4. 1. 아이디얼

환 ${\displaystyle R}$의 왼쪽 아이디얼은 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군을 이루며, 오른쪽 아이디얼은 ${\displaystyle R}$-오른쪽 가군을 이룬다. ${\displaystyle R}$의 양쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R}$은 ${\displaystyle (R,R)}$-쌍가군을 이룬다.

특히, ${\displaystyle R}$ 전체는 ${\displaystyle R}$의 양쪽 아이디얼이며, 따라서 ${\displaystyle (R,R)}$-쌍가군을 이룬다.

보다 일반적으로, 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 단위 결합 대수 ${\displaystyle R}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle K}$-가군을 이루는 ${\displaystyle R}$-양쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R}$는 ${\displaystyle (K;R,R)}$-쌍가군을 이룬다. 특히, ${\displaystyle R}$ 전체는 ${\displaystyle (K;R,R)}$-쌍가군을 이룬다.

4. 2. 부분환

$ (R, S) $-쌍가군 $ _{R}M_{S} $ 및 $ R $의 부분환 $ {\tilde {R}}\subseteq R $와 $ S $의 부분환 $ {\tilde {S}}\subseteq S $가 주어졌을 때, $ M $은 망각을 통해 자연스럽게 $ _}M_} $-쌍가군을 이룬다.

특히, 환 $ R $의 부분환 $ {\tilde {R}}\subseteq R $가 주어졌을 때, 쌍가군 $ _{R}R_{R} $에 망각을 가하여 쌍가군 $ _}R_{R} $ 및 $ _{R}R_} $ 및 $ _}R_} $를 정의할 수 있다.

4. 3. 가군의 자기 사상

환 ${\displaystyle R}$ 위의 오른쪽 가군 ${\displaystyle M_{R}}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle M_{R}}$의 자기 사상 집합 ${\displaystyle \operatorname {End} _{\operatorname {Mod} _{R}}(M_{R})=\hom _{\operatorname {Mod} _{R}}(M_{R},M_{R})}$은 환을 이룬다. 이 자기 사상환은 ${\displaystyle M_{R}}$의 왼쪽에 자연스럽게 작용하며, 따라서 ${\displaystyle M_{R}}$는 ${\displaystyle (\operatorname {End} M,R)}$-쌍가군을 이룬다.

마찬가지로, ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$은 자연스럽게 ${\displaystyle \left(R,(\operatorname {End} M)^{\operatorname {op} }\right)}$-쌍가군을 이룬다.

이 구성은 모리타 동치의 정의에 등장한다.

만약 ${\displaystyle M}$이 오른쪽 ${\displaystyle R}$-가군이면, ${\displaystyle R}$-가군 자기 준동형 사상의 집합 ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)}$은 합성을 통해 곱셈이 주어지는 환이다. 자기 준동형 사상 환 ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)}$은 ${\displaystyle f.x=f(x)}$로 정의되는 왼쪽 곱셈에 의해 ${\displaystyle M}$에 작용한다. 따라서 임의의 오른쪽 ${\displaystyle R}$-가군 ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)}$-${\displaystyle R}$-쌍가군이다. 마찬가지로 임의의 왼쪽 ${\displaystyle R}$-가군 ${\displaystyle N}$은 ${\displaystyle R}$-${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(N)^{\operatorname {op} }}$-쌍가군이다.^[1]

4. 4. 행렬 쌍가군

환 ${\displaystyle R}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬의 아벨 군 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}$을 생각하자. ${\displaystyle m=n}$이면(즉, 정사각 행렬이면) ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n,n;R)=\operatorname {Mat} (n;R)}$는 환을 이룬다.

행렬의 곱셈은 자연스러운 ${\displaystyle R}$-쌍선형 함수

: ${\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)\otimes _{R}\operatorname {Mat} (n,p;R)\to \operatorname {Mat} (m,p;R)}$

를 이룬다. 이에 따라, ${\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}$는 자연스럽게 ${\displaystyle (\operatorname {Mat} (m;R),\operatorname {Mat} (n;R))}$-쌍가군을 이룬다.

${\displaystyle R}$는 (대각 행렬로서) ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)}$의 부분환을 이룬다. 이에 따라, ${\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}$는 ${\displaystyle (R,R)}$-쌍가군을 이룬다. 이 경우, ${\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)}$는 단순히 자유 가군 ${\displaystyle R^{mn\oplus }}$으로 생각할 수 있다.
예시:

양의 정수 n과 m에 대해, 실수로 이루어진 n × m 행렬의 집합 M_n,m(R)은 R-S-쌍가군이다. 여기서 R은 n × n 행렬의 환 M_n(R)이고, S는 m × m 행렬의 환 M_m(R)이다. 덧셈과 곱셈은 행렬 덧셈과 행렬 곱셈의 일반적인 규칙을 사용하여 수행된다. 행렬의 높이와 너비는 곱셈이 정의되도록 선택되었다. M_n,m(R) 자체는 환이 아니다(1=n=m가 아닌 경우). n × m 행렬을 다른 n × m 행렬로 곱하는 것은 정의되지 않기 때문이다. 중요한 쌍가군 속성, 즉 1=(r.x).s = r.(x.s)는 행렬의 곱셈이 결합 법칙을 따른다는 진술이다 (이는 행렬환의 경우 결합 법칙에 해당한다).
환 R 위의 임의의 대수 A는 R-쌍가군의 자연스러운 구조를 가지며, 왼쪽 및 오른쪽 곱셈은 각각 1=r.a = φ(r)a와 1=a.r = aφ(r)로 정의된다. 여기서 φ : R → A는 R을 A로의 정규 매장이다.
R이 환인 경우, 곱셈을 왼쪽 및 오른쪽 작용으로 취함으로써 R 자체를 R-R-쌍가군으로 간주할 수 있다. 작용은 결합 법칙에 의해 교환한다. 이것은 Rⁿ(R의 n-겹 직접 곱)으로 확장될 수 있다.
환 R의 임의의 양면 아이디얼은 왼쪽 및 오른쪽 곱셈 둘 다를 환 곱셈으로 하여 R-R-쌍가군이다.
가환환 R 위의 임의의 가군은 쌍가군의 자연스러운 구조를 갖는다. 예를 들어, M이 왼쪽 가군인 경우 오른쪽 곱셈을 왼쪽 곱셈과 동일하게 정의할 수 있다. (그러나 모든 R-쌍가군이 이런 식으로 발생하는 것은 아니다: 다른 호환 가능한 오른쪽 곱셈이 존재할 수 있다.)
M이 왼쪽 R-가군인 경우, M은 R-'''Z'''-쌍가군이며, 여기서 '''Z'''는 정수환이다. 마찬가지로, 오른쪽 R-가군은 '''Z'''-R-쌍가군으로 해석될 수 있다. 임의의 아벨군은 '''Z'''-'''Z'''-쌍가군으로 취급될 수 있다.
M이 오른쪽 R-가군인 경우, R-가군 자기 준동형 사상의 집합 End_R(M)은 합성을 통해 곱셈이 주어지는 환이다. 자기 준동형 사상 환 End_R(M)은 1=f.x = f(x)로 정의되는 왼쪽 곱셈에 의해 M에 작용한다. 쌍가군 속성, 즉 1=(f.x).r = f.(x.r)는 f가 M에서 자기 자신으로의 R-가군 준동형 사상임을 다시 진술한 것이다. 따라서 임의의 오른쪽 R-가군 M은 End_R(M)-R-쌍가군이다. 마찬가지로 임의의 왼쪽 R-가군 N은 R-End_R(N)^op-쌍가군이다.
R이 S의 부분환인 경우, S는 R-R-쌍가군이다. 또한 R-S- 및 S-R-쌍가군이기도 하다.
M이 S-R-쌍가군이고 N이 R-T-쌍가군인 경우, M ⊗_R N은 S-T-쌍가군이다.

5. 응용

호흐실트 호몰로지와 호흐실트 코호몰로지를 쌍가군에 대해 정의할 수 있다. 모리타 동치 및 모리타 쌍대성을 정의할 때 쌍가군의 개념이 사용된다.

''M''과 ''N''이 ''R''-''S'' 쌍가군일 때, 사상 ''f'': ''M'' → ''N''이 쌍가군 준동형이라는 것은 왼쪽 ''R''-가군으로서도 오른쪽 ''S''-가군으로서도 준동형이라는 것이다.

쌍가군은 프로함자(Profunctor)의 개념으로 일반화될 수 있다.^[2]

참조

_[1] 논문 Categorical and combinatorial aspects of descent theory 2003-03-20
_[2] 논문 Categorical and combinatorial aspects of descent theory 2003-03-20

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