입방 배적 문제

1. 개요

입방 배적 문제는 주어진 정육면체의 부피를 두 배로 늘리는 문제를 의미한다. 고대 그리스 시대부터 연구되었으며, 델로스 시민들이 아폴론 신전의 크기를 두 배로 늘리라는 신탁을 받고 이 문제를 플라톤에게 자문한 것이 시초이다. 플라톤은 기계적인 방법을 사용하려는 시도를 비판했고, 키오스 히포크라테스는 이 문제 해결의 핵심이 평균 비례를 찾는 것임을 발견했다. 그러나 19세기에 피에르 방첼은 자와 컴퍼스만으로는 입방 배적이 불가능함을 증명했다. 부피가 두 배인 정육면체의 한 변의 길이는 세제곱근으로 표현되며, 이 수는 자와 컴퍼스로 작도할 수 없기 때문이다. 하지만 눈금이 있는 자를 사용하거나 종이접기 작도를 이용하면 세제곱근을 작도할 수 있어 입방 배적 문제를 해결할 수 있다.

2. 역사

델로스섬 시민들이 델포이의 오라클에 아폴론이 보낸 전염병을 물리칠 방법을 묻자, 신탁은 아폴론 신전 제단의 크기를 두 배로 늘리라고 답했다. 플루타르코스에 따르면, 델로스 시민들은 전염병 퇴치뿐만 아니라 시민들 간의 관계를 강화하는 내부 정치 문제 해결도 함께 모색했다. 신탁의 대답은 델로스 사람들에게는 이해하기 어려웠고, 그들은 플라톤에게 이 수학적 문제를 해석해 달라고 요청했다. 델로스 시민들은 플라톤이 신탁의 조언, 즉 아폴론 제단의 크기를 두 배로 늘리는 것이 가능한지에 대한 궁금증을 기하학과 수학으로 설명해주기를 기대했다. 이 문제는 주어진 정육면체의 부피를 두 배로 하는 정육면체를 찾는 문제였고, 이후 '입방 배적 문제'라는 이름으로 알려지게 되었다.

2.1. 고대 그리스의 해법 시도

플루타르코스에 따르면, 플라톤은 에우독소스, 아르키타스, 메나이크모스에게 기계적인 수단을 사용하여 문제를 해결하려 한다고 비판했다. 이는 순수 기하학을 사용하지 않은 것에 대한 책망이었다. 에라토스테네스는 세 가지 해법을 모두 찾았지만, 너무 추상적이어서 실용적인 가치가 없다고 평가했다.

키오스 히포크라테스는 주어진 선분의 두 배 길이 선분과 그 두 선분 사이의 평균 비례를 찾는 것이 입방배적 문제 해결의 핵심임을 발견했다. 현대 표기법으로, 길이 $a$와 $2a$의 주어진 선분이 있을 때, 입방 배적 문제는 다음을 만족하는 길이 $r$과 $s$의 선분을 찾는 것과 같다.

:$\backslash frac\{a\}\{r\}\; =\; \backslash frac\{r\}\{s\}\; =\; \backslash frac\{s\}\{2a\}$

이것은 다음과 같다.

:$r=a\backslash cdot\backslash sqrt[3]\{2\}$
:$\backslash sqrt[3]\{2\}\; =\; 1.2599210498948732....$

그러나 피에르 방첼은 컴퍼스와 자만으로는 입방 배적이 불가능함을 증명했다.

3. 계산

입방 배적 문제는 3차 방정식으로 표현될 수 있다. 주어진 정육면체의 한 변의 길이를 a라고 할 때, 부피가 두 배인 정육면체의 한 변의 길이는 $a\backslash sqrt[3]\{2\}$이다. $\backslash sqrt[3]\{2\}$는 무리수이며, 자와 컴퍼스로 작도할 수 없는 수이다.

3.1. 뉴시스 작도와 종이접기를 통한 해법

눈금이 있는 자를 사용하는 뉴시스 작도나 종이를 접는 종이접기 작도를 통해서는 삼차 방정식의 해인 세제곱근을 작도할 수 있으므로 입방배적 문제를 해결할 수 있다.