에우독소스

3. 수학

에우독소스는 원뿔의 부피가 같은 반지름과 높이를 가진 원기둥 부피의 3분의 1임을 증명했다. 이 증명은 유클리드의 저서에 기록되어 있다.^[8]

에우독소스는 안티폰의 소진법을 엄밀하게 발전시켜, 훗날 아르키메데스가 능숙하게 사용한 적분법의 기초를 마련했다.^[8] 소진법을 적용하여 에우독소스는 다음의 수학적 명제들을 증명했다:^[8]

• 원의 넓이는 반지름의 제곱에 비례한다.
• 구의 부피는 반지름의 세제곱에 비례한다.
• 피라미드의 부피는 밑면과 높이가 같은 각기둥 부피의 3분의 1이다.
• 원뿔의 부피는 해당 원기둥 부피의 3분의 1이다.

4. 천문학

에우독소스는 기원전 4세기경 천동설을 주장했다. 지구가 중심이고 다른 천체가 그 주위를 돈다는 천동설을 주장했지만, 저서는 남아 있지 않다. 이 개념은 후에 아리스토텔레스와 프톨레마이오스에 의해 체계화되었다.^[3] 그는 지구 구체설을 채택했으며, 지구를 중심으로 다른 천체가 그 주위를 도는 천동설의 입장을 취했다. 그에 따르면, 다른 별들은 각각 개별적인 투명한 구에 붙어 있으며, 그 구는 지구를 중심으로 속도를 바꾸지 않고 계속 회전한다(동심구 모델). 이것으로 행성의 역행을 대략적으로 설명하는 데 성공했지만, 정량적인 예측에는 이르지 못했다.^[3]

에우독소스의 천문학 저서로는 다음과 같은 것들이 있다.

• 『태양의 소실』: 아마도 일식에 관한 내용으로 추정된다.
• 『옥타에테리스』(Ὀκταετηρίς): 8년 주기의 달-태양-금성 달력에 관한 내용이다.
• 『파이노메나』(Φαινόμενα)와 『에노프론』(Ἔνοπτρον): 구면 천문학에 관한 내용으로, 에우독소스가 이집트와 크니두스에서 관측한 내용을 바탕으로 쓰여졌을 것으로 보인다. 『파이노메나』는 아라투스의 시의 기반이 되었고, 히파르코스는 아라투스에 대한 주석에서 에우독소스의 텍스트를 인용했다.
• 『속도에 관하여』: 행성의 운동에 관한 내용이다.

4. 1. 에우독소스의 행성 모델 (동심구 모델)

• 가장 바깥쪽 구는 24시간에 한 번 서쪽으로 회전하여 해가 뜨고 지는 현상을 설명한다.
• 두 번째 구는 한 달에 한 번 동쪽으로 회전하여 황도대를 따라 달이 한 달 동안 움직이는 것을 설명한다.
• 세 번째 구도 한 달 안에 회전을 완료하지만, 축이 약간 다른 각도로 기울어져 있어 위도(황도에서 벗어나는 정도)에서의 움직임과 월식점의 움직임을 설명한다.

• 가장 바깥쪽 구는 일일 운동을 설명한다.
• 두 번째 구는 황도대를 따라 행성의 운동을 설명한다.
• 세 번째와 네 번째 구는 함께 행성이 느려졌다가 잠시 황도대를 따라 운동을 거꾸로 하는 현상인 겉보기 역행 운동을 설명한다. 두 개의 구의 축을 서로 기울이고 같은 주기로 반대 방향으로 회전시킴으로써, 에우독소스는 안쪽 구의 한 점이 숫자 8자 모양 또는 히포페데를 그리도록 만들 수 있었다.

5. 윤리학

아리스토텔레스는 자신의 저서 ''니코마코스 윤리학''에서^[11] 에우독소스가 쾌락주의, 즉 쾌락이 활동이 추구하는 궁극적인 선이라는 주장을 폈다고 말한다. 아리스토텔레스에 따르면, 에우독소스는 이러한 입장을 옹호하기 위해 다음과 같은 주장을 제시했다.

# 모든 것(이성적인 것과 비이성적인 것 모두)은 쾌락을 추구한다. 모든 것은 자신이 선하다고 믿는 것을 추구하며, 최고의 선이 무엇인지에 대한 좋은 지표는 대부분의 것들이 추구하는 대상일 것이다.

# 마찬가지로 쾌락의 반대인 고통은 보편적으로 회피되는데, 이는 쾌락이 보편적으로 선으로 여겨진다는 생각을 뒷받침하는 추가적인 근거가 된다.

# 사람들은 쾌락을 다른 것을 위한 수단으로 추구하는 것이 아니라 그 자체로 목적으로 추구한다.

# 어떤 선이라도 쾌락이 더해지면 더 좋아질 것이고, 선은 오직 선에 의해서만 증가될 수 있다.

# 모든 선 중 행복은 칭찬받지 않는다는 점에서 특이한데, 이는 행복이 최고의 선임을 보여주는 것일 수 있다.^[12]

6. 평가 및 영향

에우독소스는 고대 그리스 수학자 중 가장 위대한 인물 중 한 명으로, 아르키메데스 다음으로 꼽히기도 한다.^[7] 그는 유클리드의 원론 5권의 대부분의 자료를 제공했을 것으로 추정된다. 안티폰의 소진법을 엄밀하게 발전시켰는데, 이는 다음 세기에 아르키메데스가 능숙하게 사용한 적분법의 전조였다. 소진법을 적용하면서 에우독소스는 원의 넓이는 반지름의 제곱에 비례하고, 구의 부피는 반지름의 세제곱에 비례하며, 피라미드의 부피는 밑면과 높이가 같은 각기둥 부피의 3분의 1이며, 원뿔의 부피는 해당 원기둥 부피의 3분의 1이라는 수학적 명제를 증명했다.^[8]

에우독소스는 크기라는 정량화되지 않은 수학적 개념을 도입하여 선, 각, 넓이, 부피와 같은 연속적인 기하학적 실체를 묘사하고 다루면서 무리수의 사용을 피했다. 그는 피타고라스 학파가 수와 산술을 강조하던 것을 뒤집어, 엄밀한 수학의 기초로서 기하학적 개념에 초점을 맞추었다. 에우독소스의 스승인 아르키타스와 같은 일부 피타고라스 학파는 산술만이 증명의 기초를 제공할 수 있다고 믿었다. 공약 불가능량을 이해하고 다루어야 할 필요성에 의해 유도된 에우독소스는 명시적인 공리에 기초하여 수학의 최초의 연역적 구성을 수립했을 것이다. 에우독소스의 초점 변화는 2천 년 동안 지속된 수학의 분열을 자극했다. 실용적인 문제에 관심이 없었던 그리스 지적 태도와 결합하여 산술 및 대수 기술 개발에서 상당한 후퇴가 따랐다.^[8]

에우독소스의 비례에 대한 연구는 무리수와 선형 연속체에 대한 통찰력을 보여준다. 이는 정수나 심지어 유리수뿐만 아니라 연속적인 양을 엄격하게 다룰 수 있게 해준다. 16세기에 니콜로 폰타나 타르탈리아 등에 의해 부활했을 때, 이는 과학 분야의 정량적 연구의 기초가 되었고, 리하르트 데데킨트의 실수에 대한 연구에 영감을 주었다.^[6]

에우독소스는 두 비 사이의 동일성을 정의한 것으로 인정받았으며, 이는 유클리드 ''원론'' 5권의 주제이다. 유클리드 ''원론'' 5권의 정의 5는 다음과 같다.

> 크기가 같다는 것은, 첫 번째와 두 번째, 세 번째와 네 번째에 대해 임의의 배수를 취했을 때, 첫 번째와 세 번째의 배수가 두 번째와 네 번째의 배수를 각각 동일하게 초과하거나, 동일하게 같거나, 동일하게 부족할 때를 말한다.

수학적 표기법을 사용하여 이를 더 명확하게 표현하면 다음과 같다. 네 개의 양 $a$, $b$, $c$, $d$가 주어지면, 첫 번째와 두 번째의 비 $a/b$와 세 번째와 네 번째의 비 $c/d$를 취한다. 두 비가 비례한다는 것, 즉 $a/b = c/d$는 다음과 같은 조건으로 정의할 수 있다.

임의의 두 개의 양의 정수 $m$과 $n$에 대해, 첫 번째와 세 번째의 배수 $m \cdot a$와 $m \cdot c$를 형성한다. 마찬가지로, 두 번째와 네 번째의 배수 $n \cdot b$와 $n \cdot d$를 형성한다. 만약 $m \cdot a > n \cdot b$라면, $m \cdot c > n \cdot d$이다. 대신 $m \cdot a = n \cdot b$라면, $m \cdot c = n \cdot d$이다. 마지막으로, $m \cdot a < n \cdot b$라면, $m \cdot c < n \cdot d$이다.

이는 $a/b = c/d$ if and only if $a/b$보다 큰 비 $n/m$은 $c/d$보다 큰 비와 같고, "같음" 및 "작음"에 대해서도 마찬가지라는 것을 의미한다. 이는 정의될 숫자보다 크거나 같거나 작은 유리수의 집합에 의해 실수를 정의하는 데데킨트 컷과 비교할 수 있다.

에우독소스의 정의는 유사한 양 $m \cdot a$와 $n \cdot b$, 그리고 유사한 양 $m \cdot c$와 $n \cdot d$를 비교하는 데 의존하며, 이러한 양을 측정하기 위한 공통 단위의 존재에 의존하지 않는다. 정의의 복잡성은 관련된 깊은 개념적 및 방법론적 혁신을 반영한다. 비례에 대한 에우독소스의 정의는 무한과 무한소를 활용하기 위해 "모든 ..."이라는 양화사를 사용하며, 이는 극한과 연속성의 현대적인 입실론-델타 정의와 유사하다. 아르키메데스 성질(''원론'' 5권 정의 4)은 아르키메데스에 의해 에우독소스에게 귀속되었다.^[9]

천문학에서 에우독소스는 기원전 4세기경에 천동설을 주장했다. 지구가 중심에 있고, 다른 천체가 그 주위를 도는 천동설을 주장했다고 기록되어 있지만, 저서는 남아 있지 않다. 그러나 이 개념은 후에 아리스토텔레스와 프톨레마이오스에 의해 체계화되었다. 에우독소스는 행성의 역행을 설명하기 위해 동심구 모델을 제시했지만, 정량적인 예측에는 이르지 못했다. 그의 설명은 아리스토텔레스의 우주론에 채택되었다.

히파르코스와 프톨레마이오스는 같은 천동설을 취하면서도, 행성, 달, 태양의 궤도 설명에는 주전원과 이심원에 기초한 완전히 다른 이론을 사용하며, 수치적으로 정밀한 예측에 성공했다. 그러나 이러한 새로운 모델은 아리스토텔레스의 자연학 원리에 반드시 충실하지 않았고, 특히 이심원을 실현하는 물리적인 구조는 누구도 상상할 수 없었다. 때문에 에우독소스의 동심구 모델을 개량하여 프톨레마이오스의 이론을 대체하려는 움직임이 여러 번 있었다. 특히 12세기에 이슬람권이었던 스페인에서 일어난 일련의 연구는 히브리어와 라틴어로도 번역되었고, 프톨레마이오스 이론에서 벗어나려는 움직임의 계기를 제공하게 된다.

화성과 달에 있는 여러 분화구가 그의 이름을 따서 명명되었다. ‘에우독소스의 캄필레’라고 불리는 대수학 곡선도 그의 이름을 따서 지은 것이다.

참조

_[1] 문서 Diogenes Laertius; VIII.86
_[2] 서적 Die Fragmente des Eudoxos von Knidos de Gruyter 1966
_[3] 논문 Eudoxus and Plato. A Study in Chronology
_[4] 문서 Diogenes Laertius; VIII.87
_[5] 서적 Globes: 400 Years of Exploration, Navigation, and Power Chicago University Press 2014
_[6] 서적 For Dirk Struik: Scientific, Historical and Political Essays in Honor of Dirk J. Struik Springer 1974
_[7] 서적 Classics of Mathematics Moore Publishing Company, Inc.
_[8] 서적 Mathematical Thought from Ancient to Modern Times Oxford University Press
_[9] 서적 Theory and Application of Infinite Series https://archive.org/[...] Blackie & Son, Ltd.
_[10] 서적 Early Greek Science: Thales to Aristotle https://archive.org/[...] W.W. Norton
_[11] 문서 Largely in Book Ten.
_[12] 문서 This particular argument is referenced in Book One.
_[13] 웹사이트 Eudoxus https://mathshistory[...]
_[14] 서적 Die Fragmente des Eudoxos von Knidos de Gruyter 1966
_[15] 문서 Diogenes Laertius; VIII.87