위상동형사상

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1. 개요

위상동형사상은 두 위상 공간 사이의 함수로, 전단사 함수이면서 연속 함수이고, 역함수 또한 연속인 경우를 말한다. 두 위상 공간 사이에 위상동형사상이 존재하면 두 공간은 위상동형이라고 하며, 위상동형사상은 위상수학적 성질을 보존한다. 예를 들어, 닫힌 원판과 정사각형, 개구간 (-1, +1)과 실수 전체는 위상동형이며, 구와 원환면은 위상동형이 아니다. 위상동형사상은 열린 사상, 닫힌 사상이며, 합성 또한 위상동형사상이다.

위상동형사상

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 역사상의 연속성
3. 성질
4. 예
- 4.1. 위상동형이 아닌 예
5. 다른 동치 관계

2. 정의

위상 공간 $(X, T_X)$ 와 $(Y, T_Y)$ 가 주어져 있고, $f : X \to Y$ 가 두 위상 공간 사이의 함수라고 할 때, 함수 $f$ 가 다음 세 가지 조건을 만족하면 $f$ 를 위상동형사상이라고 한다.

* $f$ 는 전단사 함수이다.
* $f$ 는 연속 함수이다.
* 역함수 $f^{-1}$ 도 연속 함수이다.

만일 위 세 가지 조건을 만족시키는 함수가 두 위상 공간 사이에 존재하면 두 위상 공간은 서로 위상동형(homeomorphic^영어)이라고 한다. 위상동형사상은 때때로 "쌍방향 연속" 함수라고도 불린다. "위상동형"은 위상 공간에서 동치 관계이며, 이 동치 관계의 동치류는 위상동형류라고 한다.

2.1. 역사상의 연속성

$f^{-1}$ 이 연속이어야 한다는 세 번째 조건은 필수적이다. 예를 들어 $f(\phi) = (\cos\phi,\sin\phi)$ 로 정의된 함수 $f : [0,2\pi) \to S^1$ (여기서 $S^1$ 은 $\mathbb{R}^2$ 의 단위원)을 생각해 보자. 이 함수는 전단사 함수이고 연속 함수이지만 위상동형사상은 아니다. 왜냐하면 $S^1$ 은 콤팩트 공간이지만 $[0,2\pi)$ 는 콤팩트 공간이 아니기 때문이다. 함수 $f^{-1}$ 는 점 $(1,0)$ 에서 연속이 아니다.

3. 성질

두 위상동형인 공간은 위상수학적 성질이 같다. 예를 들어 한 쪽이 콤팩트 공간이면 다른 쪽도 그렇고, 한 쪽이 연결 공간이면 다른 쪽도 그렇고, 한 쪽이 하우스도르프 공간이면 다른 쪽도 마찬가지이다. 위상동형사상은 열린 사상이며 닫힌 사상이다. 즉, 열린 집합을 열린 집합으로, 닫힌 집합을 닫힌 집합으로 변환한다.

위상동형사상은 위상 공간의 범주에서 동형 사상이다. 따라서 두 위상동형사상의 합성은 다시 위상동형사상이며, 모든 자기 위상동형사상 $X \to X$ 의 집합은 X의 위상동형사상 군(종종 $\text{Homeo}(X)$ 로 표시)을 형성한다.

4. 예

세잎매듭(trefoil knot)은 토러스와 위상동형이다. 연속적인 사상(mapping)을 항상 연속적인 물체의 변형(deformation)으로 표현가능한 것은 아니다. 그림에서 매듭을 두껍게 표현한 것은 이해를 돕기 위해서이다.

--

* 열린 구간

(a,b)

는 모든

a < b

에 대해 실수와 위상동형이다. 이 경우, 쌍연속 정방향 사상은

f(x) = \frac{1}{a-x} + \frac{1}{b-x}

로 주어지며, 다른 사상은 또는 함수의 확대 및 이동 버전으로 주어진다.
* 2차원 원판

D^2

과 의 단위 정사각형은 위상동형이다. 왜냐하면 단위 원판을 단위 정사각형으로 변형할 수 있기 때문이다. 정사각형에서 원판으로의 쌍연속 사상의 예는 극좌표에서

(\rho, \theta) \mapsto \left( \tfrac{\rho}{ \max(|\cos \theta|, |\sin \theta|)}, \theta\right)

이다.
* 그래프는 함수의 정의역과 위상동형이다.
* 매개변수 방정식의 미분 가능한 매개변수화는 매개변수화의 정의역과 곡선 사이의 위상동형사상이다.
* 차트는 다양체의 열린 부분 집합과 유클리드 공간의 열린 부분 집합 사이의 위상동형사상이다.
* 스테레오그래픽 투영은 의 단위 구에서 단일 점을 제거한 것과 의 모든 점의 집합(2차원 평면) 사이의 위상동형사상이다.
* 만약

G

가 위상군이면, 그 역 사상

x \mapsto x^{-1}

는 위상동형사상이다. 또한, 모든

x \in G

에 대해, 왼쪽 이동

y \mapsto xy

, 오른쪽 이동

y \mapsto yx

, 내부 자기 동형사상

y \mapsto xyx^{-1}

은 위상동형사상이다.

4.1. 위상동형이 아닌 예

* 단위원과 정사각형은 R²^영어에서 위상동형이다.
* 개구간 (-1, +1)과 실수 전체는 위상동형이다.
* 두 원의 곱공간인 S¹ × S¹^영어과 2차원 원환면은 위상동형이다.
* n ≠ m^영어일 때, Rⁿ^영어과 R^m^영어은 위상동형이 아니다.
* 구와 원환면은 서로 위상동형이 아니다.
* f(Φ) = (cos(Φ), sin(Φ))^영어로 정의된 함수 f : [0, 2π) → S¹^영어는 전단사 함수이고 연속 함수이지만, 역함수가 연속 함수가 아니므로 위상 동형 사상이 아니다. (S¹^영어는 콤팩트 공간이지만 [0, 2π)^영어는 콤팩트 공간이 아니다.)
* 유클리드 실수선은 단위 원이 유클리드 R²^영어의 콤팩트 부분 공간인 반면 실수선은 콤팩트하지 않으므로 R²^영어의 부분 공간으로서 단위 원과 위상동형이 아니다.
* 일차원 구간 [0,1]^영어과 (0,1)^영어은 하나는 콤팩트하고 다른 하나는 그렇지 않으므로 위상동형이 아니다.

5. 다른 동치 관계

위상동형사상은 늘이기, 구부리기, 자르기, 다시 붙이기와 같은 직관적인 기준으로 설명되지만, 이를 적용할 때는 주의해야 한다. 예를 들어 선분은 무한히 많은 점을 가지므로, 유한한 점을 가진 집합과는 전단사 함수를 만들 수 없어 점으로 변형할 수 없다.

위상동형사상의 이러한 특징은 호모토피 개념과 혼동되기도 한다. 호모토피는 연속적인 변형으로 정의되지만, 공간의 변형이 아닌 함수 간의 변형이다. 위상동형사상에서 연속적인 변형을 상상하는 것은 X의 점들이 Y의 점들에 대응하는 방식을 추적하는 도구이다. 반면 호모토피는 한 사상에서 다른 사상으로의 연속적인 변형 자체가 핵심이며, 일대일 또는 전사일 필요가 없어 덜 제한적이다. 호모토피는 호모토피 동치라는 공간 간의 관계로 이어진다.

위상동형사상을 시각화하는 변형에는 아이소토피라는 이름이 붙는다. 이는 X의 항등 사상과 X에서 Y로의 위상동형사상 사이의 호모토피이다. (단, 자르거나 다시 붙이는 경우는 제외)

이와 관련된 다른 동치 관계는 다음과 같다.

* 연속 변형에 의한 동치 관계: 위상 동형보다 더 강한 조건이다.
* 호모토피 동치
* 미분 동상: 두 다양체 사이에서 생각할 수 있는 개념이다. 다양체 간의 동형 사상 f가 Cⁿ급이고, 그 역사상도 Cⁿ급일 때, f를 Cⁿ급 미분 동상(diffeomorphism of class n) (사상)이라고 한다.