자기 선속

1. 개요

자기 선속은 자기장이 있는 공간의 곡면을 통과하는 자기장의 양을 나타내는 물리량이다. 자기 선속은 자기장과 면적 요소의 곱을 면적 전체에 대해 적분하여 계산하며, 국제단위계에서는 웨버(Wb)를 사용한다. 가우스 자기 법칙에 따라 닫힌 곡면을 통과하는 총 자기 선속은 0이며, 패러데이 전자기 유도 법칙에 의해 자기 선속의 시간 변화는 기전력을 유도한다. 초전도체에서는 자기 선속이 양자화되어 자기 선속 양자의 정수배 값만 가질 수 있다.

2. 정의

자기장 B가 있는 공간 상의 곡면 S와 그 둘레를 이루는 폐곡선 C를 생각하자. S의 무한소 면적 요소 dS에 수직인 단위 벡터를 n이라고 할 때, 곡면 S를 지나는 자기 선속 Φ는 다음과 같은 적분 값으로 정의된다.
:$\backslash Phi\; =\; \backslash int\_S\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{n\}\backslash ;dS$
가우스의 자기 법칙에 따라, 자기력선은 중간에 끊어지거나 없어지지 않으므로, 서로 다르지만 그 둘레가 같은 곡면의 자기 선속은 같다.

자기 선속은 넓이와 자기장의 곱이므로, 그 단위는 넓이의 단위와 자기장의 단위의 곱이다. 국제단위계에서 자기 선속의 단위는 웨버(Wb)이며, 1 Wb = 1 m² × 1 T이다. CGS 단위계에서 자기 선속의 단위는 맥스웰(Mx)이다.

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2.1. 자속 밀도와의 관계

자기 선속은 주로 자속 밀도로 다루어진다. 방향이 정해진 임의의 곡면 S를 생각할 때, 이 곡면을 통과하는 자속 Φ는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash Phi\; =\; \backslash int\_S\; \backslash boldsymbol\{B\}\backslash cdot\; d\backslash boldsymbol\{S\}$

여기서 $\backslash boldsymbol\{B\}$는 자속 밀도이고, $d\backslash boldsymbol\{S\}$는 면적 요소이며 그 방향은 곡면의 법선 방향을 향한다.

더 정교한 물리 모델에서는 자기 선속을 면을 통과하는 자기장의 법선 성분의 면적분으로 정의한다. 자기장이 일정하면 벡터 면적 S의 면을 통과하는 자기 선속은 다음과 같다.

:$$\backslash Phi\_B\; =\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{S\}\; =\; BS\; \backslash cos\; \backslash theta,$$

여기서 B는 자기장의 크기(자기 선속 밀도)로 단위는 Wb/m²(테슬라)이고, S는 면의 면적이고, θ는 자기 장선과 S에 대한 법선(수직) 사이의 각도이다. 변하는 자기장의 경우, 먼저 미소 면적 요소 dS를 통과하는 자기 선속을 고려한다. 여기서 우리는 자기장이 일정하다고 생각할 수 있다.

:$$d\backslash Phi\_B\; =\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{S\}.$$

일반적인 면 S는 미소 요소로 나눌 수 있으며, 면을 통과하는 총 자기 선속은 면적분이다.

:$$\backslash Phi\_B\; =\; \backslash iint\_S\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\; S.$$

3. 자기 선속의 보존

자기 단극이 존재하지 않는다고 가정하면, 공간 내 임의의 영역의 경계면을 통과하는 자기 선속은 항상 0이 된다. 이 식에 발산 정리를 이용하면 다음과 같다.

:$\backslash nabla\backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{B\}\; =0$

이 식은 맥스웰 방정식 중 하나이다.

4. 전자기 유도 법칙

닫힌 회로에 유도되는 기전력(EMF)은 그 회로를 경계로 하는 곡면을 관통하는 자기 선속의 시간 변화에 비례한다. 이를 패러데이 전자기 유도 법칙이라고 한다. 이 법칙은 발전기의 원리가 된다.

:$V\; =\; -\backslash frac\{d\backslash Phi\}\{dt\}$

예를 들어, 전도성 와이어 고리(loop)를 통과하는 자기 선속이 변하면 고리에 기전력이 발생하고, 이에 따라 전류가 흐르게 된다. 이 관계는 패러데이 법칙에 의해 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash mathcal\{E\}\; =\; \backslash oint\_\{\backslash partial\; \backslash Sigma\}\; \backslash left(\; \backslash mathbf\{E\}\; +\; \backslash mathbf\; v\; \backslash times\; \backslash mathbf\; B\backslash right)\; \backslash cdot\; d\backslash boldsymbol\{\backslash ell\}\; =\; -\backslash frac\{d\backslash Phi\_B\}\{dt\},$

여기서,

* $\backslash mathcal\{E\}$는 기전력(EMF)이다.
* 마이너스 부호는 렌츠의 법칙을 나타낸다.
* $\backslash Phi\_B$는 열린 면 $\backslash Sigma$를 통과하는 자기 선속이다.
* $\backslash partial\backslash Sigma$는 열린 면 $\backslash Sigma$의 경계이다. 일반적으로 면은 움직이고 변형될 수 있으므로 시간의 함수이다. 기전력은 이 경계를 따라 유도된다.
* $d\backslash boldsymbol\{\backslash ell\}$는 윤곽 $\backslash partial\backslash Sigma$의 미소(infinitesimal) 벡터 요소이다.
* $\backslash mathbf\{v\}$는 경계 $\backslash partial\backslash Sigma$의 속도이다.
* $\backslash mathbf\{E\}$는 전기장이다.
* $\backslash mathbf\{B\}$는 자기장이다.

기전력에 대한 두 가지 방정식은 첫째, (움직일 수도 있는) 면 경계 $\backslash partial\backslash Sigma$를 따라 시험 전하를 이동시키는 데 드는 로렌츠 힘에 대한 단위 전하당 일이며, 둘째, 열린 면 $\backslash Sigma$를 통과하는 자기 선속의 변화이다.

자기 선속의 크기가 변화하면 그 변화 속도에 비례하는 크기의 전기장이 발생한다. 자기장은 전기장의 시간적 변화에 따라 유도되므로, 이러한 전기장과 자기장(또는 전기력선과 자기력선)의 상호 유도가 일어나게 된다. 이렇게 하여 일종의 파동이 발생하게 되는데, 이를 전자기파라 한다.

5. 자기 선속의 양자화

고리 모양의 초전도체를 생각해 보면, 초전도체 자체는 마이스너 효과에 의해 내부에 자기 선속이 들어갈 수 없지만, 고리의 구멍 부분을 통과하는 것은 가능하다. 이 구멍을 통과하는 자기 선속은 다음 값의 정수배만 가질 수 있다.
:$\backslash phi\_0\; =\; \backslash frac\{h\}\{2e\}\; =\; 2.067~833~848\; \backslash times\; 10^\{-15\}~\backslash text\{Wb\}$ (2018CODATA 권장값)
여기서 $h$는 플랑크 상수, $e$는 기본 전하이다.

이와 같이 초전도 고리를 통과할 수 있는 자속의 양이 불연속적인 값이 되는 것을 "자기 선속의 양자화"라고 부르며, 그 최소 단위인 $\backslash phi\_0$를 자기 선속 양자(magnetic flux quantum)라고 한다. 자기 선속의 양자화는 초전도를 특징짓는 중요한 특성 중 하나이며, 1961년에 디버, 페어뱅크 등과 돌, 네이버 등에 의해 독립적으로 관찰되었다.

5.1. 자기 선속 양자화 관측 방법: 돌, 네이버 등의 방법

지름 10um의 수정 막대 표면에 납을 증착하여 납으로 된 원통을 만들고, 원통이 수평이 되도록 크라이오스타트 내부에서 수정 섬유로 매단다. 어떤 외부 자기장(동결 자기장) 속에서 이 원통을 초전도 전이 온도 이하로 냉각시키고, 외부 자기장을 제거하면 원통에 영구 전류에 의한 자속이 갇힌 상태가 된다. 이 자속의 자기 모멘트를 원통의 측정 자기장 하에서의 진동 주기로부터 평가하면, 자속 양자의 정수배 값만을 취한다.