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작용소 K이론

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목차

1. 개요

작용소 K이론은 C*-대수의 대수적 K-이론을 일반화한 것으로, 사영원과 부분 등거리원을 사용하여 0차 K군을 정의하고, 일반 선형군을 통해 i차 K군을 정의한다. 보트 주기성에 따라 K_i+2(A) = K_i(A)의 성질을 가지며, 1차원 C*-대수 C의 K_0(C)는 정수군 Z와 동형이다. 작용소 K이론은 프레드홀름 지수, 본질적 정규 연산자, AF C*-대수 분류, K-호몰로지, KK-이론, E-이론 등 다양한 분야에 응용 및 확장된다.

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작용소 K이론
기본 정보
분야수학, 물리학
세부 분야작용소 대수, K-이론
주목할 만한 인물마이클 아티야, 이사도어 싱어
주제
주요 개념작용소 대수, K-이론, C*-대수
관련 이론지표 정리, 비가환 기하학

2. 정의

2. 1. 사영원과 부분 등거리원

복소수 대합 대수 A의 원소 a\in A가 a^2=a^*=a를 만족시키면, a를 '''사영원'''(projection element영어)이라고 한다. 사영원의 집합은 \operatorname P(A)로 표기한다.

a^*a\in\operatorname P(A)라면, a를 '''부분 등거리원'''(partial isometry영어)이라고 한다. a가 부분 등거리원이면, a^* 역시 부분 등거리원이다. 부분 등거리원들의 집합은 \operatorname{PI}(A)로 표기한다.

\operatorname P(A) 위에는 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

:a\sim b\iff \exists c\in\operatorname{PI}(A)\colon a=c^*c,\; b=cc^*

2. 2. 무한 행렬 공간

항등원을 갖는 C*-대수 A가 주어졌을 때, A성분의 n\times n 정사각 행렬들의 C*-대수 \operatorname{Mat}(n;A)를 정의할 수 있다. n\times n 행렬에 모든 성분이 0인 n+1번째 행 및 열을 추가하는 사상을

:\iota_n\colon\operatorname{Mat}(n;A)\to\operatorname{Mat}(n+1;A)

라고 하면, 이들을 통해 다음과 같은 귀납적 극한을 취할 수 있다.

:\operatorname{Mat}(\infty;A)=\lim_{n\to\infty}\operatorname{Mat}(n;A)

이는 그러나 항등원을 갖지 않아 환이 아니다. \operatorname{Mat}(\infty;A) 위에 이항 연산

:M\oplus N=\begin{pmatrix}

M&0_{m\times n}\\

0_{n\times m}&N

\end{pmatrix}\qquad(M\in\operatorname{Mat}(m;A),\;N\in\operatorname{Mat}(n;A))

을 정의한다.

\operatorname{Mat}(\infty;A) 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

:M\sim N\iff\exists P\in\operatorname{Mat}(m,n;A)\colon M=PP^*,\;N=P^*P\qquad(M\in\operatorname{Mat}(m;A),\;N\in\operatorname{Mat}(n;A))

\operatorname{Mat}(\infty;A)/\sim는 가환 모노이드를 이룬다. 이를 \operatorname D(A)로 표기한다. \operatorname D(A)의 그로텐디크 군을 A의 '''0차 K군'''이라고 하며, \operatorname K_0(A)로 표기한다.

2. 3. K1 군

마찬가지로, A계수의 일반 선형군

:\operatorname{GL}(n;A)=\operatorname{Unit}\left(\operatorname{Mat}(n;A)\right)

및

:\operatorname{GL}(\infty;A)=\lim_{n\to\infty}\operatorname{GL}(n;A)

를 정의한다. (\operatorname{GL}(\infty;A)는 항등원을 갖지 않아 사실 군이 아니다.) 이 경우, A의 '''i차 K군'''은 다음과 같다.

:\operatorname K_i(A)=\pi_{i-1}(\operatorname{GL}(\infty;A))\qquad(i\ge1)

3. 성질

보트 주기성에 따라

:\operatorname K_{i+2}(A)=\operatorname K_i(A)

이다.

3. 1. 보트 주기성

보트 주기성에 따라 \operatorname K_{i+2}(A)=\operatorname K_i(A)이다.

4. 예시

1차원 C* 대수 \mathbb C를 생각하자. \operatorname K_0(\mathbb C)는 다음과 같다.

:\operatorname D(\mathbb C)\cong\mathbb N

:\operatorname K_0(\mathbb C)\cong\mathbb Z

구체적으로,

:n\mapsto[1_{n\times n}]\qquad(n\in\mathbb N)

이다. 이는 복소수 정사각 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb C) 가운데 M^2=1이라면

:M=\operatorname{diag}(e_1,e_2,\dotsc,e_n)

:e_1,\dotsc,e_n\in\{0,1\}

의 꼴이기 때문이다.

4. 1. 1차원 C*-대수의 K-군

1차원 C* 대수 \mathbb C를 생각하자. \operatorname K_0(\mathbb C)는 다음과 같다.

:\operatorname D(\mathbb C)\cong\mathbb N

:\operatorname K_0(\mathbb C)\cong\mathbb Z

구체적으로,

:n\mapsto[1_{n\times n}]\qquad(n\in\mathbb N)

이다. 이는 복소수 정사각 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb C) 가운데 M^2=1이라면

:M=\operatorname{diag}(e_1,e_2,\dotsc,e_n)

:e_1,\dotsc,e_n\in\{0,1\}

의 꼴이기 때문이다.

5. 응용 및 확장

5. 1. 프레드홀름 지수와 지수 정리

5. 2. 본질적 정규 연산자와 AF C*-대수 분류

5. 3. K-호몰로지, KK-이론, E-이론


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