그로텐디크 군

1. 개요

그로텐디크 군은 완전 범주에서 정의되는 아벨 군으로, 범주 내 객체에 대한 생성자와 완전 수열에 대한 관계를 통해 구성된다. 가환 모노이드, 아벨 범주, 삼각 범주 등 다양한 범주에 대해 정의될 수 있으며, 각 경우에 따라 구체적인 구성과 성질을 갖는다. 특히 가환 모노이드의 그로텐디크 군은 역원을 도입하여 아벨 군을 구성하는 보편적인 방법이며, 아벨 범주의 그로텐디크 군은 K이론과 관련이 있다. 그로텐디크 군은 자연수에서 정수를 구성하는 예시와 같이 다양한 수학적 대상의 구조를 이해하는 데 활용되며, K-이론, 표현론 등 여러 분야에서 중요한 역할을 한다.

2. 정의

작은 퀼런 완전 범주(예를 들어, 작은 아벨 범주) $\backslash mathcal\; A$가 주어졌을 때, 각 짧은 완전열
:$A\backslash rightarrowtail\; B\backslash twoheadrightarrow\; C$
에 대하여, 형식적 관계
:$[A]+[C]=[B]$
를 정의한다. $\backslash mathcal\; A$의 모든 원소들과 위와 같은 관계들로 생성되는 아벨 군을 $\backslash mathcal\; A$의 그로텐디크 군이라고 하며, $\backslash operatorname\; K(\backslash mathcal\; A)$로 표기한다. 이 기호 $\backslash operatorname\; K(-)$는 K이론에서 딴 것이다.

작은 가법 범주 $\backslash mathcal\; A$에 다음과 같은 열들만을 짧은 완전열로 하는 퀼런 완전 범주 구조를 부여한다.
:$A\backslash to\; A\backslash oplus\; B\backslash to\; B$
여기서 위의 두 사상은 곱 및 쌍대곱의 보편 성질에 등장하는 것들이다. ($\backslash oplus$는 곱 (범주론)=쌍대곱) 이는 $\backslash mathcal\; A$ 위에 존재하는 “최소의” (즉, 짧은 완전열을 가장 적게 갖는) 퀼런 완전 범주 구조이다.

이 경우, $\backslash mathcal\; A$의 그로텐디크 군은 보다 구체적으로 정의될 수 있다. 가환 모노이드의 범주 $\backslash operatorname\{CMon\}$와 아벨 군의 아벨 범주 $\backslash operatorname\{Ab\}$ 사이의 포함 함자
:$\backslash operatorname\{Ab\}\backslash to\backslash operatorname\{CMon\}$
는 왼쪽 수반 함자 $F\backslash colon\backslash operatorname\{CMon\}\backslash to\backslash operatorname\{Ab\}$를 갖는다.

$\backslash mathcal\; A$의 대상들의 (동형 사상에 대한) 동치류들의 집합 $\backslash operatorname\{Iso\}(\backslash mathcal\; A)$을 생각하면, $(\backslash operatorname\{Iso\}(\backslash mathcal\; A),\backslash oplus)$는 가환 모노이드를 이룬다. 이 경우 $\backslash mathcal\; A$의 그로텐디크 군은 다음과 같다.
:$\backslash operatorname\; K(\backslash mathcal\; A)=F(\backslash operatorname\{Iso\}(\backslash mathcal\; A),\backslash oplus)$

간혹 일부 문헌에서는 함자 $F$ 자체를 그로텐디크 군이라고 일컫기도 한다.

2.1. 가환 모노이드의 그로텐디크 군

가환 모노이드 $(M,+)$의 그로텐디크 군은 다음과 같이 정의된다.

먼저, 데카르트 곱 $M\; \backslash times\; M$을 생각한다. $M\; \backslash times\; M$의 원소 $(m\_1,\; m\_2)$는 $m\_1\; -\; m\_2$를 나타내는 것으로 생각할 수 있다.

$M\backslash times\; M$ 위에서의 덧셈은 각 좌표별로 정의한다.

:$(m\_1,\; m\_2)\; +\; (n\_1,n\_2)\; =\; (m\_1+n\_1,\; m\_2+n\_2)$.

$M\; \backslash times\; M$ 위에 동치 관계를 정의한다. $M$의 어떤 원소 $k$에 대해 $m\_1\; +\; n\_2\; +\; k\; =\; m\_2\; +\; n\_1\; +\; k$이면 $(m\_1,\; m\_2)$와 $(n\_1,\; n\_2)$는 동치이다. (모든 모노이드에서 소거 법칙이 성립하는 것은 아니므로, $k$가 필요하다).

$(m\_1,\; m\_2)$의 동치류는 $[(m\_1,\; m\_2)]$로 쓴다. $K$를 이러한 동치류들의 집합으로 정의한다. $M\; \backslash times\; M$ 위의 덧셈은 동치 관계와 잘 맞아 떨어지므로, $K$ 위에도 덧셈을 정의할 수 있고, $K$는 아벨 군이 된다. $K$의 덧셈에 대한 항등원은 $(m,\; m)$ 꼴의 임의의 원소의 동치류이며, $(m\_1,\; m\_2)$의 동치류의 역원은 $(m\_2,\; m\_1)$의 동치류이다.

모노이드 준동형 사상 $i\backslash colon\; M\backslash to\; K$는 $m$을 $(m,\; 0)$의 동치류로 보낸다.

이러한 구성은 다음과 같은 보편성을 만족한다.

* 모노이드 준동형 사상 $i\; \backslash colon\; M\; \backslash to\; K$가 존재한다.
* 아벨 군 A와 모노이드 준동형 사상 $f\; \backslash colon\; M\; \backslash to\; A$가 주어졌을 때, $f\; =\; g\; \backslash circ\; i$를 만족하는 유일한 군 준동형 사상 $g\; \backslash colon\; K\; \backslash to\; A$가 존재한다.

이는 M의 준동형상을 포함하는 임의의 아벨 군 A는 K의 준동형상 또한 포함하며, K는 M의 준동형상을 포함하는 "가장 일반적인" 아벨 군이라는 사실을 나타낸다.

생성원과 관계식을 사용하여 그로텐디크 군을 구성할 수도 있다. $(Z(M),+\text{'})$를 집합 M에 의해 생성되는 자유 아벨 군이라 하자. 그로텐디크 군 K는 $\backslash \{(x+\text{'}y)-\text{'}(x+y)\backslash mid\; x,y\backslash in\; M\backslash \}$에 의해 생성되는 부분군에 의한 Z(M)의 몫군이다. (여기서 +'는 자유 아벨 군 Z(M)에서의 덧셈을 나타내고, +는 모노이드 M에서의 덧셈을 나타낸다.)

$M$이 소거 성질을 갖지 않는 경우 (즉, $a\backslash ne\; b$이고 $ac=bc$를 만족하는 $M$의 원소 $a,\; b,\; c$가 존재하는 경우), 그로텐디크 군 $K$는 $M$을 포함할 수 없다. 특히, 곱셈 연산으로 표시되는 모노이드가 모든 $x\backslash in\; M$에 대해 $0.x=0$을 만족하는 영 원소를 갖는 경우, 그로텐디크 군은 자명군이 된다.

2.2. 아벨 범주의 그로텐디크 군

퀼런 완전 범주 또는 아벨 범주 $\backslash mathcal\; A$의 그로텐디크 군 $K(\backslash mathcal\; A)$는 다음과 같이 정의된다. $\backslash mathcal\; A$의 각 짧은 완전열
:$A\backslash rightarrowtail\; B\backslash twoheadrightarrow\; C$
에 대하여, 형식적 관계
:$[A]+[C]=[B]$
를 부여했을 때, $\backslash mathcal\; A$의 모든 원소들과 이러한 관계들로 생성되는 아벨 군이다.

가법 범주 $\backslash mathcal\; A$에 "최소" 퀼런 완전 범주 구조, 즉 다음과 같은 형태의 열들만을 짧은 완전열로 하는 구조를 부여할 수 있다.
:$A\backslash to\; A\backslash oplus\; B\backslash to\; B$
여기서 사상들은 곱 및 쌍대곱의 보편 성질에 의해 정의되며, $\backslash oplus$는 곱 (범주론)=쌍대곱이다.

이 경우, $\backslash mathcal\; A$의 그로텐디크 군은 다음과 같이 더 구체적으로 정의할 수 있다. 가환 모노이드 $(\backslash operatorname\{Iso\}(\backslash mathcal\; A),\backslash oplus)$를 생각하자. 여기서 $\backslash operatorname\{Iso\}(\backslash mathcal\; A)$는 $\backslash mathcal\; A$의 대상들의 동형 사상에 대한 동치류들의 집합이다. $(\backslash operatorname\{Iso\}(\backslash mathcal\; A),\backslash oplus)$는 가환 모노이드를 이루며, 이 가환 모노이드에 대하여 그로텐디크 군은 다음과 같다.
:$\backslash operatorname\; K(\backslash mathcal\; A)=F(\backslash operatorname\{Iso\}(\backslash mathcal\; A),\backslash oplus)$
여기서 $F\backslash colon\backslash operatorname\{CMon\}\backslash to\backslash operatorname\{Ab\}$는 가환 모노이드의 범주에서 아벨 군의 아벨 범주로 가는 왼쪽 수반 함자이다.

일부 문헌에서는 함자 $F$ 자체를 그로텐디크 군이라고 부르기도 한다.

또는 보편 성질을 사용하여 그로텐디크 군을 정의할 수 있다. $\backslash mathcal\{A\}$에서 아벨 군 X로의 사상 $\backslash chi:\; \backslash mathrm\{Ob\}(\backslash mathcal\{A\})\backslash to\; X$가 모든 완전 수열 $A\backslash hookrightarrow\; B\backslash twoheadrightarrow\; C$에 대해 $\backslash chi(A)-\backslash chi(B)+\backslash chi(C)=0$을 만족하면 "가법적"이라고 한다. 아벨 군 G는 가법 사상 $\backslash phi:\; \backslash mathrm\{Ob\}(\backslash mathcal\{A\})\backslash to\; G$와 함께 $\backslash mathcal\{A\}$의 그로텐디크 군이라고 하는데, 모든 가법 사상 $\backslash chi:\; \backslash mathrm\{Ob\}(\backslash mathcal\{A\})\backslash to\; X$가 $\backslash phi$를 통해 고유하게 인수분해될 경우이다.

2.3. 완전 범주의 그로텐디크 군

exact category^영어인 완전 범주 $\backslash mathcal\{A\}$의 그로텐디크 군은 다음과 같이 정의된다. 우선, 범주 $\backslash mathcal\{A\}$의 각 대상(의 동형류)에 대해 생성자 [M]을 만든다. 그리고 각 완전열

:$A\backslash hookrightarrow\; B\backslash twoheadrightarrow\; C$

에 대해 다음 관계식을 부여한다.

:$[A]-[B]+[C]\; =\; 0$

이렇게 생성자와 관계식으로 정의된 아벨 군이 완전 범주 $\backslash mathcal\{A\}$의 그로텐디크 군이다.

다른 방법으로, 보편성을 사용하여 그로텐디크 군을 정의할 수도 있다. 아벨 군 G와 사상 $\backslash phi\; \backslash colon\; \backslash mathrm\{Ob\}(\backslash mathcal\{A\})\backslash to\; G$가 주어졌을 때, $\backslash mathcal\{A\}$에서 임의의 아벨 군 X로 가는 모든 "가법적" 사상 $\backslash chi\; \backslash colon\; \backslash mathrm\{Ob\}(\backslash mathcal\{A\})\backslash to\; X$가 유일하게 $\backslash phi$를 통해 분해될 경우, G를 $\backslash mathcal\{A\}$의 그로텐디크 군이라고 한다. 여기서 "가법적" 사상이란 모든 완전열 $A\backslash hookrightarrow\; B\backslash twoheadrightarrow\; C$에 대해 $\backslash chi(A)-\backslash chi(B)+\backslash chi(C)=0$을 만족하는 사상을 의미한다.

모든 아벨 범주는 "완전"하다는 표준적인 해석을 적용하면 완전 범주가 된다. 예를 들어, $\backslash mathcal\{A\}\; \backslash colon=\; R\backslash text\{-mod\}$를 유한 생성 R-가군 범주로 선택하면, 이는 아벨 범주이므로 완전 범주가 된다.

한편, 모든 가법 범주는 $A\backslash hookrightarrow\; A\backslash oplus\; B\backslash twoheadrightarrow\; B$ 형태의 열만을 완전열로 정의하면 완전 범주가 된다. 이 경우, $(\backslash mathrm\{Iso\}(\backslash mathcal\{A\}),\backslash oplus)$를 가환 모노이드로 보았을 때의 그로텐디크 군과 같다. ($\backslash mathrm\{Iso\}(\backslash mathcal\{A\})$는 $\backslash mathcal\{A\}$의 동형류들의 "집합"을 의미한다.)

2.4. 삼각 범주의 그로텐디크 군

삼각 범주에 대한 그로텐디크 군을 정의하는 것도 가능하다. 이 구성은 기본적으로 유사하지만, X → Y → Z → X[1] 형태의 특수한 삼각 사상(distinguished triangle)이 존재할 때, [X] − [Y] + [Z] = 0 관계를 사용한다.

3. 성질

범주론의 언어로, 모든 보편적인 구성은 함자를 낳는다. 따라서 가환 모노이드의 범주에서 가환 모노이드 M을 그로텐디크 군 K로 보내는 아벨 군의 범주로 가는 함자를 얻는다. 이 함자는 아벨 군의 범주에서 가환 모노이드의 범주로 가는 망각 함자의 왼쪽 수반이다.

가환 모노이드 M에 대해, 사상 i : M → K는 M이 소거 성질을 가질 경우에만 단사이며, M이 이미 군일 경우에만 전사이다.

4. 예시

$\backslash mathbb\; K$가 실수체($\backslash mathbb\; R$) 또는 복소수체($\backslash mathbb\; C$)라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위의 유한 차원 $\backslash mathbb\; K$-벡터 다발들의 범주 $\backslash operatorname\{Vect\}(X)$에 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군을 취할 수 있다. 이를 $X$의 $\backslash mathbb\; K$-위상 K이론이라고 한다.

정수, 유리수, 벡터 공간, 다양체, 가군, 환, 아르틴 환, 환 달린 공간 등에 대한 다양한 예시는 하위 섹션을 참조.

* 환이나 환 달린 공간에는 그 외에도 그로텐디크 군 G₀가 존재하며, 유용할 수도 있다. 범주가 환 달린 공간의 모든 준결합층의 범주로 선택된 경우에는, 아핀 스킴에서의 어떤 환 R 위의 모든 가군의 범주로 환원된다. G₀는 함자가 아니지만, 중요한 정보를 가지고 있다.

* (유계) 도출 범주는 삼각 범주이므로, 도출 범주의 그로텐디크 군이 존재한다. 이 사실은 예를 들어 표현론에 응용을 가지고 있다. 비유계 범주에 대해서는, 그로텐디크 군은 소멸한다. 복소 유한 차원 양의 차수 대수의 도출 범주에 대해, 비유계 도출 범주 안에, 그 그로텐디크 군이 q-진 완비한 A의 그로텐디크 군을 포함하는 부분 범주가 존재한다.

4.1. 정수

자연수 집합의 그로텐디크 군은 정수 집합이다. 구체적인 구성 과정은 다음과 같다.

먼저, 0을 포함한 자연수와 일반적인 덧셈은 가환 모노이드 $(\backslash N,\; +)$를 이룬다. 여기서 그로텐디크 군 구성을 적용하면, 자연수의 형식적인 차이인 n − m을 원소로 얻게 되며, 다음과 같은 동치 관계가 성립한다.

:$n\; -\; m\; \backslash sim\; n\text{'}\; -\; m\text{'}\; \backslash iff\; n\; +\; m\text{'}\; +\; k\; =\; n\text{'}+\; m\; +\; k$ (어떤 $k$에 대해) $\backslash iff\; n\; +\; m\text{'}\; =\; n\text{'}\; +\; m$.

이제 다음을 정의한다.

:$\backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash N:\; \backslash qquad\; \backslash begin\{cases\}\; n\; :=\; [n\; -\; 0]\; \backslash \backslash \; -n\; :=\; [0\; -\; n]\; \backslash end\{cases\}$

이렇게 정수 $\backslash Z$를 정의할 수 있다. 이는 실제로 자연수로부터 정수를 얻는 일반적인 구성 방식이다. 더 자세한 설명은 정수의 구성 문서를 참조하라.

4.2. 유리수

곱셈 가환 모노이드 $(\backslash N^*,\; \backslash times)$ (1에서 시작)의 그로텐디크 군은 형식적인 분수 $p/q$로 구성되며, 등식은 다음과 같다.

:$p/q\; \backslash sim\; p\text{'}/q\text{'}\; \backslash iff\; pq\text{'}r\; =\; p\text{'}qr$ (여기서 $r$은 어떤 수) $\backslash iff\; pq\text{'}\; =\; p\text{'}q$

이는 양의 유리수와 동일시될 수 있다.

4.3. 벡터 공간

체 k 위의 유한 차원 벡터 공간들의 아벨 범주 $\backslash operatorname\{fgMod\}\_K$를 생각하자. 이 아벨 범주의 동형류는 자연수 집합과 일대일 대응하며, 이는 차원에 의하여 주어진다.

:$\backslash dim\_K\backslash colon\backslash operatorname\{Iso\}(\backslash operatorname\{fgMod\}\_K)\backslash to\; \backslash mathbb\; N$
:$\backslash dim\_K\backslash colon\; K^\{\backslash oplus\; n\}\backslash mapsto\; n$

벡터 공간의 직합은 차원의 덧셈에 대응한다. 따라서, $\backslash operatorname\{fgMod\}\_K$의 그로텐디크 군은 무한 순환군 $F(\backslash mathbb\; N)=\backslash mathbb\; Z$이다.

체 k 위의 유한 차원 벡터 공간의 아벨 범주에서 두 벡터 공간이 동치인 것과 그들의 차원이 같은 것은 동치이며, 따라서 벡터 공간 V에 대해 동치류는 $K\_0(\backslash mathrm\{Vect\}\_\{\backslash mathrm\{fin\}\})$ 안에서 $[V]\; =\; [k^\{\backslash mbox\{dim\}(V)\}]$이다. 게다가 완전열

:$0\; \backslash to\; k^l\; \backslash to\; k^m\; \backslash to\; k^n\; \backslash to\; 0$

에 대해, m = l + n이므로,

:$[k^\{l+n\}]\; =\; [k^l]\; +\; [k^n]\; =\; (l+n)[k]$

가 된다. 따라서 $[V]\; =\; \backslash operatorname\{dim\}(V)[k]$에 대해, 그로텐디크 군 $K\_0(\backslash mathrm\{Vect\}\_\{\backslash mathrm\{fin\}\})$은 Z와 동형이며, [k]에 의해 생성된다. 결국, 유한 차원 벡터 공간 V*의 사슬 복합체에 대해,

:$[V^*]\; =\; \backslash chi(V^*)[k]$

이며, 여기서 $\backslash chi$는,

:$\backslash chi(V^*)=\; \backslash sum\_i\; (-1)^i\; \backslash operatorname\{dim\}\; V\; =\; \backslash sum\_i\; (-1)^i\; \backslash operatorname\{dim\}\; H^i(V^*)$

에 의해 정의되는 표준 오일러 특성이다.

4.4. 다양체

K-이론의 기본적인 구성이다. 콤팩트 다양체 M의 군 $K\_0(M)$은 M 위의 유한 랭크의 벡터 다발의 모든 동형류로 구성된 가환 모노이드에 모노이드 연산을 직합으로 부여한 그로텐디크 군으로 정의된다. 이것은 다양체로부터 아벨 군으로의 반변관자를 제공한다. 이 관자는 위상 K이론에서 연구되고 확장되었다.

4.5. 가군

가환환 R 위의 유한 생성 가군들의 아벨 범주 $\backslash operatorname\{fgMod\}\_R$의 그로텐디크 군 $\backslash operatorname\; K(\backslash operatorname\{fgMod\}\_R)$를 정의할 수 있다.

또한, 가환환 R 위의 유한 생성 사영 가군들의 가법 범주 $\backslash operatorname\{fgpMod\}\_R$에 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군 $\backslash operatorname\; K(\backslash operatorname\{fgpMod\}\_R)$를 정의할 수 있다.

가환환 R 위의 모든 단순군들의 동형류는 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 자유 아벨 군 $\backslash mathbb\; Z^\{\backslash oplus\backslash operatorname\{Iso\}(\backslash operatorname\{simpleMod\}\_R)\}$을 생각할 수 있다.

만약 $R$가 어떤 체 위의 유한 차원 결합 대수라면, 다음 세 아벨 군은 서로 동형이다.
:$\backslash operatorname\; K(\backslash operatorname\{fgMod\}\_R)\backslash cong\; \backslash operatorname\; K(\backslash operatorname\{fgpMod\}\_R)\backslash cong\; \backslash mathbb\; Z^\{\backslash oplus\backslash operatorname\{Iso\}(\backslash operatorname\{simpleMod\}\_R)\}$

4.6. 환

(반드시 가환일 필요는 없는) 환 R의 영차 대수적 K군 $K\_0(R)$은 R 위의 유한 생성 사영 가군의 동형류로 구성된 모노이드의 그로텐디크 군이며, 모노이드 연산은 직합으로 주어진다. 그러면 $K\_0$는 환에서 아벨 군으로 가는 공변관자이다.

이 두 가지 예는 관련되어 있다. R이 콤팩트 다양체 M 위의 (복소수 값을 갖는 것으로 하자) 미분 가능한 함수 전체의 환 C^∞(X)인 경우를 생각해 보자. 이 경우 사영 R-가군은 (세르-스완 정리에 의해) M 위의 벡터 다발에 쌍대이다. 따라서 K₀(R)과 K₀(M)은 같은 군이다.

4.7. 아르틴 환

R을 체 k 위의 유한 차원 대수 또는 더 일반적으로는 아르틴 환이라고 하자. 그로텐디크 군 $G\_0(R)$은 유한 생성 R-가군의 동형류 집합 $\backslash \{[X]\; \backslash mid\; X\; \backslash in\; R\backslash text\{-mod\}\backslash \}$에 의해 생성되는 아벨 군으로, 모든 짧은 완전 순서
:$0\; \backslash to\; A\; \backslash to\; B\; \backslash to\; C\; \backslash to\; 0$
의 R-가군에 대해 다음 관계를 갖는다.
:$[A]\; -\; [B]\; +\; [C]\; =\; 0.$
이는 모든 두 유한 생성 R-가군 M과 N에 대해, 분할 짧은 완전 순서
:$0\; \backslash to\; M\; \backslash to\; M\; \backslash oplus\; N\; \backslash to\; N\; \backslash to\; 0.$
에 의해, $[M\; \backslash oplus\; N]\; =\; [M]\; +\; [N]$임을 의미한다.

그로텐디크 군은 보편성을 만족한다. 집합의 동형류에서 아벨 군 $X$로 가는 함수 $\backslash chi$가, 모든 완전 순열 $0\; \backslash to\; A\; \backslash to\; B\; \backslash to\; C\; \backslash to\; 0$에 대해 $\backslash chi(A)-\backslash chi(B)+\backslash chi(C)=\; 0$이 성립하면, 이를 "가법적"이라고 부른다. 임의의 가법적 함수 $\backslash chi:\; R\backslash text\{-mod\}\; \backslash to\; X$에 대해, $\backslash chi$가 "$f$"와 $\backslash mathcal\; A$의 각 대상을 $G\_0(R)$에서 해당 동형류를 나타내는 원소로 매핑하는 함수를 통해 인수분해되도록 하는, "유일한" 군 준동형 사상 $f:G\_0(R)\; \backslash to\; X$가 존재한다. 구체적으로 이것은 모든 유한 생성 $R$-가군 $V$에 대해 $f$가 방정식 $f([V])=\backslash chi(V)$를 만족시키고, $f$가 이를 만족시키는 유일한 군 준동형 사상이라는 것을 의미한다.

가법 함수의 예시로는 표론의 문자 함수가 있다. 만약 $R$이 유한 차원 $k$-대수라면, 모든 유한 차원 $R$-가군 $V$에 대해 문자 $\backslash chi\_V:\; R\; \backslash to\; k$를 연관시킬 수 있다. $\backslash chi\_V(x)$는 $V$에서 원소 $x\; \backslash in\; R$에 의한 곱셈으로 주어지는 $k$-선형 변환의 대각합으로 정의된다.

만약 $k=\backslash Complex$이고 $R$이 군환 $\backslash Complex[G]$이며 $G$가 유한군이라면, 이 문자 사상은 $G\_0(\backslash Complex[G])$과 문자환 $Ch(G)$의 자연 동형을 제공한다. 유한군의 모듈러 표현론에서, $k$는 $\backslash overline\{\backslash mathbb\{F\}\_p\}$와 같은 체가 될 수 있으며, 이 체는 p개의 원소를 갖는 유한체의 대수적 폐포이다. 이 경우, 각 $k[G]$-가군에 해당 브라우어 문자를 연관시키는 유사하게 정의된 사상 또한 $G\_0(\backslash overline\{\backslash mathbb\{F\}\_p\}[G])\backslash to\; \backslash mathrm\{BCh\}(G)$에서 브라우어 문자환으로의 자연 동형 사상이다.

4.8. 환 달린 공간

환 달린 공간 $(X,\; \backslash mathcal\{O\}\_X)$에 대해, X 위의 모든 국소 자유층의 범주 $\backslash mathcal\{A\}$를 고려할 수 있다. $K\_0(X)$는 이 완전 범주의 그로텐디크 군으로 정의되며, 이것은 다시 함자를 제공한다.

$(X,\; \backslash mathcal\{O\}\_X)$가 환 달린 공간일 때, $\backslash mathcal\; A$를 X 위의 모든 코히어런트 층의 범주로 정의할 수도 있다. 여기에는 환 달린 공간이 아핀 스킴인 경우 $\backslash mathcal\{A\}$가 뇌터 환 R 위의 유한 생성 모듈의 범주인 특수한 경우가 포함된다. 두 경우 모두 $\backslash mathcal\{A\}$는 아벨 범주이며, 따라서 완전 범주이므로 위의 구성을 적용할 수 있다.

5. 역사

알렉산더 그로텐디크가 K이론을 다루기 위하여 그로텐디크 군을 정의하였다.