그로텐디크 군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 역사
참조

1. 개요

그로텐디크 군은 완전 범주에서 정의되는 아벨 군으로, 범주 내 객체에 대한 생성자와 완전 수열에 대한 관계를 통해 구성된다. 가환 모노이드, 아벨 범주, 삼각 범주 등 다양한 범주에 대해 정의될 수 있으며, 각 경우에 따라 구체적인 구성과 성질을 갖는다. 특히 가환 모노이드의 그로텐디크 군은 역원을 도입하여 아벨 군을 구성하는 보편적인 방법이며, 아벨 범주의 그로텐디크 군은 K이론과 관련이 있다. 그로텐디크 군은 자연수에서 정수를 구성하는 예시와 같이 다양한 수학적 대상의 구조를 이해하는 데 활용되며, K-이론, 표현론 등 여러 분야에서 중요한 역할을 한다.

2. 정의

작은 퀼런 완전 범주(예를 들어, 작은 아벨 범주) $\mathcal A$ 가 주어졌을 때, 각 짧은 완전열

: $A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow C$

에 대하여, 형식적 관계

: $[A]+[C]=[B]$

를 정의한다. $\mathcal A$ 의 모든 원소들과 위와 같은 관계들로 생성되는 아벨 군을 $\mathcal A$ 의 '''그로텐디크 군'''이라고 하며, $\operatorname K(\mathcal A)$ 로 표기한다. 이 기호 $\operatorname K(-)$ 는 K이론에서 딴 것이다.

작은 가법 범주 $\mathcal A$ 에 다음과 같은 열들만을 짧은 완전열로 하는 퀼런 완전 범주 구조를 부여한다.

: $A\to A\oplus B\to B$

여기서 위의 두 사상은 곱 및 쌍대곱의 보편 성질에 등장하는 것들이다. ( $\oplus$ 는 곱 (범주론)=쌍대곱) 이는 $\mathcal A$ 위에 존재하는 “최소의” (즉, 짧은 완전열을 가장 적게 갖는) 퀼런 완전 범주 구조이다.

이 경우, $\mathcal A$ 의 그로텐디크 군은 보다 구체적으로 정의될 수 있다. 가환 모노이드의 범주 $\operatorname{CMon}$ 와 아벨 군의 아벨 범주 $\operatorname{Ab}$ 사이의 포함 함자

: $\operatorname{Ab}\to\operatorname{CMon}$

는 왼쪽 수반 함자 $F\colon\operatorname{CMon}\to\operatorname{Ab}$ 를 갖는다.

$\mathcal A$ 의 대상들의 (동형 사상에 대한) 동치류들의 집합 $\operatorname{Iso}(\mathcal A)$ 을 생각하면, $(\operatorname{Iso}(\mathcal A),\oplus)$ 는 가환 모노이드를 이룬다. 이 경우 $\mathcal A$ 의 그로텐디크 군은 다음과 같다.

: $\operatorname K(\mathcal A)=F(\operatorname{Iso}(\mathcal A),\oplus)$

간혹 일부 문헌에서는 함자 $F$ 자체를 그로텐디크 군이라고 일컫기도 한다.

2. 1. 가환 모노이드의 그로텐디크 군

가환 모노이드

(M,+)

의 그로텐디크 군은 다음과 같이 정의된다.

먼저, 데카르트 곱

M \times M

을 생각한다.

M \times M

의 원소

(m_1, m_2)

는

m_1 - m_2

를 나타내는 것으로 생각할 수 있다.

M\times M

위에서의 덧셈은 각 좌표별로 정의한다.

:

(m_1, m_2) + (n_1,n_2) = (m_1+n_1, m_2+n_2)

.

M \times M

위에 동치 관계를 정의한다.

M

의 어떤 원소

k

에 대해

m_1 + n_2 + k = m_2 + n_1 + k

이면

(m_1, m_2)

와

(n_1, n_2)

는 동치이다. (모든 모노이드에서 소거 법칙이 성립하는 것은 아니므로,

k

가 필요하다).

(m_1, m_2)

의 동치류는

[(m_1, m_2)]

로 쓴다.

K

를 이러한 동치류들의 집합으로 정의한다.

M \times M

위의 덧셈은 동치 관계와 잘 맞아 떨어지므로,

K

위에도 덧셈을 정의할 수 있고,

K

는 아벨 군이 된다.

K

의 덧셈에 대한 항등원은

(m, m)

꼴의 임의의 원소의 동치류이며,

(m_1, m_2)

의 동치류의 역원은

(m_2, m_1)

의 동치류이다.

모노이드 준동형 사상

i\colon M\to K

는

m

을

(m, 0)

의 동치류로 보낸다.

이러한 구성은 다음과 같은 보편성을 만족한다.

모노이드 준동형 사상 $i \colon M \to K$ 가 존재한다.
아벨 군 ''A''와 모노이드 준동형 사상 $f \colon M \to A$ 가 주어졌을 때, $f = g \circ i$ 를 만족하는 유일한 군 준동형 사상 $g \colon K \to A$ 가 존재한다.

이는 ''M''의 준동형상을 포함하는 임의의 아벨 군 ''A''는 ''K''의 준동형상 또한 포함하며, ''K''는 ''M''의 준동형상을 포함하는 "가장 일반적인" 아벨 군이라는 사실을 나타낸다.

생성원과 관계식을 사용하여 그로텐디크 군을 구성할 수도 있다.

(Z(M),+')

를 집합 ''M''에 의해 생성되는 자유 아벨 군이라 하자. 그로텐디크 군 ''K''는

\{(x+'y)-'(x+y)\mid x,y\in M\}

에 의해 생성되는 부분군에 의한 ''Z(M)''의 몫군이다. (여기서 +'는 자유 아벨 군 ''Z(M)''에서의 덧셈을 나타내고, +는 모노이드 ''M''에서의 덧셈을 나타낸다.)

M

이 소거 성질을 갖지 않는 경우 (즉,

a\ne b

이고

ac=bc

를 만족하는

M

의 원소

a, b, c

가 존재하는 경우), 그로텐디크 군

K

는

M

을 포함할 수 없다. 특히, 곱셈 연산으로 표시되는 모노이드가 모든

x\in M

에 대해

0.x=0

을 만족하는 영 원소를 갖는 경우, 그로텐디크 군은 자명군이 된다.

2. 2. 아벨 범주의 그로텐디크 군

퀼런 완전 범주 또는 아벨 범주

\mathcal A

의 '''그로텐디크 군'''

K(\mathcal A)

는 다음과 같이 정의된다.

\mathcal A

의 각 짧은 완전열

:

A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow C

에 대하여, 형식적 관계

:

[A]+[C]=[B]

를 부여했을 때,

\mathcal A

의 모든 원소들과 이러한 관계들로 생성되는 아벨 군이다.

가법 범주

\mathcal A

에 "최소" 퀼런 완전 범주 구조, 즉 다음과 같은 형태의 열들만을 짧은 완전열로 하는 구조를 부여할 수 있다.

:

A\to A\oplus B\to B

여기서 사상들은 곱 및 쌍대곱의 보편 성질에 의해 정의되며,

\oplus

는 곱 (범주론)=쌍대곱이다.

이 경우,

\mathcal A

의 그로텐디크 군은 다음과 같이 더 구체적으로 정의할 수 있다. 가환 모노이드

(\operatorname{Iso}(\mathcal A),\oplus)

를 생각하자. 여기서

\operatorname{Iso}(\mathcal A)

는

\mathcal A

의 대상들의 동형 사상에 대한 동치류들의 집합이다.

(\operatorname{Iso}(\mathcal A),\oplus)

는 가환 모노이드를 이루며, 이 가환 모노이드에 대하여 그로텐디크 군은 다음과 같다.

:

\operatorname K(\mathcal A)=F(\operatorname{Iso}(\mathcal A),\oplus)

여기서

F\colon\operatorname{CMon}\to\operatorname{Ab}

는 가환 모노이드의 범주에서 아벨 군의 아벨 범주로 가는 왼쪽 수반 함자이다.

일부 문헌에서는 함자

F

자체를 그로텐디크 군이라고 부르기도 한다.

또는 보편 성질을 사용하여 그로텐디크 군을 정의할 수 있다.

\mathcal{A}

에서 아벨 군 ''X''로의 사상

\chi: \mathrm{Ob}(\mathcal{A})\to X

가 모든 완전 수열

A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C

에 대해

\chi(A)-\chi(B)+\chi(C)=0

을 만족하면 "가법적"이라고 한다. 아벨 군 ''G''는 가법 사상

\phi: \mathrm{Ob}(\mathcal{A})\to G

와 함께

\mathcal{A}

의 그로텐디크 군이라고 하는데, 모든 가법 사상

\chi: \mathrm{Ob}(\mathcal{A})\to X

가

\phi

를 통해 고유하게 인수분해될 경우이다.

2. 3. 완전 범주의 그로텐디크 군

exact category^영어인 완전 범주

\mathcal{A}

의 그로텐디크 군은 다음과 같이 정의된다. 우선, 범주

\mathcal{A}

의 각 대상(의 동형류)에 대해 생성자 [M]을 만든다. 그리고 각 완전열

:

A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C

에 대해 다음 관계식을 부여한다.

:

[A]-[B]+[C] = 0

이렇게 생성자와 관계식으로 정의된 아벨 군이 완전 범주

\mathcal{A}

의 그로텐디크 군이다.

다른 방법으로, 보편성을 사용하여 그로텐디크 군을 정의할 수도 있다. 아벨 군 ''G''와 사상

\phi \colon \mathrm{Ob}(\mathcal{A})\to G

가 주어졌을 때,

\mathcal{A}

에서 임의의 아벨 군 ''X''로 가는 모든 "가법적" 사상

\chi \colon \mathrm{Ob}(\mathcal{A})\to X

가 유일하게

\phi

를 통해 분해될 경우, ''G''를

\mathcal{A}

의 그로텐디크 군이라고 한다. 여기서 "가법적" 사상이란 모든 완전열

A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C

에 대해

\chi(A)-\chi(B)+\chi(C)=0

을 만족하는 사상을 의미한다.

모든 아벨 범주는 "완전"하다는 표준적인 해석을 적용하면 완전 범주가 된다. 예를 들어,

\mathcal{A} \colon= R\text{-mod}

를 유한 생성 ''R''-가군 범주로 선택하면, 이는 아벨 범주이므로 완전 범주가 된다.

한편, 모든 가법 범주는

A\hookrightarrow A\oplus B\twoheadrightarrow B

형태의 열만을 완전열로 정의하면 완전 범주가 된다. 이 경우,

(\mathrm{Iso}(\mathcal{A}),\oplus)

를 가환 모노이드로 보았을 때의 그로텐디크 군과 같다. (

\mathrm{Iso}(\mathcal{A})

는

\mathcal{A}

의 동형류들의 "집합"을 의미한다.)

2. 4. 삼각 범주의 그로텐디크 군

삼각 범주에 대한 그로텐디크 군을 정의하는 것도 가능하다. 이 구성은 기본적으로 유사하지만, ''X'' → ''Y'' → ''Z'' → ''X''[1] 형태의 특수한 삼각 사상(distinguished triangle)이 존재할 때, [''X''] − [''Y''] + [''Z''] = 0 관계를 사용한다.

3. 성질

범주론의 언어로, 모든 보편적인 구성은 함자를 낳는다. 따라서 가환 모노이드의 범주에서 가환 모노이드 ''M''을 그로텐디크 군 ''K''로 보내는 아벨 군의 범주로 가는 함자를 얻는다. 이 함자는 아벨 군의 범주에서 가환 모노이드의 범주로 가는 망각 함자의 왼쪽 수반이다.

가환 모노이드 ''M''에 대해, 사상 ''i'' : ''M'' → ''K''는 ''M''이 소거 성질을 가질 경우에만 단사이며, ''M''이 이미 군일 경우에만 전사이다.

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