전개 가능 곡면
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1. 개요
전개 가능 곡면은 3차원 공간에서 펼쳐서 평면으로 만들 수 있는 곡면을 의미한다. 원기둥, 원뿔, 평면, 접선 전개 가능 곡면, 토러스 등이 있으며, 가우스 곡률이 0인 곡면으로 수학적으로 정의된다. 전개 가능 곡면은 지도 제작, 제조, 조선 산업 등 다양한 분야에서 활용되며, 반대로 구, 나선면, 쌍곡 포물면 등은 전개 가능하지 않은 비전개 가능 곡면의 예시이다.
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2. 전개 가능 곡면의 정의 및 특징
수학적으로 전개 가능 곡면은 가우스 곡률이 0인 곡면이다. 3차원 공간에 임베딩된 모든 "전개 가능" 곡면은 유선 곡면이지만, 쌍곡면은 전개 가능하지 않은 유선 곡면의 예이다. 따라서 많은 전개 가능 곡면은 공간에서 직선을 움직여 형성된 표면으로 시각화할 수 있다. 예를 들어, 원뿔은 선의 한 끝점을 고정하고 다른 끝점을 원 안에서 움직여 형성한다.[2]
2. 1. 3차원 공간에서 실현 가능한 전개 가능 곡면
3차원 공간에서 실현 가능한 전개 가능 곡면에는 다음이 포함된다.- 원기둥과, 보다 일반적인 "일반화된" 원기둥. 그 단면은 임의의 매끄러운 곡선일 수 있다.
- 원뿔과, 보다 일반적인 원뿔 곡면. 정점에서 벗어난 경우.
- 올로이드와 스페리콘은 평평한 평면을 따라 구르기할 때 전체 표면이 전개되는 특수한 입체의 집합에 속한다.
- 평면 (자명하게). 이는 단면이 선인 원기둥으로 볼 수 있다.
- 접선 전개 가능 곡면. 이는 공간 곡선의 접선을 연장하여 구성된다.
- 토러스는 내시 임베딩 정리에 의해 3차원 공간에 임베딩될 수 있으며[2] 두 원의 데카르트 곱으로 4차원에서 간단하게 표현되는 전개 가능한 메트릭을 가지고 있다. 클리포드 토러스 참조.
수학적으로, 전개 가능 곡면은 가우스 곡률이 0인 곡면이다. 이로 인해 3차원 공간에 임베딩된 모든 "전개 가능" 곡면은 유선 곡면이다(하지만 쌍곡면은 전개 가능하지 않은 유선 곡면의 예이다). 이 때문에 많은 전개 가능 곡면은 공간에서 직선을 움직여 형성된 표면으로 시각화될 수 있다. 예를 들어, 원뿔은 선의 한 끝점을 고정하고 다른 끝점을 원 안에서 움직여 형성된다.
3. 전개 가능 곡면의 활용
전개 가능 곡면은 여러 가지 실용적인 응용 분야를 가지고 있다. 전개 가능 메커니즘은 전개 가능 곡면에 부합하고 표면에서 움직임(전개)을 나타낼 수 있는 메커니즘이다.[3][4]
지도 제작에서 지도 투영법은 지구를 전개 가능한 표면에 투영한 다음 평면으로 펼치는 방식을 사용한다.
또한, 전개 가능 곡면은 평평한 시트를 구부려 구성할 수 있으므로 판금, 골판지, 합판 등을 이용한 제조에 중요하며, 특히 조선업에서 광범위하게 활용된다.[5]
3. 1. 지도 투영법
많은 지도 제작법 투영법은 지구를 전개 가능한 표면에 투영한 다음 해당 표면을 평면의 영역으로 "펼치는" 것을 포함한다.[3]3. 2. 제조 산업
전개 가능 곡면은 평평한 시트를 구부려 구성할 수 있으므로 제조에서 판금, 골판지, 합판으로 물체를 만드는 데 중요하다. 전개된 표면을 광범위하게 사용하는 산업은 조선업이다.[5]3. 3. 조선 산업
전개 가능 곡면은 평평한 시트를 구부려 구성할 수 있으므로 판금, 골판지, 합판 등을 이용한 제조에 중요하게 사용된다. 특히 조선업에서 전개 가능 곡면을 광범위하게 활용한다.[5]
3. 4. 전개 가능 메커니즘
전개 가능 메커니즘은 전개 가능 곡면에 부합하고 표면에서 움직임(전개)을 나타낼 수 있는 메커니즘이다.[3][4]4. 비전개 가능 곡면
대부분의 매끄러운 곡면은 전개 가능한 곡면이 아니다. '''비전개 가능 곡면'''은 "'''이중 곡률'''", "'''이중 곡면'''", "'''복합 곡률'''", "'''비영 가우스 곡률'''" 등으로 다양하게 불린다.[1]
4. 1. 비전개 가능 곡면의 예시
구는 평면으로 펼칠 수 없으므로 어떠한 계량 텐서에서도 전개 가능한 곡면이 아니다.[1] 나선면은 선면이지만, 위에서 언급한 선면과는 달리 전개 가능한 곡면이 아니다.[1] 쌍곡포물면과 쌍곡면은 약간 다른 이중 선면이지만, 위에서 언급한 선면과는 달리 어느 것도 전개 가능한 곡면이 아니다.[1]4. 2. 비전개 가능 곡면의 활용
많은 그리드셸과 인장 구조 및 유사한 구조물들은 이중 곡면 형태를 사용하여 강성을 얻는다.참조
[1]
서적
Geometry and the Imagination
Chelsea
[2]
간행물
Flat tori in three-dimensional space and convex integration
2012-04
[3]
웹사이트
Developable Mechanisms {{!}} About Developable Mechanisms
https://www.complian[...]
2019-02-14
[4]
논문
Developable mechanisms on developable surfaces
2019-02-13
[5]
간행물
Computer-Aided Design of Developable Hull Surfaces
University Microfilms International
[6]
문서
鉄道車輌などで言っている「モノコック」は、台枠を持たない構造というような、しばしば準モノコックなどと呼ばれるものであることも多い。
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