쌍곡면

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1. 개요
2. 방정식
- 2.1. 매개변수 방정식
- 2.2. 일반화된 방정식
3. 성질
4. 퇴화 쌍곡면
5. 4차원 쌍곡면
6. 응용: 쌍곡면 구조
- 6.1. 쌍곡면 구조의 예시
참조

1. 개요

쌍곡면은 3차원 공간에서 정의되는 이차 곡면의 일종으로, 1면 쌍곡면과 2면 쌍곡면으로 구분된다. 쌍곡면은 데카르트 좌표계와 매개변수 방정식을 통해 표현될 수 있으며, 일반화된 방정식을 통해 임의의 방향을 갖는 쌍곡면을 정의할 수 있다. 쌍곡면은 두 개의 선속을 포함하는 이중 굽어진 표면이며, 다양한 기하학적 성질을 갖는다. 또한, 쌍곡면은 퇴화 쌍곡면과 4차원 공간에서의 쌍곡면으로 확장될 수 있으며, 특히 일엽 쌍곡면은 쌍곡면 구조로 건축 및 구조물 설계에 활용된다.

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쌍곡면
개요
쌍곡면
종류	무계 유2차 곡면
방정식	ax² + by² + cz² + 2dx + 2ey + 2fz + g = 0
차원	2차원
관련 항목	타원면 포물면 원뿔 쌍곡포물면
상세 정보
정의	쌍곡면은 3차원 공간에서 모든 점이 주어진 방정식 ax² + by² + cz² + 2dx + 2ey + 2fz + g = 0을 만족하는 점들의 집합으로 정의된다. 여기서 a, b, c, d, e, f, g는 상수이며, a, b, c는 모두 0이 아니다.
종류	한 잎 쌍곡면 두 잎 쌍곡면
한 잎 쌍곡면
방정식	x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1
설명	한 잎 쌍곡면은 하나의 연결된 부분으로 이루어져 있으며, z축을 중심으로 회전한다.
한 잎 쌍곡면
두 잎 쌍곡면
방정식	x²/a² - y²/b² - z²/c² = 1
설명	두 잎 쌍곡면은 두 개의 분리된 부분으로 이루어져 있으며, x축을 중심으로 회전한다.
두 잎 쌍곡면

2. 방정식

쌍곡면의 방정식에 대한 내용은 주어진 원본 소스에 없으므로, 내용을 생성할 수 없습니다.

2. 1. 매개변수 방정식

쌍곡면에 대한 데카르트 좌표계는 구면 좌표계와 유사하게 정의될 수 있으며, 방위각 θ|θ^영어 ∈ [0, 2π)을 유지하지만, 경사각 v|v^영어를 쌍곡선 함수로 변경한다.

1면 쌍곡면: v|v^영어 ∈ (−∞, ∞)

:

\begin{align} x&=a \cosh v \cos\theta \\ y&=b \cosh v \sin\theta \\ z&=c \sinh v \end{align}

2면 쌍곡면: v|v^영어 ∈ [0, ∞)

:

\begin{align} x&=a \sinh v \cos\theta \\ y&=b \sinh v \sin\theta \\ z&=\pm c \cosh v \end{align}

1면 쌍곡면: 회전하는 쌍곡선(상단)과 선(하단: 빨간색 또는 파란색)으로 생성

다음 매개변수 표현은 1면 쌍곡면, 2면 쌍곡면, 그리고 그들의 공통 경계인 원뿔을 포함하며, 각 쌍곡면은

z

축을 대칭축으로 한다.

:

\mathbf x(s,t) = \left( \begin{array}{lll} a \sqrt{s^2+d} \cos t\\ b \sqrt{s^2+d} \sin t\\ c s \end{array} \right)

$d>0$ 의 경우, 1면 쌍곡면을 얻을 수 있고,
$d<0$ 의 경우, 2면 쌍곡면을 얻을 수 있으며,
$d=0$ 의 경우, 이중 원뿔을 얻을 수 있다.

위 방정식에서

c s

항의 위치를 적절한 성분으로 변경하여 다른 좌표축을 대칭축으로 하는 쌍곡면의 매개변수 표현을 얻을 수 있다.

2. 2. 일반화된 방정식

더 일반적으로, 임의로 방향이 정해진 쌍곡면은 '''v'''를 중심으로 하며 다음 방정식으로 정의된다.

:(\mathbf{x}-\mathbf{v})^\mathrm{T} A (\mathbf{x}-\mathbf{v}) = 1,

여기서 ''A''는 행렬이고, '''x''', '''v'''는 벡터이다.

''A''의 고유 벡터는 쌍곡면의 주축 방향을 정의하며, A의 고유값은 반축의 제곱의 곱셈 역원이다:

{1/a^2}

,

{1/b^2}

,

{1/c^2}

. 한 면 쌍곡면은 두 개의 양의 고유값과 하나의 음의 고유값을 갖는다. 두 면 쌍곡면은 하나의 양의 고유값과 두 개의 음의 고유값을 갖는다.

3. 성질

일엽 쌍곡면은 쌍곡선을 그 반단축을 중심으로 회전시켜 얻을 수 있다. 반면에, 직선 AB를 축으로 하는 이엽 쌍곡면은 "''AP'' - ''BP''가 일정"이 되는 점 P 전체가 이루는 집합으로 얻어진다(여기서 ''AP''는 점 A와 점 P 사이의 거리를 나타낸다). 이때 점 A와 B는 이 쌍곡면의 초점이라고 불린다. 이엽 회전 쌍곡면은 쌍곡선을 그 초점축을 중심으로 회전시켜 얻을 수도 있다.

일엽 쌍곡면은 이중선직면이며, 만약 그것이 회전 쌍곡면이라면 꼬인 위치에 있는 두 직선을 회전시켜 얻을 수 있다.

3. 1. 기하학적 성질

쌍곡면은 두 개의 선속을 포함하며, 이중 굽어진 표면이다.

쌍곡면의 방정식이

:

{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}= 1

일 때, 다음 선들이 표면에 포함된다.

:

g^{\pm}_{\alpha}:\mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix} a\cos\alpha \\ b\sin\alpha \\ 0\end{pmatrix}+ t\cdot \begin{pmatrix} -a\sin\alpha\\ b\cos\alpha\\ \pm c\end{pmatrix}\ ,\quad t\in \R,\ 0\le \alpha\le 2\pi\

a = b

인 경우, 쌍곡면은 회전 표면이며, 회전축에 엇갈린 두 선

g^{+}_{0}

또는

g^{-}_{0}

중 하나를 회전시켜 생성할 수 있다. 이 속성은 렌의 정리라고 불린다.^[1] 회전 쌍곡면을 생성하는 더 일반적인 방법은 쌍곡선을 단축을 중심으로 회전시키는 것이다. 쌍곡선을 다른 축을 중심으로 회전시키면 두 겹 회전 쌍곡선이 생성된다.

하나의 시트 쌍곡면은 사영적으로 쌍곡 포물면과 동일하다. 단순화를 위해 방정식

\ H_1: x^2+y^2-z^2=1

을 갖는 ''단위 쌍곡면''의 평면 절단을 고려한다. 일반적인 위치에 있는 쌍곡면은 단위 쌍곡면의 아핀 이미지이므로, 결과는 일반적인 경우에도 적용된다.

기울기가 1보다 작은 평면(1은 쌍곡면 위의 선의 기울기)은 $H_1$ 과 ''타원''에서 교차한다.
원점을 포함하는 기울기가 1인 평면은 $H_1$ 과 ''두 개의 평행선''에서 교차한다.
원점을 포함하지 않는 기울기가 1인 평면은 $H_1$ 과 ''포물선''에서 교차한다.
접평면은 $H_1$ 과 ''두 개의 교차하는 선''에서 교차한다.
기울기가 1보다 큰 비접평면은 $H_1$ 과 ''쌍곡선''에서 교차한다.^[2]

회전하는 일엽 쌍곡면은 원을 포함한다. 이는 일반적인 경우에도 마찬가지지만, 덜 명확하다(원형 단면 참조).

두 겹 쌍곡면은 선을 ''포함하지 않는다''. 평면 단면에 대한 논의는 방정식이

H_2: \ x^2+y^2-z^2 = -1.

인 ''단위 두 겹 쌍곡면''에 대해 수행될 수 있으며, 이는 쌍곡선의 축 중 하나(쌍곡선을 가로지르는 축)를 중심으로 쌍곡선을 회전시켜 생성할 수 있다.

기울기가 1보다 작은 평면(1은 생성 쌍곡선의 점근선의 기울기)은 $H_2$ 와 ''타원'' 또는 ''점''에서 교차하거나, 전혀 교차하지 않는다.
원점(쌍곡면의 중간점)을 포함하는 기울기가 1인 평면은 $H_2$ 와 ''교차하지 않는다''.
원점을 포함하지 않는 기울기가 1인 평면은 $H_2$ 와 ''포물선''에서 교차한다.
기울기가 1보다 큰 평면은 $H_2$ 와 ''쌍곡선''에서 교차한다.^[3]

회전하는 두 겹 쌍곡면은 원을 포함한다. 이것은 일반적인 경우에도 마찬가지지만 덜 명확하다(원 단면 참조).

''참고:'' 두 겹 쌍곡면은 ''사영적으로'' 구와 동등하다.

일엽 쌍곡면은 쌍곡선을 그 반단축을 중심으로 회전시켜 얻을 수 있다. 반면에, 직선 AB를 축으로 하는 이엽 쌍곡면은 "''AP'' − ''BP''가 일정"이 되는 점 P 전체가 이루는 집합으로 얻어진다(여기서 ''AP''는 점 A와 점 P 사이의 거리를 나타낸다). 이때 점 A와 B는 이 쌍곡면의 초점이라고 불린다. 이엽 회전 쌍곡면은 쌍곡선을 그 초점축을 중심으로 회전시켜 얻을 수도 있다.

일엽 쌍곡면은 이중선직면이며, 만약 그것이 회전 쌍곡면이라면 꼬인 위치에 있는 두 직선을 회전시켜 얻을 수 있다.

3. 2. 대칭성

방정식이 다음과 같은 쌍곡면은

:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 , \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1

다음과 같은 특징을 갖는다.

원점에 대해 점대칭이다.
좌표 평면에 대해 대칭이다.
$a=b$ 인 경우, Z축에 대해 회전 대칭이며 z축을 포함하는 모든 평면에 대해 대칭이다(회전 쌍곡면).

3. 3. 곡률

가우스 곡률은 한 겹 쌍곡면의 경우 음의 값을 가지는 반면, 두 겹 쌍곡면의 경우 양의 값을 가진다. 양의 곡률에도 불구하고, 다른 적절하게 선택된 계량 텐서를 갖는 두 겹 쌍곡면은 쌍곡 기하학의 쌍곡면 모형으로 사용될 수도 있다.

4. 퇴화 쌍곡면

퇴화 쌍곡면은

:

형태로 표시된다. ''a'' = ''b'' 이면 이는 원뿔을 나타내고, 그렇지 않으면 타원뿔(elliptical cone)을 나타낸다.

일반적으로 ''k''를 상수라고 할 때

:

는 ''k''가 0이 아니면 쌍곡면이고, 양변을 ''k''²으로 나누어 정규형으로 만들 수 있다. 퇴화 쌍곡면을 “쌍곡면”이라고 부르는 것은, 이것을 ''k'' ↓ 0인 극한으로 생각하기 때문이다.

5. 4차원 쌍곡면

고차원 수학에서 허수 쌍곡면은 자주 발견된다. 예를 들어, 유사 유클리드 공간에서는 다음과 같은 이차 형식을 사용할 수 있다.

: $q(x) = \left(x_1^2+\cdots + x_k^2\right)-\left(x_{k+1}^2+\cdots + x_n^2\right), \quad k < n .$

가 임의의 상수일 때, 다음으로 표현되는 공간의 일부는

: $\lbrace x \ :\ q(x) = c \rbrace$

''쌍곡면''이라고 한다. 퇴화된 경우는 에 해당한다.

예를 들어, 다음 구절을 살펴보자.^[4]

... 속도 벡터는 항상 민코프스키가 4차원 쌍곡면이라고 부르는 표면에 놓여 있다. 순수한 실수 좌표 로 표현하면, 그 방정식은 이며, 이는 3차원 공간의 쌍곡면 과 유사하다.^[5]

그러나, 구와 쌍곡면이 몇 가지 공통점을 가지고 있기 때문에 이 맥락에서 '''준구'''라는 용어도 사용된다.

6. 응용: 쌍곡면 구조

일엽 쌍곡면은 구조물 설계에 응용된다 (쌍곡면 구조). 일엽 쌍곡면은 복선 직면이므로 막대 모양의 철근으로 만들기 쉽고, 구조물을 덮는 철근의 양이 최소로 끝나는 등 여러 장점이 있어 발전소의 냉각탑 등에 쓰인다.

1880년대에 블라디미르 슈호프가 채택한 이후 이용이 진전되었다.

6. 1. 쌍곡면 구조의 예시

일엽 쌍곡면은 건설에 사용되며, 이 구조를 쌍곡면 구조라고 부른다. 쌍곡면은 이중 룰드 곡면이므로 곧은 강철 빔으로 건설할 수 있으며, 다른 방법보다 저렴한 비용으로 튼튼한 구조를 만들 수 있다. 예시로는 특히 발전소의 냉각탑과 기타 많은 구조물이 있다.

일엽 쌍곡면은 구조물 설계에 응용된다. 쌍곡면 구조가 응용된 것으로는 예를 들어 발전소의 냉각탑 등이 있다. 일엽 쌍곡면은 복선 직면이므로 막대 모양의 철근으로 만들기 쉽고, 구조물을 덮는 철근의 양이 최소로 끝나는 등 여러 장점이 있다.

1880년대에 블라디미르 슈호프가 채택한 이후 이용이 진전되었다.

참조

_[1] 서적 Vorlesungen der Darstellenden Geometrie Vandenhoeck & Ruprecht 1967
_[2] PDF CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) http://www.mathemati[...]
_[3] PDF CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) http://www.mathemati[...]
_[4] 서적 Emergence of the Theory of Lie Groups: an essay in the history of mathematics, 1869—1926 Springer 2000
_[5] 간행물 The non-Euclidean style of Minkowskian relativity Oxford University Press 1999
_[6] 서적 Clifford Algebras and the Classical Groups Cambridge University Press 1995

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