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반대칭 행렬

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목차

1. 개요

반대칭 행렬은 전치 행렬이 음수인 실수 정사각 행렬로 정의된다. 주대각선 상의 모든 원소가 0이고, 두 반대칭 행렬의 합, 스칼라 배수 또한 반대칭 행렬이다. 반대칭 행렬의 고윳값은 0 또는 순허수이며, 행렬식은 차수에 따라 0 또는 제곱 꼴로 표현된다. 반대칭 행렬은 벡터 공간에서 반대칭 쌍선형 형식을 나타내며, 무한소 회전으로 해석될 수 있다. 왜대칭화 가능 행렬은 가역 대각 행렬 D를 곱하여 반대칭 행렬로 만들 수 있는 행렬을 의미한다.

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반대칭 행렬
정의
정의어떤 정사각 행렬 A에 대해 Aᵀ = -A가 성립할 때, A를 반대칭행렬(또는 엇대칭행렬, 기울어진 대칭행렬)이라고 한다. 여기서 Aᵀ는 A의 전치 행렬이다.
조건A가 반대칭행렬일 필요충분조건은 aji = -aij이다.
성질
주대각선 원소반대칭행렬의 주대각선 원소는 모두 0이다.
행렬식크기가 홀수인 반대칭행렬의 행렬식은 0이다.
크기가 짝수인 반대칭행렬의 행렬식은 어떤 행렬의 제곱이다.
고윳값반대칭행렬의 고윳값은 모두 순허수이다.
대칭행렬과의 관계임의의 정사각행렬은 대칭행렬과 반대칭행렬의 합으로 나타낼 수 있다.
A = (A + Aᵀ)/2 + (A - Aᵀ)/2
연관된 개념skew-Hermitian 행렬

2. 정의

실수 정사각 행렬 A가 A^T = -A를 만족하면 '''반대칭행렬'''이라고 한다. 즉, 임의의 1\le i,j\le n에 대하여, a_{ji} = - a_{ij}를 만족한다.

예를 들어 다음 행렬

:A =

\begin{bmatrix}

0 & 2 & -45 \\


  • 2 & 0 & -4 \\

45 & 4 & 0

\end{bmatrix}



는 -A =

\begin{bmatrix}

0 & -2 & 45 \\

2 & 0 & 4 \\

  • 45 & -4 & 0

\end{bmatrix} = A^\textsf{T}

이므로 반대칭 행렬이다.

2. 1. 동치 조건

skew-symmetric|왜대칭영어 또는 alternative|교대영어 행렬의 필요충분조건은 모든 x, y \in \mathbb{R}^n에 대해 다음 식을 만족하는 것이다.

:\langle Ax,y \rangle = - \langle x, Ay\rangle

이는 교대 행렬이 되기 위한 필요충분조건은 다음 식이 성립하는 것이라고도 표현할 수 있다.[8]

:\langle x,Ax \rangle = 0 \quad (\forall x\in \mathbb{R}^n)

3. 성질

반대칭 행렬의 주대각선 위의 원소는 모두 0이다.[12] 두 반대칭 행렬의 합과 스칼라 배는 반대칭 행렬이다. n \times n 반대칭 행렬의 공간은 \frac{1}{2}n(n - 1) 차원을 갖는다. 실수 반대칭 행렬의 고윳값은 모두 0이거나 순허수이며, 실수 범위 내에서는 대각화가 불가능하나, 복소수 범위 내에서는 유니타리 행렬에 의한 대각화가 가능하다.[12]

만약 A가 실수 반대칭 행렬이면, I + A는 가역 가능하다. (여기서 I는 항등 행렬) A가 반대칭 행렬이면, A^2는 대칭 음의 준정부호 행렬이다. 특수 선형군에 속하는 행렬은 항상 반대칭 행렬의 행렬 지수 함수로 나타낼 수 있다.

3. 1. 행렬식

A를 n \times n 반대칭 행렬이라고 하면, A의 행렬식은 다음을 만족한다.

: \det(A) = \det\left(A^\textsf{T}\right) = \det(-A) = (-1)^n \det(A).

특히, n이 홀수이면, 행렬식은 0이 된다. 따라서, 모든 홀수 차수 반대칭 행렬은 행렬식이 항상 0이므로 특이 행렬이다. 이 결과는 카를 구스타프 야코비의 이름을 따서 '''야코비 정리'''라고 불린다.[3]

짝수 차수의 경우는 더 흥미롭다. n이 짝수일 때 A의 행렬식은 A의 성분에 대한 다항식의 제곱으로 쓸 수 있는데, 이는 케일리(Cayley)가 처음 증명했다.[3]

:\det(A) = \operatorname{Pf}(A)^2.

이 다항식은 A의 파피안이라고 하며 \operatorname{Pf}(A)로 표기한다. 따라서 실수 반대칭 행렬의 행렬식은 항상 0 이상이다. 실수 반대칭 행렬의 고유값은 순허수이고 각 고유값에 대해 동일한 중복도를 갖는 켤레 고유값이 대응된다. 따라서 행렬식은 고유값의 곱이므로, 각 고유값을 그 중복도만큼 반복하면, 0이 아니면 행렬식은 양의 실수임을 즉시 알 수 있다.

차수 n인 반대칭 행렬의 행렬식 전개에서 서로 다른 항의 수 s(n)은 이미 케일리, 실베스터, 파프에 의해 고려되었다. 이 수는 차수가 n인 일반 행렬의 행렬식 항의 수(n!)에 비해 매우 작다. 수열 s(n)은 다음과 같다.

:1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …

이 수열은 지수 생성 함수로 표현하면 다음과 같다.

:\sum_{n=0}^\infty \frac{s(n)}{n!}x^n = \left(1 - x^2\right)^{-\frac{1}{4}}\exp\left(\frac{x^2}{4}\right).

위 식은 짝수 n에 대해 다음과 같은 점근선을 갖는다.

:s(n) = \pi^{-\frac{1}{2}} 2^\frac{3}{4} \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{n}{e}\right)^{n - \frac{1}{4}} \left(1 + O\left(\frac{1}{n}\right)\right).

양수 및 음수 항의 수는 대략 전체의 절반이지만, 그 차이는 n이 증가함에 따라 점점 더 큰 양수 및 음수 값을 갖는다.

3. 2. 스펙트럼 이론

실수 반대칭 행렬의 고윳값은 모두 0이거나 순허수이며, 실수 범위 내에서는 대각화가 불가능하지만, 복소수 범위 내에서는 유니타리 행렬에 의한 대각화가 가능하다.[12] 스펙트럼 정리에 따르면, 실수 반대칭 행렬의 0이 아닌 고윳값은 모두 순허수이며, 따라서 \lambda_1 i, -\lambda_1 i, \lambda_2 i, -\lambda_2 i, \ldots의 형태를 가지며, 여기서 각 \lambda_k는 실수이다.

실수 반대칭 행렬은 정규 행렬(자신의 수반 행렬과 교환한다)이므로 스펙트럼 정리가 적용된다. 스펙트럼 정리에 따르면 모든 실수 반대칭 행렬은 유니타리 행렬로 대각화할 수 있다. 실수 반대칭 행렬의 고윳값은 허수이므로 실수 행렬로는 대각화할 수 없다. 그러나 모든 반대칭 행렬은 블록 행렬 형태로 특수 직교 변환을 통해 만들 수 있다.[4][5] 구체적으로, 모든 2n \times 2n 실수 반대칭 행렬은 A = Q\Sigma Q^\textsf{T} 형태로 나타낼 수 있으며, 여기서 Q는 직교 행렬이고,

:\Sigma = \begin{bmatrix}

\begin{matrix}0 & \lambda_1 \\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\

0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2 \\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\

\vdots & & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{matrix} \\

& & & & \begin{matrix}0 \\ & \ddots \\ & & 0 \end{matrix}

\end{bmatrix}

여기서 \lambda_k는 양의 실수이다. 이 행렬의 0이 아닌 고윳값은 ±λ''k'' ''i''이다. 홀수 차원인 경우, Σ는 항상 0인 행과 열을 하나 이상 갖는다.

더 일반적으로, 모든 복소수 반대칭 행렬은 A = U \Sigma U^{\mathrm T} 형태로 나타낼 수 있으며, 여기서 U는 유니타리 행렬이고 \Sigma는 위에 주어진 블록 대각 행렬 형태를 가지며, \lambda_k는 여전히 양의 실수이다. 이것은 복소수 정사각 행렬의 유라 분해의 한 예이다.[6]

3. 3. 벡터 공간 구조


  • 두 개의 반대칭 행렬의 합은 반대칭이다.
  • 반대칭 행렬의 스칼라 배수는 반대칭이다.


위의 두 성질의 결과로, 고정된 크기의 모든 반대칭 행렬 집합은 벡터 공간을 형성한다. n \times n 반대칭 행렬의 공간은 차원 \frac{1}{2}n(n - 1)을 갖는다.

\mbox{Mat}_n을 n \times n 행렬의 공간이라고 하자. 반대칭 행렬은 \frac{1}{2}n(n - 1)개의 스칼라(주대각선 위의 항목 수)로 결정되고, 대칭 행렬은 \frac{1}{2}n(n + 1)개의 스칼라(주대각선 상의 또는 위의 항목 수)로 결정된다. \mbox{Skew}_n을 n \times n 반대칭 행렬의 공간으로, \mbox{Sym}_n을 n \times n 대칭 행렬의 공간으로 나타내자. 만약 A \in \mbox{Mat}_n이면,

:A = \frac{1}{2}\left(A - A^\mathsf{T}\right) + \frac{1}{2}\left(A + A^\mathsf{T}\right).

\frac{1}{2}\left(A - A^\textsf{T}\right) \in \mbox{Skew}_n이고 \frac{1}{2}\left(A + A^\textsf{T}\right) \in \mbox{Sym}_n임을 알 수 있다. 이는 2와 다른 표수를 갖는 임의의 체의 원소로 이루어진 모든 정사각 행렬 A에 대해 성립한다. 그러면, \mbox{Mat}_n = \mbox{Skew}_n + \mbox{Sym}_n이고 \mbox{Skew}_n \cap \mbox{Sym}_n = \{0\}이므로,

:\mbox{Mat}_n = \mbox{Skew}_n \oplus \mbox{Sym}_n,

여기서 \oplus는 직합을 나타낸다.

임의의 n차 정방 행렬 M에 대해, 그 왜대칭 성분(skew-symmetric component)은[9]

:A = \frac{1}{2}(M-M^\top)\quad\in\operatorname{Skew}_n

로 주어진다. 행렬의 합으로의 분해

:M = A + S,\quad (A=\tfrac{1}{2}(M-M^\top),\,S=\tfrac{1}{2}(M+M^\top))

는 유일하게 정해지며, 벡터 공간의 직합 분해

:\operatorname{Mat}_n = \operatorname{Skew}_n\oplus\operatorname{Sym}_n

을 제공한다(여기서 \operatorname{Mat}_n는 n차 정방 행렬 전체, \operatorname{Sym}_n는 n차 대칭 행렬 전체).

3. 4. 쌍선형 형식

체 K 위의 벡터 공간 V에서 정의된 쌍선형 형식 \varphi는 다음과 같다.

:\varphi: V \times V \mapsto K

모든 V의 v, w에 대해,

:\varphi(v, w) = -\varphi(w, v).

이는 표수가 2가 아닌 체 위의 벡터 공간에서는 바람직한 속성을 가지지만, 표수가 2인 체 위의 벡터 공간에서는 이 정의가 대칭 형식과 동일하다.[8]

벡터 공간 V가 임의의 표수의 체 위에 있는 경우, 모든 벡터 V의 v에 대해 다음과 같은 쌍선형 형식 \varphi를 '''교대 형식'''으로 정의할 수 있다.

:\varphi(v, v) = 0.

이는 체가 표수가 2가 아닐 때 반대칭 형식과 동일하며, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:0 = \varphi(v + w, v + w) = \varphi(v, v) + \varphi(v, w) + \varphi(w, v) + \varphi(w, w) = \varphi(v, w) + \varphi(w, v),

따라서

:\varphi(v, w) = -\varphi(w, v).

쌍선형 형식 \varphi는 \varphi(v,w) = v^\textsf{T}Aw가 되도록 행렬 A로 표현되며, V의 기저가 선택되면 그 반대로 K^n에 대한 n \times n 행렬 A는 (v, w)를 v^\textsf{T}Aw로 보내는 형식을 생성한다. 이때, 표현 행렬은 반대칭 행렬이다.[8]

3. 5. 무한소 회전

직교군 O(''n'')의 단위 행렬에서의 접공간을 이루는 반대칭 행렬은 '''무한소 회전'''으로 생각할 수 있다.[12] 반대칭 행렬 전체가 이루는 벡터 공간은 리 군 O(''n'')에 부속하는 리 환 o(''n'')과 일치한다. 이 공간에서의 리 괄호곱은 교환자로 주어진다.

:[math] [A,B] = AB - BA [/math]

두 반대칭 행렬로부터 얻어지는 교환자가 다시 반대칭 행렬이 된다는 것은 어렵지 않게 확인할 수 있다.

반대칭 행렬 A의 지수 함수는 다음과 같다.

:[math]R=\exp(A) = \textstyle\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{A^n}{n!}[/math]

이는 직교 행렬이다. 리 환의 지수 사상의 상은 항상 대응하는 리 군의 단위 행렬을 포함하는 연결 성분에 포함된다. 리 군 O(''n'')의 경우, 이 연결 성분은 행렬식이 1인 직교 행렬 전체가 이루는 특수 직교군 SO(''n'')이다. 그러므로 R = exp(A)의 행렬식은 +1이며, 행렬식이 1인 직교 행렬은 모두 반대칭 행렬의 지수 함수로 나타낼 수 있다.

4. 예

다음은 반대칭 행렬의 예시이다.

\begin{pmatrix}



A =

\begin{bmatrix}

0 & 2 & -45 \\


  • 2 & 0 & -4 \\

45 & 4 & 0

\end{bmatrix}

는 다음을 만족하므로 반대칭 행렬이다.

:-A =

\begin{bmatrix}

0 & -2 & 45 \\

2 & 0 & 4 \\

  • 45 & -4 & 0

\end{bmatrix} = A^\textsf{T}

.

3x3 반대칭 행렬은 외적을 행렬 곱셈으로 나타내는 데 사용될 수 있다. 벡터 \mathbf{a} = \left(a_1\ a_2\ a_3\right)^\textsf{T} 와 \mathbf{b} = \left(b_1\ b_2\ b_3\right)^\textsf{T}에 대하여, 행렬을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:[\mathbf{a}]_{\times} = \begin{bmatrix}

\,\,0 & \!-a_3 & \,\,\,a_2 \\

\,\,\,a_3 & 0 & \!-a_1 \\

\!-a_2 & \,\,a_1 & \,\,0

\end{bmatrix},

그러면 외적은 다음과 같이 표현된다.

:\mathbf{a}\times\mathbf{b} = [\mathbf{a}]_{\times}\mathbf{b}.

이는 방정식의 양변을 계산하고 결과의 각 해당 요소를 비교하면 바로 확인할 수 있다.

실제로 다음이 성립한다.

:[\mathbf{a \times b}]_{\times} =

[\mathbf{a}]_{\times}[\mathbf{b}]_{\times} - [\mathbf{b}]_{\times}[\mathbf{a}]_{\times};



즉, 3x3 반대칭 행렬의 교환자는 3-벡터의 외적으로 식별할 수 있다. 3x3 반대칭 행렬은 회전군 SO(3)의 리 대수이므로, 이는 3차원 공간 \mathbb{R}^3, 외적 및 3차원 회전 간의 관계를 명확히 설명한다.

5. 왜대칭화 가능 행렬

skew-symmetrizable matrix|왜대칭화 가능 행렬영어은 정칙 대각 행렬 ''D''와 왜대칭 행렬 ''S''가 존재하여 ''S'' = ''DA''로 나타낼 수 있는 행렬이다. 실수 행렬의 경우 ''D''의 성분이 양수라는 조건이 추가된다.[11]

참조

[1] 서적 Applied Factor Analysis in the Natural Sciences Cambridge University Press
[2] 서적 Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra McGraw-Hill 2005-09
[3] 간행물 Sur les determinants gauches
[4] 서적 Concise Encyclopedia of Supersymmetry Springer 2004
[5] 간행물 Normal Forms of Complex Matrices
[6] 간행물 A normal form for a matrix under the unitary congruence group
[7] ArXiv Cluster algebras I: Foundations
[8] 문서
[9] 문서
[10] 간행물 Sur les determinants gauches
[11] ArXiv Cluster algebras I: Foundations
[12] 저널


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