고전적 수반 행렬

1. 개요

고전적 수반 행렬은 가환환 R 위의 n × n 정사각 행렬 M에 대해 정의되며, 여인자 행렬의 전치 행렬이다. 수반 행렬은 행렬식의 미분, 크라메르 공식, 케일리-해밀턴 정리 등 다양한 분야에 응용된다. 특히, 2x2 행렬의 수반 행렬은 쉽게 계산할 수 있으며, 3x3 행렬의 수반 행렬은 여인자 행렬의 전치 행렬을 통해 구할 수 있다. 수반 행렬은 외대수를 사용하여 추상적인 관점에서 이해할 수 있으며, 고차 수반 행렬과 반복 수반 행렬과 같은 확장된 개념도 존재한다.

2. 정의

가환환 $R$ 위의 $n\backslash times\; n$ 정사각 행렬 $M\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;R)$의 고전적 수반 행렬은 여인자 행렬의 전치 행렬이다. 즉, $\backslash operatorname\{adj\}M$의 $(i,j)$-성분은 $M$의 $j$번째 행 및 $i$번째 열을 지운 여인자이다. 여기서 $\backslash det$는 행렬식이다.

좀 더 자세히 설명하면, $R$이 단위적 + 가환환이고, $\backslash mathbf\{A\}$가 $R$의 원소를 갖는 $n\; \backslash times\; n$ 행렬이라고 가정한다. $\backslash mathbf\{M\}\_\{ij\}$로 표시되는 $\backslash mathbf\{A\}$의 $(i,\; j)$-소행렬식은 $\backslash mathbf\{A\}$의 $i$ 행과 $j$ 열을 삭제하여 얻은 $(n\; -\; 1)\; \backslash times\; (n\; -\; 1)$ 행렬의 행렬식이다. $\backslash mathbf\{A\}$의 여인수 행렬 $\backslash mathbf\{C\}$는 $(i,\; j)$번째 원소가 $\backslash mathbf\{A\}$의 $(i,\; j)$-여인수인 $n\; \backslash times\; n$ 행렬로, 이는 $(i,\; j)$-소행렬식에 부호 인수를 곱한 것이다.

:$\backslash mathbf\{C\}\; =\; \backslash left((-1)^\{i+j\}\; \backslash mathbf\{M\}\_\{ij\}\backslash right)\_\{1\; \backslash le\; i,\; j\; \backslash le\; n\}.$

$\backslash mathbf\{A\}$의 수반 행렬은 $\backslash mathbf\{C\}$의 전치 행렬, 즉, $(i,\; j)$번째 원소가 $\backslash mathbf\{A\}$의 $(j,\; i)$ 여인수인 $n\; \backslash times\; n$ 행렬이다.

:$\backslash operatorname\{adj\}(\backslash mathbf\{A\})\; =\; \backslash mathbf\{C\}^\backslash mathsf\{T\}\; =\; \backslash left((-1)^\{i+j\}\; \backslash mathbf\{M\}\_\{ji\}\backslash right)\_\{1\; \backslash le\; i,\; j\; \backslash le\; n\}.$

가환환 $R$ 위의 $n$차 정사각 행렬 $A\; =\; (a\_\{i,j\})$ 의 수반 행렬은 $(i,\; j)$ 성분이 $(j,\; i)$여인수인 $n$차 정사각 행렬이며, 기호로는 $\backslash operatorname\{adj\}(A)$ 등으로 나타낸다.

$A$ 의 $(i,j)$소행렬식을 $M\_\{i,j\}$ 로 나타내기로 한다. 이것은 $A$ 의 제$i$행, 제$j$열을 제외하고 남은 $(n\; -\; 1)$차 소정사각 행렬의 행렬식이다.

:$\backslash operatorname\{adj\}(A)\; =\; (b\_\{i,j\}),\; \backslash quad\; b\_\{i,j\}\; =(-1)^\{i+j\}\; M\_\{j,i\}$

$A$ 의 $(i,j)$ 여인수를 $\backslash widetilde\{a\}\_\{i,j\}$ 로 나타내면,

:$\backslash widetilde\{a\}\_\{i,j\}\; =\; (-1)^\{i+j\}\; M\_\{i,j\}$
:$\backslash operatorname\{adj\}(A)\; =\; (b\_\{i,j\}),\; \backslash quad\; b\_\{i,j\}\; =\; (\backslash widetilde\{a\}\_\{j,i\})$

$A$ 를 여인수 전개하면, $A$ 의 수반 행렬 $\backslash widetilde\{A\}$ 에 의해, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$A\backslash widetilde\{A\}\; =\; \backslash widetilde\{A\}A\; =\; (\backslash det\; (A))I$

여기서 $I$ 는 단위 행렬이다.

$A$ 가 특히 가역 행렬일 때, $A$ 의 역행렬은 수반 행렬 $\backslash widetilde\{A\}$ 로 나타낼 수 있다.

:$A^\{-1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash det(A)\}\; \backslash widetilde\{A\}$

3. 성질

가환환 $R$ 위의 $n\backslash times\; n$ 정사각 행렬 $M\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;R)$에 대하여, 다음 항등식이 성립한다.
:$M\backslash operatorname\{adj\}M=(\backslash operatorname\{adj\}M)M=(\backslash det\; M)1\_\{n\backslash times\; n\}$
특히, $\backslash det\; M\backslash in\; R$가 가역원인 경우($R$가 체인 경우 $\backslash det\; M\backslash ne\; 0$ 조건과 같다), $M$의 역행렬은 다음과 같다.
:$M^\{-1\}=(\backslash det\; M)^\{-1\}\backslash operatorname\{adj\}M$

이 외에도 다음 항등식들이 성립한다.
:$\backslash det(\backslash operatorname\{adj\}M)=(\backslash det\; M)^\{n-1\}$
:$\backslash operatorname\{adj\}(M^\backslash top)=\backslash operatorname\{adj\}M$
수반 행렬은 $\backslash mathbf\{A\}$와 그 수반 행렬의 곱이 대각 성분이 행렬식 $\backslash det(\backslash mathbf\{A\})$인 대각 행렬이 되도록 정의된다. 즉,
:$\backslash mathbf\{A\}\; \backslash operatorname\{adj\}(\backslash mathbf\{A\})\; =\; \backslash operatorname\{adj\}(\backslash mathbf\{A\})\; \backslash mathbf\{A\}\; =\; \backslash det(\backslash mathbf\{A\})\; \backslash mathbf\{I\},$
여기서 $\backslash mathbf\{I\}$는 $n\; \backslash times\; n$ 항등 행렬이다. 이는 행렬식의 라플라스 전개 결과이다.

위 공식은 행렬 대수학의 기본 결과 중 하나이며, $\backslash mathbf\{A\}$는 $\backslash det(\backslash mathbf\{A\})$가 $R$의 가역원일 경우에만 가역 행렬이다. 이 조건이 충족되면 위 방정식은 다음과 같다.
:$\backslash begin\{align\}$
\operatorname{adj}(\mathbf{A}) &= \det(\mathbf{A}) \mathbf{A}^{-1}, \\
\mathbf{A}^{-1} &= \det(\mathbf{A})^{-1} \operatorname{adj}(\mathbf{A}).
\end{align}

$\backslash mathbf\{A\}$가 가역 행렬일 때, $\backslash mathbf\{A\}$의 역행렬은 수반 행렬 $\backslash widetilde\{\backslash mathbf\{A\}\}$로 나타낼 수 있다.
:$A^\{-1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash det(A)\}\; \backslash widetilde\{A\}$

* $\backslash operatorname\{adj\}(O)\; =\; O$ ($O$는 영 정방 행렬)
* $\backslash operatorname\{adj\}(I)\; =\; I$ ($I$는 단위 행렬)
* $\backslash operatorname\{adj\}(cA)\; =\; c^\{n-1\}\backslash operatorname\{adj\}(A)$ ($c$는 스칼라)
* $\backslash operatorname\{adj\}(A^\backslash mathsf\{T\})\; =\; \backslash operatorname\{adj\}(A)^\backslash mathsf\{T\}$ ($\backslash mathsf\{T\}$는 전치를 나타낸다)
* $\backslash det(\backslash operatorname\{adj\}(A))\; =\; (\backslash det\; A)^\{n-1\}$
* $A$가 정칙이면, $\backslash operatorname\{adj\}(A)\; =\; (\backslash det\; A)\; A^\{-1\}$
* 이로부터 다음이 유도된다.
* $\backslash operatorname\{adj\}(A)$는 정칙이고, 그 역행렬은 $(\backslash det\; A)^\{-1\}A$
* $\backslash operatorname\{adj\}(A^\{-1\})\; =\; \backslash operatorname\{adj\}(A)^\{-1\}$.
* $\backslash operatorname\{adj\}(A)$의 각 성분은 $A$ 성분의 다항식이다. 특히, 실수체 또는 복소수체 상에서 $\backslash operatorname\{adj\}(A)$의 각 성분은 $A$ 성분의 매끄러운 함수이다.
* 복소수체 상에서,
* $\backslash operatorname\{adj\}(\backslash overline\{A\})\; =\; \backslash overline\{\backslash operatorname\{adj\}(A)\}$ ($\backslash overline\{A\}$는 복소 공액을 나타낸다)
* $\backslash operatorname\{adj\}A^*\; =\; (\backslash operatorname\{adj\}A)^*$ ($A^*$는 수반 행렬을 나타낸다)

3.1. 추가 성질

임의의 $n\; \backslash times\; n$ 행렬 A에 대해, 복소수 상에서 B가 다른 $n\; \backslash times\; n$ 행렬이고, A가 B와 가환한다고 가정한다. 항등식 $1=\backslash mathbf\{AB\}\; =\; \backslash mathbf\{BA\}$에 $adj(\backslash mathbf\{A\})$를 왼쪽과 오른쪽에 곱하면 다음이 증명된다.

* $\backslash operatorname\{adj\}(AB)\; =\; \backslash operatorname\{adj\}(B)\backslash operatorname\{adj\}(A)$

* 행렬의 거듭제곱에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash operatorname\{adj\}(A^k)\; =\; (\backslash operatorname\{adj\}\; A)^k$ (k는 0 이상의 정수)

* $A\backslash operatorname\{adj\}(A+B)B=B\backslash operatorname\{adj\}(A+B)A$

* 일 때,

* 일 때,

4. 예제

2×2 행렬 \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)의 수반 행렬은 다음과 같다.

:\(\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)

직접 계산하면 다음과 같다.

:\(\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{bmatrix} = (\det \mathbf{A})\mathbf{I}\)

이 경우, \(\det(\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = \det(\mathbf{A})\)이며, \(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = \mathbf{A}\)도 성립한다.

4.1. 1 × 1 일반 행렬

0이 아닌 1×1 행렬 (실수 혹은 허수)의 수반행렬은 $\backslash mathbf\{I\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}\; 1\; \backslash end\{bmatrix\}$이고, adj(0) = 0으로 정의한다. 1 × 1 행렬(복소수)의 수반 행렬은 $\backslash mathbf\{I\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}\; 1\; \backslash end\{bmatrix\}$이다. $\backslash mathbf\{A\}\; \backslash operatorname\{adj\}(\backslash mathbf\{A\})\; =\; \backslash operatorname\{adj\}(\backslash mathbf\{A\})\backslash mathbf\{A\}\; =\; (\backslash det\; \backslash mathbf\{A\})\; \backslash mathbf\; \{I\}.$임을 알 수 있다.

4.2. 2 × 2 일반 행렬

2×2 행렬 \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)의 수반행렬은 다음과 같다.

:\(\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)

직접 대입을 통해 다음을 보일 수 있다.

:\(\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{bmatrix} = (\det \mathbf{A})\mathbf{I}\)

이 경우 \(\det(\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = \det(\mathbf{A})\)가 성립하고, \(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = \mathbf{A}\)이다.

구체적인 예시는 다음과 같다.

:\(\operatorname{adj}\!\begin{bmatrix}
-3 & 2 & -5 \\
-1 & 0 & -2 \\
3 & -4 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-8 & 18 & -4 \\
-5 & 12 & -1 \\
4 & -6 & 2
\end{bmatrix}\)

이는 수반 행렬이 역행렬에 행렬식 -6을 곱한 것과 같다는 것을 보여준다.

수반 행렬의 두 번째 행, 세 번째 열의 -1은 다음과 같이 계산된다. \(\mathbf{A}\)의 (3,2) 여인자는 원래 행렬에서 세 번째 행과 두 번째 열을 제거한 부분 행렬을 사용하여 계산한다.

:\(\begin{bmatrix} -3 & -5 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}\)

(3,2) 여인자는 이 부분 행렬의 행렬식에 부호를 곱한 값이다.

:\((-1)^{3+2}\operatorname{det}\!\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix} = -(-3 \cdot -2 - -5 \cdot -1) = -1\)

이것이 수반 행렬의 (2,3) 항목이다.

2차 정방 행렬 \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)의 여인수 행렬은 다음과 같다.

:\(\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)

2차 정사각 행렬에서는 \(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = \mathbf{A}\)가 성립한다.

4.3. 3 × 3 일반 행렬

다음 3 × 3 행렬에서
:$$
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}.

여인자_행렬은 다음과 같이 구한다.
:$$
\mathbf{C} = \begin{bmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\
\\
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\
\\
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
\end{bmatrix},

여기서
:$$
\begin{vmatrix} a_{im} & a_{in} \\ a_{jm} & a_{jn} \end{vmatrix}
=\det\begin{bmatrix} a_{im} & a_{in} \\ a_{jm} & a_{jn} \end{bmatrix} .

수반 행렬은 이 여인자 행렬의 전치 행렬이므로 다음과 같이 구할 수 있다.
:$$
\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T} = \begin{bmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} \\
& & \\
-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} \\
& & \\
+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
\end{bmatrix}.

4.4. 3 × 3 행렬 수치 계산 예

다음 행렬의 수반행렬은 아래와 같이 구해진다.

:$\backslash operatorname\{adj\}\; \backslash begin\{bmatrix\}$
-3 & 2 & -5 \\
-1 & 0 & -2 \\
3 & -4 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
-8 & 18 & -4 \\
-5 & 12 & -1 \\
4 & -6 & 2
\end{bmatrix}.


이 수반행렬은 원래 행렬의 역행렬에 행렬식 -6을 곱한 것과 같다는 것을 쉽게 보일 수 있다.

수반행렬의 (2행, 3열) 값 -1은 다음과 같이 구해진다. 수반행렬의 (2행, 3열) 값은 여인자 행렬의 (3행, 2열) 값이다. 여인자는 해당 행과 열을 없앤 부분_행렬,

:

과 (3행, 2열)에 해당하는 부호값을 이용하여 다음과 같이 구해진다.

:

그러므로 수반행렬의 (2행,3열)값은 -1이다.

5. 응용

행렬 의 특성 다항식은 다음과 같이 정의된다.

:$p(s)\; =\; \backslash det(s\backslash mathbf\{I\}\; -\; \backslash mathbf\{A\})\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; p\_i\; s^i\; \backslash in\; R[s].$

의 첫 번째 나눗셈 차분은 차수 의 대칭 다항식이다.

:

에 수반 행렬을 곱하고 케일리-해밀턴 정리를 적용하면 이므로, 다음을 얻는다.

:$\backslash operatorname\{adj\}(s\backslash mathbf\{I\}\; -\; \backslash mathbf\{A\})\; =\; \backslash Delta\; p(s\backslash mathbf\{I\},\; \backslash mathbf\{A\}).$

의 해법은 다음과 같이 정의된다.

:$R(z;\; \backslash mathbf\{A\})\; =\; (z\backslash mathbf\{I\}\; -\; \backslash mathbf\{A\})^\{-1\},$

위의 공식에 의해, 이는 다음과 같다.

:$R(z;\; \backslash mathbf\{A\})\; =\; \backslash frac\{\backslash Delta\; p(z\backslash mathbf\{I\},\; \backslash mathbf\{A\})\}\{p(z)\}.$

5.1. 열 치환과 크라메르 공식

의 열 벡터 표기를
:$A\; =\; (\backslash boldsymbol\{a\}\_1\; \backslash \; \backslash cdots\; \backslash \; \backslash boldsymbol\{a\}\_n)$
로 하고, 를 차 열 벡터로 한다. 고정된 에 대해, 의 제 열을 로 바꾼 행렬을 다음 기호로 정의한다.
:$(A\; \backslash stackrel\{j\}\{\backslash leftarrow\}\; \backslash boldsymbol\{b\})\backslash \; \backslash stackrel\{\backslash text\{def\}\}\{=\}\backslash \; \backslash begin\{pmatrix\}$
\boldsymbol{a}_1 &\cdots &\boldsymbol{a}_{j-1} &\boldsymbol{b} &\boldsymbol{a}_{j+1} &\cdots & \boldsymbol{a}_n
\end{pmatrix}
이 행렬의 행렬식을 제열에 관해 여인수 전개하고, 그것들을 모아서 만들 수 있는 열 벡터는 곱 와 같게 된다.
:$\backslash left(\backslash det(A\; \backslash stackrel\{j\}\{\backslash leftarrow\}\; \backslash boldsymbol\{b\})\backslash right)\_\{j=1\}^n\; =\; \backslash operatorname\{adj\}(A)\backslash boldsymbol\{b\}$
이 등식은 구체적인 결과를 낳는다. 선형 방정식
:$A\backslash boldsymbol\{x\}\; =\; \backslash boldsymbol\{b\}$
를 생각한다. 를 정칙 행렬이라고 가정한다. 이 방정식에 왼쪽에 를 곱하고, 로 나누면
:$\backslash boldsymbol\{x\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash det\; A\}\; (\backslash operatorname\{adj\}A)\; \backslash boldsymbol\{b\}$
여기서 클라머 공식을 적용하면,
:$x\_i\; =\; \backslash frac\{\backslash det(A\; \backslash stackrel\{i\}\{\backslash leftarrow\}\; \backslash boldsymbol\{b\})\}\{\backslash det\; A\}$
여기서 는 의 제 성분이다.

5.2. 특성 다항식

A의 특성 다항식을 다음과 같이 정의한다.

:$p(s)\; =\; \backslash det(sI-A)\; =\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=0\}^n\; p\_i\; s^i\; \backslash in\; R[s]$

에 수반 행렬을 곱하면 케일리-해밀턴 정리에 의해 이므로, 다음을 얻는다.

:$\backslash operatorname\{adj\}(sI-A)\; =\; \backslash Delta\; p(sI,A)$

5.3. 야코비 공식

수반 행렬은 야코비 공식에도 나타나는데, 이는 행렬식의 미분에 대한 공식이다. Continuously differentiable^영어한 행렬 A(t)에 대해, 다음이 성립한다.

:$\backslash frac\{d\}\{dt\}(\backslash det\; A(t))\; =\; \backslash operatorname\{tr\}\backslash left(\backslash operatorname\{adj\}(A(t))\; A\text{'}(t)\backslash right)$

따라서, 행렬식의 전미분은 수반 행렬의 전치 행렬과 같다.

:$d(\backslash det\; A)\_\{A\_0\}\; =\; \backslash operatorname\{adj\}(A\_0)^\{\backslash mathsf\{T\}\}$

5.4. 케일리-해밀턴 정리

행렬 의 특성 다항식을 라고 할 때, 케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음이 성립한다.
:$p\_\{\backslash mathbf\{A\}\}(\backslash mathbf\{A\})\; =\; \backslash mathbf\{0\}.$
상수항을 분리하고 식에 를 곱하면 와 의 계수에만 의존하는 수반 행렬에 대한 식이 나온다. 이 계수들은 완전 지수 벨 다항식을 사용하여 의 거듭제곱의 대각합으로 명시적으로 표현할 수 있다. 결과 공식은 다음과 같다.
:$\backslash operatorname\{adj\}(\backslash mathbf\{A\})\; =\; \backslash sum\_\{s=0\}^\{n-1\}\; \backslash mathbf\{A\}^\{s\}\; \backslash sum\_\{k\_1,\; k\_2,\; \backslash ldots,\; k\_\{n-1\}\}\; \backslash prod\_\{\backslash ell=1\}^\{n-1\}\; \backslash frac\{(-1)^\{k\_\backslash ell+1\}\}\{\backslash ell^\{k\_\backslash ell\}k\_\{\backslash ell\}!\}\backslash operatorname\{tr\}(\backslash mathbf\{A\}^\backslash ell)^\{k\_\backslash ell\},$
여기서 은 의 차원이며, 합은 와 선형 디ophantine 방정식을 만족하는 의 모든 수열에 대해 취해진다.
:$s+\backslash sum\_\{\backslash ell=1\}^\{n-1\}\backslash ell\; k\_\backslash ell\; =\; n\; -\; 1.$

2 × 2 행렬의 경우, 다음을 얻는다.
:$\backslash operatorname\{adj\}(\backslash mathbf\{A\})=\backslash mathbf\{I\}\_2(\backslash operatorname\{tr\}\backslash mathbf\{A\})\; -\; \backslash mathbf\{A\}.$
3 × 3 행렬의 경우, 다음을 얻는다.
:$\backslash operatorname\{adj\}(\backslash mathbf\{A\})=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash mathbf\{I\}\_3\backslash !\backslash left(\; (\backslash operatorname\{tr\}\backslash mathbf\{A\})^2-\backslash operatorname\{tr\}\backslash mathbf\{A\}^2\backslash right)\; -\; \backslash mathbf\{A\}(\backslash operatorname\{tr\}\backslash mathbf\{A\})\; +\; \backslash mathbf\{A\}^2\; .$
4 × 4 행렬의 경우, 다음을 얻는다.
:$\backslash operatorname\{adj\}(\backslash mathbf\{A\})=$
\frac{1}{6}\mathbf{I}_4\!\left(
(\operatorname{tr}\mathbf{A})^3
- 3\operatorname{tr}\mathbf{A}\operatorname{tr}\mathbf{A}^2
+ 2\operatorname{tr}\mathbf{A}^{3}
\right)
- \frac{1}{2}\mathbf{A}\!\left( (\operatorname{tr}\mathbf{A})^2 - \operatorname{tr}\mathbf{A}^2\right)
+ \mathbf{A}^2(\operatorname{tr}\mathbf{A})
- \mathbf{A}^3.

위의 표시식은, 의 특성 다항식을 효율적으로 구할 수 있는 파데예프-레베리에 알고리즘의 마지막 단계에서도 직접적으로 유도할 수 있다.

6. 외대수와의 관계

수반 행렬은 외대수를 사용하여 추상적인 관점에서 볼 수 있다. 이 표준 기저 를 갖는 경우, 선형 변환 의 행렬이 이면, 의 수반 행렬은 의 수반 행렬과 같다.

$\backslash wedge^\{n-1\}\; \backslash mathbf\{R\}^n$에 다음과 같은 기저를 부여한다.

:$\backslash \{\backslash mathbf\{e\}\_1\; \backslash wedge\; \backslash dots\; \backslash wedge\; \backslash hat\backslash mathbf\{e\}\_k\; \backslash wedge\; \backslash dots\; \backslash wedge\; \backslash mathbf\{e\}\_n\backslash \}\_\{k=1\}^n.$

의 기저 벡터 를 고정하면, $\backslash phi$ 아래에서 의 이미지는 다음과 같이 결정된다.

:$\backslash phi\_\{\backslash mathbf\{e\}\_i\}(\backslash mathbf\{e\}\_1\; \backslash wedge\; \backslash dots\; \backslash wedge\; \backslash hat\backslash mathbf\{e\}\_k\; \backslash wedge\; \backslash dots\; \backslash wedge\; \backslash mathbf\{e\}\_n)$
= \begin{cases} (-1)^{i-1} \mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n, &\text{if}\ k = i, \\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases}

기저 벡터에서 차 외력 는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{e\}\_1\; \backslash wedge\; \backslash dots\; \backslash wedge\; \backslash hat\backslash mathbf\{e\}\_j\; \backslash wedge\; \backslash dots\; \backslash wedge\; \backslash mathbf\{e\}\_n\; \backslash mapsto\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; (\backslash det\; A\_\{jk\})\; \backslash mathbf\{e\}\_1\; \backslash wedge\; \backslash dots\; \backslash wedge\; \backslash hat\backslash mathbf\{e\}\_k\; \backslash wedge\; \backslash dots\; \backslash wedge\; \backslash mathbf\{e\}\_n.$

이러한 각 항은 $\backslash phi\_\{\backslash mathbf\{e\}\_i\}$ 아래에서 0으로 매핑되지만 항은 예외이다. 따라서 $\backslash phi\_\{\backslash mathbf\{e\}\_i\}$의 당김은 다음과 같은 선형 변환이다.

:$\backslash mathbf\{e\}\_1\; \backslash wedge\; \backslash dots\; \backslash wedge\; \backslash hat\backslash mathbf\{e\}\_j\; \backslash wedge\; \backslash dots\; \backslash wedge\; \backslash mathbf\{e\}\_n\; \backslash mapsto\; (-1)^\{i-1\}\; (\backslash det\; A\_\{ji\})\; \backslash mathbf\{e\}\_1\; \backslash wedge\; \backslash dots\; \backslash wedge\; \backslash mathbf\{e\}\_n,$

즉, 다음과 같다.

:$\backslash sum\_\{j=1\}^n\; (-1)^\{i+j\}\; (\backslash det\; A\_\{ji\})\backslash phi\_\{\backslash mathbf\{e\}\_j\}.$

$\backslash phi$의 역을 적용하면 의 수반 행렬은 다음과 같은 선형 변환임을 알 수 있다.

:$\backslash mathbf\{e\}\_i\; \backslash mapsto\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; (-1)^\{i+j\}(\backslash det\; A\_\{ji\})\backslash mathbf\{e\}\_j.$

결과적으로, 이의 행렬 표현은 의 수반 행렬이다.

7. 고차 수반 행렬

A를 행렬이라 하고 r을 고정하자. r차 고차 수반 행렬은 $\backslash binom\{n\}\{r\}\; \backslash !\backslash times\backslash !\; \backslash binom\{n\}\{r\}$ 행렬이며, 로 표기한다. r차 고차 수반 행렬의 (I, J) 원소는 다음과 같다.

:$(-1)^\{\backslash sigma(I)\; +\; \backslash sigma(J)\}\backslash det\; \backslash mathbf\{A\}\_\{J^c,\; I^c\},$

여기서 와 는 각각 와 의 원소의 합이다. 와 는 각각 와 의 여집합을 나타낸다. 또한 $\backslash mathbf\{A\}\_\{I^c,\; J^c\}$는 각각 와 에 인덱스가 있는 행과 열을 포함하는 A의 부분 행렬을 나타낸다.

고차 수반 행렬의 기본적인 성질은 다음과 같다:
*
*
*
*
* $\backslash operatorname\{adj\}\_r(\backslash mathbf\{A\})C\_r(\backslash mathbf\{A\})\; =\; C\_r(\backslash mathbf\{A\})\backslash operatorname\{adj\}\_r(\backslash mathbf\{A\})\; =\; (\backslash det\; \backslash mathbf\{A\})I\_\{\backslash binom\{n\}\{r\}\}$, 여기서 는 r차 합성 행렬을 나타낸다.

고차 수반 행렬은 일반적인 수반 행렬과 유사한 방식으로 추상대수학적 용어로 정의될 수 있으며, $\backslash wedge^r\; V$와 $\backslash wedge^\{n-r\}\; V$를 각각 $V$와 $\backslash wedge^\{n-1\}\; V$ 대신 사용한다.

8. 반복 수반 행렬

반복적으로 가역 행렬 A의 수반 행렬을 k번 취하면 다음을 얻는다.

:$\backslash overbrace\{\backslash operatorname\{adj\}\backslash dotsm\backslash operatorname\{adj\}\}^k(\backslash mathbf\{A\})=\backslash det(\backslash mathbf\{A\})^\{\backslash frac\{(n-1)^k-(-1)^k\}n\}\backslash mathbf\{A\}^\{(-1)^k\}$
:$\backslash det(\backslash overbrace\{\backslash operatorname\{adj\}\backslash dotsm\backslash operatorname\{adj\}\}^k(\backslash mathbf\{A\}))=\backslash det(\backslash mathbf\{A\})^\{(n-1)^k\}$

예를 들어,

:$\backslash operatorname\{adj\}(\backslash operatorname\{adj\}(\backslash mathbf\{A\}))\; =\; \backslash det(\backslash mathbf\{A\})^\{n\; -\; 2\}\; \backslash mathbf\{A\}$
:$\backslash det(\backslash operatorname\{adj\}(\backslash operatorname\{adj\}(\backslash mathbf\{A\})))\; =\; \backslash det(\backslash mathbf\{A\})^\{(n\; -\; 1)^2\}$