정규화 부분군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 부분 모노이드
- 2.2. 군 (Group)
3. 성질
- 3.1. 군 (Group)
- 3.2. 환 (Ring)
4. 예
참조

1. 개요

정규화 부분군은 모노이드의 부분 집합에 대해 정의되는 부분 모노이드의 일종이다. 군의 부분 집합의 정규화 부분군은 항상 부분군을 이루며, 이를 정규화 부분군이라고 한다. 정규화 부분군은 주어진 부분 집합을 정규 부분군으로 갖는 가장 큰 부분군이며, 중심화 부분군은 정규화 부분군의 정규 부분군이다. 가환 모노이드의 경우, 임의의 부분 집합의 정규화 부분군은 전체 모노이드가 되며, 한원소 집합의 정규화 부분 모노이드는 중심화 부분 모노이드와 같다.

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정규화 부분군

2. 정의

모노이드 $M$ 의 부분 집합 $S\subseteq M$ 에 대해, $S$ 와 교환 가능한 $M$ 의 원소들로 구성된 부분 집합 $\operatorname N_M(S)=\{m\in M\colon mS=Sm\}$ 을 '''정규화 부분 모노이드'''(normalizer submonoid^영어)라고 한다.^[1]^[2]^[3] 이는 $M$ 의 부분 모노이드를 이룬다.

군의 부분 집합의 정규화 부분 모노이드는 항상 부분군을 이루며, 이를 '''정규화 부분군'''이라고 한다.^[3]

2. 1. 부분 모노이드

모노이드

M

의 부분 집합

S\subseteq G

의 '''정규화 부분 모노이드'''(normalizer submonoid^영어)는 다음과 같은

G

의 부분 집합이다.^[1]^[2]^[3]

:

\operatorname N_M(S)=\{m\in M\colon mS=Sm\}

이는

M

의 부분 모노이드를 이룬다.

임의의 모노이드

M

의 부분 집합

S

에 대하여 다음 두 집합 역시 각각 부분 모노이드를 이룬다.^[4]

:

\operatorname{LN}_M(S)=\{m\in M\colon mS\subseteq Sm\}

:

\operatorname{RN}_M(S)=\{m\in M\colon Sm\subseteq mS\}

이들은

\operatorname N_M(S)

를 포함하지만, 일반적으로 이 세 집합은 (심지어

M

이 군이며

S

가 부분군이더라도) 서로 다르다.^[3]

2. 2. 군 (Group)

군

G

의 부분군

H\subseteq G

에 대해,

\operatorname N_G(H)

는

H

를 정규 부분군으로 갖는 가장 큰 부분군이다. 즉, 임의의 부분군

K\subseteq G

에 대하여,

H

가

K

의 정규 부분군이라면,

K

는

\operatorname N_G(H)

의 부분군이다.

:

\forall K\in\operatorname{Sub}(G)\colon H\trianglelefteq K\le G\implies K\le\operatorname N_G(H)

3. 성질

임의의 모노이드 $M$ 의 부분 집합 $S\subseteq M$ 에 대하여, 정의에 따라 다음이 성립한다.

: $\operatorname N_M(S)=\operatorname{LN}_M(S)\cap\operatorname{RN}_M(S)$

중심화 부분 모노이드는 항상 정규화 부분 모노이드의 부분 모노이드이다. 즉, 임의의 모노이드 $M$ 의 부분 집합 $S\subseteq M$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

: $\operatorname C_M(S)\subseteq\operatorname N_M(S)$

3. 1. 군 (Group)

군

G

의 부분군

H\subseteq G

에 대해,

\operatorname N_G(H)

는

H

를 정규 부분군으로 갖는 가장 큰 부분군이다. 즉, 임의의 부분군

K\subseteq G

에 대하여, 만약

H

가

K

의 정규 부분군이라면,

K

는

\operatorname N_G(H)

의 부분군이다.

3. 2. 환 (Ring)

환의 부분 집합의 (곱셈에 대한) 정규화 부분 모노이드는 부분 모노이드이지만 일반적으로 부분환은 아니다.

나눗셈환

D

의 경우, 다음이 성립한다.

:

\operatorname N_D(D)=D

:임의의

a\in D

에 대하여

aD=Da

임을 보이면 된다. 우선, 만약

a=0

이라면 이는 자명하다. 따라서

a\ne0

이라고 가정하자. 그렇다면,

:

D\supseteq aDa^{-1}\supseteq aa^{-1}Daa^{-1}=D

:이므로

D=aDa^{-1}

이며

Da=aD

이다.

4. 예

가환 모노이드의 경우, 그 임의의 부분 집합의 정규화 부분군은 전체 모노이드이다.

한원소 집합의 정규화 부분 모노이드는 중심화 부분 모노이드와 같다.

공집합의 정규화 부분 모노이드는 (자명하게) 전체 집합이다.

참조

_[1] 서적 Linear time-varying systems: algebraic-analytic approach 2011
_[2] 서적 Mathematical Foundations of Information Flow https://web.archive.[...] American Mathematical Society 2017-02-27
_[3] 서적 Algèbre. Chapitres 1 à 3 Masson 1970
_[4] 저널 The centralizing theorem for left normal groups of units in compact monoids https://web.archive.[...] 2017-02-27

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