중심화 부분 모노이드

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1. 개요

중심화 부분 모노이드는 모노이드의 부분 집합에 대해 정의되는 부분 집합으로, 주어진 부분 집합의 모든 원소와 가환하는 모노이드의 원소들의 집합이다. 군, 환, 가군 등 다양한 대수적 구조에서 중심화 부분 모노이드와 유사한 개념이 정의되며, 이중 중심화 부분 모노이드는 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드로 정의된다. 이러한 개념은 폰 노이만 대수와 같은 구조에서 중요한 성질을 가지며, 가환 모노이드의 경우 중심화 부분 모노이드는 전체 모노이드가 된다.

중심화 부분 모노이드

정의

설명	수학, 특히 환론에서 부분집합 S의 중심화 부분 모노이드는 S의 모든 원소와 가환하는 환 A의 원소의 집합이다.

표기법

표기	A_S, Cent_A(S), comm_A(S)

관련 개념	중심화 부분군, 중심화 부분환

2. 정의

모노이드 $M$ 의 부분 집합 $S\subseteq M$ 의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같은 $M$ 의 부분 집합이다.
: $\operatorname C_M(S)=\{x\in M\colon\forall s\in S\colon sx=xs\}$
이는 $M$ 의 부분 모노이드를 이룬다.

$S$ 의 이중 중심화 부분 모노이드 (double centralizer, bicentralizer, bicommutant^영어) $\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))\subseteq M$ 은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.

2.1. 모노이드

모노이드 $M$ 의 부분 집합 $S\subseteq M$ 의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같은 $M$ 의 부분 집합이다.
: $\operatorname C_M(S)=\{x\in M\colon\forall s\in S\colon sx=xs\}$
이는 $M$ 의 부분 모노이드를 이룬다.

$S$ 의 이중 중심화 부분 모노이드 $\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))\subseteq M$ 은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.
일반적 모노이드 $M$ 의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.
: $\operatorname C_M(\operatorname C_M(\varnothing))=\operatorname Z(M)$
: $\operatorname C_M(M))=M$
: $\forall S\subseteq M\colon S\subseteq\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))=\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))))$
: $\forall\mathcal S\subseteq\operatorname{Pow}(M)\colon\operatorname C_M\left(\operatorname C_M\left(\bigcup\mathcal S\right)\right)=\bigcup_{S\in\mathcal S}\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))$
: $\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))\subseteq\operatorname C_M(\operatorname C_M(T))$
이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수
: $\operatorname C_M(\operatorname C_M(-))\colon \operatorname{Pow}(M)\to\operatorname{Pow}(M)$
를 이룬다.

특히, 집합 $M\setminus\operatorname Z(M)$ 위에 폐포
: $\operatorname{cl}(S)=\operatorname C_M(S)\setminus\operatorname Z(M)\qquad(S\subseteq M\setminus\operatorname Z(M))$
를 정의하면, 이는 $M\setminus\operatorname Z(M)$ 위의 알렉산드로프 위상을 정의한다.

2.2. 군

군의 부분 집합의 중심화 부분군은 그 부분 집합의 모든 원소와 가환하는 원소들의 집합이며, 항상 부분군을 이룬다.

군 $G$ 의 부분 집합 $S$ 의 중심화 부분군은 항상 $S$ 의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.
: $\operatorname Z(G)\trianglelefteq\operatorname C_G(S)\trianglelefteq\operatorname N_G(S)$
여기서 $\operatorname Z(-)$ 는 군의 중심이며, $\operatorname N_G(-)$ 는 정규화 부분군이다.

군 $G$ 의 부분군 $H\le G$ 의 정규화 부분군과 중심화 부분군의 몫군은 $H$ 의 자기 동형군의 부분군과 동형이다 (N/C 정리, N/C theorem^영어).
: $\operatorname N_G(H)/\operatorname C_G(H)\lesssim\operatorname{Aut}(H)$
여기서 $\operatorname{Aut}(-)$ 는 자기 동형군이다.

한원소 집합의 경우 중심화 부분군은 정규화 부분군과 같다.
: $\operatorname C_G(\{g\})=\operatorname N_G(\{g\})\qquad\forall g\in G$

군 $G$ 의 부분군 $H\le G$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $H=\operatorname C_G(\operatorname C_G(H))$ . 즉, $H$ 는 이중 중심화 부분군 연산의 고정점이다.
* $H=\operatorname C_G(S)$ 가 되는 부분 집합 $S\subseteq G$ 가 존재한다. 즉, $H$ 는 중심화 부분군 연산의 상에 속한다.

임의의 두 군 $H$ , $K$ 및 군 준동형
: $\phi\colon K\to\operatorname{Aut}(H)$
에 대하여, 반직접곱 $H\rtimes_\phi K$ 및 포함 사상 $H,K\subseteq H\rtimes_\phi K$ 을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다.
: $\operatorname C_{H\rtimes_\phi K}(K)\cap H=\operatorname N_{H\rtimes_\phi K}(K)\cap H$
: $\operatorname C_{H\rtimes_\phi K}(H)\cap K=\ker\phi$

2.3. 환

환 $R$ 의 부분 집합 $S\subseteq R$ 의 중심화 부분환은 $S$ 의 모든 원소와 곱셈에 대해 가환하는 $R$ 의 원소들의 부분환이다. 즉, 중심화 부분환은 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname C_M(S)=\{x\in M\colon\forall s\in S\colon sx=xs\}$

이는 $R$ 의 부분환을 이룬다. 임의의 나눗셈환 $K$ 의 임의의 부분 집합 $S\subseteq K$ 에 대하여, 중심화 부분환 $\operatorname C_K(S)$ 역시 나눗셈환이다.

3. 성질

일반적 모노이드 $M$ 의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.
: $\operatorname C_M(\varnothing)=\operatorname C_M(\operatorname Z(M))=M$
: $\operatorname C_M(M)=\operatorname Z(M)$
: $\forall S\subseteq M\colon \operatorname C_M(S)=\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(S)))$
: $\forall S\subseteq M\colon\operatorname Z(M)\subseteq\operatorname C_M(S)$
: $\forall S\subseteq M\colon\operatorname C_M(S)=\bigcap_{s\in S}\operatorname C_M(\{s\})$
: $\forall \mathcal S\subseteq\operatorname{Pow}(M)\colon\operatorname C_M\left(\bigcup\mathcal S\right)=\bigcap_{S\in\mathcal S}\operatorname C_M(S)$
: $\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies\operatorname C_M(S)\supseteq\operatorname C_M(T)$
여기서 $\operatorname Z(-)$ 는 모노이드의 중심이다.

이에 따라, 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수
: $\operatorname C_M(-)\colon \operatorname{Pow}(M)\to\operatorname{Pow}(M)^{\operatorname{op}}$
를 이룬다. (여기서 $\operatorname{Pow}(M)$ 은 멱집합에 부분 집합 관계를 부여하여 얻은 부분 순서 집합이며, $(-)^{\operatorname{op}}$ 은 그 반대 부분 순서를 부여한 부분 순서 집합이다.)
* $S' = S$ = S。 즉, 가환자환은 자기 자신의 이중 가환자환과 같다.
* $S$ = S' = S'''。 즉, 이중 가환자환은 자기 자신의 이중 가환자환과 같다.

3.1. 모노이드

3.1.1. 이중 중심화 부분 모노이드

일반적 모노이드 $M$ 의 부분 집합에 대하여, 다음이 성립한다.
: $\operatorname C_M(\operatorname C_M(\varnothing))=\operatorname Z(M)$
: $\operatorname C_M(M))=M$
: $\forall S\subseteq M\colon S\subseteq\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))=\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))))$
: $\forall\mathcal S\subseteq\operatorname{Pow}(M)\colon\operatorname C_M\left(\operatorname C_M\left(\bigcup\mathcal S\right)\right)=\bigcup_{S\in\mathcal S}\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))$
: $\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))\subseteq\operatorname C_M(\operatorname C_M(T))$
이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수
: $\operatorname C_M(\operatorname C_M(-))\colon \operatorname{Pow}(M)\to\operatorname{Pow}(M)$
를 이룬다.

특히, 집합 $M\setminus\operatorname Z(M)$ 위에 폐포
: $\operatorname{cl}(S)=\operatorname C_M(S)\setminus\operatorname Z(M)\qquad(S\subseteq M\setminus\operatorname Z(M))$
를 정의하면, 이는 $M\setminus\operatorname Z(M)$ 위의 알렉산드로프 위상을 정의한다.
* $S' = S$ = S。 즉, 가환자환은 자기 자신의 이중 가환자환과 같다.
* $S$ = S' = S'''。 즉, 이중 가환자환은 자기 자신의 이중 가환자환과 같다.

3.2. 군

군의 부분 집합의 가환식은 항상 부분군을 이루며, 중심화 부분군이라고 한다.

군 $G$ 의 부분 집합 $S$ 의 중심화 부분군은 항상 $S$ 의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.
: $\operatorname Z(G)\trianglelefteq\operatorname C_G(S)\trianglelefteq\operatorname N_G(S)$
여기서 $\operatorname Z(-)$ 는 군의 중심이며, $\operatorname N_G(-)$ 는 정규화 부분군이다.

군 $G$ 의 부분군 $H\le G$ 의 정규화 부분군과 중심화 부분군의 몫군은 $H$ 의 자기 동형군의 부분군과 동형이다 (N/C 정리, N/C theorem^영어).
: $\operatorname N_G(H)/\operatorname C_G(H)\lesssim\operatorname{Aut}(H)$
여기서 $\operatorname{Aut}(-)$ 는 자기 동형군이다.

한원소 집합의 경우 중심화 부분군은 정규화 부분군과 같다.
: $\operatorname C_G(\{g\})=\operatorname N_G(\{g\})\qquad\forall g\in G$

군 $G$ 의 부분군 $H\le G$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $H=\operatorname C_G(\operatorname C_G(H))$ . 즉, $H$ 는 이중 중심화 부분군 연산의 고정점이다.
* $H=\operatorname C_G(S)$ 가 되는 부분 집합 $S\subseteq G$ 가 존재한다. 즉, $H$ 는 중심화 부분군 연산의 상에 속한다.

임의의 두 군 $H$ , $K$ 및 군 준동형
: $\phi\colon K\to\operatorname{Aut}(H)$
에 대하여, 반직접곱 $H\rtimes_\phi K$ 및 포함 사상 $H,K\subseteq H\rtimes_\phi K$ 을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다.
: $\operatorname C_{H\rtimes_\phi K}(K)\cap H=\operatorname N_{H\rtimes_\phi K}(K)\cap H$
: $\operatorname C_{H\rtimes_\phi K}(H)\cap K=\ker\phi$

3.3. 환

일반적 모노이드의 부분 집합에 대하여 중심화 연산과 관련된 여러 성질들이 성립한다. 특히, 환 $R$ 의 부분 집합 $S\subseteq R$ 에 대한 중심화 부분환 $\operatorname C_K(S)$ 은 (1을 포함하는) 부분환을 이룬다. 나눗셈환 $K$ 의 부분 집합 $S\subseteq K$ 의 중심화 부분환 $\operatorname C_K(S)$ 는 나눗셈환이다. 이는 $\operatorname C_K(S)$ 가 부분환이므로, 가역원에 대하여 닫혀 있음을 보이면 증명된다.

3.4. 가군

균형 잡힌 쌍가군 $_RM_S$ 에 대해, $\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\phi_M(R))=\operatorname{End}(M_R)$ 이다. 여기서 우변은 $R$ -오른쪽 가군의 자기 사상환이다. $M$ 이 균형 잡힌 가군일 조건은 $\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\phi_M(R)))=\phi_M(R)$ 이다.

3.5. 폰 노이만 대수

복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 유계 작용소 폰 노이만 대수 $\operatorname B(V,V)$ 의 부분 대합 대수 $S\subseteq\operatorname B(V,V)$ 를 생각하자. (즉, $S$ 는 복소수 결합 대수를 이루며, 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 이 경우, 폰 노이만 이중 중심화 정리(von Neumann bicommutant theorem^영어)에 따르면 다음 집합들이 서로 일치한다.
* $S$ 의 이중 중심화 부분환 $\operatorname C_{\operatorname B(V,V)}(\operatorname C_{\operatorname B(V,V)}(S))$
* $S$ 의 약한 작용소 위상에서의 폐포
* $S$ 의 강한 작용소 위상에서의 폐포
* $S$ 로부터 생성되는 폰 노이만 대수
(다만, $S$ 의 노름 거리 위상에서의 폐포는 항상 C* 대수를 이루지만 폰 노이만 대수가 되지 못할 수 있다.)

4. 예

가환 모노이드일 경우, 임의의 부분 집합 $S\subseteq M$ 에 대하여 $S'=M$ 이다. 즉, 아벨 군의 부분 집합의 중심화 부분군은 그 전체이며, 마찬가지로 가환환의 부분 집합의 중심화 부분환은 그 전체이다.

$\Sigma$ 로 생성되는 자유 모노이드 $M=\Sigma^*$ 가 있을때, 임의의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같다.
: $\operatorname C_{\Sigma^*}(S)=\{s\in\Sigma^*\colon\{s\}^*\supseteq S\}^*$

사원수 대수 $\mathbb H$ 에서, $\mathrm i$ 의 중심화 부분환은 $\mathbb R+\mathbb Ri$ 이다. 보다 일반적으로, 임의의 $x\in\mathbb H$ 에 대하여, $\operatorname{Im}x=(x-\bar x)/2$ 를 생각하면, $\operatorname C_{\mathbb H}(\{x\})=\mathbb R+\mathbb R\operatorname{Im}x$ 이다. 만약 $\operatorname{Im}x\ne0$ 이라면 $\operatorname C_{\mathbb H}(\{x\})$ 는 (환으로서) 복소수체와 동형이다.