화환곱

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1. 개요
2. 정의
3. 표기법 및 관습
4. 성질
5. 화환곱의 작용
- 5.1. 비원시적 작용
- 5.2. 원시적 작용
6. 예시
참조

1. 개요

화환곱은 두 개의 반군과 작용을 받는 집합을 사용하여 구성되는 새로운 반군 구조이다. (G,A)와 (H,B)의 화환곱은 (G,A) wr (H,B)로 표기되며, 무제한 화환곱과 제한 화환곱으로 구분된다. 무제한 화환곱은 직접곱을, 제한 화환곱은 직접합을 사용하여 정의된다. 화환곱은 결합 법칙을 따르며, 크라스너-칼루주닌 매장 정리와 크론-로즈 정리가 존재한다. 화환곱은 램프라이터 군, 일반화된 대칭군, 초팔면체군, 루빅 큐브 군 등 다양한 수학적 구조를 설명하는 데 사용된다.

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화환곱
정의
설명	군론에서, 두 군의 곱을 나타내는 한 방법이다.
유형
유형	제약 없는 화환곱 직접 화환곱 반직접곱
기호
기호	A Wr H A ≀ H A wr H A WrΩ H A wrΩ H
관련 개념
관련 개념	군론, 곱, 군

2. 정의

반군 $G$ 가 오른쪽에서 작용하는 집합 $A$ 와 반군 $H$ 가 오른쪽에서 작용하는 집합 $B$ 가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 집합 $G^B\times H$ 위에 다음과 같은 반군 구조를 줄 수 있다.

: $\left((g_b)_{b\in B},h\right)\cdot\left((g'_b)_{b\in B},h'\right)=\left((g_bg'_{b\cdot h})_{b\in B},hh'\right)$

이 반군은 $A\times B$ 위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

: $(a,b)\cdot\left((g_{b'})_{b'\in B},h\right)=(a\cdot g_b,b\cdot h)$

이를 $(G,A)$ 와 $(H,B)$ 의 '''화환곱'''이라고 하며, $(G,A)\wr(H,B)$ 로 표기한다.

화환곱의 더 자세한 정의는 하위 섹션인 무제한 화환곱, 제한 화환곱, 정규 화환곱에서 확인할 수 있다.

2. 1. 무제한 화환곱

군 ''A''와 집합

\Omega

에 작용하는 군 ''H''가 주어졌을 때, ''A''와 ''H''의 '''무제한 화환곱'''

A \text{ Wr}_{\Omega} H

는 다음과 같이 정의된다.

먼저,

\Omega

에 의해 인덱싱된 ''A''의 직접곱

A^{\Omega}

은

\Omega

의 각 원소

\omega

에 대해 ''A''의 원소

a_\omega

를 대응시키는 수열

\overline{a} = (a_{\omega})_{\omega \in \Omega}

들의 집합이며, 군 연산은 점별 곱셈으로 주어진다.

''H''의

\Omega

에 대한 작용은 '재인덱싱'을 통해

A^{\Omega}

에 대한 작용으로 확장될 수 있다. 즉, 모든

h \in H

와

(a_{\omega})_{\omega \in \Omega} \in A^{\Omega}

에 대해 다음과 같이 정의한다.

:

h \cdot (a_{\omega})_{\omega \in \Omega} := (a_{h^{-1} \cdot \omega})_{\omega \in \Omega}

그러면

A \text{ Wr}_{\Omega} H

는

H

의

A^{\Omega}

에 대한 위 작용을 갖는 반직접곱

A^{\Omega} \rtimes H

이다. 이때,

A^{\Omega} \rtimes H

의 부분군

A^{\Omega}

을 화환곱의 '''밑'''이라고 한다.

\Omega = H

이고

H

가 자신에게 왼쪽 곱셈으로 작용하는 경우, 무제한 화환곱은

A \text{ Wr } H

로 표기할 수 있으며, 이를 '''정규''' 화환곱이라고 한다.

2. 2. 제한 화환곱

A

를 군이라 하고,

H

가 집합

\Omega

에 작용한다고 가정한다(왼쪽에서).

\Omega

에 의해 인덱싱된

A

의 직접곱

A^{\Omega}

은

\Omega

에 의해 인덱싱된,

A

의 수열

\overline{a} = (a_{\omega})_{\omega \in \Omega}

의 집합이며, 점별 곱셈에 의해 군 연산이 주어진다.

H

의

\Omega

에 대한 작용은 '재인덱싱'을 통해

A^{\Omega}

에 대한 작용으로 확장될 수 있다. 즉, 모든

h \in H

와 모든

(a_{\omega})_{\omega \in \Omega} \in A^{\Omega}

에 대해 다음과 같이 정의한다.

:

h \cdot (a_{\omega})_{\omega \in \Omega} := (a_{h^{-1} \cdot \omega})_{\omega \in \Omega}

그러면

A

와

H

의 '''무제한 화환곱'''

A \text{ Wr}_{\Omega} H

는 위에 주어진

H

의

A^{\Omega}

에 대한 작용을 갖는 반직접곱

A^{\Omega} \rtimes H

이다.

A^{\Omega} \rtimes H

의 부분군

A^{\Omega}

은 화환곱의 '''밑'''이라고 한다.

'''제한 화환곱'''

A \text{ wr}_{\Omega} H

는 무제한 화환곱과 같은 방식으로 구성되지만, 화환곱의 밑으로 직접합을 사용한다는 점이 다르다. 이 경우, 밑은 유한 개의 비항등원 항목을 갖는

A^{\Omega}

의 모든 수열로 구성된다.

\Omega

가 유한할 때 두 정의는 일치한다.

가장 일반적인 경우는

\Omega = H

이고,

H

가 자신에게 왼쪽 곱셈으로 작용하는 경우이다. 이 경우, 무제한 및 제한 화환곱은 각각

A \text{ Wr } H

와

A \text{ wr } H

로 표기할 수 있으며, '''정규''' 화환곱이라고 한다.

2. 3. 정규 화환곱

A

를 군,

H

가 집합

\Omega

에 작용한다고 하자(왼쪽에서).

\Omega

에 의해 인덱싱된

A

의 직접곱

A^{\Omega}

은

\Omega

에 의해 인덱싱된,

A

의 수열

\overline{a} = (a_{\omega})_{\omega \in \Omega}

의 집합이며, 점별 곱셈에 의해 군 연산이 주어진다.

H

의

\Omega

에 대한 작용은 ''재인덱싱''을 통해

A^{\Omega}

에 대한 작용으로 확장될 수 있다. 즉, 모든

h \in H

와 모든

(a_{\omega})_{\omega \in \Omega} \in A^{\Omega}

에 대해 다음과 같이 정의한다.

:

h \cdot (a_{\omega})_{\omega \in \Omega} := (a_{h^{-1} \cdot \omega})_{\omega \in \Omega}

그러면

A

와

H

의 '''무제한 화환곱'''

A \text{ Wr}_{\Omega} H

는 위에 주어진

H

의

A^{\Omega}

에 대한 작용을 갖는 반직접곱

A^{\Omega} \rtimes H

이다.

A^{\Omega} \rtimes H

의 부분군

A^{\Omega}

은 화환곱의 '''밑'''이라고 한다.

'''제한 화환곱'''

A \text{ wr}_{\Omega} H

는 무제한 화환곱과 같은 방식으로 구성되지만, 화환곱의 밑으로 직접합을 사용한다는 점이 다르다. 이 경우, 밑은 유한 개의 비항등원 항목을 갖는

A^{\Omega}

의 모든 수열로 구성된다.

\Omega

가 유한할 때 두 정의는 일치한다.

가장 일반적인 경우는

\Omega = H

이고,

H

는 자신에게 왼쪽 곱셈으로 작용한다. 이 경우, 무제한 및 제한 화환곱은 각각

A \text{ Wr } H

와

A \text{ wr } H

로 표기할 수 있으며, 이를 '''정규''' 화환곱이라고 한다.

3. 표기법 및 관습

화환곱의 구조는 ''H''-집합 Ω에 따라 달라지며, Ω가 무한한 경우 제한 화환곱을 사용하는지 아니면 비제한 화환곱을 사용하는지에 따라서도 달라진다. 하지만, 문헌에서 사용되는 표기법은 부족할 수 있으므로 상황에 주의를 기울여야 한다.

문헌에서 ''A''≀_Ω''H''는 비제한 화환곱 ''A'' Wr_Ω ''H'' 또는 제한 화환곱 ''A'' wr_Ω ''H''를 나타낼 수 있다.
마찬가지로, ''A''≀''H''는 비제한 정규 화환곱 ''A'' Wr ''H'' 또는 제한 정규 화환곱 ''A'' wr ''H''를 나타낼 수 있다.
문헌에서 ''H''-집합 Ω는 Ω ≠ ''H''일 경우에도 표기에서 생략될 수 있다.
''H'' = ''S''_''n''이 차수 ''n''의 대칭군인 특수한 경우, 문헌에서는 Ω = {1,...,''n''} (''S''_''n''의 자연스러운 작용과 함께)이라고 가정하고 Ω를 표기에서 생략하는 것이 일반적이다. 즉, ''A''≀''S''_''n''은 정규 화환곱 ''A''≀_{''S''_''n''}''S''_''n'' 대신에 일반적으로 ''A''≀_{{1,...,''n''}}''S''_''n''을 나타낸다. 첫 번째 경우의 밑군은 ''A''의 ''n''개의 복사본의 곱이고, 후자의 경우 ''n''!개의 ''A'' 복사본의 곱이다.

4. 성질

화환곱은 결합 법칙을 따른다. 즉, 반군 작용이 갖추어진 집합 $(G,A)$ , $(H,B)$ , $(K,C)$ 이 주어졌을 때 다음과 같은 식이 성립한다.

: $(G,A)\wr\left((H,B)\wr(K,C)\right)\cong\left((G,A)\wr(H,B)\right)\wr(K,C)$

화환곱 $(G_1,A_1)\wr\cdots\wr(G_k,A_k)$ 에서, 모든 $G_i$ 가 군을 이룬다면, 그 화환곱 역시 군을 이룬다.

크론-로즈 정리는 크라스너-칼루주닌 매장 정리라고도 불리며, 군 확대와 관련된 보편적 임베딩 정리^[3]^[4]의 특수한 경우이다.

4. 1. 유한성

finite^영어 직적은 finite^영어 직합과 같으므로, ''H''-집합 Ω가 유한 집합일 때는 비제한 화환곱Wr|^영어와 제한 화환곱wr|^영어도 일치한다. 특히 Ω = ''H'' 가 유한할 때 성립한다.

제한 화환곱wr|^영어는 항상 비제한 화환곱Wr|^영어의 부분군이 된다.
보편 매입 정리: 군 ''G''가 ''A''의 ''H''에 의한 군의 확대라면, 비제한 화환곱≀|^영어의 부분군으로 ''G''와 동형인 것이 존재한다^[9]。
''A'', ''H'', Ω가 모두 유한하다면, 위수에 관하여 다음과 같은 식이 성립한다.

Ω''H''>= |A|^|Ω||H|

4. 2. 부분군 관계

''A'' wr_Ω ''H''는 항상 ''A'' Wr_Ω ''H''의 부분군이다.
군의 유한 직적은 유한 직합과 같으므로, ''H''-집합 Ω가 유한 집합일 때는 비제한 화환곱 ''A'' Wr_Ω ''H''와 제한 화환곱 ''A'' wr_Ω ''H''도 일치한다. 특히 이것은 Ω = ''H''가 유한할 때 성립한다.
제한 화환곱 ''A'' wr_Ω ''H''는 항상 비제한 화환곱 ''A'' Wr_Ω ''H''의 부분군이 된다.
보편 매입 정리: 군 ''G''가 ''A''의 ''H''에 의한 군의 확대라면, 비제한 화환곱 ''A'' ≀ ''H''의 부분군으로 ''G''와 동형인 것이 존재한다.^[9]
''A'', ''H'', Ω가 모두 유한하다면, 위수에 관하여 |''A''≀_Ω''H''| = |''A''|^|Ω||''H''|가 성립한다.

4. 3. 크기

만약 ''A'', ''H'' 그리고 Ω가 유한 집합이라면, |''A'' ≀_Ω''H''| = |''A''|^|Ω||''H''|이다.^[2] ''A'', ''H'', Ω가 모두 유한 집합이라면, 위수에 관하여 같은 식이 성립한다.

4. 4. 보편 매장 정리

'''보편적 임베딩 정리''': ''G''가 ''A''에 의해 ''H''의 확대인 경우, 비제한적인 화환곱 ''A''≀''H''의 부분군 중 ''G''와 동형인 군이 존재한다.^[3] 이는 ''크라스너–칼루자닌 임베딩 정리''라고도 알려져 있다. 크론-로드스 정리는 기본적으로 이 정리의 반군에 해당하는 내용을 다룬다.^[4]

군의 유한 직적은 유한 직합과 같으므로, ''H''-집합 Ω가 유한 집합일 때는 비제한 륜적 A Wr_Ω H^영어와 제한 륜적 A wr_Ω H^영어도 일치한다. 특히 이것은 Ω = H^영어가 유한할 때 성립한다.
제한 륜적 A wr_Ω H^영어는 항상 비제한 륜적 A Wr_Ω H^영어의 부분군이 된다.
보편 매입 정리: 군 ''G''가 ''A''의 ''H''에 의한 군의 확대라면, 비제한 륜적 A ≀ H^영어의 부분군으로 ''G''와 동형인 것이 존재한다.^[9]
''A'', ''H'', Ω가 모두 유한하다면, 위수에 관하여 |''A''≀_Ω''H''| = |''A''|^|Ω||''H''|가 성립한다.

4. 5. 결합 법칙

화환곱은 결합 법칙을 따른다. 즉, 반군 작용이 갖추어진 집합

(G,A)

,

(H,B)

,

(K,C)

이 주어졌을 때 다음과 같다.

:

(G,A)\wr\left((H,B)\wr(K,C)\right)\cong\left((G,A)\wr(H,B)\right)\wr(K,C)

화환곱

(G_1,A_1)\wr\cdots\wr(G_k,A_k)

에서, 모든

G_i

가 군을 이룬다면, 그 화환곱 역시 군을 이룬다.

5. 화환곱의 작용

군 ''A''가 집합 Λ에 작용한다면, ''A'' Wr_Ω ''H''(따라서 ''A'' wr_Ω ''H''도)는 Ω와 Λ로부터 구성된 집합에 작용할 수 있다. 이때 두 가지 표준적인 작용 방식이 존재한다.

Λ × Ω에 대한 '''비원시적''' 화환곱 작용
Λ^Ω에 대한 '''원시적''' 화환곱 작용

각 작용에 대한 자세한 설명은 하위 섹션을 참고하면 된다.

5. 1. 비원시적 작용

군(''A'')가 집합 Λ에 작용한다면, 집합 Ω와 Λ에서 화환곱 (''A'' Wr_Ω ''H'') (따라서 ''A'' wr_Ω ''H''도)가 작용할 수 있는 집합을 구성하는 표준적인 방법 중 하나는 다음과 같다.

집합

\Lambda \times \Omega

에 대한 '''비원시적''' 화환곱 작용은

((''a''_{\omega}),''h'') \in A

Wr_Ω ''H'' 및

(\lambda,\omega') \in \Lambda \times \Omega

에 대해 다음과 같이 주어진다.

:

((a_{\omega}), h) \cdot (\lambda,\omega') := (a_{h(\omega')}\lambda, h\omega')

5. 2. 원시적 작용

군 ''A''가 집합 Λ에 작용할 경우, 집합 Ω와 Λ에서 화환곱 ''A'' Wr_Ω ''H''^영어 (따라서 ''A'' wr_Ω ''H''^영어도)가 작용할 수 있는 집합을 두 가지 표준적인 방식으로 구성할 수 있다.

집합 Λ^Ω에 대한 '''원시적인''' 화환곱 작용은 다음과 같다.

Λ^Ω의 원소는 ''H''-집합 Ω로 인덱싱된 열 (λ_ω)이며, 주어진 원소 ((''a''_ω), ''h'') ∈ ''A'' Wr_Ω ''H''^영어의 (λ_ω) ∈ Λ^Ω에 대한 작용은

: ((''a''_ω), ''h'') · (λ_ω) := (''a''_''h''^-1ωλ_''h''^-1ω)

로 주어진다.

6. 예시

랜턴 그룹은 제한된 화환곱 $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ 이다. Lamplighter group^영어은 제한 링적 $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ 이다.

$\mathbb{Z}_m \wr S_n$ (일반화된 대칭군)^[5] 은 ''n''개의 $\mathbb{Z}_m$ 복사본의 ''n''-겹 직접 곱 $\mathbb{Z}_m^n = \mathbb{Z}_m \times \cdots \times \mathbb{Z}_m$ 이며, 여기서 대칭군 ''S''_''n''의 작용은 $\phi:S_n \to \text{Aut}(\mathbb{Z}_m^n)$ 은 ''φ''(''σ'')(α₁,..., ''α''_''n'') := (''α''_''σ''(1),..., ''α''_{''σ''(''n'')})로 주어진다.^[10]

$S_2 \wr S_n$ (과정팔면체군)^[6] 은 ''S''_''n''의 {1,...,''n''}에 대한 자연스러운 작용이고, 이차 대칭군 ''S''₂는 순환군 $\mathbb{Z}_2$ 에 동형이므로, 초팔면체군은 일반화된 대칭군의 특별한 경우가 된다.^[11]

가장 작은 비자명 화환곱은 $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}_2$ 이며, 이는 위 과정팔면체군의 2차원 경우이다. 이는 정사각형의 대칭군으로, 위수 8의 이산면군인 ''D''₄라고도 한다.

''p''를 소수로 하고, $n \geq 1$ 로 하자. ''P''를 대칭군 ''S''_''p''^''n''의 실로우 ''p''-부분군이라고 하자. 그러면 ''P''는 $W_n = \mathbb{Z}_p \wr \cdots \wr \mathbb{Z}_p$ 의 반복된 정규 화환곱과 동형이다. 여기서 $W_1:=\mathbb{Z}_p$ 이고, 모든 $k \geq 2$ 에 대해 $W_k:=W_{k - 1} \wr \mathbb{Z}_p$ 이다.^[7]^[8]^[12] 예를 들어, S₄의 실로우 2-부분군은 위의 $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}_2$ 군이다.

루빅스 큐브 군은 화환곱의 곱, $(\mathbb{Z}_3 \wr S_8) \times (\mathbb{Z}_2 \wr S_{12})$ 에서 지수 12인 정규 부분군으로, 요소는 8개의 모서리와 12개의 변의 대칭에 해당한다.

스도쿠 유효성 유지 변환(VPT)군은 이중 화환곱 (''S''₃ ≀ ''S''₃) ≀ ''S''₂를 포함하며, 여기서 요소는 3개의 행 또는 3개의 열 ''밴드'' 또는 ''스택'' 내의 행/열의 순열(''S''₃), 밴드/스택 자체의 순열(''S''₃) 및 밴드와 스택을 교환하는 전치(''S''₂)이다. 여기서 지수 집합 ''Ω''는 밴드 집합(각각 스택) (|''Ω''| = 3)과 {밴드, 스택} 집합 (|''Ω''| = 2)이다. 따라서 |''S''₃ ≀ ''S''₃| = |''S''₃|³|''S''₃| = (3!)⁴이고 |(''S''₃ ≀ ''S''₃) ≀ ''S''₂| = |''S''₃ ≀ ''S''₃|²|''S''₂| = (3!)⁸ × 2이다.

화환곱은 완전한 근원 트리와 해당 그래프의 대칭에서 자연스럽게 발생한다. 예를 들어, 반복된 화환곱 ''S''₂ ≀ ''S''₂ ≀ ''...'' ≀ ''S''₂는 완전한 이진 트리의 자기 동형군이다.

참조

_[1] 간행물 Wreath products https://doi.org/10.1[...] Springer 1998
_[2] 서적 An Introduction to the Theory of Groups 1995
_[3] 논문 "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III" 1951
_[4] 서적 Wreath Products of Groups and Semigroups Longman [UK] / Wiley [US]
_[5] 논문 "The Schur Multiplier of the Generalized Symmetric Group" 1974
_[6] 논문 "The Hyperoctahedral Group, Symmetric Group Representations and the Moments of the Real Wishart Distribution" 2005
_[7] 서적 An Introduction to the Theory of Groups 1995
_[8] 논문 "La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis" 1948
_[9] 논문 "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III" 1951
_[10] 논문 "The Schur Multiplier of the Generalized Symmetric Group" 1974
_[11] 논문 "The Hyperoctahedral Group, Symmetric Group Representations and the Moments of the Real Wishart Distribution" 2005
_[12] 논문 "La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis" 1948

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