정자기학

\right)

\ d^{3}\mathbf{s}



$\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}=\backslash operatorname\{rot\}[\backslash mathbf\{A\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}]$를 함께 고려하면,

$\backslash boldsymbol\{i\}(\backslash mathbf\{r\})$가 직접적으로 만들어내는 자속 밀도$\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}$는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$

=\frac{\mu_{0}}{4 \pi }

\int_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\left(\frac{

\boldsymbol{i}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})

}{|\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right) d^3

\mathbf{s}

위 식의 $\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$에 대해, 새로운 장$\{\backslash mathbf\{H\}\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}$를 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash mathbf\{H\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$

:=\frac{1}\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})



이 장을 "전류 밀도 i가 만들어내는 자기장"이라고 부른다. 여기서 μ₀는 진공의 투자율이다. 또한, 정의상 "전류 밀도 i가 만들어내는 자기장" $\{\backslash mathbf\{H\}\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}$는, 투자율이 μ인 장소에서도 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{H\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$

:=\frac{1}\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})



위 식들로부터,

:$\backslash mathbf\{H\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$

=\frac{1}{4 \pi}

\int_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\left(\frac{

\boldsymbol{i}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})

}{|\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right) d^3

\mathbf{s}

이다. 여기에 회전 미분을 작용시키면,

:$\backslash operatorname\{rot\}\_\{\backslash mathbf\{r\}\}[\backslash mathbf\{H\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}]=\; \backslash boldsymbol\{i\}$

를 얻는다.

2. 2. 비오-사바르 법칙

어떤 시스템의 모든 전류가 알려진 경우(즉, 전류 밀도 $\backslash mathbf\{J\}(\backslash mathbf\{r\})$에 대한 완전한 설명이 제공되는 경우) 자기장은 위치 '''r'''에서 비오-사바르 법칙을 통해 전류로부터 결정될 수 있다.^[3]

:$$\backslash mathbf\{B\}(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_0\}\{4\backslash pi\}\; \backslash int\{\backslash frac\{\backslash mathbf\{J\}(\backslash mathbf\{r\}\text{'})\; \backslash times\; \backslash left(\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\text{'}\backslash right)\}\{|\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\text{'}|^3\}\; \backslash mathrm\{d\}^3\backslash mathbf\{r\}\text{'}\}$$

이 기술은 매질이 진공 또는 공기이거나 1의 상대 투자율을 가진 유사한 물질인 문제에 적합하다. 여기에는 공심 인덕터 및 공심 변압기가 포함된다. 이 기술의 한 가지 장점은 코일이 복잡한 형상을 갖는 경우 섹션으로 나누어 각 섹션에 대해 적분을 평가할 수 있다는 것이다. 이 방정식은 주로 선형 문제를 해결하는 데 사용되므로 기여도를 추가할 수 있다. 매우 어려운 형상의 경우, 수치 적분을 사용할 수 있다.

지배적인 자기 재료가 상대적으로 작은 공극을 가진 고투자율 자성 코어인 경우, 자기 회로 접근 방식이 유용하다. 공극이 자기 회로 길이에 비해 큰 경우 프린징이 중요해지고 일반적으로 유한 요소 계산이 필요하다. 유한 요소 계산은 위의 정자기학 방정식의 수정된 형태를 사용하여 자기 전위를 계산한다. $\backslash mathbf\{B\}$의 값은 자기 전위로부터 찾을 수 있다.

자기장은 벡터 포텐셜에서 유도할 수 있다. 자기 선속 밀도의 발산은 항상 0이므로,

$$\backslash mathbf\{B\}\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{A\},$$

그리고 벡터 포텐셜과 전류의 관계는 다음과 같다:^[3]

$$\backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_\{0\}\}\{4\backslash pi\}\; \backslash int\{\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{J(\backslash mathbf\{r\}\text{'})\}\; \}$$

\mathrm{d}^3\mathbf{r}'}.

진공 중에 정상 전류 밀도(시간 t에 의존하지 않는) $\backslash boldsymbol\{i\}(\backslash mathbf\{r\})$가 주어졌을 때, 이 $\backslash boldsymbol\{i\}(\backslash mathbf\{r\})$는 다음의 자기 벡터 포텐셜 $\backslash mathbf\{A\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$를 공간 내에 만들어낸다.

:$\backslash mathbf\{A\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$

=\frac{\mu_{0}}{4\pi}

{\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\left(\frac{\boldsymbol{i}(\mathbf{s})}

\right)

\ d^{3}\mathbf{s}



$\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}=\backslash operatorname\{rot\}[\backslash mathbf\{A\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}]$를 함께 고려하면, $\backslash boldsymbol\{i\}(\backslash mathbf\{r\})$가 직접적으로 만들어내는 자속 밀도 $\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}$는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$

=\frac{\mu_{0}}{4 \pi }

\int_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\left(\frac{

\boldsymbol{i}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})

}{|\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right) d^3

\mathbf{s}

이는 비오-사바르 법칙이다.

위의 $\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$에 대해, 새로운 장 $\{\backslash mathbf\{H\}\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}$를 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash mathbf\{H\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$

:=\frac{1}\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})



이 장을 "전류 밀도 i가 만들어내는 자기장"이라고 부른다. 여기서 μ₀는 진공의 투자율이다. 또한, 정의상 "전류 밀도 i가 만들어내는 자기장" $\{\backslash mathbf\{H\}\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}$는, 투자율이 μ인 장소에서도 $\backslash mathbf\{H\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\}):=\backslash frac\{1\}\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$임에 특히 주의해야 한다.

식(1-2)와 식(1-3)으로부터,

:$\backslash mathbf\{H\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$

=\frac{1}{4 \pi}

\int_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\left(\frac{

\boldsymbol{i}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})

}{|\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right) d^3

\mathbf{s}

이다. 여기에 회전 미분을 작용시키면,

:$\backslash operatorname\{rot\}\_\{\backslash mathbf\{r\}\}[\backslash mathbf\{H\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}]=\; \backslash boldsymbol\{i\}$

를 얻는다.

2. 3. 자기 벡터 포텐셜

magnetic vector potential|자기 벡터 포텐셜^영어은 자기장에서 유도될 수 있다. 자기 선속 밀도의 발산은 항상 0이므로, 다음이 성립한다.

:$\backslash mathbf\{B\}\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{A\},$

그리고 벡터 포텐셜과 전류의 관계는 다음과 같다.^[3]

:$$\backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_\{0\}\}\{4\backslash pi\}\; \backslash int\{\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{J(\backslash mathbf\{r\}\text{'})\}\; \}$$

\mathrm{d}^3\mathbf{r}'}.

어떤 시스템의 모든 전류가 알려진 경우(즉, 전류 밀도 $\backslash mathbf\{J\}(\backslash mathbf\{r\})$에 대한 완전한 설명이 제공되는 경우) 자기장은 위치 '''r'''에서 비오-사바르 방정식을 통해 전류로부터 결정될 수 있다.^[3]

:$$\backslash mathbf\{B\}(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_0\}\{4\backslash pi\}\; \backslash int\{\backslash frac\{\backslash mathbf\{J\}(\backslash mathbf\{r\}\text{'})\; \backslash times\; \backslash left(\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\text{'}\backslash right)\}\{|\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\text{'}|^3\}\; \backslash mathrm\{d\}^3\backslash mathbf\{r\}\text{'}\}$$

이 기술은 매질이 진공 또는 공기이거나, 1의 상대 투자율을 가진 유사한 물질인 문제에 적합하다. 여기에는 공심 인덕터 및 공심 변압기가 포함된다. 이 기술의 한 가지 장점은 코일이 복잡한 형상을 갖는 경우 섹션으로 나누어 각 섹션에 대해 적분을 평가할 수 있다는 것이다. 이 방정식은 주로 선형 문제를 해결하는 데 사용되므로 기여도를 추가할 수 있다. 매우 어려운 형상의 경우, 수치 적분을 사용할 수 있다.

진공 중에 정상(즉, 시간 t에 의존하지 않는) 전류 밀도 $\backslash boldsymbol\{i\}(\backslash mathbf\{r\})$가 주어졌다고 한다. 이 때, $\backslash boldsymbol\{i\}(\backslash mathbf\{r\})$는, 다음의 자기 벡터 포텐셜 $\backslash mathbf\{A\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$를 공간 내에 만들어낸다.

:$\backslash mathbf\{A\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$

=\frac{\mu_{0}}{4\pi}

{\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\left(\frac{\boldsymbol{i}(\mathbf{s})}

\right)

\ d^{3}\mathbf{s}

(1-1)

$\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}=\backslash operatorname\{rot\}[\backslash mathbf\{A\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}]$를 함께 고려하면, $\backslash boldsymbol\{i\}(\backslash mathbf\{r\})$가 직접적으로 만들어내는 자속 밀도$\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}$는,

:$\backslash mathbf\{B\}\_\{\backslash boldsymbol\{i\}\}(\backslash mathbf\{r\})$

=\frac{\mu_{0}}{4 \pi }

\int_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\left(\frac{

\boldsymbol{i}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})

}{|\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right) d^3

\mathbf{s} (1-2)

가 된다. 이것은 비오-사바르 법칙이다.

시간적으로 정적인 자화가 만들어내는 자기 벡터 포텐셜에 대해 생각해보자.

(1) '''원점에 놓인''' 자기 모멘트 '''m'''이 공간상의 위치 '''r'''에 만들어내는 자기 벡터 포텐셜은,

::$\backslash mathbf\{a\}\_\{0\}(\backslash mathbf\{r\})=\backslash frac\{\backslash mu\_\{0\}\}\{4\backslash pi\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\{m\}\backslash times\; \backslash mathbf\{r\}\}$

\right) (2-1-2)

이다.

(2) 따라서, "(1)"을 평행 이동하면, '''위치 $\backslash mathbf\{s\}\backslash in\backslash mathbb\{R\}^\{3\}$에 놓인''' 자기 모멘트 '''m'''이 공간상의 위치 '''r'''에 만들어내는 자기 벡터 포텐셜은,

::$\backslash mathbf\{a\}\_\{s\}(\backslash mathbf\{r\})=\backslash frac\{\backslash mu\_\{0\}\}\{4\backslash pi\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathbf\{m\}\backslash times\; (\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{s\})\}$

\right) (2-1-3)

이다.

공간 내 영역 $\backslash Omega$에 물질이 놓여 있고, 이 물질이 정적인(즉, 시간 t에 의존하지 않는) 자화 $\backslash mathbf\{M\}(\backslash mathbf\{r\})$를 띠고 있다고 가정한다. 이때, 자화 벡터는 "단위 체적당 자기 모멘트의 밀도"를 나타내므로, 자화의 정의에 따라, 물질 내 각 점 $\backslash mathbf\{s\}\backslash in\backslash Omega$ 각각에,

::$\backslash mathbf\{M\}(\backslash mathbf\{s\})\{d\}^\{3\}\backslash mathbf\{s\}$ (2-1-1)

로 주어지는 자기 모멘트가 배치되어 있다고 생각할 수 있다.^[6]

위의 자기 모멘트 $\backslash mathbf\{M\}(\backslash mathbf\{s\})d\backslash mathbf\{s\}$ 각각은, 자기 벡터 포텐셜

:$\backslash frac\{\backslash mu\_\{0\}\}\{4\backslash pi\}\backslash left(\backslash frac\{(\backslash mathbf\{M\}(\backslash mathbf\{s\})d\backslash mathbf\{s\})\backslash times\; (\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{s\})\}$

\right)

(2-1-4)

을 만들어낸다.

위의 자기 벡터 포텐셜 각각을, 모든 $\backslash mathbf\{s\}\backslash in\backslash Omega$에 대해 합하면,

:$\backslash mathbf\{A\}\_\{M\}(\backslash mathbf\{r\})$

=\frac{\mu_{0}}{4\pi}

{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}

\left(\frac{(\mathbf{M}(\mathbf{s}))\times (\mathbf{r}-{\mathbf{s}})}

\right)

\ {d}^{3}\mathbf{s}

(2-1-5)

를 얻는다. 즉, 물질의 자화 $\backslash mathbf\{M\}(\backslash mathbf\{r\})$는, 위의 자기 벡터 포텐셜 $\backslash mathbf\{A\}\_\{M\}$를 공간 내에 만들어낸다.^[6][37][38]

3. 자화

강자성체(강자성, 페리자성 또는 상자성)는 주로 전자 스핀에 의해 자화를 가진다.

본 절에서는 정상적인 (즉, 시간 t에 의존하지 않는) 자화가 만들어내는 자속 밀도에 대해 설명한다. 단, 시간적인 변동, 전장, 강제 전하, 분극 전하의 영향은 배제한다.

"자속 밀도의 원인은 전류에 기인한다"는 관점에서 "자화와 등가인 효과를 발휘하는 전류"를 검토한다.

벡터 미적분학 공식을 적용하면 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$

\mathbf{A}_{M}(\mathbf{r})

&= \frac{\mu_{0}}{4\pi}

{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}

\left(\frac{(\mathbf{M}(\mathbf{s}))\times (\mathbf{r}-\mathbf{s})}

\right)

\ {d}^{3}\mathbf{s} \\

&= \frac{\mu_{0}}{4\pi}

{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}

\left(\frac{\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{M}(\mathbf{s})]}

\right)

\ {d}^{3}\mathbf{s}

+ \frac{\mu_{0}}{4\pi}

{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}

\left(

\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})\times \mathbf{n}_{\partial\Omega}}

\right)

\ |{d}^{2}(\partial\Omega)|

\end{align}



여기서 $\backslash operatorname\{rot\}\_\{\backslash mathbf\{s\}\}$는 변수 $\backslash mathbf\{s\}$에 대한 회전 미분, $\backslash partial\backslash Omega$는 영역 $\backslash Omega$의 경계, $\backslash mathbf\{n\}\_\{\backslash partial\backslash Omega\}$는 $\backslash partial\backslash Omega$의 법선 벡터를 의미한다.

> 스칼라 곱의 회전 미분 공식으로부터,

>

> :$\backslash begin\{align\}$

> \operatorname{rot}_{\mathbf{s}}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})}

\right]

> &= \left(\operatorname{grad}_{\mathbf{s}}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})}

\right]\right)\times\mathbf{M}(\mathbf{s})

> + \frac{\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}\left[ \mathbf{M}(\mathbf{s})\right]}

\\

> &= \frac{(\mathbf{r}-\mathbf{s})\times \mathbf{M}(\mathbf{s})}

> +\frac{\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}\left[ \mathbf{M}(\mathbf{s})\right]}

> \end{align}

>

>

> 따라서,

>

> :$$

> \frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})\times (\mathbf{r}-\mathbf{s}) }

> =\frac{\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}\left[ \mathbf{M}(\mathbf{s})\right]}

> -\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})}

\right]

>

>

> 를 얻고, 벡터 미적분학 공식을 적용하면 증명된다.

자세한 내용은 #자화와 자기장, #자하 밀도, #자화 전류 하위 섹션을 참고하라.

3. 1. 자화와 자기장

강자성체(강자성, 페리자성 또는 상자성)는 주로 전자 스핀에 의해 자화를 가진다. 이러한 물질에서 자화는 다음 관계를 사용하여 명시적으로 포함해야 한다.^[3]

:$\backslash mathbf\{B\}\; =\; \backslash mu\_0(\backslash mathbf\{M\}+\backslash mathbf\{H\}).$

전도체를 제외하고는 전류를 무시할 수 있다. 그러면 암페어의 법칙은 다음과 같다.

:$\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{H\}\; =\; 0.$

이것은 일반적인 해를 갖는다.

:$\backslash mathbf\{H\}\; =\; -\backslash nabla\; \backslash Phi\_M,$

여기서 $\backslash Phi\_M$는 스칼라 전위이다. 이 값을 가우스의 법칙에 대입하면 다음을 얻는다.

:$\backslash nabla^2\; \backslash Phi\_M\; =\; \backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{M\}.$

따라서 자화의 발산 $\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{M\},$은 정전기학에서 전하와 유사한 역할을 하며,^[4] 종종 유효 전하 밀도 $\backslash rho\_M$로 불린다.

벡터 포텐셜 방법은 다음과 같은 유효 전류 밀도로도 사용할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{J\_M\}\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{M\}.$

시간적으로 정적인 자화가 만들어내는 자속 밀도에 대해 생각해 보자. 자기 벡터 포텐셜의 회전 미분을 취하면 자속 밀도를 얻을 수 있다.

물질의 자화 $\backslash mathbf\{M\}(\backslash mathbf\{r\})$는, 자기 벡터 포텐셜 $\backslash mathbf\{B\}\_\{M\}$을 공간 내에 만들어낸다.

:$\backslash mathbf\{B\}\_\{M\}(\backslash mathbf\{r\})$

=\frac{\mu_{0}}{4\pi}

{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}

\operatorname{grad}_{\mathbf{r}}\left[\frac{\langle\mathbf{M}(\mathbf{s})|(\mathbf{r}-\mathbf{s})\rangle}\right]\ {d}^{3}{s}

+\mu_{0}\mathbf{M}(\mathbf{r})

새로운 장 $\backslash mathbf\{H\}\_\{M\}$을 다음과 같이 정의하면,

:$\backslash mathbf\{H\}\_\{M\}(\backslash mathbf\{r\})$

:=\frac{1}{4\pi}{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}

\operatorname{grad}_{\mathbf{r}}\left[\frac{\langle\mathbf{M}(\mathbf{s})|(\mathbf{r}-\mathbf{s})\rangle}\right]\ {d}^{3}{s}



다음 식을 얻을 수 있다.

:$\backslash mathbf\{B\}\_\{M\}(\backslash mathbf\{r\})=\{\backslash mu\}\_\{0\}(\backslash mathbf\{H\}\_\{M\}(\backslash mathbf\{r\})+\backslash mathbf\{M\}(\backslash mathbf\{r\}))$

물질의 자화 M이 이미 알려져 있는 경우에 한해, 그 자화 M이 만들어내는 자속 밀도 B_M을 계산할 수 있다. 그러나, 물질의 자화 M이 알려져 있지 않은 경우에는, 상기 관계식만으로는, '''B_M'''도 '''M'''도 알 수 없다.

시간적으로 정적인 자화가 만들어내는 자기 벡터 포텐셜을 다른 측면에서 고찰해 보자. 여기서는 "자속 밀도의 원인은 전류에 기인한다"는 사상에 따라, "자화와 등가인 효과를 발휘하는 전류"가 어떤 것인지를 검토한다.

$\backslash boldsymbol\{i\}\_\{M\}(\backslash mathbf\{r\}),\backslash \; \{\backslash mathbf\{K\}\}\_\{M\}$을 다음과 같이 정의한다.

• $\backslash boldsymbol\{i\}\_\{M\}(\backslash mathbf\{r\})\; :=$

\operatorname{rot}[\mathbf{M}(\mathbf{r})]

(체적 자화 전류 밀도)

• $\{\backslash mathbf\{K\}\}\_\{M\}(\backslash mathbf\{r\})\; :=$

\mathbf{M}(\mathbf{r})\times \mathbf{n}_{\partial\Omega}(\mathbf{r}) (표면 자화 전류 밀도)

이 관점은 특히 자화가 균일한 경우(보다 일반적으로 rot[M]=0인 경우)에 특히 위력을 발휘한다.

3. 2. 자하 밀도

강자성체(강자성, 페리자성 또는 상자성)는 주로 전자 스핀에 의해 자화를 가진다. 이러한 물질에서 자화는 다음 관계를 사용하여 명시적으로 포함해야 한다.

:$$\backslash mathbf\{B\}\; =\; \backslash mu\_0(\backslash mathbf\{M\}+\backslash mathbf\{H\}).$$

전도체를 제외하고는 전류를 무시할 수 있다. 그러면 암페어의 법칙은 다음과 같다.

:$$\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{H\}\; =\; 0.$$

이것은 일반적인 해를 갖는다.

:$$\backslash mathbf\{H\}\; =\; -\backslash nabla\; \backslash Phi\_M,$$

여기서 $\backslash Phi\_M$는 스칼라 전위이다.^[3] 이 값을 가우스의 법칙에 대입하면 다음을 얻는다.

:$$\backslash nabla^2\; \backslash Phi\_M\; =\; \backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{M\}.$$

따라서 자화의 발산 $\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{M\},$은 정전기학에서 전하와 유사한 역할을 하며,^[4] 종종 유효 전하 밀도 $\backslash rho\_M$로 불린다.

벡터 포텐셜 방법은 다음과 같은 유효 전류 밀도로도 사용할 수 있다.

:$$\backslash mathbf\{J\_M\}\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{M\}.$$

3. 3. 자화 전류

강자성, 페리자성, 상자성 물질에서 자화의 발산 $\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{M\}$은 정전기학에서 전하와 유사한 역할을 하며, 종종 유효 전하 밀도 $\backslash rho\_M$로 불린다.^[4]

벡터 포텐셜 방법을 사용하면 다음과 같은 유효 전류 밀도를 얻을 수 있다.

$$\backslash mathbf\{J\_M\}\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{M\}.$$

이 식은 자화($\backslash mathbf\{M\}$)의 회전(curl)이 유효 전류 밀도($\backslash mathbf\{J\_M\}$)를 생성함을 나타낸다. 즉, 물질 내에서 자화의 변화는 전류가 흐르는 것과 같은 효과를 낸다는 의미이다.

시간적으로 정적인 자화가 만들어내는 자기 벡터 포텐셜을 고찰할 때, "자속 밀도의 원인은 전류에 기인한다"는 관점에 따라, "자화와 등가인 효과를 발휘하는 전류"를 다음과 같이 정의할 수 있다.

• 체적 자화 전류 밀도: $\backslash boldsymbol\{i\}\_\{M\}(\backslash mathbf\{r\})\; :=\; \backslash operatorname\{rot\}[\backslash mathbf\{M\}(\backslash mathbf\{r\})]$
• 표면 자화 전류 밀도: $\{\backslash mathbf\{K\}\}\_\{M\}(\backslash mathbf\{r\})\; :=\; \backslash mathbf\{M\}(\backslash mathbf\{r\})\backslash times\; \backslash mathbf\{n\}\_\{\backslash partial\backslash Omega\}(\backslash mathbf\{r\})$

여기서 $\backslash mathbf\{n\}\_\{\backslash partial\backslash Omega\}(\backslash mathbf\{r\})$는 영역 $\backslash Omega$의 경계 $\backslash partial\backslash Omega$의 법선 벡터이다.

이러한 정의를 통해 자기 벡터 포텐셜 $\backslash mathbf\{A\}\_\{M\}(\backslash mathbf\{r\})$은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash mathbf\{A\}\_\{M\}(\backslash mathbf\{r\})$

=\frac{\mu_{0}}{4\pi}

{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}

\left(\frac{\boldsymbol{i}_{M}(\mathbf{s})}

\right)

\ {d}^{3}\mathbf{s}

+\ \frac{\mu_{0}}{4\pi}

{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}

\left(

\frac{\mathbf{K}_{M}(\mathbf{s})}

\right)\ |{d}^{2}(\partial\Omega)|\



이 식은 체적 자화 전류 밀도와 표면 자화 전류 밀도가 자기 벡터 포텐셜에 기여함을 나타낸다.

양변의 회전 미분을 취하면, 자속 밀도 $\backslash mathbf\{B\}\_\{M\}(\backslash mathbf\{r\})$을 다음과 같이 얻을 수 있다.

:$\backslash mathbf\{B\}\_\{M\}(\backslash mathbf\{r\})$

=\frac{\mu_{0}}{4 \pi }

\int_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\left(\frac{

\boldsymbol{i}_{M}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})

}{|\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right) d^3

\mathbf{s}\ +\

\frac{\mu_{0}}{4\pi}

{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}

\left(\frac{\mathbf{K}_{M}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})}{|\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right)

\ |{d}^{2}(\partial\Omega)|

이러한 접근 방식은 자화가 균일한 경우(rot[M]=0)와 같이 특수한 상황에서 유용하다.

4. 정자기장의 응용

물질 경계에서 가우스 발산 정리와 켈빈-스토크스 정리를 적용하면, 자기장 및 자속 밀도의 경계 조건을 얻을 수 있다.

4. 1. 자기 회로

전절의 전제 조건에서, 전체 계의 자기 벡터 포텐셜 $\backslash mathbf\{A\}\_\{\backslash text\{tot\}\}$는 다음 범함수 F의 정류 함수가 된다.^[8][12]

:$\backslash begin\{align\}$

F[\mathbf{A}] &:= {\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}

\frac{1}{2}

<\ \mathbf{H}(\mathbf{s})

\ |\ \mathbf{B}(\mathbf{s})>

<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \mathbf{A}_{\text{tot}}(\mathbf{s})>

\ d\mathbf{s} \\

&= {\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}\frac{1}{2}

<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])

\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])>

<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \mathbf{A}(\mathbf{s})>

\ d\mathbf{s}

\qquad \text{(3-5-1)}

\end{align}

차원 분석을 하면, 식(3-5-1)은 에너지의 차원을 가지며, 실제로 식(3-5-1)은 전체 계의 에너지가 된다. 여기서 는 내적을 나타낸다. ν의 정의는 식(3-3-4)에 나와 있다.

식(3-5-1)이 "자기 벡터 포텐셜의 정류 범함수"임을 확인하기 위해, A에 대해 미소 섭동 δA^[44]를 부여했을 때의 제1변분 δF^[44]를 구한다.

:δF=F[A+δA]-F[A] (3-5-2)

F[A+δA]는 다음 피적분 함수를 전체 공간에서 s에 대해 적분한 것이다.

:$$

\frac{1}{2}

<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})+\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])

\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})+\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])>

\ -

<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \mathbf{A}(\mathbf{s})+\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})>

(3-5-3)

F[A]는 다음 피적분 함수를 전체 공간에서 s에 대해 적분한 것이다.

:$$

\frac{1}{2}

<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])

\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])>

\ -

<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \mathbf{A}(\mathbf{s})>

(3-5-4)

따라서 δF는 다음 (3-5-5)를 전체 공간에서 s에 대해 적분한 것이다.

:$$

<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])

\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])>+

\frac{1}{2}<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])

\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])>

\ -

<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \delta\mathbf{A}(\mathbf{s})>

(3-5-5)

식(3-5-5)에서 2차 미소항을 무시하면, F의 제일변분은 다음과 같다.

:$\backslash delta\; F[A]=\{\backslash int\}\_\{\backslash mathbf\{s\}\backslash in\backslash mathbb\{R\}^\{3\}\}$

<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])

\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])>

\ -

<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \delta\mathbf{A}(\mathbf{s})>

\ {d}^{3}\mathbf{s}

(3-5-6)

식(3-5-6)에 벡터 해석 공식을 적용하면,

:$$

\operatorname{div}[\mathbf{X}\times\mathbf{Y}]

=<\ \mathbf{Y}\ |\ \operatorname{rot}[\mathbf{X}]\ >-

<\ \mathbf{X}\ |\ \operatorname{rot}[\mathbf{Y}]\ >

(3-5-7)

에서

:$\backslash begin\{align\}$

\mathbf{X} &:= {\nu}(\mathbf{s})\operatorname{rot}[\mathbf{A}(\mathbf{s})] & \text{(3-5-8)} \\

\mathbf{Y} &:= \delta\mathbf{A} & \text{(3-5-9)}

\end{align}



를 대입하면,

:$\backslash begin\{align\}$

\delta F[\mathbf{A}] &=

{\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}

• \operatorname{div}_{\mathbf{s}}[({\nu}(\mathbf{s})

\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}]

)\times\delta\mathbf{A}]

\ {d}^{3}\mathbf{s} \\

&+

{\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}

<(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[({\nu}(\mathbf{s}))

\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})]\ ]

• \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})

\

|\

\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})

>

\ {d}^{3}\mathbf{s}

\qquad \text{(3-5-10)}

\end{align}

식(3-5-10)의 제1항은 식(3-4-6)과 "진공 중에서 div[H]=0인 것"을 고려하면, 결국 물질 Ω내의 효과만 기여한다. 가우스 발산 정리를 고려하면, 식(3-5-10)의 제1항은 다음과 같다.

:$$

{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}

• \operatorname{div}_{\mathbf{s}}[({\nu}(\mathbf{s})

\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}]

)\times\delta\mathbf{A}\ ]

\ {d}^{3}\mathbf{s}

=

• {\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}

({\nu}(\mathbf{s})

\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}]

)\times\delta\mathbf{A}

\ {d}^{2}(\partial\Omega)

(3-5-11)

따라서 식(3-5-10)의 제1항이 임의의 섭동 δA에 대해 0이 되려면, 노이만 조건

:$(\backslash operatorname\{rot\}[\backslash mathbf\{A\}])\backslash times\{n\}\_\{\backslash partial\backslash Omega\}\backslash \; =\backslash \; 0$ (3-5-12)

이 충족되어야 한다. 또한, 식(3-5-10)의 제2항이 임의의 섭동 δA에 대해 0이 되려면,

:$$

\operatorname{rot}[{\nu}\operatorname{rot}[\mathbf{A}]]

• \boldsymbol{i}_{fc}=0

(3-5-12)

이어야 한다. 이는 "벡터 포텐셜에 의한 정자기장의 방정식"(정자기장의 지배 방정식)과 같다(식(3-3-10)). 즉, 노이만 조건 하에서, 정자기장의 지배 방정식의 해는 범함수 F의 정류 함수가 된다.

4. 2. 유한 요소법

정자기장 해석에는 다소 고도의 벡터 해석 지식이 요구된다.^[45] 동일한 식 변형이 반복되는 것을 피하기 위해, 일반적인 지식은 이미 알고 있다는 전제하에, 본 문서의 내용 이해에 필요한 사항에 한하여 간단하게 설명한다.

5. 정자기장 해석을 위한 추가적인 벡터 해석 지식

벡터장에 대수 연산을 수행한 것에 미분 연산자를 작용시켰을 때 성립하는 공식 중, 본 문서에서 사용하며 서적에 잘 기재되어 있지 않은 내용들을 간략하게 정리한다.^[1]

5. 1. 벡터장의 대수 연산과 미분 연산자

벡터장에 대수 연산을 수행한 것에 미분 연산자를 작용시켰을 때 성립하는 공식에 대해, 본 문서에서 사용하며, 또한, 서적에 잘 기재되어 있지 않은 내용들을 간략하게 정리한다.

'''F''' = (f₁, f₂, f₃)를 벡터장이라고 하자. 이 때,

:$$

\left\langle\ \mathbf{F}\ |\ \nabla \ \right\rangle :=

{f}_{1}{\partial \over \partial {x}_{1}} + {f}_{2}{\partial \over \partial {x}_{2}} + {f}_{3}{\partial \over \partial {x}_{3}}



로 정의한다. 여기서 ∇는

:$\backslash nabla\; :=\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{x\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}\; +\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{y\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}\; +\; \backslash mathbf\{\backslash hat\{z\}\}\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}$

를 의미한다. <F|∇>를 "F・∇"라고 표기하기도 한다.

'''G'''를 벡터장이라고 할 때, <F|∇>를 '''G'''에 작용시키면,

:$$

\left\langle\ \mathbf{F}\ |\ \nabla \ \right\rangle \mathbf{G}=

{f}_{1}{\partial{g}_{1} \over \partial {x}_{1}} +

{f}_{2}{\partial{g}_{2} \over \partial {x}_{2}} +

{f}_{3}{\partial{g}_{3} \over \partial {x}_{3}}

=(J[\mathbf{G}])\cdot\mathbf{F}



이 성립한다. 여기서 $J[\backslash mathbf\{G\}]$는 '''G'''의 야코비 행렬을 의미한다. (야코비안이 아니다)

5. 2. 디랙의 델타 함수와 중적분

일반적인 n변수 함수 (함수는 벡터 값 함수여도 좋다) f의 정의역을 Ω라고 할 때,

:$f(\backslash mathbf\{r\})=\{\backslash int\}\_\{\backslash mathbf\{s\}\backslash in\; \backslash Omega\}\; f(\backslash mathbf\{s\})\{\backslash delta\}^\{n\}(\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{s\})\backslash \; \{d\}^\{n\}s\backslash \; =f*\{\backslash delta\}^\{n\}$

임이 알려져 있다. 여기서, 위의 "*"는 합성곱(곱셈이 아님)이다. 또한, δⁿ는 n변수의 델타 함수이다.

5. 3. 발산 미분과 디랙의 델타 함수

'''F''', '''G'''를 벡터장, ''f''를 스칼라 함수라고 할 때, 다음이 성립한다.

:$$

\operatorname{div}

\left[

f\mathbf{F}

\right]

=\left\langle

\mathbf{F}|\operatorname{grad}[f]

\right\rangle+

f\operatorname{div}[\mathbf{F}]



'''원점(r=0)을 제외하고'''

:$\backslash operatorname\{div\}\_\{\backslash mathbf\{r\}\}\backslash left[\backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}\}$

\right]=\frac{3}{|\mathbf{r}|^{3}}-\frac{3

^{2}}=0

이며, 원점(r=0)을 중심으로 하는 구체 BL에 대해 가우스 발산 정리를 사용하면,

:$\{\backslash int\}\_\{\backslash mathbf\{r\}\backslash in\; BL\}\; \backslash operatorname\{div\}\_\{\backslash mathbf\{r\}\}\backslash left[\backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}\}$

\right]\ d^{3}r =4\pi

가 되므로, 결국

:$\backslash operatorname\{div\}\_\{\backslash mathbf\{r\}\}\backslash left[\backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}\}$

\right]=4\pi\delta(\mathbf{r})

임을 알 수 있다. (여기서, δ는 3변수의 델타 함수이다.)

이상의 논의를 평행 이동시키면,

:$\backslash operatorname\{div\}\_\{\backslash mathbf\{r\}\}\backslash left[\backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{s\}\}$

\right]=4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})

임을 알 수 있다.

5. 4. 분수 함수의 편미분

벡터장에 대수 연산을 수행한 것에 미분 연산자를 작용시켰을 때 성립하는 공식에 대해, 본 문서에서 사용하며, 또한, 서적에 잘 기재되어 있지 않은 내용들을 간략하게 정리한다.

일반적인 n변수 함수 (함수는 벡터 값 함수여도 좋다) f의 정의역을 Ω라고 할 때,

:$f(\backslash mathbf\{r\})=\{\backslash int\}\_\{\backslash mathbf\{s\}\backslash in\; \backslash Omega\}\; f(\backslash mathbf\{s\})\{\backslash delta\}^\{n\}(\backslash mathbf\{r\}-\backslash mathbf\{s\})\backslash \; \{d\}^\{n\}s\backslash \; =f*\{\backslash delta\}^\{n\}$

임이 알려져 있다. 여기서, 위의 "*"는 합성곱(곱셈이 아님)이다. 또한, δⁿ는 n변수의 델타 함수이다.

:$$

\begin{align}

\frac{\partial }{\partial \mathbf{s}_{i}}

\left[\frac{1}

\right]

&=

\frac{\partial }{\partial {s}_{i}}

\left[\frac{1}\right] \\

&=

\frac{\partial }{\partial {s}_{i}}

\left[{(({r}_{i}-{s}_{i})^{2}+\text{const.})}^{-(1/2)}\right]

\end{align}

5. 5. 면적분에 대한 보충 설명

여기서는 다양한 벡터장의 면적분에 대해 정리한다.

"절댓값에 의한 면적분", "외적 면적분"이라는 용어는 일반적인 용어는 아니지만, 그 외에 적절한 표현이 없으므로, 여기에서만 그렇게 말하기로 한다. 본 문서 내에서의 정의는 각각 다음과 같다.

$\backslash mathbb\{R\}^\{2\}$의 닫힌 직사각형 I에 대해, $\backslash varphi:I\backslash to\; \backslash mathbb\{R\}^\{3\}$는 I의 근방에서 거의 모든 곳에서 구분적으로 매끄럽고 비퇴화이며, I의 내부에서 단사인 벡터값 함수라 하자. $S:=\backslash varphi[I]$를, $\backslash mathbb\{R\}^\{3\}$ 내의 곡면 조각이라고 하고, X를 S의 근방에서 정의된, 구분적으로 매끄러운 벡터장이라고 할 때, 면적분은 다음과 같이 정의된다.

::$$

{\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \ {d}^{2}S

:={\int}_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}

\langle \mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\ |

\ \left(

\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}}

\times

\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}

\right)

\rangle

\ d{u}_{1}d{u}_{2}

위 식의 우변은 $(\{u\}\_\{1\},\{u\}\_\{2\})$에 대한 스칼라 값 함수

$$

\langle \mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\ |

\ \left(

\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}}

\times

\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}

\right)

\rangle



를 구간 I상에서 중적분한 것이다. 여기서 S의 단위 법선 벡터 $\{\backslash mathbf\{n\}\}\_\{S\}$를

::$$

{\mathbf{n}}_{S}:=

\frac{1}{

\left|

\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}}

\times

\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}

\right|

}

\left(

\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}}

\times

\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}

\right)



로 정의하면,

::$$

{\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \ {d}^{2}S

={\int}_{({u}_{1},{u}_{2})\in I} \langle \mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\ |\ {\mathbf{n}}_{S} \rangle

\left|

\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}}

\times

\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}

\right|

\ d{u}_{1}d{u}_{2}

이다.

절댓값에 의한 면적분은 다음과 같이 정의된다.

:: $$

{\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \ |{d}^{2}S|

:={\int}_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}

\mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\

\left|\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}} \times \frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}\right|

\ d{u}_{1}d{u}_{2}

본 문서에서는, 절댓값을 이용한 면적분인 경우, $\backslash \; |\{d\}^\{2\}S|$와 같이 면적 요소에 절댓값 기호를 붙인다. 우변은 $(\{u\}\_\{1\},\{u\}\_\{2\})$에 관한 벡터 값 함수

$\backslash mathbf\{X\}(\backslash varphi(\{u\}\_\{1\},\{u\}\_\{2\}))\backslash$

\left|\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}} \times \frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}\right|

를, 성분별로 구간 I에서 이중 적분한 것이다. 즉, 절댓값을 이용한 면적분은 "함수의 면적분을 각 성분별로 수행한다"는 것과 같다.

외적 면적분은 다음과 같이 정의된다.

$$

{\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \times {d}^{2}S

:={\int}_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}

\left(

\mathbf{X}(

\varphi(

{u}_{1},{u}_{2})

)\right)\times

\left(

\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}} \times \frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}

\right)\

d{u}_{1}d{u}_{2}



본 문서에서는 외적 면적분의 경우 $\backslash times\backslash \; \{d\}^\{2\}S$처럼 면적 요소 앞에 ×를 붙인다. 우변은 $(\{u\}\_\{1\},\{u\}\_\{2\})$에 대한 벡터 값 함수

$\backslash mathbf\{X\}(\backslash varphi(\{u\}\_\{1\},\{u\}\_\{2\}))\backslash times$

\left(\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}} \times \frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}}\right)

를 성분별로 구간 I에서 중적분한 것이다. 즉,

$$

{\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \times {d}^{2}S

={\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \times \mathbf{n}_{S}|{d}^{2}S|



가 된다.

6. 결론

벡터장에 대수 연산을 수행한 것에 미분 연산자를 작용시켰을 때 성립하는 공식에 대해, 본 문서에서 사용하며, 또한 서적에 잘 기재되어 있지 않은 내용들을 간략하게 정리한다.

참조

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_[14] 서적 電磁気学（新物理学シリーズ２） 培風館 1986-04
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_[28] 서적 入門 電磁気学 東京電機大学出版局 2006-03
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_[30] 간행물 磁気回路と電気回路 http://www.daido-ele[...]
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_[39] 문서
_[40] 문서
_[41] 문서
_[42] 문서
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_[45] 서적 ベクトル解析 (現代数学レクチャーズ C- 1) 培風館 1979-01

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