정자기학

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1. 개요

정자기학은 시간적으로 변하지 않는 전류가 만드는 자기장을 다루는 전자기학의 한 분야이다. 정자기장의 기본 원리는 비오-사바르 법칙으로 설명되며, 맥스웰 방정식의 특수한 경우로 나타낼 수 있다. 자화 현상을 고려하여 자기장과 자속 밀도 간의 관계를 정립하며, 자기 벡터 포텐셜, 자화, 자하 밀도 등의 개념을 활용한다. 정자기학은 자기 회로, 유한 요소법 등 다양한 분야에 응용되며, 벡터 해석 지식을 기반으로 복잡한 문제를 해결한다.

정자기학

정의

설명	시간이 지나도 변하지 않는 자기장을 다루는 물리학의 한 분야이다. 전류가 흐르는 시스템에서 발생하는 자기적 현상을 연구한다.

주요 개념

앙페르 회로 법칙	전류와 자기장 사이의 관계를 설명한다.
비오-사바르 법칙	전류 요소가 만드는 자기장을 계산하는 데 사용된다.
자기장	움직이는 전하에 힘을 가하는 장이다.
자성체	외부 자기장에 반응하여 자기장을 유도하는 물질이다.

응용 분야

자기 공명 영상 (MRI)	강력한 정자기장을 사용하여 인체 내부의 이미지를 얻는다.
지구 자기장	지구를 둘러싸고 있는 자기장으로, 나침반의 작동 원리이다.
전기 모터	정자기력을 이용하여 전기 에너지를 기계 에너지로 변환한다.

전기장	정전하에 의해 생성되는 장이다.
전자기학	전기장과 자기장을 통합적으로 다루는 물리학 분야이다.
맥스웰 방정식	전기장과 자기장의 관계를 설명하는 네 개의 방정식이다.

설명	정자기학은 전기장이 시간에 따라 변하지 않는 경우에 적용되는 전자기학의 한 분야이다. 자기장이 시간에 따라 변하면 전자기 유도가 발생하며, 이는 정자기학의 범위를 벗어난다.
같이 보기	전기장 전자기학 맥스웰 방정식 전자기 유도 자기장 앙페르 회로 법칙 비오-사바르 법칙

2. 정자기장의 기본 원리

정자기학은 맥스웰 방정식에서 전하가 고정되어 있거나 정상 전류 J로 움직인다고 가정할 때 성립하는 이론이다. 이 경우, 전기장과 자기장은 시간에 독립적이며 서로 분리된다. 정자기학의 기본 원리는 다음과 같다.

* 자기장에 대한 가우스 법칙: 자기 선속 밀도 B의 발산은 항상 0이다.
* 앙페르 법칙: 자기장 세기 H의 회전은 전류 밀도 J와 같다.

이러한 관계는 아래 표와 같이 미분 형태와 적분 형태로 나타낼 수 있다.

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이름	형태
이름	미분	적분
자기학에 대한 가우스 법칙	$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0$	$\oint_S \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = 0$
앙페르의 법칙	$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{H} = \mathbf{J}$	$\oint_C \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = I_{\mathrm{enc}}$

위 표에서 첫 번째 적분은 표면 요소

d\mathbf{S}

가 있는 표면

S

에 대한 적분이고, 두 번째 적분은 선 요소

\mathbf{l}

이 있는 닫힌 루프

C

주변의 선 적분이며,

I_\text{enc}

는 루프를 통과하는 전류이다.

이 근사의 정확성은 맥스웰 방정식의 완전한 버전과 비교하여

\mathbf{J}

항과

\partial \mathbf{D} / \partial t

항의 크기를 비교함으로써 판단할 수 있다.

\mathbf{J}

항이 훨씬 크다면, 작은 항을 무시해도 큰 오차 없이 정자기학을 적용할 수 있다.

비오-사바르 법칙에 따르면, 진공에서 정상 전류 밀도

\boldsymbol{i}(\mathbf{r})

는 자기 벡터 포텐셜

\mathbf{A}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})

을 생성하며, 이로부터 자속 밀도

\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}

와 자기장 세기

{\mathbf{H}}_{\boldsymbol{i}}

를 계산할 수 있다. 이러한 관계를 통해 앙페르의 법칙을 유도할 수 있다.

2.1. 맥스웰 방정식과 정자기학

맥스웰 방정식에서 전하가 고정되어 있거나 정상 전류 $\mathbf{J}$ 로 움직인다고 가정하면, 방정식은 전기장(정전기학 참조)에 대한 두 개의 방정식과 자기장에 대한 두 개의 방정식으로 분리된다. 이들 장은 시간에 독립적이며 서로 독립적이다. 정자기학 방정식은 미분 형태와 적분 형태 모두 아래 표에 나와 있다.

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이름	형태
이름	미분	적분
자기학에 대한 가우스 법칙	$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0$	$\oint_S \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = 0$
앙페르의 법칙	$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{H} = \mathbf{J}$	$\oint_C \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = I_{\mathrm{enc}}$

여기서 점이 있는 ∇는 발산을 나타내고, B는 자속 밀도이며, 첫 번째 적분은 표면 요소

d\mathbf{S}

가 있는 표면

S

에 대한 적분이다. 여기서 교차점이 있는 ∇는 회전을 나타내고, J는 전류 밀도이며

\mathbf{H}

는 자기장 세기이고, 두 번째 적분은 선 요소

\mathbf{l}

이 있는 닫힌 루프

C

주변의 선 적분이다. 루프를 통과하는 전류는

I_\text{enc}

이다.

이 근사의 질은 위의 방정식을 맥스웰 방정식의 완전한 버전과 비교하고 제거된 항의 중요성을 고려하여 추측할 수 있다. 특히 중요한 것은

\mathbf{J}

항과

\partial \mathbf{D} / \partial t

항의 비교이다. 만약

\mathbf{J}

항이 실질적으로 더 크다면, 정확도에 큰 손실 없이 작은 항을 무시할 수 있다.

진공 중에 정상(즉, 시간 t에 의존하지 않는) 전류 밀도가 만들어내는 자속 밀도에 대해 일반적으로 성립하는 사항에 대해 설명한다. 단, 시간적인 변동의 영향은 물론, 이 외에도 전장이나 강제 전하, 분극 전하의 영향은 배제된 것으로 한다.

비오-사바르의 법칙에 따르면 진공중에 정상 전류 밀도

\boldsymbol{i}(\mathbf{r})

가 주어졌을 때, 이 전류 밀도는 다음과 같은 자기 벡터 포텐셜

\mathbf{A}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})

를 공간 내에 만들어낸다.

:

\mathbf{A}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}{\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}\left(\frac{\boldsymbol{i}(\mathbf{s})}

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\right)\ d^{3}\mathbf{s}

\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}=\operatorname{rot}[\mathbf{A}_{\boldsymbol{i}}]

를 함께 고려하면,

\boldsymbol{i}(\mathbf{r})

가 직접적으로 만들어내는 자속 밀도

\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}

는 다음과 같다.

:

\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi }\int_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}\left(\frac{\boldsymbol{i}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})}{|\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right) d^3\mathbf{s}

위 식의

\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})

에 대해, 새로운 장

{\mathbf{H}}_{\boldsymbol{i}}

를 다음과 같이 정의한다.

:

\mathbf{H}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r}):=\frac{1}\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})

이 장을 "전류 밀도 i가 만들어내는 자기장"이라고 부른다. 여기서 μ₀는 진공의 투자율이다. 또한, 정의상 "전류 밀도 i가 만들어내는 자기장"

{\mathbf{H}}_{\boldsymbol{i}}

는, 투자율이 μ인 장소에서도 다음과 같다.

:

\mathbf{H}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r}):=\frac{1}\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})

위 식들로부터,

:

\mathbf{H}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi}\int_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}\left(\frac{\boldsymbol{i}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})}{|\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right) d^3\mathbf{s}

이다. 여기에 회전 미분을 작용시키면,

:

\operatorname{rot}_{\mathbf{r}}[\mathbf{H}_{\boldsymbol{i}}]= \boldsymbol{i}

를 얻는다.

2.2. 비오-사바르 법칙

어떤 시스템의 모든 전류가 알려진 경우(즉, 전류 밀도

\mathbf{J}(\mathbf{r})

에 대한 완전한 설명이 제공되는 경우) 자기장은 위치 r에서 비오-사바르 법칙을 통해 전류로부터 결정될 수 있다.
:

\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int{\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}') \times \left(\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3\mathbf{r}'}

이 기술은 매질이 진공 또는 공기이거나 1의 상대 투자율을 가진 유사한 물질인 문제에 적합하다. 여기에는 공심 인덕터 및 공심 변압기가 포함된다. 이 기술의 한 가지 장점은 코일이 복잡한 형상을 갖는 경우 섹션으로 나누어 각 섹션에 대해 적분을 평가할 수 있다는 것이다. 이 방정식은 주로 선형 문제를 해결하는 데 사용되므로 기여도를 추가할 수 있다. 매우 어려운 형상의 경우, 수치 적분을 사용할 수 있다.

지배적인 자기 재료가 상대적으로 작은 공극을 가진 고투자율 자성 코어인 경우, 자기 회로 접근 방식이 유용하다. 공극이 자기 회로 길이에 비해 큰 경우 프린징이 중요해지고 일반적으로 유한 요소 계산이 필요하다. 유한 요소 계산은 위의 정자기학 방정식의 수정된 형태를 사용하여 자기 전위를 계산한다.

\mathbf{B}

의 값은 자기 전위로부터 찾을 수 있다.

자기장은 벡터 포텐셜에서 유도할 수 있다. 자기 선속 밀도의 발산은 항상 0이므로,

\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A},

그리고 벡터 포텐셜과 전류의 관계는 다음과 같다:

\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \int{ \frac{\mathbf{J(\mathbf{r}')} }

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\mathrm{d}^3\mathbf{r}'}.

진공 중에 정상 전류 밀도(시간 t에 의존하지 않는)

\boldsymbol{i}(\mathbf{r})

가 주어졌을 때, 이

\boldsymbol{i}(\mathbf{r})

는 다음의 자기 벡터 포텐셜

\mathbf{A}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})

를 공간 내에 만들어낸다.

:

\mathbf{A}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}{\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}\left(\frac{\boldsymbol{i}(\mathbf{s})}

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\right)\ d^{3}\mathbf{s}

\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}=\operatorname{rot}[\mathbf{A}_{\boldsymbol{i}}]

를 함께 고려하면,

\boldsymbol{i}(\mathbf{r})

가 직접적으로 만들어내는 자속 밀도

\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}

는 다음과 같다.

:

\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi }\int_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}\left(\frac{\boldsymbol{i}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})}{|\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right) d^3\mathbf{s}

이는 비오-사바르 법칙이다.

위의

\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})

에 대해, 새로운 장

{\mathbf{H}}_{\boldsymbol{i}}

를 다음과 같이 정의한다.

:

\mathbf{H}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r}):=\frac{1}\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})

이 장을 "전류 밀도 i가 만들어내는 자기장"이라고 부른다. 여기서 μ₀는 진공의 투자율이다. 또한, 정의상 "전류 밀도 i가 만들어내는 자기장"

{\mathbf{H}}_{\boldsymbol{i}}

는, 투자율이 μ인 장소에서도

\mathbf{H}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r}):=\frac{1}\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})

임에 특히 주의해야 한다.

식(1-2)와 식(1-3)으로부터,

:

\mathbf{H}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi}\int_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}\left(\frac{\boldsymbol{i}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})}{|\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right) d^3\mathbf{s}

이다. 여기에 회전 미분을 작용시키면,

:

\operatorname{rot}_{\mathbf{r}}[\mathbf{H}_{\boldsymbol{i}}]= \boldsymbol{i}

를 얻는다.

2.3. 자기 벡터 포텐셜

magnetic vector potential^영어은 자기장에서 유도될 수 있다. 자기 선속 밀도의 발산은 항상 0이므로, 다음이 성립한다.

: $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A},$

그리고 벡터 포텐셜과 전류의 관계는 다음과 같다.

: $\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \int{ \frac{\mathbf{J(\mathbf{r}')} }$

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\mathrm{d}^3\mathbf{r}'}.

어떤 시스템의 모든 전류가 알려진 경우(즉, 전류 밀도

\mathbf{J}(\mathbf{r})

에 대한 완전한 설명이 제공되는 경우) 자기장은 위치 r에서 비오-사바르 방정식을 통해 전류로부터 결정될 수 있다.

:

\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int{\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}') \times \left(\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3\mathbf{r}'}

이 기술은 매질이 진공 또는 공기이거나, 1의 상대 투자율을 가진 유사한 물질인 문제에 적합하다. 여기에는 공심 인덕터 및 공심 변압기가 포함된다. 이 기술의 한 가지 장점은 코일이 복잡한 형상을 갖는 경우 섹션으로 나누어 각 섹션에 대해 적분을 평가할 수 있다는 것이다. 이 방정식은 주로 선형 문제를 해결하는 데 사용되므로 기여도를 추가할 수 있다. 매우 어려운 형상의 경우, 수치 적분을 사용할 수 있다.

진공 중에 정상(즉, 시간 t에 의존하지 않는) 전류 밀도

\boldsymbol{i}(\mathbf{r})

가 주어졌다고 한다. 이 때,

\boldsymbol{i}(\mathbf{r})

는, 다음의 자기 벡터 포텐셜

\mathbf{A}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})

를 공간 내에 만들어낸다.

:

\mathbf{A}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}{\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}\left(\frac{\boldsymbol{i}(\mathbf{s})}

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\right)\ d^{3}\mathbf{s} (1-1)

\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}=\operatorname{rot}[\mathbf{A}_{\boldsymbol{i}}]

를 함께 고려하면,

\boldsymbol{i}(\mathbf{r})

가 직접적으로 만들어내는 자속 밀도

\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}

는,

:

\mathbf{B}_{\boldsymbol{i}}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi }\int_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}\left(\frac{\boldsymbol{i}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})}{|\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right) d^3\mathbf{s}

(1-2)

가 된다. 이것은 비오-사바르 법칙이다.

시간적으로 정적인 자화가 만들어내는 자기 벡터 포텐셜에 대해 생각해보자.

(1) 원점에 놓인 자기 모멘트 m이 공간상의 위치 r에 만들어내는 자기 벡터 포텐셜은,

::

\mathbf{a}_{0}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\left(\frac{\mathbf{m}\times \mathbf{r}}

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\right) (2-1-2)

이다.

(2) 따라서, "(1)"을 평행 이동하면, 위치 $\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}$ 에 놓인 자기 모멘트 m이 공간상의 위치 r에 만들어내는 자기 벡터 포텐셜은,

::

\mathbf{a}_{s}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\left(\frac{\mathbf{m}\times (\mathbf{r}-\mathbf{s})}

👆

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\right) (2-1-3)

이다.

공간 내 영역

\Omega

에 물질이 놓여 있고, 이 물질이 정적인(즉, 시간 t에 의존하지 않는) 자화

\mathbf{M}(\mathbf{r})

를 띠고 있다고 가정한다. 이때, 자화 벡터는 "단위 체적당 자기 모멘트의 밀도"를 나타내므로, 자화의 정의에 따라, 물질 내 각 점

\mathbf{s}\in\Omega

각각에,

::

\mathbf{M}(\mathbf{s}){d}^{3}\mathbf{s}

(2-1-1)

로 주어지는 자기 모멘트가 배치되어 있다고 생각할 수 있다.

위의 자기 모멘트

\mathbf{M}(\mathbf{s})d\mathbf{s}

각각은, 자기 벡터 포텐셜

:

\frac{\mu_{0}}{4\pi}\left(\frac{(\mathbf{M}(\mathbf{s})d\mathbf{s})\times (\mathbf{r}-\mathbf{s})}

👆

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\right) (2-1-4)

을 만들어낸다.

위의 자기 벡터 포텐셜 각각을, 모든

\mathbf{s}\in\Omega

에 대해 합하면,

:

\mathbf{A}_{M}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}\left(\frac{(\mathbf{M}(\mathbf{s}))\times (\mathbf{r}-{\mathbf{s}})}

👆

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\right)\ {d}^{3}\mathbf{s} (2-1-5)

를 얻는다. 즉, 물질의 자화

\mathbf{M}(\mathbf{r})

는, 위의 자기 벡터 포텐셜

\mathbf{A}_{M}

를 공간 내에 만들어낸다.

3. 자화

강자성체(강자성, 페리자성 또는 상자성)는 주로 전자 스핀에 의해 자화를 가진다.

본 절에서는 정상적인 (즉, 시간 t에 의존하지 않는) 자화가 만들어내는 자속 밀도에 대해 설명한다. 단, 시간적인 변동, 전장, 강제 전하, 분극 전하의 영향은 배제한다.

"자속 밀도의 원인은 전류에 기인한다"는 관점에서 "자화와 등가인 효과를 발휘하는 전류"를 검토한다.

벡터 미적분학 공식을 적용하면 다음과 같다.

: $\begin{align}\mathbf{A}_{M}(\mathbf{r})&= \frac{\mu_{0}}{4\pi}{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}\left(\frac{(\mathbf{M}(\mathbf{s}))\times (\mathbf{r}-\mathbf{s})}$

👆

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\right)\ {d}^{3}\mathbf{s} \\&= \frac{\mu_{0}}{4\pi}{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}\left(\frac{\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{M}(\mathbf{s})]}

👆

좌우로 밀어서 보기

\right)\ {d}^{3}\mathbf{s}+ \frac{\mu_{0}}{4\pi}{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}\left(\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})\times \mathbf{n}_{\partial\Omega}}

👆

좌우로 밀어서 보기

\right)\ |{d}^{2}(\partial\Omega)|\end{align}

여기서

\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}

는 변수

\mathbf{s}

에 대한 회전 미분,

\partial\Omega

는 영역

\Omega

의 경계,

\mathbf{n}_{\partial\Omega}

는

\partial\Omega

의 법선 벡터를 의미한다.

> 스칼라 곱의 회전 미분 공식으로부터,
>
> :

\begin{align}> \operatorname{rot}_{\mathbf{s}}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})}

👆

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\right]> &= \left(\operatorname{grad}_{\mathbf{s}}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})}

👆

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\right]\right)\times\mathbf{M}(\mathbf{s})> + \frac{\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}\left[ \mathbf{M}(\mathbf{s})\right]}

👆

좌우로 밀어서 보기

\\> &= \frac{(\mathbf{r}-\mathbf{s})\times \mathbf{M}(\mathbf{s})}> +\frac{\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}\left[ \mathbf{M}(\mathbf{s})\right]}

👆

좌우로 밀어서 보기

> \end{align}>
>
> 따라서,
>
> :

> \frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})\times (\mathbf{r}-\mathbf{s}) }> =\frac{\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}\left[ \mathbf{M}(\mathbf{s})\right]}

👆

좌우로 밀어서 보기

> -\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}\left[\frac{\mathbf{M}(\mathbf{s})}

👆

좌우로 밀어서 보기

\right]>
>
> 를 얻고, 벡터 미적분학 공식을 적용하면 증명된다.

자세한 내용은 #자화와 자기장, #자하 밀도, #자화 전류 하위 섹션을 참고하라.

3.1. 자화와 자기장

강자성체(강자성, 페리자성 또는 상자성)는 주로 전자 스핀에 의해 자화를 가진다. 이러한 물질에서 자화는 다음 관계를 사용하여 명시적으로 포함해야 한다.

: $\mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{M}+\mathbf{H}).$

전도체를 제외하고는 전류를 무시할 수 있다. 그러면 암페어의 법칙은 다음과 같다.

: $\nabla\times\mathbf{H} = 0.$

이것은 일반적인 해를 갖는다.

: $\mathbf{H} = -\nabla \Phi_M,$

여기서 $\Phi_M$ 는 스칼라 전위이다. 이 값을 가우스의 법칙에 대입하면 다음을 얻는다.

: $\nabla^2 \Phi_M = \nabla\cdot\mathbf{M}.$

따라서 자화의 발산 $\nabla\cdot\mathbf{M},$ 은 정전기학에서 전하와 유사한 역할을 하며, 종종 유효 전하 밀도 $\rho_M$ 로 불린다.

벡터 포텐셜 방법은 다음과 같은 유효 전류 밀도로도 사용할 수 있다.

: $\mathbf{J_M} = \nabla \times \mathbf{M}.$

시간적으로 정적인 자화가 만들어내는 자속 밀도에 대해 생각해 보자. 자기 벡터 포텐셜의 회전 미분을 취하면 자속 밀도를 얻을 수 있다.

물질의 자화 $\mathbf{M}(\mathbf{r})$ 는, 자기 벡터 포텐셜 $\mathbf{B}_{M}$ 을 공간 내에 만들어낸다.

: $\mathbf{B}_{M}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}\operatorname{grad}_{\mathbf{r}}\left[\frac{\langle\mathbf{M}(\mathbf{s})|(\mathbf{r}-\mathbf{s})\rangle}\right]\ {d}^{3}{s}+\mu_{0}\mathbf{M}(\mathbf{r})$

새로운 장 $\mathbf{H}_{M}$ 을 다음과 같이 정의하면,

: $\mathbf{H}_{M}(\mathbf{r}):=\frac{1}{4\pi}{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}\operatorname{grad}_{\mathbf{r}}\left[\frac{\langle\mathbf{M}(\mathbf{s})|(\mathbf{r}-\mathbf{s})\rangle}\right]\ {d}^{3}{s}$

다음 식을 얻을 수 있다.

: $\mathbf{B}_{M}(\mathbf{r})={\mu}_{0}(\mathbf{H}_{M}(\mathbf{r})+\mathbf{M}(\mathbf{r}))$

물질의 자화 M이 이미 알려져 있는 경우에 한해, 그 자화 M이 만들어내는 자속 밀도 B_M을 계산할 수 있다. 그러나, 물질의 자화 M이 알려져 있지 않은 경우에는, 상기 관계식만으로는, B_M도 M도 알 수 없다.

시간적으로 정적인 자화가 만들어내는 자기 벡터 포텐셜을 다른 측면에서 고찰해 보자. 여기서는 "자속 밀도의 원인은 전류에 기인한다"는 사상에 따라, "자화와 등가인 효과를 발휘하는 전류"가 어떤 것인지를 검토한다.

$\boldsymbol{i}_{M}(\mathbf{r}),\ {\mathbf{K}}_{M}$ 을 다음과 같이 정의한다.

* $\boldsymbol{i}_{M}(\mathbf{r}) :=\operatorname{rot}[\mathbf{M}(\mathbf{r})]$ (체적 자화 전류 밀도)
* ${\mathbf{K}}_{M}(\mathbf{r}) :=\mathbf{M}(\mathbf{r})\times \mathbf{n}_{\partial\Omega}(\mathbf{r})$ (표면 자화 전류 밀도)

이 관점은 특히 자화가 균일한 경우(보다 일반적으로 rot[M]=0인 경우)에 특히 위력을 발휘한다.

3.2. 자하 밀도

3.3. 자화 전류

강자성, 페리자성, 상자성 물질에서 자화의 발산 $\nabla\cdot\mathbf{M}$ 은 정전기학에서 전하와 유사한 역할을 하며, 종종 유효 전하 밀도 $\rho_M$ 로 불린다.

벡터 포텐셜 방법을 사용하면 다음과 같은 유효 전류 밀도를 얻을 수 있다.
$\mathbf{J_M} = \nabla \times \mathbf{M}.$

이 식은 자화( $\mathbf{M}$ )의 회전(curl)이 유효 전류 밀도( $\mathbf{J_M}$ )를 생성함을 나타낸다. 즉, 물질 내에서 자화의 변화는 전류가 흐르는 것과 같은 효과를 낸다는 의미이다.

시간적으로 정적인 자화가 만들어내는 자기 벡터 포텐셜을 고찰할 때, "자속 밀도의 원인은 전류에 기인한다"는 관점에 따라, "자화와 등가인 효과를 발휘하는 전류"를 다음과 같이 정의할 수 있다.

* 체적 자화 전류 밀도: $\boldsymbol{i}_{M}(\mathbf{r}) := \operatorname{rot}[\mathbf{M}(\mathbf{r})]$
* 표면 자화 전류 밀도: ${\mathbf{K}}_{M}(\mathbf{r}) := \mathbf{M}(\mathbf{r})\times \mathbf{n}_{\partial\Omega}(\mathbf{r})$

여기서 $\mathbf{n}_{\partial\Omega}(\mathbf{r})$ 는 영역 $\Omega$ 의 경계 $\partial\Omega$ 의 법선 벡터이다.

이러한 정의를 통해 자기 벡터 포텐셜 $\mathbf{A}_{M}(\mathbf{r})$ 은 다음과 같이 표현된다.

: $\mathbf{A}_{M}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4\pi}{\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}\left(\frac{\boldsymbol{i}_{M}(\mathbf{s})}$

👆

좌우로 밀어서 보기

\right)\ {d}^{3}\mathbf{s}+\ \frac{\mu_{0}}{4\pi}{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}\left(\frac{\mathbf{K}_{M}(\mathbf{s})}

👆

좌우로 밀어서 보기

\right)\ |{d}^{2}(\partial\Omega)|\

이 식은 체적 자화 전류 밀도와 표면 자화 전류 밀도가 자기 벡터 포텐셜에 기여함을 나타낸다.

양변의 회전 미분을 취하면, 자속 밀도

\mathbf{B}_{M}(\mathbf{r})

을 다음과 같이 얻을 수 있다.

:

\mathbf{B}_{M}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi }\int_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}\left(\frac{\boldsymbol{i}_{M}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})}{|\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right) d^3\mathbf{s}\ +\\frac{\mu_{0}}{4\pi}{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}\left(\frac{\mathbf{K}_{M}(\mathbf{s}) \times (\mathbf{r} - \mathbf{s})}{|\mathbf{r} - \mathbf{s}|^3}\right)\ |{d}^{2}(\partial\Omega)|

이러한 접근 방식은 자화가 균일한 경우(rot[M]=0)와 같이 특수한 상황에서 유용하다.

4. 정자기장의 응용

물질 경계에서 가우스 발산 정리와 켈빈-스토크스 정리를 적용하면, 자기장 및 자속 밀도의 경계 조건을 얻을 수 있다.

4.1. 자기 회로

전절의 전제 조건에서, 전체 계의 자기 벡터 포텐셜 $\mathbf{A}_{\text{tot}}$ 는 다음 범함수 F의 정류 함수가 된다.

: $\begin{align}F[\mathbf{A}] &:= {\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}\frac{1}{2}<\ \mathbf{H}(\mathbf{s})\ |\ \mathbf{B}(\mathbf{s})>-<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \mathbf{A}_{\text{tot}}(\mathbf{s})>\ d\mathbf{s} \\&= {\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}\frac{1}{2}<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])>-<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \mathbf{A}(\mathbf{s})>\ d\mathbf{s}\qquad \text{(3-5-1)}\end{align}$

차원 분석을 하면, 식(3-5-1)은 에너지의 차원을 가지며, 실제로 식(3-5-1)은 전체 계의 에너지가 된다. 여기서 $<\ |\ >$ 는 내적을 나타낸다. ν의 정의는 식(3-3-4)에 나와 있다.

식(3-5-1)이 "자기 벡터 포텐셜의 정류 범함수"임을 확인하기 위해, A에 대해 미소 섭동 δA를 부여했을 때의 제1변분 δF를 구한다.

:δF=F[A+δA]-F[A] (3-5-2)

F[A+δA]는 다음 피적분 함수를 전체 공간에서 s에 대해 적분한 것이다.
: $\frac{1}{2}<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})+\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})+\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])>\ -<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \mathbf{A}(\mathbf{s})+\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})>$ (3-5-3)

F[A]는 다음 피적분 함수를 전체 공간에서 s에 대해 적분한 것이다.
: $\frac{1}{2}<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])>\ -<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \mathbf{A}(\mathbf{s})>$ (3-5-4)

따라서 δF는 다음 (3-5-5)를 전체 공간에서 s에 대해 적분한 것이다.
: $<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])>+\frac{1}{2}<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])>\ -<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \delta\mathbf{A}(\mathbf{s})>$ (3-5-5)

식(3-5-5)에서 2차 미소항을 무시하면, F의 제일변분은 다음과 같다.

: $\delta F[A]={\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}<\ {\nu}(\mathbf{s})(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})])\ |\ (\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})])>\ -<\ \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})|\ \delta\mathbf{A}(\mathbf{s})>\ {d}^{3}\mathbf{s}$ (3-5-6)

식(3-5-6)에 벡터 해석 공식을 적용하면,

: $\operatorname{div}[\mathbf{X}\times\mathbf{Y}]=<\ \mathbf{Y}\ |\ \operatorname{rot}[\mathbf{X}]\ >-<\ \mathbf{X}\ |\ \operatorname{rot}[\mathbf{Y}]\ >$ (3-5-7)

에서

: $\begin{align}\mathbf{X} &:= {\nu}(\mathbf{s})\operatorname{rot}[\mathbf{A}(\mathbf{s})] & \text{(3-5-8)} \\\mathbf{Y} &:= \delta\mathbf{A} & \text{(3-5-9)}\end{align}$

를 대입하면,

: $\begin{align}\delta F[\mathbf{A}] &={\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}-\operatorname{div}_{\mathbf{s}}[({\nu}(\mathbf{s})\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}])\times\delta\mathbf{A}]\ {d}^{3}\mathbf{s} \\&+{\int}_{\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{3}}<(\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[({\nu}(\mathbf{s}))\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}(\mathbf{s})]\ ]- \boldsymbol{i}_{fc}(\mathbf{s})\|\\delta\mathbf{A}(\mathbf{s})>\ {d}^{3}\mathbf{s}\qquad \text{(3-5-10)}\end{align}$

식(3-5-10)의 제1항은 식(3-4-6)과 "진공 중에서 div[H]=0인 것"을 고려하면, 결국 물질 Ω내의 효과만 기여한다. 가우스 발산 정리를 고려하면, 식(3-5-10)의 제1항은 다음과 같다.

: ${\int}_{\mathbf{s}\in\Omega}-\operatorname{div}_{\mathbf{s}}[({\nu}(\mathbf{s})\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}])\times\delta\mathbf{A}\ ]\ {d}^{3}\mathbf{s}=-{\int}_{\mathbf{s}\in\partial\Omega}({\nu}(\mathbf{s})\operatorname{rot}_{\mathbf{s}}[\mathbf{A}])\times\delta\mathbf{A}\ {d}^{2}(\partial\Omega)$ (3-5-11)

따라서 식(3-5-10)의 제1항이 임의의 섭동 δA에 대해 0이 되려면, 노이만 조건

: $(\operatorname{rot}[\mathbf{A}])\times{n}_{\partial\Omega}\ =\ 0$ (3-5-12)

이 충족되어야 한다. 또한, 식(3-5-10)의 제2항이 임의의 섭동 δA에 대해 0이 되려면,

: $\operatorname{rot}[{\nu}\operatorname{rot}[\mathbf{A}]]- \boldsymbol{i}_{fc}=0$ (3-5-12)

이어야 한다. 이는 "벡터 포텐셜에 의한 정자기장의 방정식"(정자기장의 지배 방정식)과 같다(식(3-3-10)). 즉, 노이만 조건 하에서, 정자기장의 지배 방정식의 해는 범함수 F의 정류 함수가 된다.

4.2. 유한 요소법

정자기장 해석에는 다소 고도의 벡터 해석 지식이 요구된다. 동일한 식 변형이 반복되는 것을 피하기 위해, 일반적인 지식은 이미 알고 있다는 전제하에, 본 문서의 내용 이해에 필요한 사항에 한하여 간단하게 설명한다.

5. 정자기장 해석을 위한 추가적인 벡터 해석 지식

벡터장에 대수 연산을 수행한 것에 미분 연산자를 작용시켰을 때 성립하는 공식 중, 본 문서에서 사용하며 서적에 잘 기재되어 있지 않은 내용들을 간략하게 정리한다.

5.1. 벡터장의 대수 연산과 미분 연산자

벡터장에 대수 연산을 수행한 것에 미분 연산자를 작용시켰을 때 성립하는 공식에 대해, 본 문서에서 사용하며, 또한, 서적에 잘 기재되어 있지 않은 내용들을 간략하게 정리한다.

F = (f₁, f₂, f₃)를 벡터장이라고 하자. 이 때,

: $\left\langle\ \mathbf{F}\ |\ \nabla \ \right\rangle :={f}_{1}{\partial \over \partial {x}_{1}} + {f}_{2}{\partial \over \partial {x}_{2}} + {f}_{3}{\partial \over \partial {x}_{3}}$

로 정의한다. 여기서 ∇는

: $\nabla := \mathbf{\hat{x}} {\partial \over \partial x} + \mathbf{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z}} {\partial \over \partial z}$

를 의미한다. <F|∇>를 "F・∇"라고 표기하기도 한다.

G를 벡터장이라고 할 때, <F|∇>를 G에 작용시키면,

: $\left\langle\ \mathbf{F}\ |\ \nabla \ \right\rangle \mathbf{G}={f}_{1}{\partial{g}_{1} \over \partial {x}_{1}} +{f}_{2}{\partial{g}_{2} \over \partial {x}_{2}} +{f}_{3}{\partial{g}_{3} \over \partial {x}_{3}}=(J[\mathbf{G}])\cdot\mathbf{F}$

이 성립한다. 여기서 $J[\mathbf{G}]$ 는 G의 야코비 행렬을 의미한다. (야코비안이 아니다)

5.2. 디랙의 델타 함수와 중적분

일반적인 n변수 함수 (함수는 벡터 값 함수여도 좋다) f의 정의역을 Ω라고 할 때,

: $f(\mathbf{r})={\int}_{\mathbf{s}\in \Omega} f(\mathbf{s}){\delta}^{n}(\mathbf{r}-\mathbf{s})\ {d}^{n}s\ =f*{\delta}^{n}$

임이 알려져 있다. 여기서, 위의 "*"는 합성곱(곱셈이 아님)이다. 또한, δⁿ는 n변수의 델타 함수이다.

5.3. 발산 미분과 디랙의 델타 함수

F, G를 벡터장, f를 스칼라 함수라고 할 때, 다음이 성립한다.

: $\operatorname{div}\left[f\mathbf{F}\right]=\left\langle\mathbf{F}|\operatorname{grad}[f]\right\rangle+f\operatorname{div}[\mathbf{F}]$

원점(r=0)을 제외하고

: $\operatorname{div}_{\mathbf{r}}\left[\frac{\mathbf{r}}$

👆

좌우로 밀어서 보기

\right]=\frac{3}{|\mathbf{r}|^{3}}-\frac{3

👆

좌우로 밀어서 보기

^{2}}=0

이며, 원점(r=0)을 중심으로 하는 구체 BL에 대해 가우스 발산 정리를 사용하면,

:

{\int}_{\mathbf{r}\in BL} \operatorname{div}_{\mathbf{r}}\left[\frac{\mathbf{r}}

👆

좌우로 밀어서 보기

\right]\ d^{3}r =4\pi

가 되므로, 결국

:

\operatorname{div}_{\mathbf{r}}\left[\frac{\mathbf{r}}

👆

좌우로 밀어서 보기

\right]=4\pi\delta(\mathbf{r})

임을 알 수 있다. (여기서, δ는 3변수의 델타 함수이다.)

이상의 논의를 평행 이동시키면,

:

\operatorname{div}_{\mathbf{r}}\left[\frac{\mathbf{r}-\mathbf{s}}

👆

좌우로 밀어서 보기

\right]=4\pi\delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})

임을 알 수 있다.

5.4. 분수 함수의 편미분

벡터장에 대수 연산을 수행한 것에 미분 연산자를 작용시켰을 때 성립하는 공식에 대해, 본 문서에서 사용하며, 또한, 서적에 잘 기재되어 있지 않은 내용들을 간략하게 정리한다.

일반적인 n변수 함수 (함수는 벡터 값 함수여도 좋다) f의 정의역을 Ω라고 할 때,

: $f(\mathbf{r})={\int}_{\mathbf{s}\in \Omega} f(\mathbf{s}){\delta}^{n}(\mathbf{r}-\mathbf{s})\ {d}^{n}s\ =f*{\delta}^{n}$

임이 알려져 있다. 여기서, 위의 "*"는 합성곱(곱셈이 아님)이다. 또한, δⁿ는 n변수의 델타 함수이다.

: $\begin{align}\frac{\partial }{\partial \mathbf{s}_{i}}\left[\frac{1}$

👆

좌우로 밀어서 보기

\right]&=\frac{\partial }{\partial {s}_{i}}\left[\frac{1}\right] \\&=\frac{\partial }{\partial {s}_{i}}\left[{(({r}_{i}-{s}_{i})^{2}+\text{const.})}^{-(1/2)}\right]\end{align}

5.5. 면적분에 대한 보충 설명

여기서는 다양한 벡터장의 면적분에 대해 정리한다.

"절댓값에 의한 면적분", "외적 면적분"이라는 용어는 일반적인 용어는 아니지만, 그 외에 적절한 표현이 없으므로, 여기에서만 그렇게 말하기로 한다. 본 문서 내에서의 정의는 각각 다음과 같다.

$\mathbb{R}^{2}$ 의 닫힌 직사각형 I에 대해, $\varphi:I\to \mathbb{R}^{3}$ 는 I의 근방에서 거의 모든 곳에서 구분적으로 매끄럽고 비퇴화이며, I의 내부에서 단사인 벡터값 함수라 하자. $S:=\varphi[I]$ 를, $\mathbb{R}^{3}$ 내의 곡면 조각이라고 하고, X를 S의 근방에서 정의된, 구분적으로 매끄러운 벡터장이라고 할 때, 면적분은 다음과 같이 정의된다.

:: ${\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \ {d}^{2}S:={\int}_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\langle \mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\ |\ \left(\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}}\times\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}\right)\rangle\ d{u}_{1}d{u}_{2}$

위 식의 우변은 $({u}_{1},{u}_{2})$ 에 대한 스칼라 값 함수
$\langle \mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\ |\ \left(\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}}\times\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}\right)\rangle$
를 구간 I상에서 중적분한 것이다. 여기서 S의 단위 법선 벡터 ${\mathbf{n}}_{S}$ 를

:: ${\mathbf{n}}_{S}:=\frac{1}{\left|\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}}\times\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}\right|}\left(\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}}\times\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}\right)$
로 정의하면,

:: ${\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \ {d}^{2}S={\int}_{({u}_{1},{u}_{2})\in I} \langle \mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\ |\ {\mathbf{n}}_{S} \rangle\left|\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}}\times\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}\right|\ d{u}_{1}d{u}_{2}$
이다.

절댓값에 의한 면적분은 다음과 같이 정의된다.

:: ${\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \ |{d}^{2}S|:={\int}_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\\left|\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}} \times \frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}\right|\ d{u}_{1}d{u}_{2}$

본 문서에서는, 절댓값을 이용한 면적분인 경우, $\ |{d}^{2}S|$ 와 같이 면적 요소에 절댓값 기호를 붙인다. 우변은 $({u}_{1},{u}_{2})$ 에 관한 벡터 값 함수
$\mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\\left|\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}} \times \frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}\right|$
를, 성분별로 구간 I에서 이중 적분한 것이다. 즉, 절댓값을 이용한 면적분은 "함수의 면적분을 각 성분별로 수행한다"는 것과 같다.

외적 면적분은 다음과 같이 정의된다.

${\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \times {d}^{2}S:={\int}_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\left(\mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\right)\times\left(\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}} \times \frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{2}}\right)\d{u}_{1}d{u}_{2}$

본 문서에서는 외적 면적분의 경우 $\times\ {d}^{2}S$ 처럼 면적 요소 앞에 ×를 붙인다. 우변은 $({u}_{1},{u}_{2})$ 에 대한 벡터 값 함수
$\mathbf{X}(\varphi({u}_{1},{u}_{2}))\times\left(\frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}} \times \frac{\partial \varphi }{\partial{u}_{1}}\right)$
를 성분별로 구간 I에서 중적분한 것이다. 즉,

${\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \times {d}^{2}S={\int}_{\mathbf{s}\in S} \mathbf{X}(\mathbf{s}) \times \mathbf{n}_{S}|{d}^{2}S|$
가 된다.

6. 결론

벡터장에 대수 연산을 수행한 것에 미분 연산자를 작용시켰을 때 성립하는 공식에 대해, 본 문서에서 사용하며, 또한 서적에 잘 기재되어 있지 않은 내용들을 간략하게 정리한다.

설명	시간이 지나도 변하지 않는 자기장을 다루는 물리학의 한 분야이다. 전류가 흐르는 시스템에서 발생하는 자기적 현상을 연구한다.

주요 개념

앙페르 회로 법칙	전류와 자기장 사이의 관계를 설명한다.
비오-사바르 법칙	전류 요소가 만드는 자기장을 계산하는 데 사용된다.
자기장	움직이는 전하에 힘을 가하는 장이다.
자성체	외부 자기장에 반응하여 자기장을 유도하는 물질이다.

응용 분야

자기 공명 영상 (MRI)	강력한 정자기장을 사용하여 인체 내부의 이미지를 얻는다.
지구 자기장	지구를 둘러싸고 있는 자기장으로, 나침반의 작동 원리이다.
전기 모터	정자기력을 이용하여 전기 에너지를 기계 에너지로 변환한다.