제한 (수학)

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1. 개요

제한(수학)은 함수 또는 관계의 정의역을 특정 부분 집합으로 축소하는 연산이다. 함수 f를 집합 A로 제한한다는 것은 f와 동일한 함수이지만, A에서만 정의된다는 의미이다. 함수의 제한은 단사 함수를 만들거나, 연속 함수의 연속성을 보존하는 등 다양한 수학적 성질을 갖는다. 제한은 역함수 정의, 붙이기 보조정리, 층 이론 등에서 응용되며, 함수의 확장 및 관계의 제한과 같은 개념과 연관된다.

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 응용
6. 확장
7. 관계의 제한

2. 정의

$f : E \to F$ 를 집합 $E$ 에서 집합 $F$ 로 가는 함수라고 하자. 만약 집합 $A$ 가 $E$ 의 부분집합이라면, $f$ 의 $A$ 로의 제한은 $x \in A$ 에 대해 ${f|}_A(x) = f(x)$ 로 주어진 함수 ${f|}_A : A \to F$ 이다. 비공식적으로, $f$ 의 $A$ 으로의 제한은 $A$ 에서만 정의된 $f$ 와 동일하다.

함수 $f$ 를 관계 $(x,f(x))$ 로 생각하면, $f$ 를 $A$ 로 제한한 것은 다음의 그래프로 나타낼 수 있다.
: $G({f|}_A) = \{ (x,f(x))\in G(f) : x\in A \} = G(f)\cap (A\times F),$
여기서 쌍 $(x,f(x))$ 는 그래프 $G$ 에서 순서쌍을 나타낸다.,

3. 성질

* 함수 $f:X\rightarrow Y$ 의 전체 정의역 $X$ 에 대한 제한은 원래 함수와 같다. 즉, $f|_X = f$ 이다.
* 함수를 두 번 제한하는 것은 한 번 제한하는 것과 같다. 즉, $A \subseteq B \subseteq \operatorname{dom} f$ 일 때, $\left(f|_B\right)|_A = f|_A$ 이다.
* 집합 $X$ 의 항등 함수를 $X$ 의 부분 집합 $A$ 로 제한하면 $A$ 에서 $X$ 로의 포함 맵이 된다.
* 연속 함수의 제한은 연속이다.

4. 예시

단사 함수가 아닌 함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2$ 을 정의역 $\mathbb{R}_{+} = [0,\infty)$ 로 제한하면 단사 함수 $f:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2$ 이 된다. 팩토리얼 함수는 감마 함수를 양의 정수로 제한한 것으로, 인수가 1만큼 이동된다: ${\Gamma|}_{\mathbb{Z}^+}\!(n) = (n-1)!$

5. 응용

함수가 역함수를 가지려면 단사 함수여야 한다. 함수 $f$ 가 일대일 함수가 아니면, 정의역을 제한하여 $f$ 의 부분 역함수를 정의할 수 있다. 예를 들어,

: $f(x) = x^2$

로 정의된 $\R$ 전체에서 정의된 함수는, 모든 $x \in \R$ 에 대해 $x^2 = (-x)^2$ 이므로 일대일 함수가 아니다. 그러나 정의역을 $\R_{\geq 0} = [0, \infty)$ 로 제한하면 함수는 일대일 함수가 되며, 이 경우

: $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$

가 된다. 또는, 역함수가 다중값 함수가 되도록 허용한다면 정의역을 제한할 필요가 없다.

위상수학에서 함수의 연속성과 부분 집합으로의 제한의 연속성을 관련짓는 중요한 정리인 붙이기 보조정리가 있다. 위상 공간 `A`의 부분 집합 `X`, `Y`가 모두 닫혀 있거나 모두 열려 있고, `A = X ∪ Y`를 만족하며, `B`도 위상 공간이라고 하자. 사상 `f : A → B`의 `X`와 `Y`로의 제한이 모두 연속이라면, `f` 자신도 연속이다. 이 결과를 바탕으로 위상 공간의 닫힌 집합들(또는 열린 집합들) 위에서 정의된 두 개의 연속 사상으로부터, 그것들을 붙여서 새로운 연속 사상을 만들 수 있다.

층은 함수 외의 대상에 대한 제한을 일반화하는 방법을 제공한다. 층 이론에서, 위상 공간의 각 열린 집합 $U$ 에 범주의 대상 $F(U)$ 를 할당하고, 해당 대상이 특정 조건을 만족하도록 요구한다. 가장 중요한 조건은 중첩된 열린 집합과 연관된 모든 대상 쌍 사이에 제한 사상이 존재한다는 것이다. 즉, $V\subseteq U$ 이면, 함수의 제한을 모방하도록 설계된 다음 속성을 만족하는 사상 $\operatorname{res}_{V,U} : F(U) \to F(V)$ 가 존재한다.

* X의 모든 열린 집합 $U$ 에 대해 제한 사상 $\operatorname{res}_{U,U} : F(U) \to F(U)$ 는 $F(U)$ 에 대한 항등 사상이다.
* 세 개의 열린 집합 $W \subseteq V \subseteq U$ 가 있는 경우, 합성 $\operatorname{res}_{W,V} \circ \operatorname{res}_{V,U} = \operatorname{res}_{W,U}$ 이다.
* (국소성) $(U_i)$ 가 열린 집합 $U$ 의 열린 덮개이고, $s, t \in F(U)$ 가 덮개의 각 집합 $U_i$ 에 대해 $s|_{U_i} = t|_{U_i}$ 를 만족하면, $s = t$ 이다.
* (접착) $(U_i)$ 가 열린 집합 $U$ 의 열린 덮개이고, 각 $i$ 에 대해 단면 $x_i \in F(U_i)$ 가 주어지며, 덮개 집합의 각 쌍 $U_i, U_j$ 에 대해 $s_i$ 와 $s_j$ 의 제한이 겹치는 부분에서 일치하는 경우: $s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}$ 이면, 각 $i$ 에 대해 $s|_{U_i} = s_i$ 를 만족하는 단면 $s \in F(U)$ 가 존재한다.

이러한 모든 대상의 모음을 층이라고 한다. 처음 두 속성만 만족하는 경우, 예비층이라고 한다.

5.1. 역함수

함수가 역함수를 가지려면, 단사 함수여야 한다. 함수 $f$ 가 일대일 함수가 아니면, 정의역을 제한하여 $f$ 의 부분 역함수를 정의할 수 있다. 예를 들어,

: $f(x) = x^2$

로 정의된 $\R$ 전체에서 정의된 함수는, 모든 $x \in \R$ 에 대해 $x^2 = (-x)^2$ 이므로 일대일 함수가 아니다. 그러나 정의역을 $\R_{\geq 0} = [0, \infty)$ 로 제한하면 함수는 일대일 함수가 되며, 이 경우

: $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$

가 된다. (만약 정의역을 $(-\infty, 0]$ 로 제한한다면, 역함수는 $y$ 의 제곱근에 음수를 곱한 값이 된다.) 또는, 역함수가 다중값 함수가 되도록 허용한다면 정의역을 제한할 필요가 없다.

5.2. 붙이기 보조정리

위상수학에서 함수의 연속성과 부분 집합으로의 제한의 연속성을 관련짓는 중요한 정리이다.

위상 공간 `A`의 부분 집합 `X`, `Y`가 모두 닫혀 있거나 모두 열려 있고, `A = X ∪ Y`를 만족하며, `B`도 위상 공간이라고 하자. 사상 `f : A → B`의 `X`와 `Y`로의 제한이 모두 연속이라면, `f` 자신도 연속이다.

이 결과를 바탕으로 위상 공간의 닫힌 집합들(또는 열린 집합들) 위에서 정의된 두 개의 연속 사상으로부터, 그것들을 붙여서 새로운 연속 사상을 만들 수 있다.

5.3. 층

층은 함수 외의 대상에 대한 제한을 일반화하는 방법을 제공한다. 층 이론에서, 위상 공간의 각 열린 집합 $U$ 에 범주의 대상 $F(U)$ 를 할당하고, 해당 대상이 특정 조건을 만족하도록 요구한다. 가장 중요한 조건은 중첩된 열린 집합과 연관된 모든 대상 쌍 사이에 제한 사상이 존재한다는 것이다. 즉, $V\subseteq U$ 이면, 함수의 제한을 모방하도록 설계된 다음 속성을 만족하는 사상 $\operatorname{res}_{V,U} : F(U) \to F(V)$ 가 존재한다.

* X의 모든 열린 집합 $U$ 에 대해 제한 사상 $\operatorname{res}_{U,U} : F(U) \to F(U)$ 는 $F(U)$ 에 대한 항등 사상이다.
* 세 개의 열린 집합 $W \subseteq V \subseteq U$ 가 있는 경우, 합성 $\operatorname{res}_{W,V} \circ \operatorname{res}_{V,U} = \operatorname{res}_{W,U}$ 이다.
* (국소성) $(U_i)$ 가 열린 집합 $U$ 의 열린 덮개이고, $s, t \in F(U)$ 가 덮개의 각 집합 $U_i$ 에 대해 $s|_{U_i} = t|_{U_i}$ 를 만족하면, $s = t$ 이다.
* (접착) $(U_i)$ 가 열린 집합 $U$ 의 열린 덮개이고, 각 $i$ 에 대해 단면 $x_i \in F(U_i)$ 가 주어지며, 덮개 집합의 각 쌍 $U_i, U_j$ 에 대해 $s_i$ 와 $s_j$ 의 제한이 겹치는 부분에서 일치하는 경우: $s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}$ 이면, 각 $i$ 에 대해 $s|_{U_i} = s_i$ 를 만족하는 단면 $s \in F(U)$ 가 존재한다.

이러한 모든 대상의 모음을 층이라고 한다. 처음 두 속성만 만족하는 경우, 예비층이라고 한다.

6. 확장

함수 $F$ 가 다른 함수 $f$ 의 확장이라고 하는 것은, $x$ 가 $f$ 의 정의역에 속할 때마다 $x$ 가 $F$ 의 정의역에도 속하고 $f(x) = F(x)$ 일 경우이다. 즉, $\operatorname{domain} f \subseteq \operatorname{domain} F$ 이고 $F\big\vert_{\operatorname{domain} f} = f$ 일 때이다.

함수 $f$ 의 선형 확장(각각, 연속 확장 등)은 $f$ 의 확장으로, 또한 선형 사상(각각, 연속 사상 등)이다.

7. 관계의 제한

일반적으로, 이항 관계 R의 제한(또는 정의역 제한, 왼쪽 제한) A ◁ R은 E와 F 사이의 관계에서, 정의역이 A, 공역이 F, 그래프가 G(A ◁ R) = {(x, y) ∈ G(R) | x ∈ A}인 관계로 정의될 수 있다. 비슷하게, 오른쪽 제한 또는 치역 제한 R ▷ B을 정의할 수 있다. 실제로, n항 관계뿐만 아니라 이항 관계의 데카르트 곱 E × F와 같은 관계로 이해되는 부분 집합에 대한 제한을 정의할 수 있다.

함수 또는 이항 관계 R(정의역 E와 공역 F를 가짐)의 정의역 반제한(또는 정의역 뺄셈)은 집합 A에 의해 (E ∖ A) ◁ R로 정의될 수 있으며, 정의역 E에서 A의 모든 원소를 제거한다. 이는 때때로 A ⩤ R로 표시된다. 비슷하게, 함수 또는 이항 관계 R의 치역 반제한(또는 치역 뺄셈)은 집합 B에 의해 R ▷ (F ∖ B)로 정의되며, 공역 F에서 B의 모든 원소를 제거한다. 이는 때때로 R ⩥ B로 표시된다.

Mapping^영어에서 → 는 집합 에서 집합 로의 사상을 나타낸다. 즉, 의 정의역은 ()이다. 의 부분 집합 에 대해, 사상 의 에 대한 제한은
:
인 사상을 말한다.

사상 를 데카르트 곱 상의 관계 }로 생각하면, 의 에 대한 제한은 그래프로

:
로 나타낼 수 있다.