제한 (수학)

3. 성질

• 함수 $f:X\backslash rightarrow\; Y$의 전체 정의역 $X$에 대한 제한은 원래 함수와 같다. 즉, $f|\_X\; =\; f$이다.
• 함수를 두 번 제한하는 것은 한 번 제한하는 것과 같다. 즉, $A\; \backslash subseteq\; B\; \backslash subseteq\; \backslash operatorname\{dom\}\; f$일 때, $\backslash left(f|\_B\backslash right)|\_A\; =\; f|\_A$이다.
• 집합 $X$의 항등 함수를 $X$의 부분 집합 $A$로 제한하면 $A$에서 $X$로의 포함 맵이 된다.^[2]
• 연속 함수의 제한은 연속이다.^[3][4]

4. 예시

단사 함수가 아닌 함수 $f:\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\},\; \backslash \; x\; \backslash mapsto\; x^2$을 정의역 $\backslash mathbb\{R\}\_\{+\}\; =\; [0,\backslash infty)$로 제한하면 단사 함수 $f:\backslash mathbb\{R\}\_+\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\},\; \backslash \; x\; \backslash mapsto\; x^2$이 된다. 팩토리얼 함수는 감마 함수를 양의 정수로 제한한 것으로, 인수가 1만큼 이동된다: $\{\backslash Gamma|\}\_\{\backslash mathbb\{Z\}^+\}\backslash !(n)\; =\; (n-1)!$

5. 응용

함수가 역함수를 가지려면 단사 함수여야 한다. 함수 $f$가 일대일 함수가 아니면, 정의역을 제한하여 $f$의 '''부분 역함수'''를 정의할 수 있다. 예를 들어,

:$f(x)\; =\; x^2$

로 정의된 $\backslash R$ 전체에서 정의된 함수는, 모든 $x\; \backslash in\; \backslash R$에 대해 $x^2\; =\; (-x)^2$이므로 일대일 함수가 아니다. 그러나 정의역을 $\backslash R\_\{\backslash geq\; 0\}\; =\; [0,\; \backslash infty)$로 제한하면 함수는 일대일 함수가 되며, 이 경우

:$f^\{-1\}(y)\; =\; \backslash sqrt\{y\}$

가 된다. 또는, 역함수가 다중값 함수가 되도록 허용한다면 정의역을 제한할 필요가 없다.

위상수학에서 함수의 연속성과 부분 집합으로의 제한의 연속성을 관련짓는 중요한 정리인 붙이기 보조정리가 있다.^[1] 위상 공간 `A`의 부분 집합 `X`, `Y`가 모두 닫혀 있거나 모두 열려 있고, `A = X ∪ Y`를 만족하며, `B`도 위상 공간이라고 하자. 사상 `f : A → B`의 `X`와 `Y`로의 제한이 모두 연속이라면, `f` 자신도 연속이다.^[2] 이 결과를 바탕으로 위상 공간의 닫힌 집합들(또는 열린 집합들) 위에서 정의된 두 개의 연속 사상으로부터, 그것들을 붙여서 새로운 연속 사상을 만들 수 있다.^[2]

층은 함수 외의 대상에 대한 제한을 일반화하는 방법을 제공한다. 층 이론에서, 위상 공간의 각 열린 집합 $U$에 범주의 대상 $F(U)$를 할당하고, 해당 대상이 특정 조건을 만족하도록 요구한다. 가장 중요한 조건은 중첩된 열린 집합과 연관된 모든 대상 쌍 사이에 ''제한 사상''이 존재한다는 것이다. 즉, $V\backslash subseteq\; U$이면, 함수의 제한을 모방하도록 설계된 다음 속성을 만족하는 사상 $\backslash operatorname\{res\}\_\{V,U\}\; :\; F(U)\; \backslash to\; F(V)$가 존재한다.

• X의 모든 열린 집합 $U$에 대해 제한 사상 $\backslash operatorname\{res\}\_\{U,U\}\; :\; F(U)\; \backslash to\; F(U)$는 $F(U)$에 대한 항등 사상이다.
• 세 개의 열린 집합 $W\; \backslash subseteq\; V\; \backslash subseteq\; U$가 있는 경우, 합성 $\backslash operatorname\{res\}\_\{W,V\}\; \backslash circ\; \backslash operatorname\{res\}\_\{V,U\}\; =\; \backslash operatorname\{res\}\_\{W,U\}$이다.
• (국소성) $(U\_i)$가 열린 집합 $U$의 열린 덮개이고, $s,\; t\; \backslash in\; F(U)$가 덮개의 각 집합 $U\_i$에 대해 $s|\_\{U\_i\}\; =\; t|\_\{U\_i\}$를 만족하면, $s\; =\; t$이다.
• (접착) $(U\_i)$가 열린 집합 $U$의 열린 덮개이고, 각 $i$에 대해 단면 $x\_i\; \backslash in\; F(U\_i)$가 주어지며, 덮개 집합의 각 쌍 $U\_i,\; U\_j$에 대해 $s\_i$와 $s\_j$의 제한이 겹치는 부분에서 일치하는 경우: $s\_i|\_\{U\_i\; \backslash cap\; U\_j\}\; =\; s\_j|\_\{U\_i\; \backslash cap\; U\_j\}$이면, 각 $i$에 대해 $s|\_\{U\_i\}\; =\; s\_i$를 만족하는 단면 $s\; \backslash in\; F(U)$가 존재한다.

5. 1. 역함수

5. 2. 붙이기 보조정리

5. 3. 층

• X의 모든 열린 집합 $U$에 대해 제한 사상 $\backslash operatorname\{res\}\_\{U,U\}\; :\; F(U)\; \backslash to\; F(U)$는 $F(U)$에 대한 항등 사상이다.
• 세 개의 열린 집합 $W\; \backslash subseteq\; V\; \backslash subseteq\; U$가 있는 경우, 합성 $\backslash operatorname\{res\}\_\{W,V\}\; \backslash circ\; \backslash operatorname\{res\}\_\{V,U\}\; =\; \backslash operatorname\{res\}\_\{W,U\}$이다.
• (국소성) $(U\_i)$가 열린 집합 $U$의 열린 덮개이고, $s,\; t\; \backslash in\; F(U)$가 덮개의 각 집합 $U\_i$에 대해 $s|\_\{U\_i\}\; =\; t|\_\{U\_i\}$를 만족하면, $s\; =\; t$이다.
• (접착) $(U\_i)$가 열린 집합 $U$의 열린 덮개이고, 각 $i$에 대해 단면 $x\_i\; \backslash in\; F(U\_i)$가 주어지며, 덮개 집합의 각 쌍 $U\_i,\; U\_j$에 대해 $s\_i$와 $s\_j$의 제한이 겹치는 부분에서 일치하는 경우: $s\_i|\_\{U\_i\; \backslash cap\; U\_j\}\; =\; s\_j|\_\{U\_i\; \backslash cap\; U\_j\}$이면, 각 $i$에 대해 $s|\_\{U\_i\}\; =\; s\_i$를 만족하는 단면 $s\; \backslash in\; F(U)$가 존재한다.

6. 확장

함수 $F$가 다른 함수 $f$의 확장이라고 하는 것은, $x$가 $f$의 정의역에 속할 때마다 $x$가 $F$의 정의역에도 속하고 $f(x)\; =\; F(x)$일 경우이다. 즉, $\backslash operatorname\{domain\}\; f\; \backslash subseteq\; \backslash operatorname\{domain\}\; F$이고 $F\backslash big\backslash vert\_\{\backslash operatorname\{domain\}\; f\}\; =\; f$일 때이다.

함수 $f$의 선형 확장(각각, 연속 확장 등)은 $f$의 확장으로, 또한 선형 사상(각각, 연속 사상 등)이다.

7. 관계의 제한

일반적으로, 이항 관계 ''R''의 '''제한'''(또는 '''정의역 제한''', '''왼쪽 제한''') ''A'' ◁ ''R''은 ''E''와 ''F'' 사이의 관계에서, 정의역이 ''A'', 공역이 ''F'', 그래프가 G(''A'' ◁ ''R'') = {(''x'', ''y'') ∈ G(''R'') | ''x'' ∈ ''A''}인 관계로 정의될 수 있다. 비슷하게, '''오른쪽 제한''' 또는 '''치역 제한''' ''R'' ▷ ''B''을 정의할 수 있다. 실제로, n항 관계뿐만 아니라 이항 관계의 데카르트 곱 ''E'' × ''F''와 같은 관계로 이해되는 부분 집합에 대한 제한을 정의할 수 있다.^[10]

함수 또는 이항 관계 ''R''(정의역 ''E''와 공역 ''F''를 가짐)의 '''정의역 반제한'''(또는 '''정의역 뺄셈''')은 집합 ''A''에 의해 (''E'' ∖ ''A'') ◁ ''R''로 정의될 수 있으며, 정의역 ''E''에서 ''A''의 모든 원소를 제거한다. 이는 때때로 ''A'' ⩤ ''R''로 표시된다. 비슷하게, 함수 또는 이항 관계 ''R''의 '''치역 반제한'''(또는 '''치역 뺄셈''')은 집합 ''B''에 의해 ''R'' ▷ (''F'' ∖ ''B'')로 정의되며, 공역 ''F''에서 ''B''의 모든 원소를 제거한다. 이는 때때로 ''R'' ⩥ ''B''로 표시된다.^[5]

Mapping^영어에서 → 는 집합 에서 집합 로의 사상을 나타낸다. 즉, 의 정의역은 ()이다. 의 부분 집합 에 대해, '''사상 의 에 대한 제한'''은

:

인 사상을 말한다.^[6]

사상 를 데카르트 곱 상의 관계 }로 생각하면, 의 에 대한 제한은 그래프로

:

로 나타낼 수 있다.

참조

_[1] 서적 Sets, Logic and Axiomatic Theories https://archive.org/[...] W. H. Freeman and Company 1974
_[2] 서적 Naive Set Theory D. Van Nostrand
_[3] 서적 Topology Prentice Hall
_[4] 서적 Introduction to Topology: Pure and Applied Pearson Prentice Hall
_[5] 서적 Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, February 5–7, 2006, Revised Selected ... Computer Science and General Issues) Springer 2006
_[6] harvnb
_[7] harvnb 1960
_[8] harvnb 2000
_[9] harvnb 2008
_[10] harvnb 2006
_[11] 서적 Sets, Logic and Axiomatic Theories https://archive.org/[...] W. H. Freeman and Company 1974