조밀 순서

3. 성질

유한 집합 위에는 자명한 순서 $x\backslash le\; y\backslash implies\; x=y$가 아닌 조밀 순서가 존재하지 않는다. 두 개 이상의 원소를 갖는 집합 위의 정렬 순서는 조밀 순서가 아니다.

4. 예

정수의 전순서는 조밀 순서가 아니다. 반면, 유리수와 실수의 전순서는 조밀 순서이다. 유리수, 대수적 수, 실수, 이진 유리수, 십진 분수는 선형 순서 집합이며, 조밀 순서 집합이다. 아르키메데스 순서가 있는 정수 $\backslash mathbb\{Z\}[x]$의 환 확장은 조밀 순서 집합이다.

5. 경계가 없는 전순서의 유일성

게오르크 칸토어는 하한과 상한이 없는 모든 비어 있지 않은 조밀하게 정렬된 가산 집합은 순서 동형임을 증명했다.^[1] 이는 경계가 없는 조밀 선형 순서 이론을 ω-범주적 이론의 예로 만든다. 여기서 ω는 가장 작은 극한 순서수이다. 예를 들어, 유리수, 이진 유리수, 대수적 수를 포함한 다른 조밀하게 정렬된 가산 집합 사이에는 순서 동형이 존재한다. 이러한 결과의 증명에는 앞뒤 방법이 사용된다.^[2]

민코프스키의 물음표 함수는 이차 무리수와 유리수 사이, 그리고 유리수와 이진 유리수 사이의 순서 동형을 결정하는 데 사용될 수 있다.

6. 일반화

어떤 이항 관계 ''R''에 대해, 모든 ''x''와 ''y''가 ''R'' 관계에 있고, ''x''와 ''z'', ''z''와 ''y''가 모두 ''R'' 관계에 있다면, 이 관계를 '조밀하다'고 한다. 조밀 조건은 ''R'' ⊆ (''R'' ; ''R'')로 표현될 수 있다.^[3]

집합 ''X''에 대한 이항 관계 ''R''이 조밀하기 위한 충분 조건은 다음과 같다.

• ''R''은 반사 관계이다.
• ''R''은 공반사 관계이다.
• ''R''은 준반사 관계이다.
• ''R''은 왼쪽 또는 오른쪽 유클리드 관계이다.
• ''R''은 대칭 관계이고 반연결 관계이며 ''X''는 최소 3개의 원소를 갖는다.

참조

_[1] 서적 Introduction to Modern Set Theory https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[2] 서적 Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets https://books.google[...] Springer-Verlag
_[3] 서적 Relational Mathematics Cambridge University Press