이진 유리수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 동치 정의
3. 성질
4. 응용
참조

1. 개요

이진 유리수는 정수를 2의 거듭제곱으로 나눈 형태의 유리수를 의미한다. 이는 유한한 이진법 표현을 갖는 실수와 동일하며, 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산에 대해 닫혀 있다. 그러나 나눗셈의 결과는 이진 유리수가 아닐 수 있다. 이진 유리수는 실수선에서 조밀한 집합을 이루며, 컴퓨터 과학, 음악, 수학교육 등 다양한 분야에서 활용된다.

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이진 유리수
기본 정보
종류	유리수
형태	분모가 2의 거듭제곱인 분수
다른 이름	이진 분수, 이진 유리수
성질
조밀성	실수 집합에서 조밀함
연산	덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해 닫혀 있음
나눗셈	0이 아닌 이진 유리수로 나눌 때 닫혀 있음
표현
이진 소수	유한한 이진 소수 또는 2진 순환 소수로 표현 가능
dyadic 구간	길이가 2의 거듭제곱의 역수인 구간
활용
수치 해석	부동소수점 산술에서 사용
음악 이론	음높이 간격 표현
칸토어 집합	칸토어 함수 값

2. 정의

'''이진 유리수'''는 정수 $a$ 와 음이 아닌 정수 $b$ 에 대해 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있는 유리수이다.

: $\frac a{2^b}$

즉, 정수를 2의 거듭제곱으로 나눈 결과로 나오는 수이다.

두 이진 유리수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 결과는 다음과 같은 공식에 따라 항상 이진 유리수이다.

: $\begin{align}\frac{a}{2^b}+\frac{c}{2^d}&=\frac{2^{d - \min(b,d)}a + 2^{b - \min(b,d)}c} {2^{\max(b,d)} } \\[6px]\frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}&=\frac{2^{d - \min(b,d)}a - 2^{b - \min(b,d)}c} {2^{\max(b,d)} } \\[6px]\frac{a}{2^b}\cdot \frac{c}{2^d} &= \frac{ a c}{2^{b+d}}\end{align}$

그러나 한 이진 유리수를 다른 이진 유리수로 나눗셈한 결과는 반드시 이진 유리수는 아니다. 예를 들어, 1과 3은 모두 이진 유리수이지만, 1/3은 이진 유리수가 아니다.

2. 1. 동치 정의

기약 분수

p/q

에서

q

가 2의 거듭제곱일 때 이진 유리수이다. 이진 유리수를 정의하는 또 다른 동등한 방법은 이들이 유한 이진법 표현을 갖는 실수라는 것이다.

3. 성질

유난히 정확한 이진 유리수 근사값이 없는 실수. 빨간색 원은 $n/2^i$ 에 의해 $\tfrac16/2^i$ 오차 내에서 근사된 숫자를 둘러싼다. 프랙탈 칸토어 집합의 원 밖의 숫자에서는 모든 이진 유리수 근사값이 더 큰 오차를 갖는다.

모든 정수와 모든 반정수는 이진 유리수이다. 이들은 모두 분모가 2의 거듭제곱인 분수로 나타낼 수 있기 때문이다. 정수는 분모가

2^0=1

인 경우이고, 반정수는 분모가

2^1=2

인 경우이다.

모든 실수는 이진 유리수를 이용하여 얼마든지 가깝게 근사할 수 있다. 실수

x

에 대해,

\lfloor 2^i x \rfloor / 2^i

형태의 이진 유리수를 생각할 수 있다. 여기서

i

는 임의의 정수이고,

\lfloor\dots\rfloor

는 바닥 함수를 의미한다. 이 이진 유리수들은

x

를

1/2^i

의 오차 범위 안에서 아래로부터 근사하며,

i

를 충분히 크게 하면 오차를 원하는 만큼 줄일 수 있다. 일부 실수의 프랙탈 부분 집합의 경우, 이 오차 한계는 최적 값의 상수 배수 내에 있다. 즉, 이러한 숫자들에 대해 상수 곱하기

1/2^i

보다 작은 오차를 가진 근사값

n/2^i

는 없다.^[1] 이러한 정확한 이진 근사값의 존재는 모든 이진 유리수의 집합이 실수선 위에서 조밀하다는 것을 의미한다.

이진 유리수는 이진법으로 나타냈을 때 유한한 소수 전개를 갖는 수들과 정확히 일치한다. 하지만 이진 전개가 항상 유일하지는 않다. 0이 아닌 이진 유리수는 유한한 표현과 무한한 표현(마지막에 1이 반복되는 형태) 두 가지를 가질 수 있다. 예를 들어, 유리수 3/4은 이진법으로 0.11₂와 같이 유한하게 나타낼 수도 있고, 0.10111...₂와 같이 무한하게 나타낼 수도 있다. 이진 유리수는 이렇게 이진 전개가 유일하지 않은 유일한 실수이다.

3. 1. 연산에 대한 닫힘

두 이진 유리수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈의 결과 역시 이진 유리수이다. 구체적인 연산은 다음과 같다.

:

\begin{align}\frac{a}{2^b}+\frac{c}{2^d}&=\frac{2^{d - \min(b,d)}a + 2^{b - \min(b,d)}c} {2^{\max(b,d)} } \\[6px]\frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}&=\frac{2^{d - \min(b,d)}a - 2^{b - \min(b,d)}c} {2^{\max(b,d)} } \\[6px]\frac{a}{2^b}\cdot \frac{c}{2^d} &= \frac{ a c}{2^{b+d}}\end{align}

그러나 한 이진 유리수를 다른 이진 유리수로 나눗셈한 결과는 이진 유리수가 아닐 수 있다.

:

\frac a{2^b}\div\frac c{2^d}=\frac{a \cdot 2^d}{c \cdot 2^b}

예를 들어, 1과 3은 모두 정수이므로 분모를 2⁰ = 1로 표현할 수 있는 이진 유리수이지만, 이 둘의 나눗셈 결과인 1/3은 분모가 2의 거듭제곱이 아니므로 이진 유리수가 아니다.

3. 2. 대수적 성질

이진 유리수의 집합은 유리수 전체 집합의 부분환을 이룬다. 이 부분환은 정수환

\mathbb Z

를 2의 거듭제곱

\{2^n\colon n\in\mathbb N\}

이라는 곱셈 모노이드에 대해 국소화한 것과 같다. 즉,

\{2^n\colon n\in\mathbb N\}^{-1}\mathbb Z

로 표현할 수 있다.

이진 유리수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산에 대해 닫혀 있지만, 나눗셈에 대해서는 닫혀 있지 않다. 예를 들어, 1은 이진 유리수이지만 1/3은 이진 유리수가 아니다. 따라서 이진 유리수의 집합은 환이지만 체는 아니다. 이진 유리수의 환은

\Z[\tfrac12]

로 표기하기도 하는데, 이는 정수 계수를 갖는 다항식에

x = 1/2

을 대입하여 얻는 값들의 집합과 같다는 의미이다. 환으로서 이진 유리수는 유리수의 부분환이며, 정수의 상위환이다.

이진 유리수의 덧셈군을 정수의 덧셈군으로 나눈 몫군

\Z[\tfrac12]/\Z

(즉, 각 이진 유리수를 정수 부분과 소수 부분으로 나누었을 때 소수 부분들의 집합)은 프뤼퍼 2-군과 동형이다.

이진 유리수는 실수의 부분환을 이룰 뿐만 아니라, 2진수의 부분환도 형성한다. 2진수는 이진 유리수를 포함하며 모든 유리수를 포함하는 수 체계이다. 이진 유리수를 2진수에 포함시키는 것은 산술 연산을 바꾸지는 않지만, 실수에서의 위상 구조와는 다른 구조를 부여한다. 실수에서와 마찬가지로, 이진 유리수는 2진수 내에서 조밀한 부분 집합을 형성하며, 유한한 이진 전개를 갖는 2진수들의 집합이다. 모든 2진수는 2진 정수와 이진 유리수의 합으로 나타낼 수 있으며, 이 경우 이진 유리수는 2진수의 소수 부분 역할을 한다고 볼 수 있다. 그러나 이러한 분해는 유일하지 않다.

3. 3. 순서론적 성질

임의의 가산 전순서 집합은 항상

\{a/2^b \in [0,1] \colon a,b \in \mathbb{Z}, \; b \ge 0\}

(즉, [0,1] 구간 내에서 분모가 2의 거듭제곱인 유리수)의 부분 집합과 동형이다.

모든 실수는 이진 유리수에 의해 임의로 가깝게 근사될 수 있다. 특히 실수

x

에 대해,

\lfloor 2^i x \rfloor / 2^i

형태의 이진 유리수를 고려해 볼 수 있다. 여기서

i

는 모든 정수가 될 수 있고

\lfloor\dots\rfloor

는 인수를 정수로 내림하는 바닥 함수를 나타낸다. 이 숫자들은

1/2^i

오차 내에서

x

를 아래에서 근사하며,

i

를 임의로 크게 선택하여 오차를 임의로 작게 만들 수 있다. 실수의 프랙탈 부분 집합의 경우, 이 오차 한계는 최적 값의 상수 배수 내에 있다. 즉, 이러한 숫자들에 대해 상수 곱하기

1/2^i

보다 작은 오차를 가진 근사값

n/2^i

는 없다.^[1]

정확한 이진 근사값의 존재는 모든 이진 유리수의 집합이 실수선에서 조밀하다는 것을 의미한다. 더 나아가, 이진 유리수 집합은 균등 조밀(uniformly dense)한데, 이는 분모가

2^i

인 이진 유리수들이 실수선 위에서 균등하게 간격을 두고 분포한다는 의미이다.

3. 4. 위상수학적 성질

이진 유리수들은 실수선의 조밀 집합을 이룬다. 구체적으로, 임의의 실수

x\in\mathbb R

를 이진 유리수열

(\lfloor 2^nx\rfloor/2^n)_{n=0}^\infty

로 얼마든지 가깝게 근사할 수 있다.

모든 정수와 모든 반정수는 이진 유리수이다. 둘 다 2의 거듭제곱으로 나눈 정수라는 정의를 충족한다. 모든 정수는 1(2의 0승)로 나눈 정수이고, 모든 반정수는 2로 나눈 정수이다.

모든 실수는 이진 유리수에 의해 임의로 가깝게 근사될 수 있다. 특히 실수

x

에 대해,

\lfloor 2^i x \rfloor / 2^i

형태의 이진 유리수를 고려해 볼 수 있다. 여기서

i

는 모든 정수가 될 수 있고

\lfloor\dots\rfloor

는 인수를 정수로 내림하는 바닥 함수를 나타낸다. 이 숫자들은

1/2^i

오차 내에서

x

를 아래에서 근사하며,

i

를 임의로 크게 선택하여 오차를 임의로 작게 만들 수 있다. 실수의 프랙탈 부분 집합의 경우, 이 오차 한계는 최적 값의 상수 배수 내에 있다. 즉, 이러한 숫자들에 대해 상수 곱하기

1/2^i

보다 작은 오차를 가진 근사값

n/2^i

는 없다.^[1] 정확한 이진 근사값의 존재는 모든 이진 유리수의 집합이 실수선에서 조밀하다는 것을 의미한다. 더 나아가, 이 집합은 균등 조밀하며, 이는 분모가

2^i

인 이진 유리수가 실수선에서 균등하게 간격을 두고 분포한다는 뜻이다.

이진 유리수는 정확히 유한한 이진 전개를 갖는 숫자들이다. 그러나 이진 전개는 항상 고유하지는 않다. 0을 제외한 모든 이진 유리수는 유한 표현과 무한 표현(끝에 0이 반복되는 경우는 무시) 두 가지를 갖는다. 예를 들어, 3/4은 0.11₂ (유한 표현)과 0.10111...₂ (무한 표현) 두 가지로 나타낼 수 있다. 이진 유리수는 이진 전개가 유일하지 않은 유일한 종류의 실수이다.

4. 응용

이진 유리수는 수학의 여러 분야 및 실용적인 영역에서 다양하게 응용된다. 예를 들어, 초현실수 구성의 기초가 되며, 양의 이진 유리수를 균등 분배적으로 순열하는 이진 반 데르 코르푸트 수열 생성에 사용된다. 또한, 위상수학의 중요한 명제인 우리손의 보조정리 증명 과정에서도 활용된다. 이 외에도 측량, 컴퓨터 과학, 음악 등 여러 분야에서 이진 유리수의 개념과 속성이 중요하게 사용된다.

4. 1. 측량

많은 전통적인 무게 및 측정 시스템은 반복적인 반으로 나눈다는 아이디어를 기반으로 하며, 이는 단위의 분수량을 측정할 때 이진 유리수를 생성한다. 예를 들어, 인치는 십진법으로 세분화하는 대신 관례적으로 이진 유리수로 세분화된다. 갤런을 반 갤런, 쿼트, 파인트, 컵으로 나누는 관례적인 구분 역시 이진법에 기반한다.

고대 문명에서도 이진 유리수를 사용한 사례를 찾아볼 수 있다. 고대 이집트인들은 측량에 분모가 64 이하인 이진 분수를 사용하였다.^[45] 마찬가지로 인더스 문명의 무게 시스템은 대부분 반복적인 반으로 나눔을 기반으로 한다. 인류학자 헤더 M.-L. 밀러는 이러한 방식이 빔 밸런스를 사용하여 비교적 간단하게 연산할 수 있기 때문에 당시 많은 무게 시스템에서 이진법을 사용했을 것이라고 설명한다.

4. 2. 컴퓨터 과학

이진 유리수는 많은 컴퓨터가 직접 조작할 수 있는 분수 유형으로서 컴퓨터 과학의 핵심이다. 특히, 컴퓨터에서 사용되는 데이터 유형으로서, 부동 소수점 연산은 종종 정수에 2의 양수 또는 음수 거듭제곱을 곱한 것으로 정의된다. IEEE 부동 소수점 데이터 유형과 같이 부동 소수점 형식으로 정확하게 표현할 수 있는 숫자를 해당 표현 가능 숫자(representable number)라고 한다. 대부분의 부동 소수점 표현에서 표현 가능 숫자는 이진 유리수의 부분 집합이다. 이는 대부분의 경우 2의 거듭제곱을 암묵적으로 사용하는 고정 소수점 연산에도 적용된다. 이진 유리수를 사용한 계산의 단순성 때문에, 구간 산술을 사용한 정확한 실수 계산에도 사용되며, 계산 가능한 수의 일부 이론적 모델의 핵심이다.

고정된 시간 내에 임의 비트로부터 확률 변수를 생성하는 것은 변수가 유한한 수의 결과값을 가지며, 그 확률이 모두 이진 유리수인 경우에만 가능하다. 확률이 이진 유리수가 아닌 확률 변수의 경우, 확률을 이진 유리수로 근사하거나, 시간 자체가 임의적이고 무제한인 임의 생성 프로세스를 사용해야 한다.

4. 3. 음악

서양 악보의 박자표는 전통적으로 이진 유리수 형태, 즉 분모가 2의 거듭제곱인 분수로 표기하는 기보법이다. 예를 들어 2/2, 4/4, 6/8 박자 등이 사용된다. 박자표를 악보와 별도로 표기할 때는 일반적으로 숫자 상단의 가로줄이 생략된다.

박자표의 숫자 값은 분수로 해석되어, 마디의 길이를 온음표를 기준으로 한 분수로 나타낸다. 분자는 마디당 박자 수를 나타내고, 분모는 각 박자의 기준이 되는 음표(예: 4는 4분음표)를 의미한다.

박자표는 일반적으로 이진법을 따르지만, 무율 박자표도 사용되어 왔다. 또한 20세기경 작곡가들에 의해 분모가 2의 거듭제곱이 아닌 비이진법적 박자표가 도입되기도 했다. 예를 들어 이고르 스트라빈스키의 ''봄의 제전''에서는 3/16, 2/16, 3/16, 2/8 등의 박자표 변화를 보여준다.

4. 4. 수학교육

장 피아제의 연구에 기반한 아동 발달 이론에 따르면, 분수 개념은 반으로 나누거나 반복적으로 반으로 나누는 과정을 통해 형성되는 분수, 즉 이진 유리수가 가장 먼저 발달하는 형태 중 하나이다. 이러한 분수 개념 발달 단계를 "알고리즘적 반으로 나누기"라고 부른다.

이진 유리수의 덧셈과 뺄셈은 정수를 두 배로 하거나 반으로 나누고, 더하고 빼는 기본적인 연산만으로 수행할 수 있다. 반면, 일반적인 분수의 덧셈과 뺄셈은 공통 분모를 찾기 위해 정수의 곱셈과 인수분해와 같은 더 복잡한 과정을 포함한다. 이러한 이유로 이진 유리수는 학생들이 일반적인 분수보다 계산하기 더 쉬울 수 있으며, 초기 분수 학습 단계에서 계산 능력 향상에 긍정적인 영향을 줄 수 있다.

4. 5. 수학의 여러 분야

초현실수는 유한 이진 분수를 만든 후 무한대, 무한소 그리고 다른 수들을 만들어 내는 구성 규칙을 반복하여 만들어진다.

이진 반 데르 코르푸트 수열은 양의 이진 유리수의 균등 분배적인 순열이다.

이진 유리수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해 닫혀있지만 나눗셈에 대해서는 닫혀있지 않기 때문에 환이지만 체는 아니다. 이진 유리수의 환은 Z[1/2]로 표기될 수 있으며, 이는 정수 계수를 갖는 다항식을 인자 1/2에서 평가하여 생성될 수 있음을 의미한다. 환으로서, 이진 유리수는 유리수의 부분환이며, 정수의 상위환이다. 대수적으로, 이 환은 2의 거듭제곱 집합에 대한 정수의 국소화이다.

1을 법으로 한 이진 유리수의 덧셈(이진 유리수를 정수로 나눈 몫군 Z[1/2]/Z)은 프뤼퍼 2-군을 형성한다.

이진 유리수는 실수의 조밀한 부분 집합이므로 수치 순서로 조밀 순서를 형성한다. 무제한의 가산 조밀 선형 순서 두 개와 마찬가지로, 칸토어의 동형 정리에 따라 이진 유리수는 유리수와 순서 동형이다. 이 경우, 민코프스키 물음표 함수는 모든 유리수의 집합과 이진 유리수의 집합 사이의 순서를 보존하는 전단사를 제공한다.

이진 유리수는 우리손의 보조정리를 비롯한 명제들의 증명에서 응용된다.

이진 유리수는 실수의 부분환을 형성할 뿐만 아니라, 이진 소수점 오른쪽은 유한하지만 왼쪽으로 무한히 확장될 수 있는 이진 표현으로부터 정의될 수 있는 수 체계인 2진수의 부분환을 형성한다. 2진수는 이진 유리수뿐만 아니라 모든 유리수를 포함한다. 이진 유리수를 2진수에 포함시키는 것은 이진 유리수의 산술을 변경하지 않지만, 실수의 부분환으로서 갖는 것과는 다른 위상 구조를 부여한다. 실수에서와 마찬가지로, 이진 유리수는 2진수의 조밀한 부분 집합을 형성하며, 유한한 이진 확장을 갖는 2진수의 집합이다. 모든 2진수는 2진 정수와 이진 유리수의 합으로 분해될 수 있다. 이러한 의미에서, 이진 유리수는 2진수의 소수 부분을 나타낼 수 있지만, 이 분해는 유일하지 않다.

이진 유리수는 도비시 웨이블릿의 분석에서 핵심적인 역할을 하며, 이 웨이블릿의 스케일링 함수가 비매끄러운 점들의 집합으로 작용한다. 마찬가지로, 이진 유리수는 에농 맵의 매개변수 공간에서 안정점과 불안정점 사이의 경계에서의 불연속성을 매개변수화한다.

구간별 선형 함수 동형사상의 집합은 단위 구간에서 자체적으로 2의 거듭제곱 기울기를 가지고 이진 유리수 분기점을 가지며, 함수 합성 연산 하에서 그룹을 형성한다. 이는 톰슨 그룹이며, 무한하지만 군 표현 단순군의 최초의 알려진 예이다. 동일한 그룹은 뿌리 이진 트리에 대한 작용 또는 단위 구간 내의 이진 유리수에 대한 작용으로도 표현될 수 있다.

참조

_[1] 문서 More precisely, for small positive values of $\varepsilon$ , the set of real numbers that have no approximation $n/2^i$ with error smaller than a constant times $\varepsilon/2^i$ forms a [[Cantor set]] whose [[Hausdorff dimension]], as a function of $\varepsilon$ , goes to one as $\varepsilon$ approaches zero. The illustration shows this set for $\varepsilon=\tfrac16$ .
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