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조절 분포

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목차

1. 개요

조절 분포는 슈바르츠 공간의 연속 쌍대 공간이며, 유클리드 공간 위의 열린 집합에 대해 정의된다. 조절 분포 공간에 약한-* 위상을 부여하면 국소 볼록 공간을 이루며, 푸리에 변환을 조절 분포 전체로 확장할 수 있다. 모든 슈바르츠 함수는 조절 분포이며, 조절 분포는 분포가 된다. 또한, Lp 공간은 조절 분포 공간의 부분 공간을 이루며, 국소 적분 가능 함수가 특정 조건을 만족하면 조절 분포가 된다. 조절 분포는 로랑 슈바르츠에 의해 도입되었다.

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2. 정의

슈바르츠 공간의 연속 쌍대 공간 ${\mathcal {S}}'(U)$을 '''조절 분포 공간'''(調節分布空間, space of tempered distributions영어)이라고 하고, 그 원소를 '''조절 분포'''(調節分布, tempered distribution영어)라고 한다.

2. 1. 슈바르츠 공간

유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 상의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 슈바르츠 공간 ${\displaystyle {\mathcal {S}}(U)}$은 자연스럽게 프레셰 공간의 구조를 갖는다.

2. 2. 푸리에 변환

(복소수 값) 슈바르츠 공간 위의 푸리에 변환

:\mathcal Ff(p)=\int_{\mathbb R^n}\exp(2\pi ixp)f(x)\,d^nx

은 전단사 선형 변환이다. 따라서, 이를 조절 분포 전체에 다음과 같이 확장할 수 있다.

:\mathcal FF\colon g\mapsto F(\mathcal Fg)\qquad\forall F\in\mathcal S'(\mathbb R^n),\;g\in\mathcal S(\mathbb R^n)

(만약 푸리에 변환을 유니터리 변환이 아니게 정의한다면, 위 정의에 1/(2\pi)^n과 같은 추가 계수가 붙는다.)

3. 성질

조절 분포 공간 ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$에 약한-* 위상을 부여하면, 국소 볼록 공간을 이룬다.

3. 1. 필요충분조건

모든 시험 함수는 슈바르츠 함수이다. 따라서 모든 조절 분포는 분포이다.

유클리드 공간 위의 분포 F\in\mathcal D'(\mathbb R^n)에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

  • F\in\mathcal S'(\mathbb R^n)이다.
  • F=\{\partial^\alpha \left((1+|x|^2)^kf\right)가 되는 다중지표 \alpha\in\mathbb N^n, 자연수 k\in\mathbb N, 및 유계 연속 함수 f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R가 존재한다. (미분은 분포로서의 미분을 뜻한다.)

3. 2. 함수 공간의 매장

임의의 ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$에 대하여, Lp 공간 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$는 ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$의 부분 공간을 이룬다. 구체적으로, (조절 분포의 약한-* 위상에 대하여) 연속 단사 선형 변환

${\displaystyle \iota \colon L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

이 존재한다.

또한, 임의의 국소 적분 가능 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f(x)/(1+|x|)^{c}}$가 유계 함수가 되는 실수 ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$가 존재한다면, ${\displaystyle f}$는 조절 분포를 이룬다.

4. 역사

로랑 슈바르츠가 도입하였다. 슈바르츠는 원래 이들을 "구형 분포"(distribution sphérique프랑스어)라고 불렀고,[1] 이 때문에 기호 "S"를 사용하였다.


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