연속 쌍대 공간

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1. 개요

연속 쌍대 공간은 위상환 K 위의 위상 왼쪽 가군 V에 대한 연속 쌍대 가군 V*가 위상체일 경우를 의미한다. V의 연속 쌍대 공간 위에는 강한 위상과 약한-* 위상, 두 가지 위상이 사용되며, 강한 위상은 유계 집합에 대한 균등 수렴 위상이다. 만약 V가 W의 연속 쌍대 공간과 동형이라면 W를 V의 원쌍대 공간이라고 한다. 연속 쌍대 공간은 대수적 쌍대 공간의 부분 가군이며, 분해 가능성과 제한 사상, 이중 연속 쌍대 공간과 같은 성질을 갖는다. 주요 정리로는 바나흐-앨러오글루 정리, 골드스틴 정리 등이 있으며, 르베그 공간, 힐베르트 공간, 폰 노이만 대수 등 다양한 공간에서 예시를 찾아볼 수 있다. 리스, 프레셰, 바나흐 등에 의해 연구되었으며, 국소 볼록 공간의 쌍대성 이론은 쾨테, 디외도네, 매키 등에 의해 제창되었다.

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연속 쌍대 공간
일반 정보
유형	함수해석학의 개념
분야	수학, 특히 함수해석학
정의	주어진 위상 벡터 공간에서 연속적인 선형 함수들의 집합
성질
대수적 이중 공간과의 관계	항상 대수적 이중 공간의 부분집합
이중 공간과의 관계	노름 공간의 경우, 쌍대 공간과 동일
반사성과의 관계	반사 공간의 이중 공간은 원래 공간과 등거리 동형
표현
기호	E' (E 프라임), E* (E 별표)
관련 개념
관련 개념	대수적 쌍대 공간, 쌍대 공간, 반사 공간

2. 정의

위상환 $K$ 위의 위상 왼쪽 가군 $_KV$ 가 주어졌을 때, $V$ 의 '''연속 쌍대 가군'''(連續雙對加群, continuous dual module^영어) $V^*$ 는 $V$ 에서 $K$ 로 가는 연속 선형 범함수들의 집합이다.^[7]^[8] 이는 자연스럽게 $K$ -위상 오른쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로 위상 오른쪽 가군의 연속 쌍대 가군을 정의할 수 있으며, 이는 위상 왼쪽 가군을 이룬다.

만약 $K$ 가 위상체라면, 그 위의 위상 벡터 공간의 연속 쌍대 가군은 '''연속 쌍대 공간'''이라고 한다.

연속 쌍대 공간 위에는 흔히 '''강한 위상'''과 '''약한-* 위상'''이라는 두 위상이 사용된다.

강한 위상에서, 연속 쌍대 공간의 모든 원소는 (유계 집합에 제한되었을 때) 균등 연속 함수를 이룬다.
약한-* 위상에서, 연속 쌍대 공간의 모든 원소는 연속 함수를 이룬다.

보통, 특별한 부가 설명이 없다면 강한 위상을 의미한다.

위상 선형 공간 ''V''의 '''연속 쌍대 공간'''(또는 위상 선형 공간론 의미에서의 쌍대 공간) ''V''′은, ''V''에서 계수체 '''F'''로의 연속 선형 범함수 φ: ''V'' → '''F''' 전체로 구성된 벡터 공간으로 정의된다.

''V''′ 위에 위상을 도입하는 표준적인 방법은 다음과 같다. 유계 집합으로 이루어진 임의의 클래스

\mathcal{A}

는 이에 속하는 집합상의 균등 수렴 위상을 ''V'' 위에 정의한다. 같은 위상은 ''A''가

\mathcal{A}

를 넘을 때, ''V'' 상의 연속 선형 범함수 φ에 대한

:

\|\varphi\|_A = \sup_{x\in A} |\varphi(x)|

형태의 반노름들로부터 생성되는 위상으로도 얻어진다. 이는 범함수 φ_''i''들로 이루어진 넷이 ''V'' 내의 범함수 φ에 수렴하는 필요 충분 조건이, 클래스

\mathcal{A}

에 속하는 임의의 ''A''에 대해

:

\|\varphi_i-\varphi\|_A = \sup_{x\in A} |\varphi_i(x)-\varphi(x)| \to 0 \quad (\text{as. }i\to\infty)

를 만족하는 것임을 의미한다.

2. 1. 강한 위상

위상환

K

위의 위상 왼쪽 가군

_KV

의 연속 쌍대 가군

V^*

는 쌍대 가군

V^\vee=\hom(_KV,_KK)

가운데, 연속 함수

f\colon V\to K

를 이루는 것들의 부분 집합이다.^[7]^[8]

연속 쌍대 공간 위에는 강한 위상과 약한-* 위상 두 가지가 주로 사용된다.

강한 위상: 연속 쌍대 공간의 모든 원소가 유계 집합에 제한되었을 때 균등 연속 함수를 이룬다.
약한-* 위상: 연속 쌍대 공간의 모든 원소가 연속 함수를 이룬다.

특별한 언급이 없으면 보통 강한 위상을 의미한다.

V

의 유계 집합은 임의의

0\in V

의 근방

N\ni 0

에 대하여,

B\subseteq\alpha N

이 되는

\alpha\in K

가 존재하는 부분 집합

B\subseteq V

이다.

연속 쌍대 가군

V^*

위의 강한 위상은 유계 집합에 대한 균등 수렴 위상이다. 즉, 유계 집합

B\subseteq V

에 제한하였을 때 그 원소들

\{\phi\restriction B\colon \phi\in V^*\}

이 모두 균등 연속 함수가 되게 하는 가장 엉성한 위상이다.

만약

K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}

이며

V

가 노름 공간이라면,

V^*

위의 강한 위상은 쌍대 노름으로 정의되는 거리 위상과 같다.

V'

상의 강위상은

V

의 유계 집합상의 균등 수렴 위상이다.

2. 2. 약한-* 위상

연속 쌍대 공간의 모든 원소가 연속 함수를 이루도록 하는 위상으로, 강한 위상보다 더 섬세한 위상이다. 이중 연속 쌍대 공간으로의 자연스러운 포함 사상을 통해 정의된다.^[7]^[8]

위상환

K

위의 위상 왼쪽 가군

_KV

가 주어졌을 때, 이중 연속 쌍대 가군으로의 자연스러운 포함 사상

:

\iota\colon V\to V^{**}

:

\iota\colon v\mapsto(\phi\mapsto\phi(v))

을 고려할 수 있다. 그렇다면, 연속 쌍대 공간

V^*

위의 '''약한-* 위상'''은 범함수족

\{\iota(v)\colon v\in V\}

로 생성되는 시작 위상이다. 이는 구체적으로 모든 열린집합

U\subset K

와 모든

v\in V

에 대하여

:

v^{-1}(U)=\{\phi\in V^\vee\colon\phi(v)\in U\}\subset V^\vee

꼴의 집합들을 부분 기저로 갖는 위상이다.

약한-* 위상은 강한 위상보다 더 섬세한 위상이다.

2. 3. 쌍대 노름

\mathbb K

가 실수체(

\mathbb R

) 또는 복소수체(

\mathbb C

)이고,

(V,\|\|_V)

가

\mathbb K

-노름 공간이라고 할 때,

V^*

위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.

:

\|\phi\|_{V^*}=\sup_{\scriptstyle v\in V\atop\scriptstyle\|v\|_V\le1}|\phi(v)|

이를 '''쌍대 노름'''(雙對norm, dual norm^영어)이라고 하며, 이는 작용소 노름의 특수한 경우이다.

이에 따라,

(V^*,\|\|_{V^*})

은 항상 바나흐 공간을 이룬다.

3. 성질

위상 선형 공간 ''V''의 '''연속 쌍대 공간''' ''V''′은 ''V''에서 계수체 '''F'''로의 모든 연속 선형 범함수 φ: ''V'' → '''F'''로 구성된 벡터 공간이다.

''V''′ 위에 위상을 도입하는 표준적인 방법으로, 유계 집합으로 이루어진 임의의 클래스 $\mathcal{A}$ 에 대해 해당 집합 상의 균등 수렴 위상을 정의하는 것이 있다. 이는 ''V'' 상의 연속 선형 범함수 φ에 대한 다음 형태의 반노름들로부터 생성되는 위상과 같다.

: $\|\varphi\|_A = \sup_{x\in A} |\varphi(x)|$

여기서 중요한 세 가지 특수한 경우는 다음과 같다.

'''강위상''': ''V''의 유계 집합 상의 균등 수렴 위상. ''V''가 노름 선형 공간(예: 바나흐 공간이나 힐베르트 공간)이면 ''V''′ 상의 강위상은 $\|\varphi\| = \sup_{\|x\| \le 1 } |\varphi(x)|$ 라는 노름에 의해 정의된다.
'''스테레오타입 위상''': ''V''의 전유계 집합 상의 균등 수렴 위상.
'''약위상''': ''V''의 유한 집합 상의 균등 수렴 위상.

이 세 위상은 모두 위상 선형 공간에 반사성(재귀성)을 정의하는 데 사용된다.

위상선형 공간 사이의 연속 선형 사상 의 (연속적) 전치 는 다음과 같이 정의된다.

:

T'(\varphi) = \varphi \circ T, \quad (\varphi \in W')

''V''와 ''W''가 모두 노름 공간이라면, 전치 사상 의 노름은 의 노름과 같다. 한-바나흐 정리로부터 전치 사상의 여러 성질이 유도된다. 예를 들어, 유계 선형 사상 의 치역이 조밀할 필요충분조건은 전치 가 단사 사상이 되는 것이다.

바나흐 공간 사이의 콤팩트 선형 사상 에 대해, 그 전치 또한 콤팩트하다. 이는 아르첼라-아스콜리 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

''V''가 힐베르트 공간일 때, 에서 그 연속 쌍대 위로의 역전 동형 가 존재한다.

3. 1. 대수적 쌍대 공간과의 관계

위상환 위의 연속 쌍대 가군은 일반적으로 (대수적) 쌍대 가군의 부분 가군을 이룬다.

즉, 임의의 위상환

K

위의 위상 왼쪽 가군

_KV

에 대하여, 연속 쌍대 가군에서 (대수적) 쌍대 가군

V^\vee

으로 가는, 다음과 같은 표준적 단사

K

-선형 변환이 존재한다.

:

V^*\to V^\vee

그러나 위 사상은 일반적으로 전단사 함수가 아니다.

3. 2. 분해 가능성

실수체^한국어 또는 복소수체^한국어 K|K^영어에 대하여, K|K^영어-노름 공간

V

가 주어졌다고 하자. 만약

V^*

이 (쌍대 노름 위상에 대하여) 분해 가능 공간이라면,

V

역시 (노름 위상에 대하여) 분해 가능 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 르베그 공간

\ell^1(\mathbb K)

는 분해 가능한

\mathbb K

-바나흐 공간이지만, 그 연속 쌍대 공간

\ell^\infty(\mathbb K)

는 분해 가능 공간이 아닌

\mathbb K

-바나흐 공간이다.

노름 공간 ''V''의 쌍대 공간이 가분이면 공간 ''V''도 가분이지만, 그 역은 항상 성립하지 않는다. 예를 들어, ''ℓ''¹는 가분이지만, 그 쌍대 ''ℓ''^∞는 가분 공간이 아니다.

3. 3. 제한 사상

\mathbb K

가 실수체(

\mathbb R

) 또는 복소수체(

\mathbb C

)이고,

\mathbb K

-위상 벡터 공간

V

와 그 부분 벡터 공간

W\subseteq V

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 자연스러운 제한 사상이 존재한다.

:

(\restriction W)\colon V^*\mapsto W^*

:

(\restriction W)\colon \phi\mapsto\phi\restriction W

이는 선형 변환이다.

만약

V

가 추가로

\mathbb K

-국소 볼록 공간이라면,

(\restriction W)

는 전사 함수이다.^[8]

3. 4. 이중 연속 쌍대 공간

임의의 위상환

K

위의 위상 왼쪽 가군

_KV

에 대하여, 다음과 같은 자연스러운 연속 선형 변환이 존재한다.^[7]^[8]

:

V\to V^{**}

:

v\mapsto (\phi\mapsto\phi(v))

만약

V

가 하우스도르프 국소 볼록 공간이라면, 이 사상은 단사 함수이다.

만약

V

가 노름 공간이라면, 이 사상은 한-바나흐 정리에 따라서 등거리 변환이다 (그러나 전단사 함수가 아닐 수 있다). 만약 이 사상이 전단사 함수라면,

V

를 '''반사 바나흐 공간'''(reflexive Banach space^영어)이라고 한다. (이러한 노름 공간은 물론 항상 바나흐 공간이어야 한다.)

노름 공간 ''V''에서 그 이중 쌍대 공간으로의 자연스러운 연속 선형 사상 Ψ는 다음과 같이 정의된다.

:

\Psi(x)(\varphi) = \varphi(x), \quad (x \in V, \, \varphi \in V')

한-바나흐 정리의 결과로 이 사상은 사실 등거리가 된다. 이 사상 Ψ가 전단사가 되는 노름 공간은 회귀적이라고 한다.

''V''가 다른 위상 선형 공간일 때도 같은 식으로, 임의의

x \in V

에 대해 Ψ(''x'')를 정의할 수 있지만 몇 가지 문제가 발생한다.

''V''가 국소 볼록이 아닐 때, 그 연속 쌍대 공간이 {0}이 되어 사상 Ψ가 자명해지는 경우가 발생할 수 있다.
''V''가 하우스도르프이고 국소 볼록이라면 사상 Ψ는 ''V''에서 그 연속 쌍대 공간의 대수적 쌍대 공간 $V'^{*}$ 로의 단사 사상이 되는데, 이것 또한 한-바나흐 정리의 결과로 얻어진다.^[6]

국소 볼록인 경우에도, 연속 쌍대 공간

V'

위에 자연스러운 벡터 공간의 위상이 여러 개 존재할 수 있으며, 따라서 연속 이중 쌍대 공간

V''

을 집합으로 유일하게 정의할 수 없다.

V'

의 위상에 대한 합리적인 최소한의 요구 사항으로, 평가 사상

:

\varphi \in V' \mapsto \varphi(x), \quad (x \in V)

가 연속이 되는

V'

상의 위상을 선택해야 한다. 더욱이,

V''

상의 위상을 선택하여 Ψ가 연속이 되었다 하더라도, 그 연속성은 위상의 선택에 의존한다. 그 결과, 이 틀 내에서의 회귀성은 노름 공간의 경우보다 더 중요하다.

3. 5. 바나흐-앨러오글루 정리

'''바나흐-앨러오글루 정리'''(-定理, Banach–Alaoglu theorem^영어)에 따르면, 노름 공간의 연속 쌍대 공간의 닫힌 공은 약한-* 위상 아래 콤팩트 집합이다.^[9]

이는 노름 공간

V

의 쌍대 노름 공간의 닫힌 공이 약한-* 위상에서 콤팩트 공간을 이룬다는 것을 의미한다. 이 특수한 경우를 '''바나흐-앨러오글루 정리'''라고 한다.^[9]

바나흐-앨러오글루 정리의 증명은 티호노프 정리, 즉 선택 공리의 한 형태를 필요로 한다.^[9]

3. 6. 골드스틴 정리

노름 공간

(V,\|\|_V)

가 주어졌을 때, 그 이중 연속 쌍대 공간으로 가는 표준적 사상

:

\iota\colon V\to V^{**}

을 생각할 수 있다. 이는 단사 함수이자 등거리 변환이므로,

V

의 단위 닫힌 공

:

\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_V(0,1))

의 상은

V^{**}

의 단위 닫힌 공

:

\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_{V^{**}}(0,1))

의 부분 집합이다. 이때,

V^{

}에 약한-* 위상을 부여했을 때, $\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_V(0,1))$ 는 $\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_{V^{$ }}(0,1))의 조밀 집합이다. 이를 '''골드스틴 정리'''(Goldstine theorem^영어)라고 한다.

그러나 골드스틴 정리는 노름 위상에서는 성립하지 않는다. 예를 들어,

\mathbb K

계수 영 수렴 수열 공간

\operatorname c_0(\mathbb K)

의 연속 쌍대 공간은

\mathbb K

-계수 1-르베그 공간

\ell^1(\mathbb K)

이며,

\ell^1(\mathbb K)

의 연속 쌍대 공간은

\mathbb K

계수 ∞-르베그 공간

\ell^\infty(\mathbb K)

이다.

\operatorname\ell^0(\mathbb K)

의 닫힌 단위 공

\operatorname{ball}_{\operatorname\ell^\infty(\mathbb K)}(0,1)

은 집합으로서 곱집합

\{\alpha\in\mathbb K\colon|\alpha|\le1\}^{\mathbb N}

(즉, 모든 성분의 절댓값이 1 이하인

\mathbb K

-수열)이며,

\operatorname c_0(\mathbb K)

의 닫힌 단위 공

\operatorname{ball}_{\operatorname c_0(\mathbb K)}(0,1)

은 그 속에서 0으로 수렴하는

\mathbb K

-수열들로 구성된 부분 집합이다. 이 경우, 0이 아닌 다른 값

r

로 수렴하는 수열

:

\alpha=(\alpha_i)_{i\in\mathbb N}\in\operatorname{ball}_{\operatorname\ell^0(\mathbb K)}(0,1)

에 대하여, 반지름

r

의 열린 공

:

\operatorname{ball}_{\ell^0(\mathbb C)}(\alpha,r)

는

\operatorname{ball}_{\operatorname c_0(\mathbb K)}(0,1)

와 겹치지 않는다.

4. 예

수열 공간: 1 < *p* < ∞인 실수 *p*에 대해 ℓ^*p*(C)는 p-노름을 갖는 바나흐 공간이다. ℓ^*p*(C)의 연속 쌍대 공간은 1/*p* + 1/*q* = 1를 만족하는 *q*에 대해 ℓ^*q*(C)와 자연스럽게 동일시된다. ℓ¹(C)의 연속 쌍대 공간은 유계 수열 공간 ℓ^∞(C)와 동일시된다.
수렴 수열 공간: 수렴 수열 공간 c(K)와 영 수렴 수열 공간 c₀(K)의 연속 쌍대 공간은 모두 ℓ¹(K)이다. 하지만 c(K)와 c₀(K)는 서로 동형이 아니다.
내적 공간: 내적 공간의 연속 쌍대 공간은 힐베르트 공간이며, 원래 내적 공간은 그 연속 쌍대 공간의 조밀 집합을 이룬다. 특히, 힐베르트 공간은 스스로의 연속 쌍대 공간과 (반)동형이다 ('''리스 표현 정리''').
콤팩트 공간 위의 함수: 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 실수 유한 보렐 측도들의 집합은 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리에 의해 실수 값 연속 함수 공간의 연속 쌍대 공간과 자연 동형이다.^[11]
국소 콤팩트 공간 위의 함수: 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서 무한에서 0이 되는 실수 값 연속 함수 공간의 연속 쌍대 공간은 국소 유한 베르 측도의 집합과 자연 동형이다.
대각합류 작용소: 복소수 힐베르트 공간 위의 대각합류 작용소들의 복소수 바나흐 공간의 연속 쌍대 공간은 유계 작용소들의 공간과 동형이다.
폰 노이만 대수: C* 대수가 폰 노이만 대수일 필요충분조건은 (복소수 바나흐 공간으로서) 원쌍대 공간을 갖는 것이다.

4. 1. 유클리드 공간

K^영어가 실수체 또는 복소수체이고, V^영어가 유한 차원 위상 벡터 공간인 경우, V^영어의 연속 쌍대 공간은 대수적 쌍대 공간과 같다. 그러나 무한 차원 힐베르트 공간의 경우, 연속 쌍대 공간은 대수적 쌍대 공간보다 훨씬 작다.^[1]

4. 2. 수열 공간

1 < *p* < ∞인 실수 *p*에 대해 ℓ^*p*(C)는 p-노름

:

\|\mathbf{a}\|_p = \left ( \sum_{n=0}^\infty |a_n|^p \right)^{1/p}

이 유한한 수열 a = (*a*_*n*) 전체로 이루어진 바나흐 공간이다. 1/^영어*p* + 1/^영어*q* = 1을 만족하는 *q*에 대해 ℓ^*p*(C)의 연속 쌍대 공간은 ℓ^*q*(C)와 자연스럽게 동일시된다. 각 원소 φ ∈ (ℓ^*p*)′에 대응하는 ℓ^*q*(C)의 원소는 수열 (*φ*('''e'''_*n*))으로 주어지는데, 여기서 '''e'''_*n*은 *n*번째 항이 1이고 그 외는 모두 0인 표준 기저 벡터이다. 수열 '''a''' = (*a_n*) ∈ ℓ^*q*에 대응하는 ℓ^*p* 상의 연속 선형 범함수 φ는 임의의 '''b''' = (*b_n*) ∈ ℓ^*p*에 대해 φ('''b''') = ∑_*n* *a_nb_n*로 주어진다(횔더 부등식 참조).

ℓ¹(C)의 연속 쌍대 공간은 유계 수열 전체로 이루어진 공간 ℓ^∞(C)와 자연스럽게 동일시된다.

4. 3. 수렴 수열 공간

수렴 수열 공간 c(K)와 영 수렴 수열 공간 c₀(K)의 연속 쌍대 공간은 모두 ℓ¹(K)이다. 그러나 c(K)와 c₀(K)는 서로 동형이 아니다.

4. 4. 쌍대 내적 공간

내적 공간의 연속 쌍대 공간은 힐베르트 공간이며, 원래 내적 공간은 그 연속 쌍대 공간의 조밀 집합을 이룬다. 특히, 힐베르트 공간은 스스로의 연속 쌍대 공간과 (반)동형이다 ('''리스 표현 정리''' Riesz representation theorem^영어).

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

$\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$
$\mathbb K$ -내적 공간 $(V,\langle-,-\rangle_V)$

그렇다면,

V

의 연속 쌍대 공간

V^*

은

\mathbb K

-노름 공간이다. 이 경우,

V^*

은 항상

\mathbb K

-바나흐 공간이다. 또한, 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다.

:

\iota\colon V\to V^*

:

\iota\colon v\mapsto\langle v,-\rangle

'''리스 표현 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.

$\mathbb R$ -선형 변환이며, 만약 $\mathbb K=\mathbb C$ 일 경우, 추가로 반선형 변환이다. 즉, $\forall\lambda\in\mathbb C\colon\iota(\lambda v)=\bar\lambda\iota(v)$ 이다.
단사 함수이다.
( $V^*$ 의 쌍대 노름에 대하여) 등거리 변환이다.
$\iota$ 의 치역은 ( $V^*$ 의 쌍대 노름에 대하여) $V^*$ 의 조밀 집합이다. 이에 따라, $V$ 의 내적을 $V^*$ 위에 연속적으로 연장할 수 있다.
: $\langle\lim_iu_i,\lim_jv_j\rangle_{V^*}=\lim_{i,j}\langle u_i,v_i\rangle$
이에 따라 $V^*$ 은 $\mathbb K$ -힐베르트 공간을 이루며, $V$ 는 그 조밀 집합이다.
특히, $V$ 가 이미 $\mathbb K$ -힐베르트 공간일 때, $\iota$ 는 전단사 함수이며, $\iota$ 는 스스로의 연속 쌍대 공간과의 반동형 사상(anti-isomorphism^영어)을 이룬다. (물론, 만약 $K=\mathbb R$ 라면 이는 동형 사상이다.)

특히,

\mathbb K

-힐베르트 공간은 항상

\mathbb K

-반사 바나흐 공간이다.

리스 표현 정리에 따르면, 힐베르트 공간의 연속 쌍대 공간은 다시 힐베르트 공간을 이루며, 원래의 공간과 반동형이 된다. 이 사실은 양자역학의 수학적 정식화에서 물리학자가 사용하는 브라-케트 표기법의 근거를 제공한다.

4. 5. 연속 쌍대 공간이 자명한 위상 벡터 공간

0 < p < 1일 때, 구간 위의 p-르베그 공간 L^p([0,1];R)^영어의 연속 쌍대 공간은 자명하다.^[10]

4. 6. 콤팩트 공간 위의 함수

콤팩트 하우스도르프 공간

X

위의 부호를 갖는 실수 유한 보렐 측도들의 집합

M(X)

는

X

위의 베르 시그마 대수

\operatorname{Baire}(X)

위의 두 측도

(\mu_1, \mu_2)

의 차들의 동치류 집합이다.

M(X)

는 측도의 전변동을 노름으로 갖는 실수 바나흐 공간이다.

'''리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리'''(Riesz-Марков-[角谷]表現定理, Riesz–Markov–Kakutani representation theorem^영어)에 따르면,

M(X)

는

X

위의 실수 값 연속 함수 공간의 연속 쌍대 공간과 자연 동형이다.^[11] 즉,

:

\int_X\colon \mu\mapsto\left(f\mapsto\int_Xf\;\mathrm{d}\mu\right)

와 같이 주어지는 선형 범함수

\int_X \mu

는

\mathcal C(X,\mathbb R)^*

의 원소이며,

M(X)

의 모든 원소는 이와 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

4. 7. 국소 콤팩트 공간 위의 함수

X

가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자.

\mathcal C_0(X,\mathbb R)

는 무한에서 0이 되는 실수 값 연속 함수

X\to\mathbb R

의 집합이며, 실수 바나흐 공간을 이룬다.

M(X)

는

X

위의 국소 유한 베르 측도의 집합(즉, 모든 콤팩트 집합이 유한 측도를 갖는 측도)이며, 전변동을 노름으로 삼으면 바나흐 공간을 이룬다.

다음과 같은 자연 동형이 존재한다.

:

\int\colon M\Rightarrow (-)^*\circ\mathcal C_0(-;\mathbb R)

:

\int_X\colon M(X)\to\mathcal C_0(M;\mathbb R)\qquad(X\in\operatorname{lcHaus})

:

\int_X\colon\mu\mapsto\int_Xf\;\mathrm d\mu

이는 다음과 같은 가환 그림으로 나타낼 수 있다.

:

\begin{matrix}&&\operatorname{Ban}_{\mathbb R}^{\operatorname{op}}\\&^{\mathcal C_0(-;\mathbb R)}\nearrow&{\color{White}\scriptstyle\int}\Uparrow{\scriptstyle\int}&\searrow^{(-)^*}\\&\operatorname{lcHaus}&\xrightarrow[M(-)]{}&\operatorname{Ban}_{\mathbb R}\end{matrix}

여기서

$\operatorname{lcHaus}$ 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주이다.
$\operatorname{Ban}_{\mathbb R}$ 는 실수 바나흐 공간과 유계 작용소의 범주이다.

임의의 국소 콤팩트 하우스도르프 공간

X

에 대하여,

\mathcal C^0_0(X;\mathbb R)

는 무한대에서 0이 되는 연속 함수의 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수

\epsilon>0

에 대하여,

\textstyle\sup_{x\in X\setminus K}\|f(x)\|<\epsilon

인 콤팩트 집합

K\subseteq X

가 존재한다. 이 공간은 균등 노름을 부여하면

\mathcal C^0_{\text{compact}}(X;\mathbb R)

의 완비화가 된다.

다음과 같은 실수 위상 벡터 공간들의 동형이 존재한다.

:

\mathcal C^0_{\text{compact}}(X;\mathbb R)^*\cong \mathcal C^0_0(X;\mathbb R)\cong M(X;\mathbb R)

4. 8. 대각합류 작용소

복소수 힐베르트 공간

H

위의 모든

H\to H

유계 작용소들의 폰 노이만 대수

\operatorname B(H)

및 그 부분 집합인 대각합류 작용소들의 복소수 바나흐 공간

\mathfrak S_1(H)\subseteq\operatorname B(H)

을 정의할 수 있다. 이 경우,

\mathfrak S_1(H)

의 연속 쌍대 공간은

\operatorname B(H)

와 동형이다. 구체적으로, 임의의

A\in\mathfrak S_1(H)

및

B\in\operatorname B(H)

에 대하여,

:

\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)

이다. (다시 말해, 대각합류 작용소와 유계 작용소의 합성은 항상 대각합류 작용소이다.)

특히, 이에 따라

\mathfrak S_1(H)^*\cong\operatorname B(H)

위에 약한-* 위상을 정의할 수 있다. 이를 '''초약 위상'''(ultraweak topology^영어)이라고 한다.

4. 9. 폰 노이만 대수

C* 대수

A

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$A$ 는 (복소수 바나흐 공간으로서) 원쌍대 공간을 갖는다.
$A$ 는 폰 노이만 대수이다.

이 경우,

A

의 원쌍대 공간

A_*

은 동형 사상 아래 유일하다.

구체적으로, 어떤 복소수 힐베르트 공간

H

에 대하여

A\subseteq\operatorname B(H)

이라고 하자. 그렇다면,

A

의 원쌍대 공간

A_*

는 복소수 선형 변환

\phi\colon A\to\mathbb C

가운데,

A

에 초약 위상을 부여했을 때 연속 함수가 되는 것들로 구성된 집합이다.

5. 역사

1907년에 리스 프리제시^[12]와 모리스 르네 프레셰^[13]가 각각 독자적으로 힐베르트 공간의 리스 표현 정리를 증명하였다.

1909년에 리스 프리제시는 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리를 실수 폐구간의 경우에 대하여 증명하였다.^[14]^[15] 이후 안드레이 마르코프^[16]와 가쿠타니 시즈오^[17]가 이를 일반화하였다.

스테판 바나흐가 1932년에 바나흐-앨러오글루 정리의 특수한 경우를 증명하였고,^[18] 1940년에 리오니더스 앨러오글루가 이를 임의의 노름 공간에 대하여 일반화하였다.^[19] 니콜라 부르바키는 같은 해에 이를 임의의 위상 벡터 공간에 대하여 일반화하였다.

국소 볼록 공간의 쌍대성 이론은 고트프리트 쾨테(Gottfried Köthe) · 장 디외도네 · 조지 매키(George Mackey) 등이 1930년대에 제창하였다. 이후 로랑 슈와르츠와 알렉산더 그로텐디크 등이 그 이론에 공헌하였고, 니콜라 부르바키가 1950년대에 그 이론을 집대성하였다.^[20]^[21]

참조

_[1] harvtxt
_[2] harvtxt
_[3] harvtxt
_[4] harvtxt
_[5] harvtxt
_[6] 문서 V 가 국소凸이지만 하우스도르프가 아닐 때, Ψ 의 핵 (대수학)|핵]]은 {0} 을 포함하는 최소의 닫힌 부분공간이다.
_[7] 서적 Topological vector spaces Springer 1999
_[8] 서적 Functional analysis Academic Press 1980
_[9] 저널 The Banach–Alaoglu theorem is equivalent to the Tychonoff theorem for compact Hausdorff spaces 2009
_[10] 저널 The spaces L^p with 0
_[11] 저널 The Riesz representation theorem revisited 1983-04
_[12] 저널 Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables http://www.cmap.poly[...] 2017-04-10
_[13] 저널 Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires 1907
_[14] 저널 Sur les opérations fonctionnelles linéaires http://nonagon.org/E[...] 2017-04-10
_[15] 저널 The shaping of the Riesz representation theorem: a chapter in the history of analysis 1984
_[16] 저널 On mean values and exterior densities http://mi.mathnet.ru[...]
_[17] 저널 Concrete representation of abstract (M)-spaces (a characterization of the space of continuous functions) 1941-10
_[18] 저널 Théorie des opérations linéaires http://pldml.icm.edu[...] Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk 2017-04-10
_[19] 저널 Weak topologies of normed linear spaces 1940-01
_[20] 서적 Espaces vectoriels topologiques. Chapitres I et II Hermann 1953
_[21] 서적 Espaces vectoriels topologiques. Chapitres III, IV et V Hermann 1955

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