조화수열

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1. 개요

조화수열은 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열이다. 조화수열의 일반항은 첫째항과 상수를 사용하여 나타낼 수 있으며, 각 항은 인접한 두 항의 조화 평균이 된다. 조화수열의 극한은 0이며, 기하학에서는 사영 조화 공액점, 삼각형의 수선과 변의 관계에서 활용된다. 또한, 블록 쌓기 문제, 특히 피사의 사탑에서 블록을 쌓아 최대 측면 거리를 확보하는 데 사용된다.

조화수열

정의

정의	수열의 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열.

특징

일반항	등차수열의 역수로 표현됨.
조화평균	조화수열에서 각 항은 이웃하는 두 항의 조화평균임.
예시	"1, , "는 조화수열의 예시임.
발산	조화수열은 0으로 수렴하지만, 조화급수는 발산함.
수렴 조건	조화수열은 분모의 등차수열이 0으로 수렴하지 않아야 함.

조화평균	조화수열과 관련된 평균의 한 종류.
조화함수	조화수열의 개념이 확장된 함수.
조화진동자	물리학에서 조화수열과 관련된 진동 현상.

2. 정의 및 예시

조화수열은 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열을 말한다. 즉, 어떤 등차수열의 각 항에 역수를 취하면 조화수열을 얻을 수 있다.

가장 대표적인 예시는 자연수의 역수로 이루어진 다음과 같은 수열이며, 이를 특별히 조화수열이라고 부르기도 한다.
* $1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{6}, \dots, \tfrac{1}{n}, \dots$

이 외에도 역수를 취했을 때 등차수열이 되는 다양한 형태의 수열이 조화수열에 해당한다. 예를 들어 다음과 같은 수열들이 있다.
* $12, 6, 4, 3, \tfrac{12}{5}, 2, \dots, \tfrac{12}{n}, \dots$
* $-1, -\tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{5}, -\tfrac{1}{7}, \dots$

2.1. 정의

조화수열은 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열이다. 즉, 어떤 등차수열의 각 항에 역수를 취하면 조화수열을 얻을 수 있다. 일반항 $h_n$ 은 그 역수가 되는 등차수열의 첫째항을 $a$ , 공차를 $d$ 라고 할 때 다음과 같이 표현된다. (단, $a+(n-1)d \ne 0$ 이다.)
: $h_n = \frac{1}{a + (n-1)d}$

다음은 조화수열의 예시이다 ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ).
* $1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{6}, \dots, \tfrac{1}{n}, \dots$ : 이 수열은 가장 기본적인 형태로 조화수열이라고도 불린다.
* $12, 6, 4, 3, \tfrac{12}{5}, 2, \dots, \tfrac{12}{n}, \dots$
* $30, -30, -10, -6, -\tfrac{30}{7}, \dots, \tfrac{30}{3 - 2n}, \dots$
* $10, 30, -30, -10, -6, \dots, \tfrac{30}{5 - 2n}, \dots$
* $1, 1, 1, 1, 1, \dots$ : 역수 수열의 공차가 0인 경우이다.
* $\tfrac{1}{23461234}, \tfrac{1}{23843963}, \tfrac{1}{24226692}, \tfrac{1}{24609421}, \dots$
* $-1, -\tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{5}, -\tfrac{1}{7}, \dots$

조화수열의 각 항은 자신의 양 옆에 이웃한 두 항의 조화 평균이 되며, 이를 조화 중항이라고 한다. 조화수열의 극한은 $0$ 이다. (단, 공차 $d \ne 0$ 인 경우)

$n$ 번째 항과 $m$ 번째 항의 관계를 나타내는 점화식은 다음과 같다. (단, $d$ 는 위 일반항 공식에서의 공차와 동일)
: $h_n = \frac{h_m}{1 + (n-m)d \cdot h_m}$

인접한 두 항 사이의 점화식은 다음과 같다. (단, $d$ 는 위 일반항 공식에서의 공차와 동일)
: $\frac{1}{h_{n+1}} = \frac{1}{h_n} + d \quad (n \ge 1)$

2.2. 예시

적당한 등차수열을 취해서 각 항의 역수를 구하면 간단히 조화수열을 만들 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 수열들이 있다.
* 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
* 1, 1, 1, 1, 1, ... (모든 항이 0이 아닌 상수인 수열은 등차수열이자 등비수열이며, 조화수열이기도 하다)
* 1/23461234, 1/23843963, 1/24226692, 1/24609421, ...
* -1, -1/3, -1/5, -1/7, ...

다음 예시들에서 n은 수열의 항 번호를 나타내는 자연수이며, $n = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots\$ 이다.
* $1, \tfrac{\ 1\ }{2},\ \tfrac{\ 1\ }{3},\ \tfrac{\ 1\ }{4},\ \tfrac{\ 1\ }{5},\ \tfrac{\ 1\ }{6},\ \ldots \ , \ \tfrac{\ 1\ }{n},\ \ldots \$ : 이 수열은 특히 '조화수열'이라고 불린다. 각 항은 조화평균과 관련이 깊다.
* 12, 6, 4, 3, $\ \tfrac{12}{\ 5\ },\ 2,\ \ldots\ ,\ \tfrac{12}{\ n\ },\ \ldots\$
* 30, −30, −10, −6, $\ -\tfrac{30}{\ 7\ },\ \ldots\ ,\ \tfrac{30}{\ \left( 3\ -\ 2 n \right)\ },\ \ldots\$
* 10, 30, −30, −10, −6, $\ \ldots\ ,\ \tfrac{30}{\ \left( 5\ -\ 2 n \right)\ },\ \ldots\$

3. 조화 평균 (조화 중항)

세 수 a, b, c가 이 순서로 조화수열을 이룰 때, 가운데 항 b는 a와 c의 조화 중항이라고 하며, 이는 a와 c의 조화 평균과 같다.

3.1. 조화 평균의 정의

세 수 $a$ , $b$ , $c$ 가 이 순서대로 조화수열을 이룰 때, 가운데 항인 $b$ 는 $a$ 와 $c$ 의 조화 중항이라고 한다. 이때, $b$ 는 $a$ 와 $c$ 의 조화 평균이 된다. 식으로 표현하면 다음과 같다.
: $b = \frac{2ac}{a+c}$

두 수 $a$ , $b$ 가 모두 양수라면, 두 수의 조화 평균은 기하 평균보다 항상 작거나 같다. 또한, 기하 평균은 산술 평균보다 항상 작거나 같으므로, 다음과 같은 관계가 성립한다.
: $a$ , $b$ 두 수가 모두 양수일 때, $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a+b}$

3.2. 조화 평균 공식

세 수 $a$ , $b$ , $c$ 가 이 순서로 조화수열을 이룰 때, $b$ 는 $a$ 와 $c$ 의 조화 중항이라고 한다. 이때 $b$ 는 $a$ 와 $c$ 의 조화 평균이 된다. 식으로 표현하면 다음과 같다.
: $b = \frac{2ac}{a+c}$

두 수 $a$ , $b$ 가 모두 양수라면, 두 수의 조화 평균은 기하 평균보다 항상 작거나 같다. 기하 평균은 산술 평균보다 작거나 같으므로, 다음과 같은 연쇄적인 부등식(산술-기하-조화 평균 부등식)이 성립한다.
: $a$ , $b$ 두 수가 모두 양수일 때, $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a+b}$ 가 성립한다.

3.3. 조화 평균과 다른 평균과의 관계

세 수 $a$ , $b$ , $c$ 가 이 순서로 조화수열을 이룰 때, $b$ 는 $a$ 와 $c$ 의 조화 중항이라고 한다. 이때, $b$ 는 $a$ 와 $c$ 의 조화 평균이 된다. 식으로 표현하면 다음과 같다.
: $b = \frac{2ac}{a+c}$

두 수 $a$ , $b$ 가 모두 양수라면, 두 수의 조화 평균은 기하 평균보다 항상 작거나 같다. 기하 평균은 산술 평균보다 작거나 같으므로, 다음과 같은 연쇄적인 부등식이 성립한다.
: $a$ , $b$ 두 수가 모두 양수일 때, $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a+b}$ 가 성립한다.

4. 조화 수열의 합과 곱

조화 수열의 항들을 더하거나 곱하는 것에 대한 내용이다. 조화 수열은 각 항의 역수를 취하면 등차수열이 된다는 특징이 있어, 등차수열의 성질을 이용하여 합이나 곱에 관련된 성질을 유도하기도 한다.

유한한 개수의 조화 수열 항들의 역수의 합은 등차수열의 합 공식을 통해 구할 수 있다. 반면, 무한 조화 수열의 항들을 모두 더한 조화급수는 항상 무한대로 발산한다. 또한, 서로 다른 단위 분수로 이루어진 조화 수열의 합이 정수가 되는 것은 특수한 경우를 제외하고는 불가능하다.

조화 수열의 항들을 모두 곱한 총곱은 감마 함수 등을 이용하여 나타낼 수 있다.

4.1. 유한 조화 수열의 합

조화수열은 각 항의 역수를 취하면 등차수열이 된다는 성질을 이용하여, 등차수열의 관계로부터 조화수열의 관계를 얻을 수 있다.

일반항이 $h_n=\frac{a}{1+(n-1)d}$ 이고 항수가 n인 조화수열 $h_n$ 의 모든 항의 역수의 합은 다음과 같이 등차수열의 합 공식을 이용하여 구할 수 있다.
$\frac{1}{h_1} +\frac{1}{h_2} +\cdots +\frac{1}{h_n} =\frac{n}{2} \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_n} \right) =\frac{n\{2+(n-1)d \}}{2a}$

4.2. 무한 조화 수열의 합 (조화 급수)

무한 조화 수열의 합은 발산한다. 이는 적분판정법을 이용하여 간단하게 확인할 수 있다.

무한 조화 수열의 합은 무한대로 발산하므로 특정 값으로 합산될 수 없다.

또한, 서로 다른 단위 분수로 이루어진 조화 수열의 합이 정수가 되는 것은 불가능하다. 단, 첫 항 a = 1이고 k = 0인 자명한 경우(즉, 수열이 1 하나로만 이루어진 경우)는 제외된다. 그 이유는 수열에 포함된 분수 중 적어도 하나의 분모는, 다른 모든 분모와 서로소인 소수 인수를 반드시 포함하기 때문이다.

조화수열의 항들을 무한히 더한 급수는 일반 조화급수라고 하며, 다음과 같이 표현된다.
: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a}{1+(n-1)d} =\frac{a}{d} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-1+\frac{1}{d}}$
이 급수는 항상 발산한다.

4.3. 조화 수열의 곱

일반항 $h_n =\frac{a}{1+(n-1)d}$ , 항의 수 n인 조화 수열 h_n의 총곱은 다음과 같이 표현된다.

: $h_1 h_2 \cdots h_n =\frac{\left(\frac{a}{d}\right)^n }{\left(\frac{1}{d}\right)^{\overline{n}}} = \left(\frac{a}{d}\right)^n \frac{\Gamma \left( \frac{1}{d} \right) }{\Gamma \left(\frac{1}{d} + n\right) }$

여기서 $x^{\overline{n}}$ 는 상승 계승멱 (x에서 1씩 증가시키면서 x + n - 1까지의 n개 항의 총곱, 팩토리얼과 유사한 개념이다), $\Gamma$ 는 감마 함수를 나타낸다.

5. 점화식

n번째 항과 m번째 항의 관계를 나타내는 점화식은 다음과 같다.
: $h_n =\frac{h_m}{1+(n-m)d}$

이 수열의 인접한 두 항 사이의 점화식은 다음과 같다.
: $\frac{1}{h_{n+1}} =\frac{1}{h_n} +\frac{d}{h_1} \quad (n\ge 1)$

6. 기하학에서의 활용

조화 수열은 기하학의 여러 분야에서 나타난다. 예를 들어, 특정 조건을 만족하는 공선점들 사이의 거리나, 수선의 길이가 등차 수열을 이루는 삼각형의 변의 길이 등에서 조화 수열의 성질을 찾아볼 수 있다.

6.1. 사영 조화 공액점

공선점인 네 점 A, B, C, D가 있을 때, 만약 점 D가 두 점 A, B에 대한 점 C의 조화 공액점이라면, 이 네 점 중 어떤 한 점을 기준으로 나머지 세 점까지의 거리를 측정하면, 그 거리들은 조화수열을 이룬다. 예를 들어, 점 A에서 C, B, D까지의 거리인 AC, AB, AD는 조화수열을 이루고, 점 B에서 C, A, D까지의 거리인 BC, BA, BD도 조화수열을 이룬다. 마찬가지로 CA, CD, CB와 DA, DC, DB도 각각 조화수열이다. 이때 각 거리는 직선 위의 한 방향을 양(+)으로 정했을 때 그에 따른 부호를 가진다.

6.2. 삼각형의 수선과 변

삼각형에서, 수선이 등차 수열을 이룬다면, 변들은 조화 수열을 이룬다.

7. 기타 응용

조화수열은 물리학이나 공학 문제 해결에도 응용될 수 있다. 대표적인 예로 블록 쌓기 문제를 들 수 있는데, 이는 동일한 블록들을 최대한 옆으로 멀리 내밀어 쌓는 방법을 다루며 조화수열과 관련된 원리가 적용된다.

7.1. 블록 쌓기 문제 (피사의 사탑)

조화수열의 한 예시로 블록 쌓기 문제를 들 수 있으며, 이는 피사의 사탑과 비유되기도 한다. 이 문제에서는 동일한 모양의 블록들을 최대한 옆으로 멀리 내밀어 쌓는 방법을 다룬다. 블록을 쌓을 때는 각 블록을 바로 아래 블록보다 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, ... 만큼 옆으로 이동시켜 쌓는다. 이 방식은 각 단계에서 블록을 내미는 거리가 1/(2n) 형태를 따르는데, 이는 조화수열과 관련이 있다. 이렇게 쌓으면 전체 구조물의 무게 중심이 항상 맨 아래 블록의 밑면 안에 위치하게 되어 구조물이 무너지지 않는다. 하지만 이론적으로는 무한히 옆으로 내밀 수 있음에도 불구하고, 실제로는 약간의 추가 무게나 외부 힘에도 구조물이 쉽게 불안정해져 무너질 수 있다.