진릿값

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1. 개요

진릿값은 논리학에서 명제, 즉 참 또는 거짓을 나타내는 값이다. 고전 논리에서는 참과 거짓, 두 가지 진릿값을 가지는 2치 논리를 사용하지만, 다치 논리, 퍼지 논리, 양자 논리 등 다양한 논리 체계에서는 셋 이상의 진릿값을 사용하거나 불확실성을 표현하기도 한다. 직관주의 논리 및 구성주의 논리에서는 헤이팅 대수를 진릿값으로 사용하며, 실현 가능성이나 범주론에서도 진릿값의 개념이 활용된다. 프로그래밍 언어에서는 모든 식이 불린 자료형으로 평가될 수 있으며, 0, 빈 문자열, null 등은 거짓으로, 그 외 값들은 참으로 처리되는 경우가 있는데, 이를 truthy와 falsy라고 부른다.

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명제 - 모순
모순은 논리학, 철학, 과학 등 다양한 분야에서 사용되는 개념으로, 서로 상반되는 두 가지 주장이나 사실이 동시에 존재하는 상태를 의미하며, 특히 헤겔과 마르크스의 변증법적 유물론에서 사물의 내재적 대립으로서 역사 발전의 원동력으로 간주된다.
명제 - 동어 반복
동어반복은 같은 의미의 단어나 구절을 반복하는 표현 기법으로, 강조, 역설, 말장난 등의 효과를 위해 여러 분야에서 사용되지만, 불필요한 반복은 의미 전달을 방해할 수 있으므로 신중한 사용이 요구된다.
가치관 - 정의
정의는 각자에게 그의 몫을 돌려주려는 의지이자 불평등이 없는 상태를 추구하는 가치로, 서양에서는 사법적 의미가, 동양에서는 도덕적 당위성을 포함하며, 권리 행사와 제한에 적용되는 원리이다.
가치관 - 공동체주의
공동체주의는 개인보다 공동체의 역할을 강조하는 정치 철학으로, 자유주의에 반대하며 사회 자본과 시민 사회 제도를 강화하려 한다.
진리 - 마음
마음은 의식, 사고, 지각, 감정, 동기, 행동, 기억, 학습 등을 포괄하는 심리적 현상과 능력의 총체이며, 다양한 분야에서 연구되고 인간 삶의 중추적인 역할을 한다.
진리 - 비판적 사고
비판적 사고는 정보를 객관적으로 분석하고 평가하여 합리적인 결론을 도출하는 사고 과정이며, 문제 해결, 의사 결정, 메타인지 등을 포함하고 오류를 피하며 이해하려는 노력을 강조한다.

진릿값
기본 정보
유형	수학, 논리학, 컴퓨터 과학, 철학
다른 이름	논리값
수학
값	참, 거짓
기호	T, F 1, 0 참, 거짓
논리학
의미	문장의 진실성 또는 거짓을 나타내는 값
예시	명제 '하늘은 파랗다'의 진리값은 '참'이다.
컴퓨터 과학
데이터 유형	불리언
값	참 (true), 거짓 (false)
사용	조건문, 논리 연산
철학
관련 개념	진리 거짓 모순 양립성
다치 논리 (多値論理)
설명	진리값이 참과 거짓 외에 여러 값 (예: '모름', '중립')을 가질 수 있는 논리 체계
예시	퍼지 논리, 삼단 논법
참고
관련 항목	참 거짓 논리 연산 명제 논리

2. 현대 논리학의 분류

진리값에 대한 기준을 바탕으로 현대 논리학을 분류할 수 있다. 진리값의 개수와 종류에 따라 이치논리학, 다치 논리학, 직관논리학, 퍼지논리학, 양자논리학 등으로 나뉜다.

이처럼 진리값은 논리학이 대상을 바라보는 관점에 따라 달라질 수 있으며, 이는 논리학이 결과를 위한 학문일 뿐만 아니라 과정을 위한 학문으로서 인간의 사고와 탐구 영역을 넓히는 데 필수적임을 보여준다.

2. 1. 진리값에 따른 분류

진리값의 개수와 종류에 따라 논리학을 분류할 수 있다. 현대 논리학에서 진리값에 대한 기준은 비표준논리학을 포함하여 다음과 같다.

진리값	개수	논리학
참과 거짓	2	이치논리학, 양상논리학, 시제논리학, 의무논리학
3 이상	유한	다치 논리학, 3치논리학
논증과 반증	2	직관논리학
가능한 수	무한	퍼지논리학
불특정(X에 존재하면서 동시에 Y에 존재할 수 있다)	불확실성	양자논리학

이처럼 진리값은 논리학이 대상을 바라보는 관점에 따라 달라질 수 있다. 이는 논리학이 결과를 위한 학문일 뿐만 아니라, 과정을 위한 학문으로서 인간의 사고와 탐구 영역을 넓히는 데 필수적임을 보여준다.

2. 1. 1. 이치논리학

참과 거짓 두 가지 진리값만을 가지는 논리학으로, 양상논리학, 시제논리학, 의무논리학 등이 여기에 속한다.

진리값	개수	논리학
참과 거짓의 2치(二値)논리학	2	이치논리학, 양상논리학, 시제논리학, 의무논리학

2. 1. 2. 다치 논리학

셋 이상의 유한한 진리값을 가지는 논리학으로, 3치논리학 등이 있다.

진리값	개수	논리학
3이상	유한	다치 논리학, 3치논리학

다치 논리는 두 개 이상의 진릿값을 허용한다.^[1]

2. 1. 3. 직관 논리학

증명 가능성을 기준으로 참과 거짓 두 가지 진리값을 가지는 논리학이다.^[5]

진리값	개수	논리학
논증과 반증	2	직관논리학

고전 논리에서 진릿값은 부울 대수를 형성하는 반면, 직관주의 논리와 더 일반적으로 구성적 수학에서 진릿값은 헤이팅 대수를 형성한다. 이러한 진릿값은 국소성, 시간성 또는 계산 내용 등 유효성의 다양한 측면을 나타낼 수 있다.

예를 들어, 열린 집합을 위상 공간의 직관주의적 진릿값으로 사용할 수 있으며, 이 경우 공식의 진릿값은 공식이 성립하는지 여부가 아니라 ''어디에서'' 성립하는지를 나타낸다.

실현 가능성에서 진릿값은 프로그램 집합이며, 이는 공식의 유효성에 대한 계산적 증거로 이해될 수 있다. 예를 들어, "모든 수에 대해 그보다 큰 소수가 있다"라는 명제의 진릿값은 n이라는 숫자를 입력으로 받아 n보다 큰 소수를 출력하는 모든 프로그램의 집합이다.

범주론에서 진릿값은 부분 대상 분류자의 원소로 나타난다.

헤이팅 대수가 많은 원소를 가질 수 있지만, 이는 참도 아니고 거짓도 아닌 진릿값이 있다는 것으로 이해해서는 안 된다. 왜냐하면 직관주의 논리는 "p가 참도 아니고 거짓도 아닌 경우는 아니다"를 증명하기 때문이다.^[5]

직관주의적 유형 이론에서 커리-하워드 대응은 명제와 유형의 동치를 보여주며, 이에 따르면 유효성은 유형의 거주와 동일하다.

2. 1. 4. 퍼지 논리학

퍼지 논리는 단위 구간에서 전순서되는 다양한 진리값 정도의 존재로 표현될 수 있다. 0과 1 사이의 무한한 진리값을 가지는 논리학으로, 불확실성을 다루는 데 유용하다.

2. 1. 5. 양자 논리학

양자논리학은 불확정성 원리에 따라 진리값이 중첩될 수 있는 논리학이다.

진리값	개수	논리학
불특정(X에 존재하면서 동시에 Y에 존재할 수 있다)	불확실성	양자논리학

3. 고전 논리

고전 논리는 참(1 또는 베룸 ⊤으로 표시)과 거짓(0 또는 팔숨 ⊥으로 표시)이라는 두 가지 진릿값만을 가지는 2치 논리이다. 이 두 값의 집합은 부울 도메인이라고도 한다.

3. 1. 논리 연산자

고전 논리에서 진릿값은 ''참''(1 또는 베룸 ⊤으로 표시)과 ''거짓''(0 또는 팔숨 ⊥으로 표시)을 가진다. 논리 연산자에 해당하는 의미론은 진리 함수이며, 그 값은 진리표의 형태로 표현된다. 논리적 쌍조건자는 등식 이진 관계가 되고, 부정은 참과 거짓을 순열하는 전단사가 된다. 논리곱과 논리합은 부정을 기준으로 쌍대 관계에 있으며, 이는 드 모르간의 법칙으로 표현된다.

: ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p∨¬q

: ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p∧¬q

명제 변수는 부울 도메인의 변수가 된다. 명제 변수에 값을 할당하는 것을 평가라고 한다.

3. 2. 드 모르간의 법칙

고전 논리에서 논리 연산자의 의미는 진리 함수로 표현되며, 논리곱과 논리합은 부정에 대해 쌍대 관계를 가진다. 이러한 쌍대 관계는 드 모르간의 법칙으로 표현된다. 드 모르간의 법칙에 따르면, 부정(¬)은 논리곱(∧)과 논리합(∨)을 서로 교환하는 역할을 한다.

: ¬(''p'' ∧ ''q'') ⇔ ¬''p'' ∨ ¬''q''

: ¬(''p'' ∨ ''q'') ⇔ ¬''p'' ∧ ¬''q''

4. 직관주의 논리와 구성주의 논리

직관주의 논리와 구성적 수학에서 진릿값은 헤이팅 대수를 형성하는데, 이는 고전 논리에서 진릿값이 불 대수를 형성하는 것과 대조된다. 직관주의 논리와 구성주의 논리에서의 진릿값은 국소성, 시간성, 계산 내용 등 유효성의 다양한 측면을 나타낼 수 있다.^[5]

직관주의적 진릿값의 다른 개념에 대해서는 브라우어-헤이팅-콜모고로프 해석을 참조하라.

4. 1. 헤이팅 대수

고전 논리에서 진릿값은 부울 대수를 형성하는 반면, 직관주의 논리와 더 일반적으로 구성적 수학에서 진릿값은 헤이팅 대수를 형성한다. 이러한 진릿값은 국소성, 시간성 또는 계산 내용 등 유효성의 다양한 측면을 나타낼 수 있다.^[5]

예를 들어, 열린 집합을 위상 공간의 직관주의적 진릿값으로 사용할 수 있으며, 이 경우 공식의 진릿값은 공식이 성립하는지 여부가 아니라 ''어디에서'' 성립하는지를 나타낸다.

실현 가능성에서 진릿값은 프로그램 집합이며, 이는 공식의 유효성에 대한 계산적 증거로 이해될 수 있다. 예를 들어, "모든 수에 대해 그보다 큰 소수가 있다"라는 명제의 진릿값은 n이라는 숫자를 입력으로 받아 n보다 큰 소수를 출력하는 모든 프로그램의 집합이다.

범주론에서 진릿값은 부분 대상 분류자의 원소로 나타난다. 특히 토포스에서 고차 논리의 모든 공식은 부분 대상 분류자에서 진릿값을 할당받을 수 있다.

헤이팅 대수가 많은 원소를 가질 수 있지만, 이는 참도 아니고 거짓도 아닌 진릿값이 있다는 것으로 이해해서는 안 된다. 왜냐하면 직관주의 논리는 \neg (p \neq \top \land p \neq \bot) ("p가 참도 아니고 거짓도 아닌 경우는 아니다")를 증명하기 때문이다.^[5]

4. 2. 커리-하워드 대응

직관주의적 유형 이론에서 커리-하워드 대응은 명제와 유형의 동치를 보여주며, 이에 따르면 유효성은 유형의 거주와 동일하다.^[5]

5. 다치 논리

다치 논리는 참과 거짓 외에 둘 이상의 진리값을 허용하는 논리학이다. 퍼지 논리와 관련성 논리가 대표적이다. 이러한 논리 체계에서는 진리값에 내부 구조가 존재할 수 있는데, 예를 들어 단위 구간에서 진리값의 구조는 전순서를 이룬다. closed-closed|0,1^영어는 0과 1을 포함하는 닫힌 구간을 의미한다.

5. 1. 진리값 정도

다치 논리(예: 퍼지 논리 및 관련성 논리)는 두 개 이상의 진릿값을 허용하며, 아마도 내부 구조를 포함할 수 있다. 예를 들어, 단위 구간에서 이러한 구조는 전순서이다. 이는 다양한 진리값 정도의 존재로 표현될 수 있다.

6. 대수적 의미론

모든 논리 체계가 논리 연산자를 진리 함수로 해석할 수 있다는 의미에서 진리값을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 직관 논리는 브로워-헤이팅-콜모고로프 해석의 의미론이 증명 가능성 조건을 기반으로 명시되어 있으며, 필연적인 진리를 직접적으로 의미하지 않기 때문에 완전한 진리값 집합을 가지고 있지 않다.

그러나 비진리값 논리조차도 대수적 의미론에서와 같이 논리 수식에 값을 연관시킬 수 있다.

6. 1. 헤이팅 대수와 불 대수

직관 논리의 대수적 의미론은 헤이팅 대수를 사용하고, 고전 명제 계산의 대수적 의미론은 불 대수를 사용한다.

7. 컴퓨팅

프로그래밍 언어에서 불린 자료형을 기대하는 문맥에서 식이 평가될 때, 특정 값들이 참 또는 거짓으로 처리된다. 일반적으로 숫자 0, 빈 문자열, 빈 목록, null 등은 거짓으로, 내용이 있는 문자열, 다른 숫자 및 객체는 참으로 평가된다. Lisp에서는 nil, 즉 빈 목록은 거짓으로, 다른 모든 값은 참으로 처리된다. C에서는 숫자 0 또는 0.0은 거짓으로, 다른 모든 값은 참으로 처리된다.

JavaScript에서는 빈 문자열, `null`, `undefined`, `NaN`, +0, −0, `false`^[3]는 ''falsy''(거짓)로, 이의 여집합은 ''truthy''(참)로 불린다.^[4] Python과 달리, 빈 컨테이너(배열, 맵, 집합)는 truthy로 간주되며, PHP 등에서도 이 방식을 사용한다.

7. 1. Truthy와 Falsy

일부 프로그래밍 언어에서는 모든 식이 불린 자료형을 기대하는 컨텍스트에서 평가될 수 있다. 일반적으로 (프로그래밍 언어에 따라 다르지만) 숫자 0, 빈 문자열, 빈 목록, 그리고 null과 같은 식은 거짓으로 처리되고, 내용이 있는 문자열("abc" 등), 다른 숫자 및 객체는 참으로 평가된다. 때로는 이러한 종류의 식을 '''falsy'''와 '''truthy'''라고 부른다. 예를 들어, Lisp에서 nil, 즉 빈 목록은 거짓으로 처리되고 다른 모든 값은 참으로 처리된다. C에서 숫자 0 또는 0.0은 거짓이고 다른 모든 값은 참으로 처리된다.

JavaScript에서 빈 문자열(""), null, undefined, NaN, +0, −0 및 false^[3]는 엄격하게 형식 검사된 불린과 강제 변환된 불린을 구분하기 위해 때때로 ''falsy''(이의 여집합은 ''truthy'')라고 불린다(참고: JavaScript 구문#형식 변환).^[4] Python과 달리, 빈 컨테이너(배열, 맵, 집합)는 truthy로 간주된다. PHP와 같은 언어에서도 이 방식을 사용한다.

참조

_[1] 간행물 Truth Values
_[2] 웹사이트 Truth value
_[3] 웹사이트 ECMAScript Language Specification http://www.ecma-inte[...] 2011-03-12
_[4] 웹사이트 The Elements of JavaScript Style http://javascript.cr[...] Douglas Crockford 2011-03-05
_[5] 웹사이트 Proof that intuitionistic logic has no third truth value, Glivenko 1928 http://plato.stanfor[...]
_[6] 문서 Ruby(代表的なトピック)에서는、true는 TrueClass、false는 FalseClass다

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