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1. 개요

0은 수학에서 사용되는 숫자이자 개념으로, 수의 부재, 위치 기수법에서의 자리 표시, 수학적 연산의 항등원 및 흡수원 등 다양한 역할을 한다. 역사적으로는 바빌로니아에서 처음 사용되었으며, 고대 그리스에서는 0의 개념을 받아들이지 않았으나, 십진법의 확립과 아라비아 숫자의 보급으로 널리 사용되었다. 0은 짝수이며, 자연수에 포함될 수도 있다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등 다양한 수학적 연산에서 특정한 규칙을 가지며, 집합론, 명제 논리, 추상대수학 등 여러 수학 분야에서 중요한 역할을 한다. 스포츠, 방송, 온도 등 다양한 분야에서도 활용된다.

2. 역사

0의 개념은 고대 문명에서부터 존재했다. 기원전 300년경 바빌로니아 수학자들은 계산 편의를 위해 0을 사용하기 시작했다.^[108] 876년 인도에서 만들어진 비문에 0을 나타내는 숫자가 최초로 등장했지만, 인도에서는 이미 오래전부터 계산에 0의 개념을 사용하고 있었다.^[109]^[105]

십진법과 아라비아 숫자가 널리 퍼지면서 0의 표기가 확립되었다.^[111] 고대 여러 문화에서 이미 음수를 사용했고, 《구장산술》에도 음수 값이 나오는 문제가 있어 이들도 0의 존재를 알고 있었다고 볼 수 있다. 그러나 인도에서 비롯된 아라비아 숫자와 0의 사용이 중요한 이유는 십진법 도입과 관련이 있기 때문이다. 십진법에서 0을 사용하지 않으면 101과 11을 명확하게 구분하기 어렵다.^[112]

20진법을 사용한 마야의 달력에서는 0을

로 표기하였다.^[113]

2. 1. 고대 근동

고대 이집트 숫자는 십진법을 사용했다.^[8] 이들은 숫자를 나타내기 위해 상형 문자를 사용했으며 자리값 표기법은 아니었다. 기원전 1770년경 쓰여진 한 파피루스에서, 서기는 파라오의 궁정을 위해 매일의 수입과 지출을 기록했는데, 식품의 수령량이 지출량과 정확히 같을 경우를 나타내기 위해 ''nfr'' 상형 문자를 사용했다.^[9] 앨런 가디너는 ''nfr'' 상형 문자가 0을 나타내는 기호로 사용되었다고 제안했다. 동일한 기호는 무덤과 피라미드의 그림에서 기준 레벨을 나타내는 데에도 사용되었으며, 거리는 이 선의 위 또는 아래로 이 기준선에 상대적으로 측정되었다.^[9]

기원전 2천년기 중반까지 바빌로니아 수학은 정교한 60진법 자리값 숫자 체계를 갖추고 있었다. 자리값(또는 0)의 부재는 육십진법 숫자 사이의 ''공백''으로 표시되었다. 기원전 700년경 키시에서 발굴된 석판에서 서기 벨-반-아플루는 세 개의 갈고리를 자리 표시자로 동일한 바빌로니아 숫자 체계에서 사용했다. 기원전 300년까지는 구두점 기호(두 개의 기울어진 쐐기)가 자리 표시자로 재사용되었다.^[10]^[11]

바빌로니아 자리값 숫자 체계는 이후의 힌두-아라비아 숫자 체계와는 달랐는데, 선행 육십진법 숫자의 크기를 명시적으로 지정하지 않았다는 점이다. 예를 들어 숫자 1 (

)은 1, 60, 3600 = 60² 등을 나타낼 수 있으며, 이는 부동 소수점 숫자의 가수와 유사하지만 명시적인 지수가 없어 문맥을 통해서만 암묵적으로 구별되었다. 0과 유사한 자리 표시 표시는 숫자 사이에만 사용되었으며, 단독으로 또는 숫자의 끝에 사용된 적은 없었다.

2. 2. 고전 고대

고대 그리스에서는 0을 숫자로 인정하지 않았는데, "어떻게 없는 것을 나타낼 수 있단 말인가?"하고 반문하였다.^[110] 그러나 고대 그리스 천문학에서는 기원전 500년경부터 바빌로니아의 자리 표시자 0을 채택하기 시작하여 소문자 그리스 문자 ''ό''(''όμικρον'': 오미크론)으로 나타냈다.^[18]

그리스인들은 0의 지위에 대해 확신하지 못하는 듯했다. 그들 중 일부는 "무(無)가 어떻게 존재할 수 있는가?"라고 자문했고, 이는 0과 진공의 본질과 존재에 대한 철학적, 중세 시대에는 종교적 논쟁으로 이어졌다. 제논의 역설은 0에 대한 불확실한 해석에 크게 의존한다.^[20]

파피루스 조각에 깨끗한 그리스 문자가 적혀 있으며, 오른쪽 아래 모서리에는 위쪽에 이중 화살표 모양의 작은 0이 표시되어 있음 — 2세기 파피루스에서 발견된 0의 초기 그리스 기호 예시(오른쪽 아래 모서리)

프톨레마이오스는 히파르코스와 바빌로니아인들의 영향을 받아 서기 150년경 ''알마게스트''에서 0을 나타내는 기호를 사용했다.^[21]^[22]^[23] 이 헬레니즘 0은 구세계에서 0을 나타내는 숫자가 문서화된 가장 초기의 사용 사례일 것이다.^[24] 프톨레마이오스는 ''알마게스트''(VI.8)에서 일식과 월식의 크기를 나타내기 위해 여러 번 사용했다. 시간이 지남에 따라 프톨레마이오스의 0은 크기가 커지고 상선을 잃는 경향이 있었으며, 때로는 큰 길쭉한 0과 같은 오미크론 "Ο" 또는 상선이 있는 오미크론 "ō"로 묘사되기도 했다.^[26]

2. 3. 인도

3세기에서 4세기경 박샬리 사본에서 0을 나타내는 기호(큰 점)를 사용했다.^[100]^[101] 7세기 브라마굽타는 0을 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 연산에 포함하는 규칙을 제시했다. 876년 인도 과르왈의 차투르부즈 사원에서 발견된 석비에는 0을 나타내는 작은 원이 새겨져 있다.^[52]

2. 4. 중국

Five illustrated boxes from left to right contain a T-shape, an empty box, three vertical bars, three lower horizontal bars with an inverted wide T-shape above, and another empty box. Numerals underneath left to right are six, zero, three, nine, and zero

기원전 4세기 중국에서는 산대(계산 막대) 시스템을 통해 십진법 계산을 수행하였는데, ''손자산경''에서는 빈자리를 공백으로 표시하여 0을 나타냈다.^[30]^[31]^[32] 산대 시스템은 위치 기수법 시스템이다.^[33]^[34]

당시 0은 숫자로 취급되지 않고 "빈 위치"로 취급되었다.^[35] 1247년 진구소의 ''수학구장''은 0을 나타내기 위해 둥근 기호 '〇'를 사용한 가장 오래된 현존하는 중국 수학 텍스트이다.^[36] 이 기호는 사각형 기호를 수정하여 만들어졌을 수 있다.^[37] 중국 저자들은 한나라 시대에 ''구장산술''에서 보듯이 음수의 개념에 익숙했다.^[38]

2. 5. 아메리카

마야는 20진법을 사용하였고, 0을 나타내는 기호로 조개껍데기 모양을 사용했다.^[113]

멕시코 남부와 중앙 아메리카에서 발전한 중앙 아메리카 장기 달력은 20진법 위치적 숫자 체계 내에서 자리 표시자로 0의 사용을 요구했다. 다양한 글리프가 0 기호로 사용되었으며, 그중 가장 오래된 것은 기원전 36년에 만들어진 것이다.

가장 오래된 8개의 장기 날짜가 마야 고향 밖에서 나타나기 때문에, 아메리카 대륙에서 0의 사용은 마야보다 앞섰으며, 아마도 올멕족의 발명품이었을 것으로 일반적으로 믿어진다.^[13] 다만, 올멕 문명은 기원전 4세기에 멸망했다.^[14]^[15]

0은 마야 숫자의 필수적인 부분이 되었지만, 구세계 숫자 체계에는 영향을 미치지 않은 것으로 추정된다.

키푸는 잉카 제국과 그 이전의 안데스 지역 사회에서 회계 및 기타 디지털 데이터를 기록하는 데 사용된 매듭 끈 장치로, 십진법 위치 체계로 인코딩된다. 0은 해당 위치에 매듭이 없는 것으로 표시된다.^[16]

2. 6. 중세

무함마드 이븐 무사 알콰리즈미는 9세기에 0을 사용한 계산법을 저술했다.^[54] 825년경 알콰리즈미는 그리스와 힌두의 지식을 종합하고 0의 사용법에 대한 설명을 포함한 수학책을 출판했다.^[55] 이 책은 12세기에 ''Algoritmi de numero Indorum''(인도의 숫자, 알콰리즈미)라는 제목으로 라틴어로 번역되었다.^[54]

13세기 피보나치는 0을 포함한 인도-아라비아 숫자를 유럽에 소개했다.^[57] 피보나치는 베자이아의 세관에서 일하면서 인도 숫자를 접했고, 이를 유럽 수학에 도입하는 데 중요한 역할을 했다. 그는 힌두교의 아홉 숫자와 0 기호를 사용하면 어떤 숫자든지 쓸 수 있다고 설명했다.^[57]

3. 수학

0은 1 이전의 정수이다. 0은 짝수인데, 2로 나누어 떨어지기 때문이다.^[85]^[86] 0은 양수도 음수도 아니며, 수직선의 중심에 있는 수로 표현된다. 자연수의 정의에 0을 포함하기도 하고, 포함하지 않기도 한다. 0은 정수이며, 유리수, 실수, 복소수 체계의 중요한 구성 요소이다.

0은 소수도 합성수도 아니다. 무한히 많은 약수를 가지므로 소수가 아니고, 소수의 곱으로 표현할 수 없으므로 합성수가 아니다.

값 또는 ''수''로서의 0은 위치 기수법에서 사용하는 ''숫자'' 0과 다르다. 위치 기수법에서 앞쪽 자리 숫자들은 큰 가중치를 가지고, 숫자 0은 위치를 정확하게 나타내기 위해 추가된다.

0은 수량이 비어 있음을 의미한다. 예를 들어, 형제가 0명이라는 것은 형제가 한 명도 없다는 것을 의미한다.

다음은 0에 관한 기초적인 사실들이다. 이는 따로 언급하지 않는 한 모든 실수 또는 복소수 $x$ 에 대해 성립한다.

곱셈: $x \times 0 = 0 \times x = 0$
나눗셈: $x$ 가 0이 아닌 경우, $\frac{0}{x} = 0$ 이다. 0은 곱셈 역원을 가지지 않으므로 $\frac{x}{0}$ 은 정의되지 않는다. (0으로 나누기)
거듭제곱: $x$ 가 0이 아닌 경우, $x ^ 0 = \frac{x}{x} = 1$ 이다. $x$ 가 0인 경우, 문맥에 따라 정의하거나 정의하지 않을 수 있다. $x$ 가 양의 실수인 경우, $0 ^ x = 0$ 이다.

\frac{f(x)}{g(x)}

의 극한을 구할 때, 분모와 분자에 각각 극한 연산자

\lim

을 취한 결과로

\frac{0}{0}

이 나타날 수 있고, 이를 부정형이라고 한다. 이는 극한이 존재하지 않음을 의미하지는 않는다. 만약 극한이 존재한다면 로피탈의 정리와 같이 다른 방법을 사용하여 극한을 구할 수도 있기 때문이다.

0개의 수의 합은 0이고, 0개의 수의 곱은 1이다. 빈 곱셈의 특수한 예시로, 계승 (수학)

0!

은 1과 같다.

피보나치 수열에서는 0은 1의 전항이다. 도형수에서는 1 앞에 0을 포함하는 경우가 있다. 한 자리 수는 모두 회문수이므로, 0도 회문수이다. 삼각함수, 삼각비에서는 0도를 나타낸다.

3. 1. 기초 대수

0은 덧셈에 대한 항등원이다. 즉, 모든 실수 또는 복소수 ''x''에 대해 다음이 성립한다.

: ''x'' + 0 = 0 + ''x'' = ''x''

0은 곱셈에 대한 흡수원이다. 즉, 모든 실수 또는 복소수 ''x''에 대해 다음이 성립한다.

: ''x'' · 0 = 0 · ''x'' = 0

0으로 나누는 것은 정의되지 않는다. 0은 곱셈에 대한 역원을 갖지 않기 때문이다.

3. 2. 수학 분야에서의 0

집합론에서 0은 공집합의 크기이다.^[68] 사과를 가지고 있지 않은 것은 사과를 0개 가지고 있는 것과 같다. 집합론의 몇몇 공리적 개발에서 0은 공집합으로 정의된다.^[68] 이 정의에서 공집합은 원소가 없는 집합의 폰 노이만 기수 할당이 된다. 기수 함수가 공집합에 적용되었을 때 결과는 공집합이고, 따라서 이에 0개의 원소를 할당한다.

집합론에서 공집합을 정렬 원순서 집합으로 보아 0은 가장 작은 순서수가 된다.

명제 논리에서 0을 거짓 진릿값으로 쓰기도 한다.^[68]

추상대수학에서 0은 덧셈에 대한 항등원을, 곱셈에 대한 흡수원을 표기하기 위해 사용된다.^[68]

격자 이론에서 0을 유계 격자의 최저원소로 쓰기도 한다.

범주론에서 0을 범주의 시작 대상으로 쓰기도 한다.^[68]

4. 한국어로 읽는 법

맥락에 따라 숫자 0 또는 0의 개념에 대해 다른 단어가 사용될 수 있다. 단순히 부족함을 나타낼 때는 "아무것도"와 "없음"이라는 단어가 자주 사용된다. "nought" 또는 "naught"와 "nil"도 동의어이다.^[5]^[6]

전화번호, 주소, 신용 카드 번호, 군사 시간, 또는 연도와 같이 일련의 숫자를 읽을 때 "오"라고 불리는 경우가 많다. 예를 들어, 지역 번호 201은 "two oh one"으로, 1907년은 "nineteen oh seven"으로 발음될 수 있다.

0을 나타내는 속어 단어로는 "zip", "zilch", "nada", "scratch"가 있다.^[7] 영국 영어에서는 스포츠에서 "nil"을 사용한다. 여러 스포츠에서 0점을 나타내는 특정 단어가 있는데, 테니스의 "love"는 프랑스어 l'œuf^프랑스어 (달걀)에서 유래되었고, 크리켓의 "duck"은 "duck's egg"의 줄임말이다. "Goose egg"는 0을 나타내는 또 다른 일반적인 속어이다.^[7]

4. 1. 기수

일반적으로 '''0'''이 단독으로 쓰이거나 소수점 이하에서는, 어떤 수를 나누었을 때 나누어떨어진 상태를 뜻하는 한자 零(떨어질 령)을 두음법칙에 따라 '''영'''으로 읽는다.^[114]

지난 경기에서 우리 편이 3:0 (삼 대 영)으로 크게 졌다.
기온이 0 (영)도 아래로 뚝 떨어졌다.
금년 1사분기 수입량은 0.075 (영 점 영칠오)% 상승하는 데에 그쳤다.^[114]

4. 2. 피수

다른 숫자와 함께 쓰이되 '''0'''이 해당 자리에서 가중값을 지니지 않을 때에는 읽지 않는다.^[115]

4. 3. 번수

다른 숫자와 함께 쓰이되 0이 해당 자리에서 가중값을 지니지 않고 별개의 숫자로 인식될 때에는 '공'으로 읽기도 한다. 주로 전화번호에서 쓰인다.

5. 기수법

십진법에 따라 표기된 1040은 다음과 같은 의미를 지닌다.^[116]

: $1040 = 1 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 0 \times 10^0$

즉, 같은 숫자라 할 지라도 놓인 자리에 따라 의미하는 값이 다르다. 0은 십진법에서 자릿수를 표시하는 중요한 역할을 한다.

위치 기수법(숫자를 표현하는 일반적인 십진법과 같은)에서 숫자 0은 특정 밑수의 거듭제곱이 기여하지 않음을 나타내는 자리 표시자 역할을 한다. 예를 들어, 십진수 205는 두 개의 백과 다섯 개의 일의 합인데, 숫자 0은 십의 자리가 더해지지 않음을 나타낸다. 이 숫자는 십진 소수와 다른 실수의 십진 표현에서도 동일한 역할을 하며(십분의 일, 백분의 일, 천분의 일 등이 있는지 여부를 나타냄), 10 이외의 기수에서도 동일한 역할을 한다(예: 2의 거듭제곱이 생략되는 것을 나타내는 이진법).

위치 기수법에 사용되는 숫자 0은 수 또는 수치로서의 0과는 별개이다. 위치 기수법에서의 숫자 배열은 상위 자릿수의 숫자가 더 높은 가중치를 가지므로, 위치 기수법에서의 숫자 0은 빈 자리를 나타내는 데 사용되며, 이를 통해 하위 및 상위 자릿수의 숫자에 적절한 가중치를 부여할 수 있다. 위치 기수법에서 숫자 0이 항상 필요한 것은 아니다. 예를 들어 02는 수치로서 2와 동일하므로 선두의 0은 불필요하다.

드물게, 머리에 0을 붙인 수치를 붙이지 않은 수치와 다른 것으로 취급하는 경우가 있다. 예를 들어 룰렛에서 '00'은 '0'과는 별개('0'에 건다면 공이 '00'에 멈춰도 이기지 못하고, 그 반대도 마찬가지)이다. 경기자에게 번호가 부여되는 스포츠 등도 마찬가지로, 예를 들어 스톡카에서 '07'번 차는 '7'번 차와는 별개로 간주된다.

6. 스포츠

야구에서 투수의 평균자책점이 0이면 모든 출전 경기에서 자책점을 내주지 않았다는 뜻이다. 반대로 타자의 타율이 0이라면 안타를 치지 못했다는 뜻이다.^[5]^[6]

축구에서 골키퍼의 실점률이 0이면 상대 선수에게 골을 허용하지 않았다는 뜻이다.^[5]^[6]

영국 영어에서는 스포츠에서 0점을 "nil"이라고 표현하기도 한다. 여러 스포츠에서 0점을 나타내는 특별한 용어가 있는데, 예를 들어 테니스에서는 "love"라고 하는데, 이는 프랑스어 l'œuf^프랑스어 (달걀)에서 유래했다. 크리켓에서는 "duck"이라고 하는데, 이는 "duck's egg"의 줄임말이다. "Goose egg" 또한 0점을 나타내는 속어이다.^[7]

7. 방송

다음은 일부 방송 채널에서 사용되는 0번 채널이다.

방송사	채널명	채널 번호
스카이라이프	YTN	0
B tv	YTN	0
지니 TV	GS마이샵	0
U+ TV	더라이프	0

^[1]^[2]^[3]

8. 기타

섭씨온도는 물의 어는점을 기준으로 정해지며, 이보다 높으면 영상, 낮으면 영하라고 한다. 0도는 영상 0도로 표현하며, 영하 0도라는 표현은 사용하지 않는다.^[69]
그레고리력과 율리우스력에는 0년이 존재하지 않는다.
경상북도 안동시와 청도군에서는 0번 버스가 운행되고 있다. 성주군에서는 0번 버스가 250번으로 변경되어 폐지되었다.
일부는 자체 검열을 위해 '0'을 사용하기도 한다. (예: 오리0)
숫자 0은 영어 알파벳 'O'와 비슷하여 'O표' 대신 '공(0)표'라고도 한다.
숫자, 데이터, 근삿값 등을 초기화할 때 0을 사용한다.
위도 0도는 적도이며, 경도 0도는 본초 자오선이다.
체코에는 D0 고속도로라는 이름의 0번 고속도로가 있다.
각도 0도는 기울어지지 않은 상태를 의미한다.
TV 채널에는 셋톱박스를 통해 0번 채널을 시청할 수 있다.
코딩 및 프로그래밍에서는 숫자 0부터 시작한다.
모집 공고에서 '0명'은 한 자릿수 인원을 채용한다는 의미이다.

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_[70] 서적 C++ Without Fear: A Beginner's Guide That Makes You Feel Smart https://books.google[...] Pearson Education 2004-09-14
_[71] 서적 Writing Scientific Software: A Guide to Good Style https://books.google[...] Cambridge University Press 2006-09-07
_[72] 웹사이트 ResultSet (Java Platform SE 8 ) https://docs.oracle.[...] 2022-05-09
_[73] 서적 Understanding and Using C Pointers: Core Techniques for Memory Management https://books.google[...] O'Reilly Media
_[74] 서적 Knowledge-Base Assisted Database Retrieval Systems https://books.google[...] World Scientific 1996-10-25
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_[76] 서적 MySQL Cookbook: Solutions for Database Developers and Administrators https://books.google[...] 2014
_[77] 서적 Classic Shell Scripting https://books.google[...] 2005
_[78] 서적 Start Programming Using HTML, CSS, and JavaScript https://books.google[...] 2015
_[79] 서적 A Practical Guide to Computer Forensics Investigations https://books.google[...] 2014
_[80] 서적 Advanced UNIX Programming Prentice Hall
_[81] 웹사이트 Font Survey: 42 of the Best Monospaced Programming Fonts https://www.codeproj[...] 2021-07-22
_[82] 간행물 Animals Count and Use Zero. How Far Does Their Number Sense Go? https://www.quantama[...] 2021-08-09
_[83] 서적 Marking Time: The epic quest to invent the perfect calendar https://archive.org/[...] John Wiley & Sons
_[84] 문서 0 を[[自然数]]に含めるかどうかは扱う対象によって異なる。例えば[[初等数論]]では含めないことが多く、[[集合論]]や[[数学基礎論]]では含めることが多い。本項では 0 も自然数に含める（例外的に 0 を自然数と見なさない場合には都度断りをいれる）。
_[85] 서적 Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures World Scientific
_[86] 문서 しかし、0の偶奇を考えることにはある種の困難が伴う。[[제로의 짝수성]]을 참조のこと。
_[87] 문서 특히Fortran의 언어 사양에서는, 0과 O의 착오가 에러가 아니라, 의도하지 않는 의미로서 통해 버리기 쉬웠다.
_[88] 논문 "Towards standards for handwritten zero and oh: much ado about nothing (and a letter), or a partial dossier on distinguishing between handwritten zero and oh" Communications of the ACM 1967-08
_[89] 문서 対応フォントとブラウザの両方が必要。「font-feature-settings:'zero' 1;」で斜線あり、「font-feature-settings:'zero' 0;」で斜線なしを指定できる。
_[90] 문서 Fortran 90 for the Fortran 77 Programmer http://www.nsc.liu.s[...]
_[91] 문서 『計算機科学の発想』(1981) p. 181
_[92] 문서 confirmation numbers http://southwest.com[...]
_[93] 웹사이트 お札の紹介 http://www.npb.go.jp[...] 국립인쇄국 2024-05-17
_[94] 문서 차르스 사이페 『이단의 수 제로』2003 신조사 p15
_[95] 서적 Science and civilisation in China. Vol. 1 Introductory orientations http://worldcat.org/[...] Cambridge University Press 1988
_[96] 문서 사이페 p15
_[97] 문서 当時はまだ負の数も発明されていない。
_[98] 문서 사이페 p47、p55
_[99] 문서 なぜ、0で割ってはいけないか http://izumi-math.jp[...]
_[100] 뉴스 最古の「ゼロ」文字、3～4世紀のインド書物に英大学が特定 https://web.archive.[...]
_[101] 문서 カラパイア　2017年09月22日 http://karapaia.com/[...]
_[102] 문서 03、06、044、075、09802 などの先頭の 0 のこと。これは市外局番には含まれない。携帯電話の080、090の先頭の 0 も同様に国内プレフィックスである。よって、国外から掛ける場合は、この先頭の 0 はダイヤルしない。（例：日本国内 0460-8x-xxxx → 81-460-8x-xxxx）
_[103] 문서 가끔 O로 표기하기도 한다.
_[104] 서적 Pinciples of mathematics, page 125 http://books.google.[...]
_[105] 서적 과학의 역사 1 에코리브르
_[106] 서적 재미있는 수학여행 2 김영사 2007
_[107] 서적 수학 모험 맑은소리 2007
_[108] 서적 The Nothing That Is: A Natural History of Zero Oxford University Press 2000
_[109] 서적 수학자를 알면 공식이 보인다 성우 2002
_[110] 서적 Elements of the History of Mathematics Springer-Verlag 1998
_[111] 서적 리더스 북 2008
_[112] 서적 꿈꾸는 과학 풀로엮은집 2008
_[113] 서적 The Olmecs: America's First Civilization Thames & Hudson 2004
_[114] 문서
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_[116] 서적 수학과교육 학문사 1994

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