R대칭

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 다양한 차원과 초대칭 수에서의 R대칭군
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 기하학적 해석
- 4.2. 등각 대칭 / (반) 더 시터르 공간
참조

1. 개요

R대칭은 초대칭 이론의 초대칭 리 초대수의 보존 성분에서 시공간 대칭을 제외한 대칭이다. 스피너 표현의 종류에 따라 R대칭군은 직교군, 유니터리 군, 심플렉틱 군 중 하나가 된다. 일반적인 초대칭 양자장론에서 R대칭은 해밀토니안 연산자와 가환하지 않아 실제 이론의 대칭이 아닐 수 있지만, 등각 장론에서는 R대칭이 깨질 수 없다. R대칭군은 이론의 차원, 초대칭 수에 따라 다양하며, 4차원 N=4 양-밀스 이론의 경우 AdS/CFT 대응성을 통해 반 더 시터르 공간의 등거리군으로 설명될 수 있다.

2. 정의

시공간 대칭 $L$ 이 주어졌다고 가정하자. 예를 들어, 부호수 $(p,q)$ 의 민코프스키 공간에서는 푸앵카레 대칭 $\operatorname{ISO}(p,q)$ 이 해당하며, 반 더 시터르 공간이나 등각 장론에서는 $\operatorname{SO}(p+1,q+1)$ 과 같은 형태가 된다.

이러한 시공간 위에 초대칭 이론을 정의할 때, 초대칭의 리 초대수 $\mathfrak g$ 의 보손 성분 $\mathfrak g_0$ 를 고려할 수 있다. 콜먼-맨듈라 정리 및 하크-워푸샨스키-조니우스 정리에 따르면, 이 보손 성분은 일반적으로 다음과 같이 시공간 대칭의 리 대수 $\operatorname{Lie}(L)$ 와 이와 가환하는(서로 영향을 주지 않는) 다른 대칭의 리 대수 $\mathfrak r$ 의 합으로 표현된다.

: $\mathfrak g_0 = \operatorname{Lie}(L) \oplus \mathfrak r$

여기서 리 대수 $\mathfrak r$ 에 대응하는 대칭을 '''R대칭'''이라고 부른다.

이론에서 사용되는 스피너 표현이 실수, 복소수, 또는 사원수인지에 따라, R대칭군은 각각 직교군, 유니터리 군, 심플렉틱 군의 형태를 띠게 된다. 구체적인 시공간 차원과 초대칭 수에 따른 R대칭군의 종류는 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

2. 1. 다양한 차원과 초대칭 수에서의 R대칭군

시공간 대칭

L

(예: 부호수

(p,q)

의 민코프스키 공간에서의 푸앵카레 대칭

\operatorname{ISO}(p,q)

, 반 더 시터르 공간이나 등각 장론에서의

\operatorname{SO}(p+1,q+1)

) 위에 초대칭 이론을 정의할 때, 초대칭의 리 초대수

\mathfrak g

의 보손 성분

\mathfrak g_0

는 일반적으로 시공간 대칭의 리 대수

\operatorname{Lie}(L)

와 이와 가환하는(서로 영향을 주지 않는) 다른 대칭의 리 대수

\mathfrak r

의 합으로 나타낼 수 있다 (

\mathfrak g_0 = \operatorname{Lie}(L) \oplus \mathfrak r

). 이는 콜먼-맨듈라 정리 및 하크-워푸샨스키-조니우스 정리 등에서 다루어진다. 여기서

\mathfrak r

에 해당하는 대칭을 '''R대칭'''이라고 부른다.

R대칭군은 스피너 표현이 실수, 복소수, 또는 사원수인지에 따라 각각 직교군, 유니터리 군, 심플렉틱 군의 형태를 띤다. 구체적으로, 시공간 부호수

(p,q)

와 초대칭 수

\mathcal N

에 따른 R대칭군은 아래 표와 같다. 여기서

(p-q)\bmod 8

값은 스피너의 종류를 결정하는 데 사용된다.

$(p-q)\bmod 8$	스피너 종류	R대칭 ( $\mathcal N$ 은 초대칭 수)
0	마요라나-바일	$\operatorname{SO}(\mathcal N)$
±1	마요라나	$\operatorname{SO}(\mathcal N)$
±2	마요라나, 바일	$\operatorname U(\mathcal N)$
±3	디랙	$\operatorname{USp}(\mathcal N)$
4	(심플렉틱-마요라나) 바일	$\operatorname{USp}(\mathcal N)$

이러한 R대칭 중 일부는 이론 내 상호작용에 의해 깨지거나, 게이지 대칭의 일부가 될 수도 있다.

3. 성질

일반적인 초대칭 양자장론에서, R대칭은 (이름과 달리) 실제 이론의 대칭이 아닐 수 있다. 즉, 해밀토니언 연산자와 가환하지 않을 수 있다. 이 깨짐은 직접적으로 (R대칭을 따르지 않는 라그랑지언 항), 또는 변칙적으로 일어날 수 있다. 그러나 등각 장론의 경우, 등각 대수가 닫히기 위해서 R대칭이 꼭 필요하며, 따라서 R대칭이 깨질 수 없다.

4차원에서, 중심 전하(central charge^영어)가 없는 $\mathcal N$ 초대칭 이론의 경우 R대칭은 $\operatorname U(\mathcal N)$ 이다 ( $\mathcal N=4$ 일 경우, $\operatorname{SU}(4)$ ). 만약 중심 전하 $Z_{ij}$ 가 주어질 경우, R대칭은 중심 전하를 보존하는 부분군인 심플렉틱 군 $\operatorname{USp}(\mathcal N)$ 으로 깨지게 된다.^[1]

4. 예시

민코프스키 공간 위의 초대칭 이론 (특히 양-밀스 이론)의 R대칭군은 다음과 같다.

시공간 차원	초대칭 수(𝒩)	R대칭군	주석
(1,1)	(2,2)	U(1)_A×U(1)_V	물질에 따라서 U(1)_A 또는 U(1)_V 둘 다 변칙을 겪을 수 있음
(2,1)	4	SO(4) = SU(2)×SU(2)
(3,1)	1	U(1)
(3,1)	2	SU(2)	U(1) 성분은 변칙적으로 $\mathbb Z_{4N_\text{c}}$ 로 깨짐, 게이지 군 $SU(N_\text{c})$
(3,1)	4	SU(4)
(5,1)	(1,0)	USp(2) = SU(2)
(5,1)	(1,1)	USp(2)×USp(2) = SU(2)×SU(2)
(5,1)	(2,0)	USp(4) = Spin(5)^[2]

4. 1. 기하학적 해석

일부 R대칭은 다음과 같이 기하학적으로 해석할 수 있다.

4차원 $\mathcal N=4$ 양-밀스 이론의 SU(4)=Spin(6) R대칭군은 AdS/CFT 대응성을 통해, 반 더 시터르 공간의 등거리군으로 설명할 수 있다. 또한, 4차원 $\mathcal N=4$ 이론은 10차원 $\mathcal N=1$ 양-밀스 이론에서 6개의 차원을 축소화하여 얻을 수 있으며, 이 과정에서 Spin(6)=SU(4) R대칭군을 얻는다.
6차원 $\mathcal N=(1,1)$ 이론의 경우, 10차원 $\mathcal N=1$ 양-밀스 이론에서 4개의 차원을 축소화하여 얻을 수 있다. 이에 따라 R대칭군은 Spin(4)=USp(2)×USp(2)이다.
6차원 $\mathcal N=(2,0)$ 이론은 M5-막 위에 존재하는 것으로 생각된다. 따라서, 11차원 M이론을 사용하여 M5-막에 수직인 5개의 차원으로부터 R대칭 Spin(5)=USp(4)를 얻는다.
3차원 $\mathcal N=4$ 이론은 6차원 $\mathcal N=1$ 이론에서 세 개의 차원을 축소화하여 얻을 수 있다. 이 경우, 6차원 $\mathcal N=1$ 이론은 USp(2) R대칭을 가지며, 축소화한 3개의 차원으로부터 Spin(3)=SU(2) R대칭이 추가로 발생한다. 따라서 총 R대칭은 Spin(4)=SU(2)×SU(2)이다.

4. 2. 등각 대칭 / (반) 더 시터르 공간

실수 단순 리 초대수 가운데, 그 보손 부분 대수가

:

\mathfrak o(p,q) \oplus

콤팩트 리 대수

의 꼴인 것들은 다음이 있다.

리 대수	시공간 부호수	R대칭
\mathfrak{su}(2,2>\mathcal N)	(4,2)	$\mathfrak{su}(\mathcal N)\oplus\mathbb R$
\mathfrak{psu}(2,2>4)	(4,2)	$\mathfrak{su}(4)$
\mathfrak{su}(4>\mathcal N)	(6,0)	$\mathfrak{su}(\mathcal N)\oplus\mathbb R$
\mathfrak{psu}(4>4)	(6,0)	$\mathfrak{su}(4)$
\mathfrak{su}(2>\mathcal N)	(3,0)	$\mathfrak{su}(\mathcal N)\oplus\mathbb R$
\mathfrak{psu}(2>2)	(3,0)	$\mathfrak{su}(2)$
\mathfrak{su}(1,1>\mathcal N)	(2,1)	$\mathfrak{su}(\mathcal N)\oplus\mathbb R$
\mathfrak{psu}(1,1>2)	(2,1)	$\mathfrak{su}(2)$
\mathfrak{osp}(\mathcal N>4;\mathbb R)	(3,2)	$\mathfrak o(\mathcal N)$
\mathfrak{osp}(\mathcal N>2;\mathbb R)	(2,1)	$\mathfrak o(\mathcal N)$
\mathfrak{osp}(4>2,\alpha)	(2,1)	$\mathfrak o(4)$
$\mathfrak f(4)$	(2,1)	$\mathfrak o(7)$
$\mathfrak f(4)$	(3,0)	$\mathfrak o(7)$
$\mathfrak f(4)$	$(7-p,p)$	$\mathfrak{su}(2)$
$\mathfrak g(3)$	(2,1)	$\mathfrak g_2$

이들은 초등각 장론 또는 이에 대응하는 반 더 시터르 공간이나 더 시터르 공간 위의 초대칭 이론에서 사용된다.^[3]

참조

_[1] 서적 Topological quantum field theories and four manifolds Springer
_[2] 웹인용 보관된 사본 http://string14.itp.[...] 2015-05-15
_[3] 간행물 Superstring theory on AdS₂ × S² as a coset supermanifold 2000

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