베스-추미노 모형

3. 정의

계량 부호수 (+−−−)를 사용한다.

$n$개의 왼손 손지기 초장 $\backslash phi\_1,\backslash phi\_2,\backslash dots,\backslash phi\_n$이 있다고 할 때, 베스-추미노 모형은 이 초장들로 만들 수 있는 모든 4차원에서 재규격화할 수 있는 항을 포함한다. 이러한 항은 F항과 D항으로 나뉜다. 라그랑지언은 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\; L=\backslash mathcal\; L\_F+\backslash mathcal\; L\_D$

F항과 D항에 대한 더 자세한 내용은 하위 섹션을 참고한다.

3. 1. F항 (위치 에너지)

3. 2. D항 (운동 에너지)

3. 3. 현상론

4. 베스-추미노 작용 (The Wess–Zumino action)

베스-추미노 모형에서 상호작용은 초퍼텐셜(초전위)을 통해 추가된다. 4차원에서 재규격화 가능한 가장 일반적인 초퍼텐셜 $W$는 다음과 같다.^[1]

:$W(\backslash phi)=a\_i\backslash phi\_i+\backslash frac12m\_\{ij\}\backslash phi\_i\backslash phi\_j+\backslash frac16y\_\{ijk\}\backslash phi\_i\backslash phi\_j\backslash phi\_k$

여기서 $a\_i$, $m\_\{ij\}$, $y\_\{ijk\}$는 복소수 결합 상수이다.

베스-추미노 초퍼텐셜은 다음과 같다.

:$W(\backslash Phi)\; =\; m\backslash Phi^2\; +\; \backslash frac\{4\}\{3\}\backslash lambda\backslash Phi^3.$

$W(\backslash Phi)$는 복소수이므로, 작용이 실수가 되도록 켤레 복소수도 추가해야 한다.

결합 상수 $\backslash lambda$를 갖는 상호작용 항을 추가하면 초대칭성을 보존할 수 있다. 상호작용 항은 다음과 같다.^[1]

::$\backslash mathcal\{L\}\_\{\backslash text\{int\}\}\; =\; -\backslash lambda\backslash left(\backslash bar\backslash psi(S-P\backslash gamma\_5)\backslash psi\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash lambda(S^2\; +\; P^2)^2\; +\; mS(S^2\; +\; P^2)\backslash right).$

전체 베스-추미노 작용은 자유, 질량이 있는 경우, 상호작용하는 경우의 라그랑지안을 함께 묶어 다음과 같이 나타낸다.^[1]

::$I\_\{\backslash text\{WZ\}\}\; =\; \backslash int\; d^4x\backslash \; (\backslash mathcal\{L\}\_\{\backslash text\{kin\}\}\; +\; \backslash mathcal\{L\}\_\{\backslash text\{m\}\}\; +\; \backslash mathcal\{L\}\_\{\backslash text\{int\}\})$

실수 스칼라장 $S$와 유사스칼라장 $P$를 복소 스칼라장 $\backslash phi\; :=\; \backslash frac\{1\}\{2\}(S\; +\; iP)$로 결합하고, 마요라나 스피너를 바일 스피너 $\backslash psi\; =\; (\backslash chi^\backslash alpha,\; \backslash bar\; \backslash chi\_\backslash dot\backslash alpha)$로 표현하여 베스-추미노 작용을 다르게 표현할 수 있다.

초퍼텐셜(초전위)

:$W(\backslash phi):=\; \backslash frac\{1\}\{2\}m\backslash phi^2\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash lambda\; \backslash phi^3,$

를 정의하면 베스-추미노 작용은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[1]

:$I\_\{\backslash text\{WZ\}\}\; =\; \backslash int\; d^4x\; \backslash left[\backslash partial\_\backslash mu\; \backslash phi^\backslash dagger\; \backslash partial^\backslash mu\; \backslash phi\; -\; i\backslash chi\backslash sigma^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash bar\backslash chi\; -\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash partial\; W\}\{\backslash partial\backslash phi\}\backslash right|^2\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash frac\{\backslash partial^2W\}\{\backslash partial\; \backslash phi^2\}\backslash chi\backslash chi\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash frac\{\backslash partial^2W^\backslash dagger\}\{\backslash partial\; \backslash phi^\{\backslash dagger\; 2\}\}\backslash bar\backslash chi\backslash bar\backslash chi\backslash right]$

$W(\backslash phi)$를 대입하면, 질량을 가진 복소 스칼라 $\backslash phi$와 같은 질량을 가진 마요라나 스피너 $\backslash psi$를 가진 이론임을 알 수 있다. 상호작용은 3차 및 4차 $\backslash phi$ 상호작용과 $\backslash phi$와 $\backslash psi$ 사이의 유카와 상호작용이다.

4. 1. 예비적 처리 (Preliminary treatment)

4. 1. 1. 시공간 및 물질 구성 (Spacetime and matter content)

4. 1. 2. 자유, 무질량 이론 (Free, massless theory)

• $\backslash partial\; \backslash !\backslash !\backslash !/\; =\; \backslash gamma^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash mu$
• $\backslash bar\; \backslash psi\; =\; \backslash psi^t\; C\; =\; \backslash psi^\backslash dagger\; i\; \backslash gamma^0.$

4. 1. 3. 질량이 있는 이론 (Massive theory)

4. 1. 4. 상호작용하는 이론 (Interacting theory)

4. 1. 5. 다른 표현 (Alternative expression)

4. 2. 초공간 및 초장 사용 (Using superspace and superfields)

5. 작용의 초대칭성 (Supersymmetry of the action)

이 작용은 무한소 형태로 주어진 초대칭 변환에 대해 불변한다.

:$\backslash delta\_\{\backslash epsilon\}\; S=\backslash bar\{\backslash epsilon\}\; \backslash psi$

:$\backslash delta\_\{\backslash epsilon\}\; P\; =\backslash bar\{\backslash epsilon\}\; \backslash gamma\_\{5\}\; \backslash psi$

:$\backslash delta\_\{\backslash epsilon\}\; \backslash psi\; =\; [\backslash partial\backslash !\backslash !\backslash !/\; -\; m\; -\; \backslash lambda\; (S+P\backslash gamma\_\{5\})\; ]\; (S+P\backslash gamma\_\{5\})\backslash epsilon$

여기서 $\backslash epsilon$는 마요라나 스피너 값의 변환 매개변수이고, $\backslash gamma\_\{5\}$는 손지기 연산자이다.

대안적인 형태는 다음 변환에 대해 불변한다.

:$\backslash delta\_\backslash epsilon\; \backslash phi\; =\; \backslash sqrt\; 2\; \backslash epsilon\; \backslash chi$

:$\backslash delta\_\backslash epsilon\; \backslash chi\; =\; \backslash sqrt\; 2\; i\; \backslash sigma^\backslash mu\; \backslash bar\backslash epsilon\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash phi\; -\; \backslash sqrt\; 2\; \backslash epsilon\; \backslash frac\{\backslash partial\; W^\backslash dagger\}\{\backslash partial\; \backslash phi^\backslash dagger\}$.

초공간 변환 이론을 전개하지 않으면 이러한 대칭은 임시변통으로 보인다.

만약 작용이 다음과 같이 표현될 수 있다면:

:$S\; =\; \backslash int\; d^4\; x\; d^4\; \backslash theta\; K(x,\; \backslash theta,\; \backslash bar\; \backslash theta)$

여기서 $K$는 실수 초장이며, 즉 $K^\backslash dagger\; =\; K$이고, 작용은 초대칭성에 대해 불변이다.

이때, $K\; =\; \backslash bar\backslash Phi\; \backslash Phi$의 실수는 초대칭성에 대해 불변임을 의미한다.

5. 1. 예비적 처리 (Preliminary treatment)

5. 2. 초장 처리 (Superfield treatment)

6. 추가적인 고전 대칭 (Extra classical symmetries)

베스-추미노 모형은 초등각 대칭과 R-대칭이라는 추가적인 고전 대칭을 가질 수 있다.

6. 1. 초등각 대칭 (Superconformal symmetry)

6. 2. R-대칭 (R-symmetry)

7. 여러 개의 키랄 초장에 대한 작용 (Action for multiple chiral superfields)

여러 개의 손지기 초대장(Chiral superfield) $\backslash Phi^i$ ($i\; =\; 1,\; \backslash cdots,\; N$)를 사용하여 베스-추미노 모형을 일반화할 수 있다. 가장 일반적인 재정규화가능 이론은 다음과 같다.^[1]

:$I\; =\; \backslash int\; d^4\; x\; \backslash ,\; d^4\backslash theta\; \backslash ,\; K\_\{i\backslash bar\; j\}\backslash Phi^i\backslash Phi^\{\backslash dagger\backslash bar\; j\}\; +\; \backslash int\; d^4\; x\; \backslash left[\; \backslash int\; d^2\; \backslash theta\; \backslash ,\; W(\backslash Phi)\; +\; \backslash text\{h.c.\}\; \backslash right]$

여기서 초전위(superpotential)는 다음과 같다.

:$W(\backslash Phi)\; =\; a\_i\backslash Phi^i\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; m\_\{ij\}\; \backslash Phi^i\; \backslash Phi^j\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash lambda\_\{ijk\}\; \backslash Phi^i\; \backslash Phi^j\; \backslash Phi^k$

일반성을 잃지 않고 $\backslash text\{GL\}(N,\; \backslash mathbb\{C\})$에 따라 변환되는 좌표 변환을 통해 $K\_\{i\backslash bar\; j\}\; =\; \backslash delta\_\{i\; \backslash bar\; j\}$로 설정할 수 있다. 이 때 $K\; =\; \backslash delta\_\{i\; \backslash bar\; j\}\; \backslash Phi^i\; \backslash Phi^\{\backslash dagger\; \backslash bar\; j\}$는 표준 켈러 퍼텐셜(Kähler potential)이라고 한다. 질량 행렬 $m\_\{ij\}$는 유니타리 변환을 통해 대각화할 수 있다.

$N\; =\; 1$일 때, 다중항이 질량이 있으면 바일 페르미온은 마요라나 질량을 갖는다. 그러나 $N\; =\; 2$인 경우 초전위를 $W(\backslash Phi,\; \backslash tilde\; \backslash Phi)\; =\; m\backslash tilde\backslash Phi\backslash Phi$와 같이 잡으면 두 개의 바일 페르미온이 디랙 질량을 가질 수 있으며, 이 이론은 $\backslash Phi,\; \backslash tilde\backslash Phi$가 반대 전하로 회전하는 $\backslash text\{U\}(1)$ 대칭을 갖는다.

7. 1. 슈퍼 QCD (Super QCD)

7. 2. 초대칭 시그마 모형 (Supersymmetric sigma models)

• $g\_\{i\backslash bar\; j\}$는 켈러 계량으로, 켈러 변환에 대해 불변이며, 운동 항이 양의 정부호이면 역 계량 $g^\{i\backslash bar\; j\}$를 정의할 수 있다.
• 크리스토펠 기호(켈러 계량에 적용)는 $\backslash Gamma^i\{\}\_\{jk\}\; =\; g^\{i\backslash bar\; l\}\backslash partial\_j\; g\_\{k\; \backslash bar\; l\}$ 및 $\backslash bar\; \backslash Gamma^\{\backslash bar\; i\}\; \{\}\; \_\{\backslash bar\; j\; \backslash bar\; k\}\; =\; g^\{l\; \backslash bar\; i\}\backslash partial\_\{\backslash bar\; j\}\; g\_\{l\; \backslash bar\; k\}$로 주어진다.
• 공변 미분은 $\backslash nabla\_\backslash mu\; \backslash psi^i\; =\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash psi^i\; +\; \backslash Gamma\; ^i\{\}\_\{jk\}\; \backslash psi^j\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash phi^k$ 및 $\backslash nabla\_\backslash mu\; \backslash bar\backslash psi^\{\backslash bar\; i\}\; =\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash psi^\{\backslash bar\; i\}\; +\; \backslash bar\; \backslash Gamma\; ^\{\backslash bar\; i\}\{\}\_\{\backslash bar\; j\; \backslash bar\; k\}\; \backslash bar\; \backslash psi^\{\backslash bar\; j\}\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash bar\; \backslash phi^\{\backslash bar\; k\}$로 정의된다.
• 리만 곡률 텐서(켈러 계량에 적용)는 $R\_\{i\backslash bar\; j\; k\backslash bar\; l\}\; =\; g\_\{m\; \backslash bar\; j\}\; \backslash partial\_\{\backslash bar\; l\}\; \backslash Gamma^m\{\}\_\{ik\}\; =\; \backslash partial\_k\backslash partial\_\{\backslash bar\; l\}\; g\_\{i\; \backslash bar\; j\}\; -\; g^\{m\; \backslash bar\; n\}\; (\backslash partial\_k\; g\_\{i\; \backslash bar\; n\})\; (\backslash partial\_\{\backslash bar\; l\}g\_\{m\; \backslash bar\; j\})$로 정의된다.

7. 2. 1. 초퍼텐셜 추가 (Adding a superpotential)

참조

_[1] 논문 Supergauge transformations in four dimensions https://cds.cern.ch/[...]
_[2] arXiv Busstepp Lectures on Supersymmetry
_[3] 웹사이트 Lectures on Supersymmetry http://www.damtp.cam[...] 2022-07-19
_[4] 저널 Supergauge transformations in four dimensions