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초실수

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목차

1. 개요

초실수는 크룰 정리에 따라 실수 수열의 가환환의 몫환으로 정의되는 체로, 실수를 포함하는 순서체이다. 초실수체는 선택하는 자유 극대 필터에 따라 달라지며, 공리적 또는 구성적인 방법으로 개발될 수 있다. 초실수는 실수, 무한대 초실수, 무한소 초실수, 유한 초실수로 분류되며, 전달 원리를 통해 실수에서 참인 1차 논리 명제가 초실수에서도 참임을 보장한다. 미적분학에서 무한소와 함께 사용되며, 함수의 미분과 적분을 정의하는 데 활용된다. 에드윈 휴잇이 1948년 처음 사용했으며, 에이브러햄 로빈슨이 비표준 해석학을 발전시키면서 엄밀하게 정립했다.

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초실수
개요
유형비표준 실수
수학 분야실해석학, 비표준 해석학
도입1960년대, 에이브러햄 로빈슨
속성
순서전순서
조밀성조밀
완비성완비되지 않음
연산사칙연산, 지수, 로그, 삼각함수 등 (실수와 동일한 규칙 적용)
구성
초여과기 구성초여과기를 이용한 잉여류 구성
공리적 구성확대 원리, 전달 원리 등을 만족하는 공리계 구성
활용
응용 분야미적분학, 확률론, 경제학, 물리학 등
장점직관적인 무한소 개념 제공, 문제 해결의 새로운 접근 방식 제시
관련 개념
관련 개념실수, 무한소, 비표준 해석학, 초실수체

2. 정의

초실수체는 실수 수열을 이용하여 구성할 수 있다. 크룰 정리에 따라 실수 수열의 가환환은 극대 아이디얼을 가지며, 이 몫환은 초실수체가 된다. 자유 극대 필터를 이용하여 초실수를 정의할 수도 있다. 초실수 집합의 크기는 실수 집합의 크기와 같다.

실수 ${\mathbb R}$의 수열 ${\mathbb R}^{\mathbb N}$의 가환환을 생각하자. 이는 크룰 정리에 따라 극대 아이디얼 ${\mathfrak u}\subset{\mathbb R}^{\mathbb N}$을 가진다. (크룰 정리는 선택 공리와 동치이다.) 그 몫환

:$ {\mathbb R}^{\mathbb N}/{\mathfrak u}={}^{*}{\mathbb R}$

는 체를 이루는데, 이를 '''초실수체'''(超實數體, hyperreal field영어)라고 하고, 그 원소를 '''초실수'''라고 한다. 각 실수를 상수열의 동치류로 대응시키면, 실수체는 다음과 같이 초실수체로 표준적으로 매장된다.

:$ r\in{\mathbb R}\mapsto[(r,r,r,\dots)]\in{}^{*}{\mathbb R}$

이러한 극대 아이디얼 ${\mathfrak u}$는 자유 극대 필터 ${\mathcal U}\subset{\mathcal P}({\mathbb N})$에 의하여 주어진다. 즉,

:$ (s_i)_{i\in{\mathbb N}}\in{\mathfrak u}\iff\{i\in{\mathbb N}\colon s_i=0\}\in{\mathcal U}$

이다. 이 경우, ${}^{*}{\mathbb R}$ 위에 다음과 같은 이항 관계를 정의할 수 있다.

:$ [s]\le[t]\iff\{i\in{\mathbb N}\colon s_i\le t_i\}\in{\mathcal U}$

이는 전순서를 이룬다는 것을 보일 수 있다. 따라서 초실수체는 실수체를 확대하는 순서체이다.

초실수체는 선택하는 자유 극대 필터에 따라 달라진다. 만약 연속체 가설을 가정한다면, 모든 초실수체는 순서체로서 서로 동형임을 보일 수 있다. 반면, 연속체 가설을 부정한다면 서로 동형이지 않는 초실수체가 존재한다.

:$ 2^=|{\mathbb R}|\le|^{*}{\mathbb R}|\le|{\mathbb R}|^

2. 1. 실수 집합의 확대

실수 집합 $S\subset\mathbb R$가 주어졌을 때, $S$의 '''초실수 확대'''는 다음과 같이 정의된다.

:{}^*S=\left\{[s]\in{}^*\mathbb R\colon\{i\in\mathbb N\colon s_i\in S\}\in\mathcal U\right\}

자연수 집합 $\mathbb N\subset\mathbb R$의 초실수 확대를 '''초자연수'''라고 한다. 정수 집합 $\mathbb Z\subset\mathbb R$의 초실수 확대를 '''초정수'''라고 한다. 초정수의 집합은 초실수체의 부분환을 이룬다. 유한 초정수는 정수이며, 모든 비표준 초정수는 무한 초실수이다.[20]

3. 성질

초실수체는 전순서체이며, 아르키메데스 체가 아니다. 이는 아르키메데스 성질을 1차 논리로 기술할 수 없기 때문이다. 초실수체는 선택하는 자유 극대 필터에 따라 달라지는데, 연속체 가설을 가정하면 모든 초실수체는 순서체로서 서로 동형임을 보일 수 있다. 반면, 연속체 가설을 부정하면 서로 동형이 아닌 초실수체가 존재한다. 초실수 집합의 크기는 실수 집합의 크기와 같다. 즉,

:|{}^*\mathbb R|=2^{\aleph_0}=|\mathbb R|이다.

초실수 *'''R'''은 실수 '''R'''을 체 확장으로 포함하는 순서체를 형성한다. 실수와 달리 초실수는 표준 거리 공간을 형성하지 않지만, 순서에 따라 순서 위상을 갖는다.[17]

"초실수"라는 구문에서 정관사 "the"를 사용하는 것은, 대부분의 경우 언급되는 고유한 순서 체가 없다는 점에서 다소 오해의 소지가 있다.[17] 그러나 블라디미르 카노베이와 사하론 셸라의 2003년 논문[8]에 따르면, 실수의 정의 가능하고 가산 포화 모형 (즉, ω-포화이지만 가산 집합은 아님) 기초 부분 구조 기초 확장이 존재하며, 따라서 "the" 초실수라는 칭호를 가질 만하다. 또한, 모든 실수열의 공간에서 초멱 구성을 통해 얻은 체는, 연속체 가설을 가정하면 동형 사상까지 유일하다.

초실수체 조건은 '''R'''을 엄격하게 포함하는 실수 닫힌 체인 것보다 더 강력하다. 또한 데일스와 우딘의 의미에서 초실수체인 것보다 더 강력하다.[9]

초실수 체계는 실수 '''R'''을 무한소와 무한대 수를 포함하는 체계 *'''R'''로 확장하되, 대수의 기본 공리는 변경하지 않는다.

st영어 함수는 유한 초실수체 상의 순서 위상에 관해 연속이다 (사실 st영어 함수는 국소 상수 함수가 된다).

3. 1. 전달 원리

\phi가 기호 +,-,\times,{}^{-1},\le 및 \forall x_i\in\mathbb R, \exists x_i\in\mathbb R를 사용하는 1차 논리 명제라고 할 때, 이 명제에서 모든 변수를 실수 대신 초실수로 바꾼 1차 논리 명제 \phi^*를 정의할 수 있다. \phi와 \phi^*는 서로 동치이다. 즉, \phi가 참이라면 \phi^* 역시 참이며, \phi가 거짓이라면 \phi^* 역시 거짓이다. 이를 '''전달 원리'''(transfer principle영어)라고 한다.[17]

전달 원리는 실수에서 참인 1차 논리 명제가 초실수에서도 참임을 보장한다. 예를 들어, "모든 수 ''x''에 대해, ''x'' + 0 = ''x''" 와 같은 공리는 실수와 초실수에서 모두 참이다. 마찬가지로 "모든 수 ''x''와 ''y''에 대해, ''xy'' = ''yx''" 와 같은 명제도 실수와 초실수에서 모두 성립한다.

하지만 전달 원리는 고차 논리에서는 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어,

:\exists\omega\forall n\in\mathbb N\colon\overbrace{1+1+\cdots+1}^n\le\omega

와 같은 명제는 \mathbb R에서 거짓이지만 \mathbb R^*에서는 참이다. 그러나 이 명제는 1차 논리 명제로 쓸 수 없다.

전달 원리가 성립하지 않는 이유는, *'''R'''에는 '''R'''에는 없는 원소 ''ω'' 가 존재하기 때문이다. 이 원소는 다음 성질을 만족한다.

: 1<\omega, \quad 1+1<\omega, \quad 1+1+1<\omega, \quad 1+1+1+1<\omega, \ldots.

즉, ''ω''는 어떤 자연수보다도 큰 수이다. 이러한 수는 '''R'''에는 존재하지 않지만, *'''R'''에는 존재한다. ''ω''의 부존재는 일차 명제로 표현될 수 없기 때문에 전달 원리가 '''R'''과 *'''R'''이 동일하게 동작하지 않는데 영향을 준다.

전달 원리의 예시로 "0이 아닌 어떤 수에 대해서도 2x \ne x"라는 주장은 실수에 대해 참이며, 초실수에 대해서도 참이다.

3. 2. 위상수학적 성질

초실수 전순서 집합은 순서 위상을 부여하여 위상 공간으로 만들 수 있다. 순서 위상의 성질에 따라, 초실수 공간은 완비 정규 하우스도르프 공간 (즉, T5 공간)이다.

초실수의 위상 공간은 연결 공간이 아니며, 완전 분리 공간이다. 초실수 공간은 국소 콤팩트 공간이 아니며, 분해 가능 공간이 아니며, 제1 가산 공간이 아니다. 따라서, 초실수 공간은 거리화 가능 공간이 아니다.

4. 분류

초실수는 실수, 무한대 초실수, 무한소 초실수, 유한 초실수로 분류할 수 있다.


  • 무한대 초실수 (infinite hyperreal영어): 모든 실수 r에 대해 r < |r^*|를 만족하는 초실수 r^*이다.
  • 무한소 초실수 (infinitesimal hyperreal영어): 무한대 초실수의 역수이다. 즉, 모든 실수 r에 대해 r < 1/|r^*|를 만족시키는 0이 아닌 초실수 r^*이다.
  • 유한 초실수 (finite hyperreal영어): 무한대가 아닌 초실수이다.


유한 초실수의 집합 {}^*\mathbb F\subset{}^*\mathbb R은 값매김환을 이루며, 이 환의 유일한 극대 아이디얼은 무한소 초실수의 유사환 \mathfrak i\subset{}^*\mathbb F이다. 이에 대한 몫환은 실수체와 표준적으로 동형이다.

:{}^*\mathbb F/\mathfrak i\cong\mathbb R

즉, 모든 유한 초실수 {}^*r는 실수 r와 무한소 초실수 \epsilon의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 여기서 r를 {}^*r의 '''표준 부분'''이라고 하며, \operatorname{st}({}^*r)라고 쓴다.

4. 1. 모나드

초실수에 대하여 다음과 같은 자연스러운 동치 관계가 존재한다.

: a\approx b\iff\operatorname{st}(a)=\operatorname{st}(b)

이에 대한 동치류를 '''모나드'''(monad영어)라고 한다.[1] 모나드는 같은 표준 부분을 갖는 초실수들의 동치류이다.

5. 예

실수 $r$는 상수열의 동치류 $[(r,r,r,\dots)]$로 대응된다.[11]

무한대 초자연수는 초실수 $[(0, 1, 2, 3, 4, \dots)]$로 나타낼 수 있다. 이 초실수의 역수 $[(1, 1/2, 1/3, 1/4, \dots)]$는 무한소 초실수이다.[11]

6. 해석학에서의 이용

미적분학에서 무한소 ''dx''와 이상 적분의 적분 한계에 사용되는 ∞와 같은 비실수 양에 대한 비공식적인 표기법이 역사적으로 두 가지 맥락에서 나타났다.

모든 0이 아닌 실수 ''x''에 대해 ''2x'' ≠ ''x''라는 명제는 전달 원리에 의해 초실수에서도 참이다. 이는 ∞와 같은 일반적인 기호를 모든 초실수 무한량에 사용할 수 없음을 보여준다. 무한량은 다른 무한량과 크기가 다르며, 무한소도 마찬가지이다.

1/0 = ∞와 같은 임의적인 사용은 0이 곱셈의 역원을 갖지 않는다는 명제에 전달 원리가 적용되므로 유효하지 않다. 엄밀하게는 ε가 0이 아닌 무한소일 때 1/ε는 무한대이다.

모든 유한 초실수 ''x''의 표준 부분 st(''x'')는 ''x''와 무한소만큼만 다른 유일한 실수이다.

6. 1. 미분

함수 f의 미분 df는 모든 순서쌍 (x,dx) (여기서 x는 실수이고 dx는 0이 아닌 무한소)를 무한소로 보내는 맵으로 다음과 같이 정의된다.[1]

: df(x,dx) := \operatorname{st}\left(\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx}\right) \ dx.

여기서 st(''x'')는 x의 표준 부분을 나타낸다.

실수 값을 갖는 함수 f는 다음 몫

: \frac{df(x,dx)}{dx}=\operatorname{st}\left(\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx}\right)

이 0이 아닌 모든 무한소 dx에 대해 동일하면 점 x에서 미분 가능하다고 하며, 이 몫을 x에서의 f의 도함수라고 한다.[1]

예를 들어, 함수 f(x)=x^2의 도함수를 구하기 위해, dx를 0이 아닌 무한소로 두면 다음과 같다.[1]

\frac{df(x,dx)}{dx}=\operatorname{st}\left(\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx}\right)
=\operatorname{st}\left(\frac{x^2 + 2x \cdot dx + (dx)^2 -x^2}{dx}\right)
=\operatorname{st}\left(\frac{2x \cdot dx + (dx)^2}{dx}\right)
=\operatorname{st}\left(2x + dx\right)
=2x



이는 f(x)=x^2의 도함수가 2x임을 보여준다.

초실수 체계에서는 ''dx''2 ≠ 0 이다. 왜냐하면 ''dx''는 0이 아니고, 임의의 0이 아닌 수의 제곱이 0이 아니라는 명제에 대해 전달 원리를 적용할 수 있기 때문이다. 그러나, ''dx''2는 ''dx''에 비해 무한히 작다. 즉, 초실수 체계는 무한소 양의 계층 구조를 포함한다.[1]

6. 2. 적분

초실수 체계에서 정적분은 무한소와 초정수를 이용하여 정의할 수 있다. 라이프니츠가 정적분을 정의하기 위해 사용한 적분 기호 ∫에 정확한 의미를 부여할 수 있는데, 이는 다음과 같이 정의된다.[7]

임의의 무한소 함수 ε(x)에 대해, 적분 \int(\varepsilon) \ 는 임의의 순서쌍 (a,b,dx) (여기서 \ a \ 와 \ b \ 는 실수이고, \ dx \ 는 \, b-a와 부호가 같은 무한소)를 값으로 보내는 함수로 정의할 수 있다.

:\int_a^b(\varepsilon,dx):=\operatorname{st}\left(\sum_{n=0}^N\varepsilon(a+n \ dx)\right),

여기서 \ N \ 은 \operatorname{st}(N \ dx) = b-a.를 만족하는 임의의 초정수이다.

실수 값을 갖는 함수 f는 임의의 닫힌 구간 \ [a,b] \ 에서 적분 가능하다고 한다. 만약 임의의 0이 아닌 무한소 \ dx, \ 에 대해, 적분

:\int_a^b(f \ dx,dx)

이 \ dx.의 선택에 무관하다면, 이 적분을 f에 대한 \ [a,b].에서의 정적분 (또는 부정적분)이라고 부른다.

이와 같이 초실수를 사용하면, 정적분에 대한 라이프니츠의 표기법이 실제로 의미 있는 대수적 표현으로 해석될 수 있음을 보여준다.[7]

다른 방법으로는, dx를 무한소, n을 초준 자연수로 하여

:a, a + dx, a + 2dx, \ldots, a + n dx

로 정의되는 격자에서 취한 무한 합의 표준부를 취하는 것이다. 이때, 적분의 아래쪽 한계는 a, 위쪽 한계는 b = a + n dx이다.[16]

7. 역사

에드윈 휴잇(Edwin Hewitt)이 1948년에 초실수(hyperreal)라는 용어를 처음 사용했다.[21][22] 에이브러햄 로빈슨은 초실수 x에 대하여 {}^{\circ}x라는 표기법을 사용하여 표준 부분을 처음 정의했다. 비표준해석학에서 이 개념은 미분과 적분 등의 개념을 정립하는데 중요한 역할을 했다. 이후 이 개념은 엄격하게 형식화되어 무한소 이론으로 발전했다. 초실수를 사용하면 피에르 드 페르마의 직관적인 아다이콸리타스(adaequalitasla, "거의 같음") 개념을 "같은 표준 부분을 갖는 두 초실수"로 형식화할 수 있다.[23]

뉴턴과 라이프니츠가 미분을 도입했을 때 무한소를 사용했으며, 이는 오일러와 코시와 같은 수학자들에게 유용하게 여겨졌다. 그럼에도 불구하고 이러한 개념은 처음부터 조지 버클리에 의해 비판을 받는 등 의심스러운 것으로 여겨졌다. 버클리의 비판은 무한소(또는 유율)를 사용하여 도함수를 정의하는 과정에서 가설의 변화가 있다고 인식한 것에 집중되었다. 여기서 ''dx''는 계산 시작 시에는 0이 아닌 것으로 가정하고, 계산 결론에서는 0으로 사라지는 것으로 간주된다. (자세한 내용은 사라진 양의 유령 참조). 1800년대에 미적분학이 볼차노, 코시, 바이어슈트라스 등에 의해 극한의 (ε, δ)-정의가 개발되면서 확고한 기반을 갖게 되자, 무한소는 대부분 버려졌지만, 비아르키메데스 체에 대한 연구는 계속되었다.

그러나 1960년대에 에이브러햄 로빈슨은 무한히 크고 무한히 작은 숫자를 엄밀하게 정의하고 이를 사용하여 비표준 해석학 분야를 발전시키는 방법을 보여주었다.[10] 로빈슨은 그의 이론을 비구성적으로 모형 이론을 사용하여 개발했다. 그러나 대수학과 위상수학만을 사용하여 진행하고 정의의 결과로 이동 원리를 증명하는 것도 가능하다. 초실수 체는 휴이트 (1948)에 의해 초멱 구성(ultrapower construction)을 사용하여 순수한 대수적 기법으로 처음 도입되었다.

실수가 아닌 양에 대한 비공식적인 개념은 미적분학에서 무한소와 이상 적분의 극한에서 사용되는 기호, 두 가지 맥락에서 역사적으로 나타난다.

전이 원리의 한 예로 "0이 아닌 어떤 수에 대해서도 2''x'' ≠ ''x''"라는 주장은 실수에 대해 참이며, 초실수에 대해서도 참이다. 초실수에 대해 이것이 참이라는 것은, ∞ 와 같은 일반적인 기호는 초실수 체계에 속하는 모든 무한대량에 대해 사용할 수 없다는 것을 의미한다. 무한대량은 "크기"가 다른 무한대량과 다르고, 무한소량도 다른 무한소량과 다르다.

마찬가지로, "0으로의 나눗셈은 정의되지 않는다"라는 주장에 전이 원리를 적용할 수 있으므로, 1/0 = ∞ 와 같이 쓰는 것도 무효하다. 그러한 계산을 엄밀하게 쓰자면 "ε가 무한소이면 1/''ε''는 무한대량이다"가 된다.

어떤 유한 초실수 ''x''에 대해서도, 그 표준부 st(''x'')는, 무한소 차이밖에 없는 유일한 실수로 정의된다. 초실수는 공리적 또는 구성 지향적인 방법 중 하나를 통해 발전될 수 있다.

공리적 접근 방식의 본질은 다음과 같은 점을 주장하는 것이다.

# 적어도 하나의 무한소수의 존재

# 전이 원리의 타당성

초필터라고 불리는 집합론적 대상이 주어지면, 초실수를 구성할 수 있다. 그러나 비단항 초필터 자체는 명시적으로 구성되지 않는다 (Kanovei와 Shelah[17]는 엄청나게 복잡한 방법으로 명시적인 구성법을 제시했다).

실수열로부터 초실수체를 구성할 수 있음을 살펴보자.[20] 실수열의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의한다.

: (a_0, a_1, a_2, \ldots) + (b_0, b_1, b_2, \ldots) = (a_0 +b_0, a_1+b_1, a_2+b_2, \ldots)

: (a_0, a_1, a_2, \ldots) (b_0, b_1, b_2, \ldots) = (a_0 b_0, a_1b_1, a_2b_2, \ldots)

이것에 의해 실수열 전체가 이루는 집합은 가환환(실제로 실 가군)을 이룬다. 실수 ''r''과 수열 (''r'', ''r'', ''r'', ...)를 동일시함으로써, 실수 집합의 실수열 집합으로의 자연스러운 매립이 존재한다. 이 동일시는 실수의 대수적 연산을 보존한다. 직관적인 동기는, 예를 들어, 0으로 수렴하는 수열을 사용하여 무한소 초실수를 나타내고 싶다는 것이다. 그러한 수열의 역원이 무한대 초실수를 나타낼 것이다.

self-consistent 하고 well defined 해야 한다는 점에서 수열의 비교 규칙을 정의할 필요성에서 어려움이 발생한다. 예를 들어, 처음 ''n'' 항만 다르고 나머지는 모두 동일한 두 수열은 같고, 즉, 이러한 수열은 분명히 동일한 초실수로 간주되어야 한다. 마찬가지로, ε은 어떤 무한소 초실수로 7 + ''ε''를 생각하듯이, 영원히 무작위로 진동하는 많은 수열에 대해서도 이를 해석하는 방법을 찾아야 한다.

실수열의 비교를 정의하는 것은 민감한 문제이다. 예를 들어, 덧셈이나 곱셈과 마찬가지로 다음과 같이 정의했다고 해도, 곧 문제가 발생한다.

: (a_0, a_1, a_2, \ldots) \leq (b_0, b_1, b_2, \ldots) \iff a_0 \leq b_0 \wedge a_1 \leq b_1 \wedge a_2 \leq b_2 \ldots

그것은 전자의 수열의 몇몇 항이, 후자의 수열의 대응하는 항보다 크고, 그 외의 항이 작을 수 있기 때문이다. 따라서, 이 방법에 의해 정의되는 관계는 반순서이다. 이것을 피하려면, 위치의 문제를 명시해야 한다. 수열에는 무한의 항(첨자)이 존재하므로, 유한 개의 항에 대해서 그것을 문제 삼고 싶지 않다. 문제가 되는 첨자 집합의 일관된 선택은, 자연수 위의 임의의 자유 초필터 ''U''에 의해 주어진다. 자유 초필터는 유한 집합을 포함하지 않는 초필터를 말한다(그 좋은 점은, 초른의 보조정리에 의해 그러한 많은 ''U''가 존재한다는 것이다. 나쁜 점은, 그것이 명시적으로 구성될 수 없다는 것이다). "문제"가 되는 첨자 집합을 하나 골라내는 듯한, ''U''를 생각하자. 즉,

:(a_0 , a_1 , a_2 , ...) \leq (b_0 , b_1 , b_2 , ...) \Leftrightarrow \{ n \mid a_n \leq b_n \} \in U

라고 정의하자.

이것은 전체 전순서이며, 두 수열 ''a'', ''b''에 대해, ''a'' ≤ ''b'' 및 ''b'' ≤ ''a''일 때, ''a''와 ''b''를 구별하지 않는 것을 인정하면, 이것은 전순서가 된다. 이 동일시에 의해, 초실수 순서체 *'''R'''가 구성된다. 대수적 관점에서 보면, ''U''에 의해 대응하는 가환환의 극대 아이디얼 (즉, ''U''의 원소의 몇몇이 소멸된 수열의 집합)을 정의하고, *'''R'''을 정의할 수 있다. 극대 아이디얼에 의한 가환환의 몫으로서, *'''R'''은 체이다. 그것을 자유 초필터 ''U''를 사용하여 라고 쓸 수도 있으며, 그것들은 같다. 그 ''I''의 극대성으로부터, 주어진 수열 ''a''로부터 그 비영원소의 역수를 취하고, 영원소는 그대로 둔 수열 ''b''를 만들 수 있다는 가능성이 따른다. 그것들의 곱 ''ab''는, 이 경우 수 1과 동일시되고, 1을 포함하는 어떠한 아이디얼은 여야 한다. 그 결과의 체에서, ''a''와 ''b''는 서로 역원이다.

체는 의 초멱이다. 이 체는 을 포함하므로, 최소한 연속체 농도 이상의 농도를 갖는다. 는

:(2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0^2} =2^{\aleph_0},\,

라는 농도 이하이기도 하므로, 의 농도는 연속체 농도와 같다.

여기서 한 가지 의문이 생긴다. 그것은 ''U''와는 다른 자유 초필터 ''V''를 선택하면, 그 몫 가 와 동형인지 여부이다. 이 의문은, 연속체 가설과 동일하다는 것이 밝혀져 있다. ZFC와 연속체 가설을 가정하고, 이러한 체는 순서 동형으로 일의적이라는 것을 증명할 수 있다. ZFC와 연속체 가설의 부정을 가정하고, 각각 가산으로 첨자된 실수의 초멱으로, 순서 비동형인 체의 쌍이 존재한다는 것을 증명할 수 있다.

구성의 자세한 설명은 초곱을 참조하라.

참조

[1] 웹사이트 Hyperreal Number https://mathworld.wo[...] 2024-03-20
[2] 서적 Selected papers of Abraham Robinson. 2: Nonstandard analysis and philosophy Yale Univ. Press 1979
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