추이적 모형

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1. 개요

추이적 모형은 집합론의 언어에서 정의된 구조로, 표준 구조, 추이적 표준 구조, 정초 구조, 확장적 구조 등의 개념을 포함한다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형 존재는 해당 집합론의 무모순성을 함의하지만, 그 역은 성립하지 않는다. 정초 확장적 구조는 모스토프스키 붕괴 정리에 의해 추이적 표준 구조와 동형이며, 이러한 동형은 유일하다. 폰 노이만 전체의 단계, 내부 모형, 가산 추이적 모형 등이 추이적 모형의 예시이며, 모스토프스키 붕괴 정리는 안드제이 모스토프스키에 의해 증명되었다.

추이적 모형

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 모스토프스키 붕괴
4. 예
5. 역사

2. 정의

집합론의 언어 $\mathcal L_\in$ 은 하나의 이항 관계 $\in$ 만을 갖는 언어이다. 이 언어의 구조 $(M,\tilde\in)$ 가 주어졌을 때, 다음과 같은 구조들을 정의할 수 있다.

* 표준 구조는 내적인 연산 $\tilde\in$ 이 외적인 연산 $\in$ 과 일치하는 구조이다.
* 추이적 표준 구조는 추이적 집합인 표준 구조이다.
* 정초 구조는 $\tilde\in$ 이 정초 관계인 구조이다.
* 확장적 구조는 체르멜로-프렝켈 집합론의 확장 공리가 성립하는 구조이다.

2.1. 표준 구조

집합론의 언어 $\mathcal L_\in$ 은 하나의 이항 관계 $\in$ 만을 갖는 언어이다. 이 언어의 구조 $(M,\tilde\in)$ 가 주어졌다고 하자. 만약 $\tilde\in$ (내적인 연산)이 $\in$ (외적인 연산)과 일치한다면, $(M,\tilde\in)$ 이 표준 구조(標準構造, standard structure^영어)라고 한다.

2.2. 추이적 표준 구조

$\mathcal L_\in$ 의 표준 구조 $M$ 에 대하여, 만약 $M$ 이 추이적 집합이라면, $M$ 을 추이적 표준 구조(transitive standard structure^영어)라고 한다.

2.3. 정초 구조

$\mathcal L_\in$ 의 구조 $(M,\tilde\in)$ 에서, 만약 $\tilde\in$ 이 정초 관계라면, $(M,\tilde\in)$ 을 정초 구조(well founded structure^영어)라고 한다.

2.4. 확장적 구조

확장적 구조(extensional structure^영어)는 체르멜로-프렝켈 집합론의 확장 공리가 성립하는 구조이다. 즉, 구조 $(M,\tilde\in)$ 에서 다음 조건이 만족되어야 한다.

: $M\models\forall x\forall y\left(\left(\forall z\colon z\in x\iff z\in y\right)\iff x=y\right)$

3. 성질

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 무모순성을 함의하지만, 그 역은 성립하지 않는다.

그로텐디크 전체는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형이지만, 모든 원소의 멱집합을 포함해야 하므로 추이적 모형보다 더 강한 개념이다.

정초 구조는 절대적이지 않으며, 외적인 개념이다. 체르멜로-프렝켈 집합론의 정칙성 공리인 $\mathcal L_\in$ -문장 $\mathsf{AF}$ 는 다음과 같다.

: $\forall y\exists x\in y\colon x\cap y=\varnothing$

풀어 쓰면 다음과 같다.

: $\forall y\exists x\left(x\in y\land\forall z\colon \lnot (z\in x\land z\in y)\right)$

$\mathcal L_\in$ 의 구조 $M$ 이 정초 구조라면 $M\models\mathsf{AF}$ 이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

M이 추이적 모형이라면, ω^M는 표준 ω이다. 즉, 모형 내의 자연수, 정수, 유리수는 표준 모형의 그것들과 같다는 것이다. 추이적 모형 내의 각 실수는 표준 실수이지만, 모든 표준 실수가 특정 추이적 모형에 포함될 필요는 없다.

3.1. 모스토프스키 붕괴

정초이고 확장적인 $\mathcal L_\in$ 의 구조 $(M,\tilde\in)$ 에 대해, 모스토프스키 붕괴 정리(Mostowski collapse theorem^영어)에 따르면, $(M,\tilde\in)$ 은 추이적 표준 구조 $\tilde M$ 과 동형이며, 이 동형은 유일하다. 이 동형 $\pi\colon M\to\tilde M$ 은 다음과 같다.

: $\tilde M=\left\{\{\pi(y)\colon y\in M,\;y\,\tilde\in\,x\}\colon x\in M\right\}$
: $\pi\colon x\in M\mapsto\{\pi(y)\colon y\in M,\;y\,\tilde\in\,x\}\in\tilde M$

이는 재귀적인 정의이지만, 정초 관계 조건에 따라 잘 정의된다.

따라서, 정초 확장적 구조들의 각 동형류는 추이적 집합을 표준적인 대표원으로 갖는다.

4. 예

도달 불가능한 기수 κ에 대하여, 폰 노이만 전체의 단계 $V_\kappa$ 는 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 표준 모형이다.

4.1. 추이적 모형의 예

* 내부 모형은 모든 순서수를 포함하는 추이적 모형이다.
* 가산 추이적 모형(CTM)은 이름에서 알 수 있듯이, 가산 개의 원소를 가진 추이적 모형이다.

4.2. 모스토프스키 붕괴의 예

홀수의 전순서 집합 $(\{1,3,5,\dots\},\le)$ 를 생각해 보자. 이는 모스토프스키 붕괴 정리에 의하여 다음과 같이 대응된다.
: $\left\{0=\varnothing,1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\dots\right\}$
이는 순서수의 폰 노이만 정의이므로, 홀수의 전순서 집합이 모든 자연수의 완전 순서 집합으로 "붕괴"한 것을 알 수 있다.

4.3. 추이적 모형의 성질 관련 예

M이 추이적 모형이라면, ω^M는 표준 ω이다. 이것은 모형 내의 자연수, 정수, 유리수가 표준 모형의 그것들과 같다는 것을 의미한다. 추이적 모형 내의 각 실수는 표준 실수이지만, 모든 표준 실수가 특정 추이적 모형에 포함될 필요는 없다.

5. 역사

안드제이 모스토프스키가 모스토프스키 붕괴 정리를 증명하였다.