무한 집합
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1. 개요
무한 집합은 원소의 개수가 무한히 많은 집합을 의미한다. 엄밀한 정의에 따르면, 무한 집합 A는 A의 진부분 집합 S가 존재하여 A와 S 사이에 일대일 대응이 성립한다. 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 다양한 조건들을 통해 무한 집합을 정의하며, 무한 공리를 제외한 공리계에서는 무한 집합의 존재를 증명할 수 없다. 자연수 집합은 무한 집합의 대표적인 예시이다. 무한 집합의 성질로는, 무한 집합의 멱집합은 무한하며, 선택 공리를 가정하면 가산 무한 부분 집합을 포함하는 집합이 무한하다는 것 등이 있다. 칸토어는 무한 집합론을 발전시켰으며, 자연수, 정수, 유리수 집합은 가산 무한 집합, 실수, 복소수, 무리수 집합은 비가산 무한 집합의 예시이다.
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| 무한 집합 | |
|---|---|
| 일반 정보 | |
| 유형 | 비유한 집합 |
| 속성 | 무한 |
| 반대 개념 | 유한 집합 |
| 정의 | |
| 정의 | 임의의 자연수 n에 대해, 그 집합의 서로 다른 원소 x1, x2, ..., xn을 선택할 수 있는 집합 |
| 예시 | |
| 예시 | 모든 유리수의 집합 모든 실수의 집합 모든 자연수의 집합 소수의 집합 |
| 추가 정보 | |
| 비고 | 무한 집합은 유한 집합이 아닌 집합이다. |
2. 정의
엄밀하게 말하면, 집합 의 적당한 진부분 집합 가 존재하여, 와 사이에 일대일 대응이 존재하면 를 무한 집합이라고 한다.
2. 1. 체르멜로-프렝켈 집합론에서의 정의
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 집합 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 '''무한 집합'''이라고 한다.[1]- 는 두 개 이상의 원소를 가지며, 와 사이에 전단사 함수가 존재한다.
- 와 그 진부분 집합 사이에 전단사 함수가 존재한다.
- 단사 함수이지만 전사 함수가 아닌 함수 가 존재한다.
- 전사 함수이지만 단사 함수가 아닌 함수 가 존재한다.
- 단사 함수 가 존재한다.
- 전사 함수 이 존재한다.
선택 공리를 가정하지 않으면, 이 조건들 가운데 일부는 동치이지 않을 수 있다.
자연수 집합(존재는 무한 공리에 의해 가정됨)은 무한이다.[1] 이는 공리에 의해 직접적으로 무한으로 요구되는 유일한 집합이다. 다른 무한 집합의 존재는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서 증명될 수 있지만, 자연수의 존재로부터 파생된다는 것을 보여주는 방식으로만 가능하다.
집합은 모든 자연수에 대해, 그 집합이 해당 자연수를 기수로 하는 부분 집합을 가질 경우에만 무한이다.[2]
선택 공리가 성립한다면, 집합은 가산 무한 부분 집합을 포함할 경우에만 무한이다.
만약 집합의 집합이 무한하거나 무한한 원소를 포함한다면, 그 합집합은 무한하다. 무한 집합의 멱집합은 무한하다.[9] 무한 집합의 모든 상위 집합은 무한하다. 무한 집합이 유한 개의 부분 집합으로 분할된다면, 적어도 그 중 하나는 무한해야 한다. 무한 집합 위에 ''전사''될 수 있는 모든 집합은 무한하다. 무한 집합과 공집합이 아닌 집합의 데카르트 곱은 무한하다. 무한 개의 집합의 데카르트 곱은 각 집합이 최소 두 개의 원소를 포함하며, 비어있거나 무한하다; 선택 공리가 성립한다면, 그것은 무한하다.
만약 무한 집합이 정렬 집합이라면, 이는 가장 큰 원소가 없는, 비어 있지 않고 자명하지 않은 부분 집합을 가져야 한다.
ZF에서 집합은 멱집합의 멱집합이 자기 자신과 대등한 진부분 집합을 갖는 데데킨트-무한 집합일 경우에만 무한하다.[3] 선택 공리가 참이라면, 무한 집합은 정확히 데데킨트-무한 집합이다.
만약 무한 집합이 잘 정렬 가능한 집합이라면, 비동형인 여러 개의 잘 정렬을 가진다.
3. 성질
무한 집합은 다양한 성질을 가지며, 그 중 일부는 선택 공리의 가정 여부에 따라 달라진다.
집합의 집합이 무한하거나 무한한 원소를 포함하면 그 합집합은 무한하다.[9] 무한 집합의 모든 상위 집합은 무한하다. 무한 집합을 유한 개의 부분 집합으로 나누면 적어도 그 중 하나는 무한해야 한다. 무한 집합에 전사될 수 있는 모든 집합은 무한하다. 무한 집합과 공집합이 아닌 집합의 데카르트 곱은 무한하다. 각 집합이 최소 두 개의 원소를 포함하는 무한 개 집합의 데카르트 곱은 비어있거나 무한하다. 선택 공리가 성립하면 그 데카르트 곱은 무한하다.
무한 집합이 정렬 집합이면 가장 큰 원소가 없는, 비어 있지 않고 자명하지 않은 부분 집합을 가진다.
무한 집합이 잘 정렬 가능한 집합이면 비동형인 여러 개의 잘 정렬을 가진다.
3. 1. 일반적인 성질
어떤 집합이 무한 집합이면, 그 집합의 제곱, 멱집합도 무한 집합이다. 무한 공리를 제외한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 무한 집합의 존재를 증명할 수 없다.[1]임의의 집합 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.
- 는 무한 집합이다.
- 는 무한 집합이다.
- 멱집합 는 무한 집합이다.
자연수 집합은 무한 집합이다. 이는 공리에 의해 직접적으로 무한으로 요구되는 유일한 집합이다.[1] 다른 무한 집합의 존재는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서 증명될 수 있지만, 자연수의 존재로부터 파생된다는 것을 보여주는 방식으로만 가능하다.
집합은 모든 자연수에 대해, 그 집합이 해당 자연수를 기수로 하는 부분 집합을 가질 경우에만 무한하다.[2]
만약 선택 공리가 성립한다면, 집합은 가산 무한 부분 집합을 포함할 경우에만 무한이다.
만약 집합의 집합이 무한하거나 무한한 원소를 포함한다면, 그 합집합은 무한하다. 무한 집합의 멱집합은 무한하다.[9] 무한 집합의 모든 상위 집합은 무한하다. 무한 집합이 유한 개의 부분 집합으로 분할된다면, 적어도 그 중 하나는 무한해야 한다. 무한 집합 위에 ''전사''될 수 있는 모든 집합은 무한하다. 무한 집합과 공집합이 아닌 집합의 데카르트 곱은 무한하다. 무한 개의 집합의 데카르트 곱은 각 집합이 최소 두 개의 원소를 포함하며, 비어있거나 무한하다; 선택 공리가 성립한다면, 그것은 무한하다.
만약 무한 집합이 정렬 집합이라면, 이는 가장 큰 원소가 없는, 비어 있지 않고 자명하지 않은 부분 집합을 가져야 한다.
ZF에서 집합은 멱집합의 멱집합이 자기 자신과 대등한 진부분 집합을 갖는 데데킨트-무한 집합일 경우에만 무한하다.[3] 선택 공리도 참이라면, 무한 집합은 정확히 데데킨트-무한 집합이다.
만약 무한 집합이 잘 정렬 가능한 집합이라면, 비동형인 여러 개의 잘 정렬을 가진다.
3. 2. 선택 공리를 가정한 경우의 성질
선택 공리가 성립한다면, 집합은 가산 무한 부분 집합을 포함할 경우에만 무한 집합이다.[1] 무한 집합이 유한 개의 부분 집합으로 분할된다면, 적어도 그 중 하나는 무한 집합이어야 한다.[9]3. 3. 데데킨트-무한 집합
체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)에서, 어떤 집합이 멱집합의 멱집합이 자기 자신과 대등한 진부분 집합을 갖는 데데킨트-무한 집합일 경우에만 무한 집합이다.[3] 선택 공리가 참이라면, 무한 집합은 정확히 데데킨트-무한 집합이다.4. 역사
데이비드 버튼(David Burton)의 『수학사 입문(The History of Mathematics: An Introduction)』에서는 집합의 정의, 무한을 증명하는 방법 등을 다룬다.[4] 순서 집합, 기수, 동치, 좌표 평면, 전체 집합 등의 개념을 통해 무한 집합과 유한 집합을 비교하며, 칸토어의 집합론은 삼각법과 무리수의 영향을 받았다.[4] , 정수, 오일러 수와 같은 실수도 무한 집합론의 핵심 개념이다.[4][5][6]
매핑, 귀납법, 반증법과 같은 증명 개념과 수학적 나무를 활용하여 무한 집합을 설명한다.[4][6][7] 1800년대 프로이센의 학문적 수학 지식 증가는 칸토어의 무한 집합론에 영향을 주었을 수 있으며,[4] 유전학 및 생물학과 같은 분야에도 응용될 수 있다.[8]
4. 1. 주요 기여자
에른스트 체르멜로, 데데킨트, 갈릴레오 갈릴레이, 레오폴트 크로네커, 칸토어, 베르나르트 볼차노는 무한 집합론을 연구하고 영향을 미친 수학자들이다.[4] 이들은 무한에 대해 논쟁하거나 무한 집합에 대한 아이디어를 추가하였다.5. 예시
자연수, 정수, 유리수의 집합은 가산 무한 집합이다.[9] 실수, 복소수의 집합은 비가산 집합이다.[9]
5. 1. 가산 무한 집합
자연수의 집합, 정수의 집합, 유리수의 집합은 가산 무한 집합이다.[9] 모든 정수의 집합 {..., -1, 0, 1, 2, ...}와 모든 짝수의 집합은 정수의 진부분집합임에도 가산 무한 집합이다.[9] 모든 유리수의 집합은 정수의 집합과의 전단사 함수가 존재하므로 가산 무한 집합이다.[9]5. 2. 비가산 무한 집합
실수의 집합, 복소수의 집합, 무리수의 집합은 비가산 무한 집합의 예시이다.[9]참조
[1]
간행물
Set Theory
https://plato.stanfo[...]
Metaphysics Research Lab, Stanford University
2019
[2]
서적
Logic, Logic, and Logic
https://books.google[...]
Harvard University Press
[3]
간행물
Mathematics and mind (Amherst, MA, 1991)
https://books.google[...]
Oxford Univ. Press, New York
[4]
서적
The History of Mathematics: An Introduction
McGraw Hill
[5]
논문
Role of the Formal Knowledge in the Formation of the Proof Image: A Case Study in the Context of Infinite Sets
https://dergipark.or[...]
2020-12-15
[6]
서적
Learning to reason: an introduction to logic, sets and relations
Wiley
2000
[7]
논문
Representations of Infinite Tree Sets
2021-04-01
[8]
논문
Infinite combinatorics in mathematical biology
2021-06-01
[9]
웹사이트
The Prime Glossary — Infinite
https://primes.utm.e[...]
2019-11-29
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