퍼지 집합

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1. 개요
2. 정의
3. 기본 개념
4. 퍼지 집합 연산
5. 퍼지 관계 방정식
6. 퍼지 논리
7. 퍼지 수
8. 엔트로피
9. 퍼지 집합의 확장
10. 같이 보기
참조

1. 개요

퍼지 집합은 고전적인 집합의 개념을 확장한 것으로, 각 원소가 0과 1 사이의 소속도를 갖는 집합이다. 퍼지 집합은 소속 함수를 통해 정의되며, 0은 비회원, 1은 완전한 회원, 0과 1 사이의 값은 부분적인 회원을 나타낸다. 퍼지 집합은 전체집합, 공집합, α-절단, 지지집합, 핵 등의 기본 개념을 가지며, 여집합, 합집합, 교집합, 차집합과 같은 연산을 수행할 수 있다. 퍼지 논리는 다치 논리를 확장하여 점진적인 결론을 도출하며, 퍼지 수는 정규화되고 볼록한 멤버십 함수를 갖는 퍼지 집합이다. 또한, 퍼지 집합의 엔트로피는 불확실성의 정도를 나타내는 척도로 사용되며, 멤버십 함수를 일반화하여 L-퍼지 집합, 직관적 퍼지 집합, 그림 퍼지 집합, 신트로픽 퍼지 집합, 피타고라스 퍼지 집합 등 다양한 확장된 개념이 존재한다.

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퍼지 집합
개요
설명	요소가 멤버십 정도를 가지는 집합
창시자	로트피 자데
첫 출판	1965년
초기 접근	솔리 (1965) 쿠즈민 (1982)
주요 개념
멤버십 정도	요소가 집합에 속하는 정도를 나타내는 값 (0과 1 사이)
특성 함수	각 요소에 멤버십 정도를 할당하는 함수
응용 분야
설명	제어 이론 의사 결정 데이터 분석 생물 정보학
관련 개념
설명	러프 집합 다치 집합 베이즈 확률
참고 문헌
설명	자데의 퍼지 집합 논문(1965) 고트발트의 퍼지 집합 논문(2010) BMC Bioinformatics 논문(2006)

2. 정의

퍼지 집합은 집합 $U$ 와 소속 함수 $\mu_A: \, U \rarr [0, 1]$ 에 의해 정의된다. 이때, $x \in U$ 에 대해 $\mu_A(x)$ 는 $A$ 에 대한 $x$ 의 소속도를 나타내며, 0과 1 사이의 값을 가진다. 소속 함수는 고전적인 집합에서의 지시 함수의 확장으로 볼 수 있다.

퍼지 집합은 다음과 같이 표기할 수 있다.

: $A = \left\{(x, \mu_A(x))|x \in U \right\}$

이를 소속함수 표기법이라 한다.

$U$ 가 유한 집합일 경우 고전적인 집합의 원소나열법과 비슷한 방법으로 표시할 수 있다. 예를 들어 $U = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}$ 이고, $\mu_A(1) = 0.7,\, \mu_A(2) = 0.5,\, \mu_A(3) = 0.2,\, \mu_A(4) = 0,\, \mu_A(5) = 0$ 이라면, 다음과 같이 순서쌍들의 나열로 표시할 수 있다.

: $A = \left\{(1, 0.7), (2, 0.5), (3, 0.2) \right\}$

그러나 $\left\{ x \in U | \mu_A(x) \ne 0 \right\}$ 에서 $U$ 가 무한 집합일 경우에는 이와 같은 방법을 적용할 수 없다.

퍼지 집합은 쌍 $(U, m)$ 으로 나타내며, 여기서 $U$ 는 집합(대개 공집합이 아닌)이고 $m\colon U \rightarrow [0,1]$ 은 멤버십 함수이다. 기준 집합 $U$ (때때로 $\Omega$ 또는 $X$ 로 표기)는 '''논의 영역'''이라고 하며, 각 $x\in U$ 에 대해 값 $m(x)$ 는 $(U,m)$ 에서 $x$ 의 '''소속도'''라고 한다. 함수 $m = \mu_A$ 를 퍼지 집합 $A = (U, m)$ 의 '''멤버십 함수'''(소속 함수)라고 한다.

유한 집합 $U=\{x_1,\dots,x_n\}$ 에 대해 퍼지 집합 $(U, m)$ 은 종종 $\{m(x_1)/x_1,\dots,m(x_n)/x_n\}$ 으로 표기한다.

$x \in U$ 일 때, $x$ 는 다음과 같이 불린다.

$m(x) = 0$ 인 경우 퍼지 집합 $(U,m)$ 에 '''포함되지 않음''' (비회원)
$m(x) = 1$ 인 경우 '''완전히 포함됨''' (정회원)
$0 < m(x) < 1$ 인 경우 '''부분적으로 포함됨''' (퍼지 회원).^[5]

논의 영역

U

의 모든 퍼지 집합의 (명확한) 집합은

SF(U)

(또는 때때로

F(U)

)로 표기한다.^[8]

퍼지 집합의 원소가 얼마나 집합에 속하는지는 멤버십 함수(소속 함수)로 나타낸다. 예를 들어, 어떤 연령의 사람을 "젊은이", "중년", "노인"의 세 종류로 나누는 것을 생각해 보자. 이때 어느 정도의 나이까지를 젊은이로 할지, 노인으로 할지는 사람에 따라 의견이 갈리는 부분이다. 퍼지 이론(퍼지 집합 이론)은 이러한 애매한 사건을 정량화하여 집합처럼 다루는 것을 가능하게 한다. 예를 들어, 젊은이에 속하는 집합을 A, 중년에 속하는 집합을 B, 노인에 속하는 집합을 C라고 하면 "35세의 사람" x는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\mu_A(x) = 0.2

:

\mu_B(x) = 0.7

:

\mu_C(x) = 0.1

여기서는 35세의 사람은 0.7의 비율로 중년에 속하고, 0.2의 비율로 젊은이에 속하며, 0.1의 비율로 노인에 속한다고 설정하고 있다. (단, 각 개념이 이렇게 깔끔하게 분할되어야 한다는 것은 아니다.) 이처럼 "얼마나 속하는가"라는 사항을 비율로 나타낼 수 있는 집합

A, B, C

를 '''퍼지 집합'''이라고 하며, 구체적인 비율의 수치를 나타내는 각

\mu_A(x), \mu_B(x), \mu_C(x)

를 '''멤버십 함수'''(소속 함수)라고 한다. 멤버십 함수의 값이 0 또는 1밖에 되지 않는 것이 일반적인 집합(비퍼지 집합 또는 '''크리스프 집합'''이라고 함)이며, 퍼지 집합은 일반적인 집합의 확장이라고 할 수 있다.

3. 기본 개념

퍼지 집합은 일반적인 집합의 개념을 확장한 것으로, 어떤 원소가 특정 집합에 속하는 정도를 나타내는 '소속도'라는 개념을 도입한다. 예를 들어, '젊은이', '중년', '노인'과 같이 명확하게 구분하기 어려운 개념을 다룰 때 유용하다.

퍼지 집합은 쌍 $(U, m)$ 으로 나타내는데, 여기서 $U$ 는 전체 집합(논의 영역)을, $m$ 은 각 원소가 집합에 속하는 정도를 나타내는 멤버십 함수(소속 함수)를 의미한다. 멤버십 함수는 $U$ 의 각 원소 $x$ 에 대해 0과 1 사이의 값 $m(x)$ 를 부여하며, 이 값이 $x$ 의 소속도를 나타낸다.

예를 들어, '35세'라는 원소는 '젊은이' 집합에 0.2, '중년' 집합에 0.7, '노인' 집합에 0.1의 소속도를 가질 수 있다. 이는 35세가 중년에 가장 가깝지만, 젊은이나 노인의 특성도 일부 가지고 있음을 의미한다.

$x \in U$ 일 때, $x$ 는 소속도에 따라 다음과 같이 구분된다.

$m(x) = 0$ : 해당 퍼지 집합에 포함되지 않음 (비회원)
$m(x) = 1$ : 해당 퍼지 집합에 완전히 포함됨 (정회원)
$0 < m(x) < 1$ : 해당 퍼지 집합에 부분적으로 포함됨 (퍼지 회원)^[5]

일반적인 집합(크리스프 집합)은 멤버십 함수의 값이 0 또는 1로만 표현되는 특수한 경우라고 볼 수 있다.

유한 집합

U=\{x_1,\dots,x_n\}

에 대한 퍼지 집합

(U, m)

은

\{m(x_1)/x_1,\dots,m(x_n)/x_n\}

으로 표기하기도 한다.

논의 영역

U

의 모든 퍼지 집합의 (명확한) 집합은

SF(U)

(또는 때때로

F(U)

)로 표기한다.^[8]

더 나아가, 소속 함수가 일반적인 [0, 1] 구간 대신 다른 대수 구조나 구조

L

의 값을 가질 수 있다. 이러한 경우를 '''

L

-퍼지 집합'''이라고 하며, 일반적인 퍼지 집합은

[0, 1]

-퍼지 집합이라고 할 수 있다.

퍼지 집합의 개념은 퍼지 수, 퍼지 구간, 퍼지 범주 등 다양한 분야로 확장되어 사용되고 있다.

3. 1. 전체집합과 공집합

소속함수들의 정의역인 집합 U를 전체집합이라 한다. 전체집합은 고전적인 집합으로, 모든 x에 대해 U에 대한 x의 소속도가 1이다. 쌍대 개념으로, 공집합은 U 안의 모든 x에 대해 그에 대한 x의 소속도가 0인 집합을 말한다.

퍼지 집합 A = (U, m)는 만약 그리고 오직 만약(iff) $A = \varnothing$ 일 때 '''공집합'''이다.

:

모든 x \in U: \mu_A(x) = m(x) = 0

3. 2. α-절단

임의의 퍼지 집합

A = (U,m)

과

\alpha \in [0,1]

에 대해 다음과 같은 크리스프(crisp) 집합이 정의된다.

$A^{\ge\alpha} = A_\alpha = \{x \in U \mid m(x)\ge\alpha\}$ 는 '''α-절단'''(또는 '''α-수준 집합''')이라고 한다.
$A^{>\alpha} = A'_\alpha = \{x \in U \mid m(x)>\alpha\}$ 는 '''강 α-절단'''(또는 '''강 α-수준 집합''')이라고 한다.

3. 3. 지지집합과 핵

임의의 퍼지 집합

A = (U,m)

에 대해 다음과 같은 집합들이 정의된다.

'''지지집합'''(Support): $S(A) = \operatorname{Supp}(A) = A^{>0} = \{x \in U \mid m(x)>0\}$ 는 퍼지 집합에서 멤버십 함수(소속 함수) 값이 0보다 큰 모든 원소 x의 집합이다. 즉, 조금이라도 해당 퍼지 집합에 속하는 원소들의 집합이다.
'''핵'''(Core): $C(A) = \operatorname{Core}(A) = A^{=1} = \{x \in U \mid m(x)=1\}$ 는 퍼지 집합에서 멤버십 함수 값이 1인 모든 원소 x의 집합이다. 즉, 완전히 해당 퍼지 집합에 속하는 원소들의 집합이다. 핵은 때때로 '''커널'''( $\operatorname{Kern}(A)$ )이라고도 한다.^[28]

3. 4. 기타 정의

퍼지 집합 $A = (U, m)$ 은 $A = \varnothing$ 일 때 '''공집합'''이다. (모든 $x \in U$ 에 대해 $\mu_A(x) = m(x) = 0$ 인 경우)
두 퍼지 집합 A와 B는 $A = B$ 일 때 '''같다'''. ( $\forall x \in U: \mu_A(x) = \mu_B(x)$ 인 경우)
퍼지 집합 A는 $A \subseteq B$ 일 때 퍼지 집합 B에 '''포함된다'''. ( $\forall x \in U: \mu_A(x) \le \mu_B(x)$ 인 경우)
임의의 퍼지 집합 A에 대해, $\mu_A(x) = 0.5$ 를 만족하는 원소 $x \in U$ 는 '''교차점'''이라고 한다.
퍼지 집합 A의 '''높이'''는 $\operatorname{Hgt}(A) = \sup \{\mu_A(x) \mid x \in U\} = \sup(\mu_A(U))$ 이다. ( $\sup$ 는 최소 상한을 나타내며, $\mu_A(U)$ 는 공집합이 아니고 1보다 작거나 같으므로 존재한다.)
퍼지 집합 A는 $\operatorname{Hgt}(A) = 1$ 일 때 '''정규화'''되었다고 한다. 공집합이 아닌 퍼지 집합 A는 높이로 멤버십 함수를 나누어 $\tilde{A}$ 라는 결과로 정규화할 수 있다. ( $\forall x \in U: \mu_{\tilde{A}}(x) = \mu_A(x)/\operatorname{Hgt}(A)$ 인 경우)
실수의 퍼지 집합 $A (U \subseteq \mathbb{R})$ 는 유계인 지지집합을 가질 때, '''폭'''은 $\operatorname{Width}(A) = \sup(\operatorname{Supp}(A)) - \inf(\operatorname{Supp}(A))$ 이다.
실수 퍼지 집합 $A (U \subseteq \mathbb{R})$ 는 (명확한 볼록 집합과 혼동해서는 안 되는 퍼지 의미에서) $\forall x,y \in U, \forall\lambda\in[0,1]: \mu_A(\lambda{x} + (1-\lambda)y) \ge \min(\mu_A(x),\mu_A(y))$ 일 때 '''볼록'''하다고 한다.

4. 퍼지 집합 연산

퍼지 집합의 여집합은 하나의 일반적인 정의를 가지지만, 합집합과 교집합 같은 주요 연산들은 다소 모호한 부분이 있다. t-norm을 t, 해당 s-norm (t-conorm이라고도 함)을 s라고 할 때, 두 퍼지 집합 A, B의 교집합 A∩B는 ∀x ∈ U: μ_A∩B(x) = t(μ_A(x), μ_B(x))로, 합집합 A∪B는 ∀x ∈ U: μ_A∪B(x) = s(μ_A(x), μ_B(x))로 정의된다.^[6]

t-norm 정의에 따르면, 합집합과 교집합은 교환법칙, 단조성, 결합법칙을 따르며, 흡수원소와 항등원을 모두 갖는다. 하지만 퍼지 집합과 그 여집합의 합집합이 전체 집합이 되지 않거나, 교집합이 공집합이 되지 않을 수 있다. 일반적으로 받아들여지는 표준 연산자는 최대값(max)과 최소값(min) 연산자이다.^[6]

표준 부정 연산자 n(α) = 1 - α (α ∈ [0, 1])가 다른 강한 부정 연산자로 대체되면, 퍼지 집합 차집합은 일반화될 수 있다. 퍼지 교집합, 합집합, 여집합은 드 모르간 삼중항을 형성한다.^[6]

퍼지 교집합은 일반적으로 멱등이 아니다. 산술 곱셈이 t-norm으로 사용되면, 결과적으로 얻어지는 퍼지 교집합 연산은 멱등이 아니다. 대신, 퍼지 집합의 m제곱을 정의할 수 있으며, 이는 비정수 지수로 일반화할 수 있다. 임의의 퍼지 집합 A와 ν ∈ R⁺에 대해, A의 ν제곱은 ∀x ∈ U: μ_A^ν(x) = μ_A(x)^ν로 정의된다. 지수가 2인 경우, CON(A) = A²는 집중(concentration)이라고 하며, ∀x ∈ U: μ_CON(A)(x) = μ_A²(x) = μ_A(x)²로 정의된다.

Dubois와 Prade (1980)는 절댓값을 이용해 퍼지 집합의 대칭 차집합을 제안했다. ∀x ∈ U: μ_A△B(x) = |μ_A(x) - μ_B(x)|, 또는 max, min, 표준 부정 연산자를 조합하여 ∀x ∈ U: μ_A△B(x) = max(min(μ_A(x), 1 - μ_B(x)), min(μ_B(x), 1 - μ_A(x)))로 정의했다.^[7]

일반적인 집합과 달리, 퍼지 집합에 대해서는 평균 연산도 정의할 수 있다. 서로소 퍼지 집합에 대해서는 명확성이 존재한다. 두 퍼지 집합 A, B가 서로소라는 것은 모든 x에 대해 A의 멤버십 함수 값이 0이거나 B의 멤버십 함수 값이 0인 것을 의미한다.

유한한 지지집합(support)을 갖는 퍼지 집합 A의 크기(스칼라 크기, 시그마 계수)는 다음과 같이 주어지며,

: |A| = Σ_x∈U μ_A(x)

U 자체가 유한 집합이라면, 상대적 크기는 다음과 같이 주어진다.

: ||A|| = |A|/|U|

이는 비어있지 않은 퍼지 집합으로 나누는 경우로 일반화될 수 있다. 퍼지 집합 A, G에 대해, G ≠ ∅ 이면, 다음과 같이 상대적 크기를 정의할 수 있다.

: sc(A|G) = sc(A∩G)/sc(G)

이는 조건부 확률의 표현과 매우 유사하다.

조셉 고건(Joseph Goguen)은 1967년에 [0, 1] 값 멤버십 함수를 사용하는 대신, 단위 구간 [0, 1]이 아닌 다른 대수 구조 L을 사용하는 L-퍼지 집합을 제안했다.^[9]

크라시미르 아타나소프(Krassimir Atanassov)는 퍼지 집합을 확장하여 직관적 퍼지 집합(IFS)을 제시했다. IFS A는 두 함수, 즉 x의 소속도 μ_A(x)와 비소속도 ν_A(x)로 특징지어진다.

이는 어떤 사람이 제안 A에 대해 찬성, 반대, 기권으로 투표하는 상황과 유사하다.

그림 퍼지 집합(PFS)은 IFS를 확장한 것으로, 긍정적 소속도, 중립적 소속도, 부정적 소속도를 나타내는 세 함수로 특징지어진다. 이는 투표 예시에 "투표 거부"라는 추가적인 가능성을 확장한 것이다.^[10]^[11]

일반적인 집합의 각 기본 연산에 대응하는 퍼지 집합의 기본 연산이 각각 정의되어 있다. 퍼지 이론에서는 특히 멤버십 함수의 크기가 큰 영향을 미치므로, a∧b := min(a,b)와 a∨b := max(a,b)로 미리 정의된다.

4. 1. 기본 연산

퍼지 집합의 기본 연산은 다음과 같이 정의된다.

여집합: 퍼지 집합 $A$ 의 여집합 $A^c$ 는 다음 소속함수에 의해 정의된다.^[6]

:

\mu_{A^c}(x) = 1 - \mu_A(x)

합집합: 두 퍼지 집합 $A$ 와 $B$ 의 합집합 $A \cup B$ 는 다음 소속함수에 의해 정의된다.^[6]

:

\mu_{A \cup B}(x) = \max \left ( \mu_A \left ( x \right ), \mu_B \left ( x \right ) \right )

:즉, 두 퍼지 집합에 대한 소속도 중에서 큰 쪽의 소속도를 가진다.

교집합: 두 퍼지 집합 $A$ 와 $B$ 의 교집합 $A \cap B$ 는 다음 소속함수에 의해 정의된다.^[6]

:

\mu_{A \cap B}(x) = \min \left ( \mu_A \left ( x \right ), \mu_B \left ( x \right ) \right )

:퍼지 교집합은 퍼지 차집합과 상대적으로, 소속도 중에서 작은 쪽의 소속도를 가진다.

차집합: 고전적인 집합에서와 같이, 두 퍼지 집합 $A$ 와 $B$ 의 차집합 $A - B$ 는 다음과 같이 정의된다.^[7]

:

A - B = A \cap B^c

:또는,

:

\forall x \in U: \mu_{A\B}(x) = \min(\mu_A(x), 1 - \mu_B(x)).

퍼지 집합의 여집합은 가장 일반적인 정의가 하나 있지만, 합집합과 교집합과 같은 다른 주요 연산들은 다소 모호성을 지닌다. 예를 들어, 표준 부정 연산자

n(\alpha) = 1 - \alpha, \alpha \in [0, 1]

이 다른 강한 부정 연산자로 대체되면, 퍼지 집합 차집합은 일반화될 수 있다.^[7]

퍼지 교집합, 합집합, 여집합의 세 가지는 드 모르간 삼중항을 형성한다. 즉, 드 모르간 법칙이 이 삼중항으로 확장된다.^[6]

4. 2. 추가 연산

퍼지 집합에는 다음과 같은 고유한 연산들이 정의되어 있다.^[10]^[11]

대수합: $A\boxplus B$ , $A\dotplus B$ , 또는 $A + B$ 로 표기하며, 멤버십 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\mu_{A+B}(x) := \mu_A(x) + \mu_B(x) - \mu_A(x)\cdot\mu_B(x)

대수곱: $A \cdot B$ 로 표기하며, 멤버십 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\mu_{A\cdot B}(x) := \mu_A(x)\cdot\mu_B(x)

한계합: $A \oplus B$ 로 표기하며, 멤버십 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\mu_{A\oplus B}(x) := (\mu_A(x) + \mu_B(x))\wedge 1

한계차: $A \ominus B$ 로 표기하며, 멤버십 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\mu_{A \ominus B}(x) := (\mu_A(x) - \mu_B(x))\vee 0

한계곱: $A \odot B$ 또는 $A \otimes B$ 로 표기하며, 멤버십 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\mu_{A\otimes B} := (\mu_A(x) + \mu_B(x) - 1)\vee 0

격렬합: $A\dot\vee B$ 로 표기하며, 멤버십 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\mu_{A\dot\vee B}(x):=\begin{cases}\mu_A(x), & \text{if }\mu_B(x) = 0 \\ \mu_B(x), & \text{if }\mu_A(x) = 0 \\ 1, & \text{otherwise}\end{cases}

격렬곱: $A\dot\wedge B$ 로 표기하며, 멤버십 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\mu_{A\dot\wedge B}(x):=\begin{cases}\mu_A(x), & \mbox{if }\mu_B(x) = 1 \\ \mu_B(x), & \mbox{if }\mu_A(x) = 1 \\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}

4. 3. 서로소 퍼지 집합

두 퍼지 집합 A, B는 모든 x ∈ U에 대해 μ_A(x) = 0 또는 μ_B(x) = 0 일 때 서로소이다.^[6]

이는 다음과 동일하다.

:∃x ∈ U: μ_A(x) > 0 ∧ μ_B(x) > 0

그리고 다음과도 동일하다.

:∀x ∈ U: min(μ_A(x), μ_B(x)) = 0

/가 t/s-norm 쌍임을 기억하자. 다른 어떤 쌍도 여기서 잘 작동한다.

퍼지 집합은 그것들의 지지집합(support)이 서로소일 경우에만 서로소이다.

서로소 퍼지 집합 A, B에 대해, 어떤 교집합도 ∅(공집합)을 주고, 어떤 합집합도 동일한 결과를 주는데, 이는 다음과 같이 표시된다.

:A ∪˙ B = A ∪ B

그것의 멤버십 함수는 다음과 같이 주어진다.

:∀x ∈ U: μ_A∪˙B(x) = μ_A(x) + μ_B(x)

두 항 중 하나만 0보다 크다는 점에 유의해야 한다.

서로소 퍼지 집합 A, B에 대해 다음이 성립한다.

:Supp(A∪˙B) = Supp(A) ∪ Supp(B)

이는 유한한 퍼지 집합들의 집합에 대해 다음과 같이 일반화될 수 있다.

색인 집합 I (예: I = {1, 2, 3, ..., n})을 갖는 퍼지 집합들의 집합 A = (Aᵢ)ᵢ∈ᵢ가 주어졌다고 하자. 이 집합은 다음과 같을 때 (쌍으로) 서로소이다.

:모든 x ∈ U 에 대해 μ_Aᵢ(x) > 0 인 i ∈ I 는 최대 하나 존재한다.

퍼지 집합들의 집합 A = (Aᵢ)ᵢ∈ᵢ는 그것의 기저가 되는 지지집합들의 집합 Supp ∘ A = (Supp(Aᵢ))ᵢ∈ᵢ 이 서로소일 경우에만 서로소이다.

t/s-norm 쌍과 무관하게, 서로소 퍼지 집합들의 집합의 교집합은 다시 ∅(공집합)을 주는 반면, 합집합은 모호성이 없다.

:∪˙ᵢ∈ᵢ Aᵢ = ∪ᵢ∈ᵢ Aᵢ

그것의 멤버십 함수는 다음과 같이 주어진다.

:∀x ∈ U: μ_{∪˙ᵢ∈ᵢ Aᵢ}(x) = Σᵢ∈ᵢ μ_Aᵢ(x)

다시 한번, 항 중 하나만 0보다 크다.

서로소 퍼지 집합들의 집합 A = (Aᵢ)ᵢ∈ᵢ에 대해 다음이 성립한다.

:Supp(∪˙ᵢ∈ᵢ Aᵢ) = ∪ᵢ∈ᵢ Supp(Aᵢ)

5. 퍼지 관계 방정식

''A'' · ''R'' = ''B'' 형태의 방정식으로, 여기서 ''A''와 ''B''는 퍼지 집합이고, ''R''은 퍼지 관계이며, ''A'' · ''R''은 ''A''와 ''R''의 합성을 나타낸다.

6. 퍼지 논리

다치 논리의 확장으로서, 명제 변수의 값 매김을 멤버십 정도 집합으로 생각할 수 있다. 이는 술어(술어)를 퍼지 집합(더 정확히는 퍼지 쌍의 순서 집합인 퍼지 관계)으로 매핑하는 멤버십 함수로 생각할 수 있다. 이러한 값 매김을 통해 다치 논리를 확장하여, 점진적인 결론을 도출할 수 있는 퍼지 전제를 허용할 수 있다.^[18]

이러한 확장은 때때로 "좁은 의미의 퍼지 논리"라고 불리는데, 이는 자동 제어 및 지식 공학의 공학 분야에서 유래한 "넓은 의미의 퍼지 논리"와 대조된다. "넓은 의미의 퍼지 논리"는 퍼지 집합과 "근사 추론"을 포함하는 많은 주제를 포함한다.^[19]

7. 퍼지 수

퍼지 수^[20]는 다음 조건을 모두 만족하는 퍼지 집합이다.

A는 정규화되어 있다.
A는 볼록 집합이다.
멤버십 함수 $\mu_{A}(x)$ 는 값 1을 적어도 한 번 달성한다.
멤버십 함수 $\mu_{A}(x)$ 는 적어도 구간적으로 연속적이다.

이러한 조건을 만족하지 않으면 A는 퍼지 수가 아니다. 이 퍼지 수의 핵심은 단원집합이며, 그 위치는 다음과 같다.

:

\, C(A) = x^* : \mu_A(x^*)=1

퍼지 수는 누군가 참가자의 몸무게를 추측하는 놀이공원 게임 "몸무게 맞히기"에 비유할 수 있다. 더 가까운 추측일수록 더 정확하며, 추측자가 참가자의 몸무게에 충분히 가깝게 추측하면 "이긴다". 실제 몸무게는 완벽하게 정확하다(멤버십 함수에 의해 1에 매핑됨).

볼록하고 정규화된 소속 함수를 가지는 실수로 이루어진 퍼지 집합이 퍼지 수라는 것은, 그 소속 함수가 적어도 구간적으로 연속이고, 적어도 한 점에서

\mu_{A}(x) = 1

이 되는 것을 말한다. 이 개념은 상대의 체중을 추측하여 정답에 더 가까운 값을 대답한 쪽이 이기는 "체중 맞히기" 놀이와 비슷한 점이 있다. 이 경우, 실제 체중을 정확히 맞히는 것이 소속 함수의 값이 1이 되는 것에 해당한다.

8. 엔트로피

퍼지 집합 A의 '''엔트로피'''는 퍼지 집합의 불확실성 정도를 나타내는 척도이다. 유한 집합 U = {x₁, x₂, ... x_n}에 대해 퍼지 집합 A의 엔트로피는 다음과 같이 주어진다.^[25]^[26]

d(A) = -k Σⁿ_i=1 S(μ_A(x_i))

여기서 S(x)는 샤논 함수이다.

S(α) = -α ln α - (1-α) ln (1-α), α ∈ [0, 1]

k는 측정 단위와 사용된 로그의 밑(여기서는 자연로그의 밑 e를 사용)에 따라 달라지는 상수이다. k의 물리적 해석은 볼츠만 상수 k^B이다.

A가 연속적인 멤버십 함수(퍼지 변수)를 갖는 퍼지 집합이라면, 그 엔트로피는 다음과 같다.

d(A) = -k ∫^∞_-∞ S(Cr{A ≥ t}) dt.^[25]^[26]

9. 퍼지 집합의 확장

L^영어-퍼지 집합은 소속 함수가 일반적인 실수 구간 [0, 1] 대신, 격자 등의 더 일반적인 대수 구조 L^영어의 값을 가지는 경우이다.^[23]^[24]

직관적 퍼지 집합(Intuitionistic Fuzzy Sets, IFS)은 소속도( $\mu_A(x)$ )와 비소속도( $\nu_A(x)$ )를 함께 고려하며, $\mu_A(x) + \nu_A(x) \le 1$ 조건을 만족한다.^[12]

신트로픽 퍼지 집합은 1998년 스마란다체(Smarandache)에 의해 도입되었다.^[13] IFS와 마찬가지로 소속 함수 $\mu_A(x)$ 와 비소속 함수 $\nu_A(x)$ 를 갖지만, 추가로 불확정도 함수 $i_A(x)$ 를 통해 불확실성의 정도를 나타낸다.^[14]

피타고라스 퍼지 집합(Pythagorean fuzzy sets)은 $\mu_A(x)^2 + \nu_A(x)^2 \le 1$ 조건을 만족하는, IFS보다 더 유연한 집합이다.^[15]^[16]^[17]

그림 퍼지 집합(Picture Fuzzy Sets, PFS)은 긍정 소속도, 중립 소속도, 부정 소속도를 나타내는 세 함수로 특징지어지며, $\mu_A(x) + \eta_A(x) + \nu_A(x) \le 1$ 조건을 만족한다.^[12]

1965년 자데(Zadeh)가 퍼지 집합을 처음 소개한 이후, 불명확성, 부정확성, 모호성, 불확실성 및 취약성을 다루기 위해 퍼지 집합 이론은 다양한 형태로 확장되어 왔다. 다음은 퍼지 집합의 주요 확장 및 관련 이론들이다.

발표년도	명칭	제안자
1965	퍼지 집합	자데(Zadeh)
1966	구간 집합	무어(Moore)
1967	L^영어-퍼지 집합	고건(Goguen)
1968	불명확 집합 (flou sets^영어)	겐틸옴므(Gentilhomme)
1975	2종 퍼지 집합 및 n^영어종 퍼지 집합	자데(Zadeh)
1975	구간 값 퍼지 집합	그라탕-기네스(Grattan-Guinness), 얀(Jahn), 삼뷕(Sambuc), 자데(Zadeh)
1977	수준 퍼지 집합 (level fuzzy sets^영어)	라데츠키(Radecki)
1982	조잡 집합 (rough sets^영어)	파블락(Pawlak)
1983	직관적 퍼지 집합 (intuitionistic fuzzy sets^영어)	아타나소프(Atanassov)
1986	퍼지 다중 집합 (fuzzy multisets^영어)	예거(Yager)
1986	직관적 L^영어-퍼지 집합 (intuitionistic L-fuzzy sets^영어)	아타나소프(Atanassov)
1987	조잡 다중 집합 (rough multisets^영어)	그르지말라-부세(Grzymala-Busse)
1988	퍼지 조잡 집합 (fuzzy rough sets^영어)	나카무라(Nakamura)
1989	실수 값 퍼지 집합 (real-valued fuzzy sets^영어)	블리자드(Blizard)
1993	모호 집합 (vague sets^영어)	웬룽 가우(Wen-Lung Gau)와 뷰러(Buehrer)
1997	α-수준 집합	야오(Yao)
1998	그림자 집합 (shadowed sets^영어)	페드리츠(Pedrycz)
1998	중립소 집합 (neutrosophic sets^영어, NSs)	스마란다체(Smarandache)
1998	양극 퍼지 집합 (bipolar fuzzy sets^영어)	웬란 장(Wen-Ran Zhang)
1999	진정 집합 (genuine sets^영어)	데미르치(Demirci)
1999	소프트 집합 (soft sets^영어)	몰로초프(Molodtsov)
2002	복소 퍼지 집합 (complex fuzzy set^영어)	람(Ram)
2003	직관적 퍼지 조잡 집합 (intuitionistic fuzzy rough sets^영어)	코넬리스(Cornelis), 드 콕(De Cock) 및 케레(Kerre)
2004	L^영어-퍼지 조잡 집합 (L-fuzzy rough sets^영어)	라지코프스카(Radzikowska) 및 케레(Kerre)
2009	다중 퍼지 집합 (multi-fuzzy sets^영어)	사부 세바스찬(Sabu Sebastian)
2010	일반화된 조잡 퍼지 집합 (generalized rough fuzzy sets^영어)	펭(Feng)
2011	조잡 직관적 퍼지 집합 (rough intuitionistic fuzzy sets^영어)	토마스(Thomas) 및 네어(Nair)
2011	소프트 조잡 퍼지 집합 (soft rough fuzzy sets^영어)	멩(Meng), 장(Zhang) 및 친(Qin)
2011	소프트 퍼지 조잡 집합 (soft fuzzy rough sets^영어)	멩(Meng), 장(Zhang) 및 친(Qin)
2011	소프트 다중 집합 (soft multisets^영어)	알카잘레(Alkhazaleh), 살레(Salleh) 및 하산(Hassan)
2012	퍼지 소프트 다중 집합 (fuzzy soft multisets^영어)	알카잘레(Alkhazaleh) 및 살레(Salleh)
2013	피타고라스 퍼지 집합 (pythagorean fuzzy set^영어)	예거(Yager)
2013	그림 퍼지 집합 (picture fuzzy set^영어)	쿠옹(Cuong)
2018	구면 퍼지 집합 (spherical fuzzy set^영어)	마흐무드(Mahmood)

10. 같이 보기

참조

_[1] 논문 Fuzzy sets http://www.cs.berkel[...]
_[2] 논문 An early approach toward graded identity and graded membership in set theory
_[3] 서적 Fuzzy Sets and Systems Academic Press
_[4] 논문 FM-test: A fuzzy-set-theory-based approach to differential gene expression data analysis
_[5] 웹사이트 AAAI http://www.aaai.org/[...]
_[6] 논문 On the analytic formalism of the theory of fuzzy sets
_[7] 간행물 Set Difference and Symmetric Difference of Fuzzy Sets http://www.math.sk/f[...] Fuzzy Sets Theory and Applications 2014
_[8] 간행물 Similarity measures for fuzzy sets https://www.research[...] Applied and Computational Mathematics 2016-11-23
_[9] 논문 L-fuzzy sets
_[10] 간행물 A classification of representable t-norm operators for picture fuzzy sets http://digitalcommon[...] Departmental Technical Reports (CS)
_[11] 간행물 Complement of an Extended Fuzzy Set https://web.archive.[...]
_[12] 논문 A Systematic Survey of Computer-Aided Diagnosis in Medicine: Past and Present Developments.
_[13] 서적 Neutrosophy: Neutrosophic Probability, Set, and Logic: Analytic Synthesis & Synthetic Analysis. American Research Press
_[14] 논문 The Seven Key Challenges for the Future of Computer-Aided Diagnosis in Medicine.
_[15] 논문 Pythagorean fuzzy subsets
_[16] 논문 Pythagorean membership grades in multicriteria decision making
_[17] 서적 Properties and applications of Pythagorean fuzzy sets. Springer, Cham.
_[18] 서적 A Treatise on Many-Valued Logics Research Studies Press Ltd.
_[19] 논문 The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning https://pdfs.semanti[...]
_[20] 논문 Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility https://www.semantic[...]
_[21] 논문 Categories of fuzzy sets: applications of non-Cantorian set theory University of California, Berkeley
_[22] 서적 Goguen Categories:A Categorical Approach to L-fuzzy Relations Springer
_[23] 논문 Representation theory of Goguen categories 2003-08-16
_[24] 논문 L-fuzzy sets
_[25] 논문 Entropy, distance measure and similarity measure of fuzzy sets and their relations
_[26] 논문 Fuzzy cross-entropy
_[27] 문서
_[28] 웹사이트 AAAI http://www.aaai.org/[...]
_[29] 논문 L-fuzzy sets
_[30] 논문 Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility
_[31] 논문 Categories of fuzzy sets : applications of non-Cantorian set theory University of California, Berkeley
_[32] 서적 Goguen Categories:A Categorical Approach to L-fuzzy Relations Springer
_[33] 논문 Representation theory of Goguen categories 2003-08-16
_[34] 논문 L-fuzzy sets

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