축소 판정법
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1. 본문
축소 판정법(Reduction Criterion)은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없는지, 즉 기약 다항식인지를 판정하는 데 사용되는 방법입니다.
축소 판정법의 내용:정수 계수 다항식 f(x)에 대해, 어떤 소수 p에 대하여 다음 조건을 만족하면 f(x)는 기약 다항식입니다.
1. f(x)를 p로 나눈 나머지, 즉 법 p에 대해 축소시킨 다항식 f̄(x)가 Z/pZ[x]에서 기약입니다. (Z/pZ[x]는 계수가 정수 p로 나눈 나머지인 다항식들의 집합)
2. f(x)의 최고차항 계수는 p로 나누어 떨어지지 않습니다.
예시:f(x) = x³ + 2x + 1 이라는 다항식을 생각해 봅시다.
1. 소수 p=2를 선택합니다.
2. f(x)를 법 2에 대해 축소하면 f̄(x) = x³ + 1 이 됩니다.
3. f̄(x) = x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1) in Z/2Z[x] 이므로 f̄(x)는 Z/2Z[x]에서 기약이 아닙니다. 따라서 p=2는 축소 판정법을 적용할 수 없습니다.
4. 소수 p=3을 선택합니다.
5. f(x)를 법3에 대해 축소하면 f̄(x) = x³ + 2x + 1 in Z/3Z[x]가 됩니다.
6. Z/3Z[x]에서 x³ + 2x + 1은 기약 다항식입니다.
7. f(x)의 최고차항의 계수 1은 3으로 나누어 떨어지지 않습니다,
8. 따라서, 축소 판정법에 의해 f(x) = x³ + 2x + 1은 기약 다항식입니다.
추가 정보:
- 축소 판정법은 아이젠슈타인 판정법(Eisenstein's Criterion)과 함께 다항식의 기약성을 판정하는 데 유용한 도구입니다.
- 모든 기약 다항식에 축소 판정법을 적용할 수 있는 것은 아니지만, 많은 경우에 효과적입니다.
- 위키백과에 축소 판정법에 대한 정보가 더 있습니다.
| 축소 판정법 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 유형 | 수학의 판정법 |
| 분야 | 수학 분석 |
| 목적 | 주어진 급수 또는 적분의 수렴 또는 발산 여부 판정 |
| 급수 판정법 | |
| 기본적인 판정법 | n항 판정법 비교 판정법 극한 비교 판정법 |
| 비 판정법 | 비 판정법 근 판정법 |
| 적분 판정법 | 적분 판정법 |
| 교대 급수 판정법 | 교대 급수 판정법 |
| 특수한 판정법 | 디리클레 판정법 아벨 판정법 라베 판정법 가우스 판정법 |
| 적분 판정법 | |
| 기본적인 판정법 | 비교 판정법 극한 비교 판정법 |
| 특수한 판정법 | 디리클레 판정법 아벨 판정법 |
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