아벨 판정법

1. 개요

아벨 판정법은 급수의 수렴성을 판별하는 데 사용되는 여러 가지 정리들을 통칭한다. 여기에는 실수 항 급수, 이상 적분, 복소 해석학, 균등 수렴에 대한 판정법이 포함된다.

실수 항 급수에 대한 아벨 판정법은 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n$이 수렴하고, $(b\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$이 단조수열이면서 유계 수열일 때, 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_nb\_n$ 역시 수렴한다는 것을 보여준다. 이상 적분에 대한 아벨 판정법은 함수 $f$가 리만 적분 가능하고 이상 적분 $\backslash int\_a^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx$가 수렴하며, $g$가 단조 함수이면서 유계 함수일 때, 이상 적분 $\backslash int\_a^\backslash infty\; f(x)g(x)\backslash ,dx$가 수렴함을 나타낸다. 복소 해석학에서는 멱급수의 수렴반경 경계에서 멱급수의 수렴을 확립하는 데 사용되며, 균등 수렴에 대한 아벨 판정법은 함수 항 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; f\_n$가 균등 수렴하고, $(g\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$이 균등 유계 함수열이며, $(g\_n(x))\_\{n=0\}^\backslash infty$가 단조수열일 때, 함수 항 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; f\_ng\_n$ 역시 균등 수렴한다는 것을 보여준다.

2. 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법

실수 항 급수의 수렴성을 판정하는 데 사용되는 아벨 판정법은 두 실수 수열의 곱으로 이루어진 급수의 수렴성을 판정하는 방법이다.

이 판정법은 주로 절댓값 수렴하지 않는 급수 $\backslash sum\; a\_n$의 맥락에서 중요하고 유용하다. 절댓값 수렴하는 급수의 경우, 이 정리는 비록 참이지만 거의 자명하다.

2.1. 내용

두 실수 수열 $(a\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$, $(b\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

* 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n$은 수렴한다.
* $(b\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$은 단조수열이자 유계 수열이다.

아벨 판정법에 따르면, 급수

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_nb\_n$

역시 수렴한다.

이 판정법은 주로 절댓값 수렴하지 않는 급수 $\backslash sum\; a\_n$의 맥락에서 중요하고 유용하다. 절댓값 수렴하는 급수의 경우, 이 정리는 비록 참이지만 거의 자명하다.

2.2. 디리클레 판정법을 통한 증명

$(b\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$은 단조수열이면서 유계 수열이므로, 어떤 실수로 수렴한다.
:$b=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}b\_n\backslash in\backslash mathbb\; R$
라고 하자. $(b\_n-b)\_\{n=0\}^\backslash infty$는 단조수열이며, 0으로 수렴한다. 또한, 급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n$
이 수렴하므로, 부분합은 유계 수열이다. 디리클레 판정법에 의하여, 급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n(b\_n-b)$
는 수렴한다. 따라서, 급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_nb\_n=\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n(b\_n-b)+b\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n$
역시 수렴한다.

2.3. 직접적인 증명

두 실수 수열 $(a\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$, $(b\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

* 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n$은 수렴한다.
* $(b\_n)\_\{n=0\}^\backslash infty$은 단조수열이자 유계 수열이다.

$S\_n=\backslash sum\_\{k=0\}^na\_k\backslash qquad(\backslash forall\; n\backslash in\backslash mathbb\; N)$

$b=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}b\_n\backslash in\backslash mathbb\; R$

라고 하자. 임의의 $\backslash epsilon>0$에 대하여,

:$|b\_n|\backslash le2|b|\backslash qquad(\backslash forall\; n>N(\backslash epsilon))$

:

인 자연수 $N(\backslash epsilon)\backslash in\backslash mathbb\; N$이 존재한다. 아벨 변환에 의하여, 임의의 $n\backslash ge\; N(\backslash epsilon)$ 및 임의의 $p\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$에 대하여, 다음이 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}$
\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_kb_k\right|
&=\left|b_{n+p}(S_{n+p}-S_n)+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})(S_k-S_n)\right|\\
&\le|b_{n+p}||S_{n+p}-S_n|+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}||S_k-S_n|\\
&\le\frac\epsilon{6|b|+1}\left(|b_{n+p}|+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}|\right)\\
&=\frac\epsilon{6|b|+1}\left(|b_{n+p}|+\left|\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})\right|\right)\\
&=\frac\epsilon{6|b|+1}(|b_{n+p}|+|b_{n+1}-b_{n+p}|)\\
&\le\frac\epsilon{6|b|+1}(2|b_{n+p}|+|b_{n+1}|)\\
&\le\frac\epsilon{6|b|+1}\cdot3\cdot2|b|\\
&<\epsilon
\end{align}


즉, 급수

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_nb\_n$

의 부분합은 코시 수열이다. 따라서 이 급수는 수렴한다.

3. 이상 적분에 대한 아벨 판정법

이상 적분에 대한 아벨 판정법은 이상 적분의 수렴성을 판정하는 방법 중 하나이다. 이 판정법은 두 함수의 곱의 이상 적분이 수렴하는 조건을 제시한다.

3.1. 내용

실수 값 함수 $f\backslash colon[a,\backslash infty)\backslash to\backslash mathbb\; R$가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

* $f$는 임의의 $[a,b]\backslash subseteq[a,\backslash infty)$에서 리만 적분 가능하며, 또한 이상 적분 $\backslash int\_a^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx$는 수렴한다.
* $g$는 단조함수이자 유계 함수이다.

그렇다면, 이상 적분

:$\backslash int\_a^\backslash infty\; f(x)g(x)\backslash ,dx$

는 수렴한다.

3.2. 디리클레 판정법을 통한 증명

$g\backslash colon\; [a,\backslash infty)\backslash to\; \backslash mathbb\; R$가 단조 유계 함수이므로, 극한
:$g(\backslash infty)=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}g(x)\backslash in\backslash mathbb\; R$
가 존재한다. 함수 $x\backslash mapsto\; g(x)-g(\backslash infty)$는 단조함수이며, 0으로 수렴한다. 이상 적분
:$\backslash int\_a^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx$
가 수렴하므로,
:$x\backslash mapsto\backslash int\_a^x\; f(t)\backslash ,dt$
는 유계 함수이다. 이상 적분에 대한 디리클레 판정법에 의하여, 이상 적분
:$\backslash int\_a^\backslash infty\; f(x)(g(x)-g(\backslash infty))\backslash ,dx$
는 수렴한다. 따라서, 이상 적분
:$\backslash int\_a^\backslash infty\; f(x)g(x)\backslash ,dx=\backslash int\_a^\backslash infty\; f(x)(g(x)-g(\backslash infty))\backslash ,dx+g(\backslash infty)\backslash int\_a^\backslash infty\; f(x)\backslash ,dx$
역시 수렴한다.

3.3. 직접적인 증명

$g(\backslash infty)=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}g(x)\backslash in\backslash mathbb\; R$이라고 하자. 임의의 $\backslash epsilon>0$에 대하여, 다음이 성립하는 $N(\backslash epsilon)>a$가 존재한다.
:
:
제2 적분 평균값 정리에 따라, 임의의 $y>x>N(\backslash epsilon)$에 대하여, 어떤 $c(x,y)\backslash in[x,y]$가 존재하며, 다음이 성립한다.
:$\backslash begin\{align\}$
\left|\int_x^yf(t)g(t)\,dt\right|
&=\left|g(x)\int_x^{c(x,y)}f(t)\,dt+g(y)\int_{c(x,y)}^yf(t)\,dt\right|\\
&\le2|g(\infty)|\left(\left|\int_x^{c(x,y)}f(t)\,dt\right|+\left|\int_{c(x,y)}^yf(t)\,dt\right|\right)\\
&\le2|g(\infty)|\cdot2\cdot\frac\epsilon{4|g(\infty)|+1}\\
&<\epsilon
\end{align}

따라서, 이상 적분
:$\backslash int\_a^\backslash infty\; f(x)g(x)\backslash ,dx$
은 수렴한다.

4. 복소 해석학에서의 아벨 판정법

아벨 판정법은 멱급수의 수렴 원 경계에서 멱급수의 수렴을 확립하는 데 사용될 수 있다. 이 판정법은 수렴 판정법과 밀접한 관련이 있으며, 다음과 같은 경우에 적용된다.

* 양의 실수 $(a\_n)$의 수열이 단조 감소한다. (또는 적어도 어떤 자연수 m보다 큰 모든 n에 대해 $a\_n\; \backslash geq\; a\_\{n+1\}$을 만족한다.)
* $\backslash lim\_\{n\backslash rightarrow\backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0$

이러한 조건을 만족하면, 멱급수 $f(z)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_nz^n$는 z = 1일 때를 제외하고 닫힌 단위 원의 모든 곳에서 수렴한다. z = 1일 때의 수렴은 별도로 조사해야 한다.

아벨 판정법은 수렴 반경이 1 이상임을 의미하며, 변수 변환 ζ = z/R을 통해 수렴 반경이 R ≠ 1인 멱급수에도 적용할 수 있다. 또한, z = -1로 두어 라이프니츠 판정법을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

디리클레 판정법을 통해서도 동일한 결과를 얻을 수 있다.

4.1. 내용

멱급수의 수렴 원 경계에서 멱급수의 수렴을 확립하는 데 사용되는 아벨 판정법은 다음과 같다.

양의 실수열 $(a\_n)$이 단조 감소하고(또는 충분히 큰 모든 n에 대해 $a\_n\; \backslash geq\; a\_\{n+1\}$을 만족),

:$$
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0


이면, 멱급수

:$$
f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n


는 z = 1일 때를 제외한 닫힌 단위 원의 모든 곳에서 수렴한다. z = 1일 때의 수렴은 별도로 조사해야 한다. 이 판정법은 특히 수렴 반경이 1 이상임을 의미하며, 변수 변환 ζ = z/R을 통해 수렴 반경이 R ≠ 1인 멱급수에도 적용할 수 있다. 또한, z = -1로 두어 라이프니츠 판정법을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

아벨 판정법 증명: z가 단위 원 위의 점이고, z ≠ 1이라고 가정하면, 각 $n\backslash geq1$에 대해 다음을 정의할 수 있다.

:$$
f_n(z):=\sum_{k=0}^n a_k z^k.


이 함수에 (1 − z)를 곱하면 다음과 같다.

:$$
\begin{align}
(1-z)f_n(z) & = \sum_{k=0}^n a_k (1-z)z^k \\
& = \sum_{k=0}^n a_k z^k - \sum_{k=0}^n a_k z^{k+1} \\
& = a_0 + \sum_{k=1}^n a_k z^k - \sum_{k=1}^{n+1} a_{k-1} z^k \\
& = a_0 - a_n z^{n+1} + \sum_{k=1}^n (a_k - a_{k-1}) z^k .
\end{align}


여기서 첫 번째 항은 상수이고, 두 번째 항은 0으로 수렴한다($(a\_n)$이 0으로 수렴). 급수의 수렴성은 다음 절대 수렴성을 보임으로써 증명할 수 있다.

:$$
\sum_{k=1}^\infty \left|(a_k - a_{k-1}) z^k \right| = \sum_{k=1}^\infty |a_k-a_{k-1}|\cdot |z|^k \leq \sum_{k=1}^\infty (a_{k-1}-a_{k})


마지막 합은 수렴하는 텔레스코핑 합이고, 절대값은 수열 $(a\_n)$의 감소성에 의해 사라진다. 따라서 $(1-z)f\_n(z)$는 닫힌 단위 원판에서 수렴하고, $z\backslash not\; =\; 1$일 때 (1 − z)로 나누어 결과를 얻는다.

디리클레 판정법을 통해서도 동일한 결과를 얻을 수 있는데, $z\backslash ne\; 1,\backslash \; |z|=1$에 대해 $\backslash left|\backslash sum\_\{k=0\}^n\; z^k\backslash right|=\backslash left|\backslash frac\{z^\{n+1\}-1\}\{z-1\}\backslash right|\backslash le\; \backslash frac\{2\}$