층밀림 탄성률

1. 개요

전단 탄성률은 재료의 강성을 나타내는 척도 중 하나로, 전단 응력에 대한 재료의 반응을 설명한다. 이는 고체 표면에 평행한 힘이 가해질 때 나타나는 변형과 관련이 있으며, 유체는 전단 탄성률이 0인 재료로 정의될 수 있다. 전단 탄성률은 압력파와 전단파의 속도를 결정하는 중요한 요소이며, 금속의 경우 온도 증가에 따라 감소하는 경향을 보인다. 금속의 전단 탄성률을 예측하기 위해 바르슈니-첸-그레이 모델, 스타인버그-코크란-기난 모델, 나달-르 포악 모델과 같은 다양한 모델이 사용된다. 또한, 전단 완화 탄성률은 시간에 따라 변하는 전단 탄성률의 일반화된 표현이다.

2. 설명

층밀림 탄성률(전단 탄성 계수)은 재료의 강성을 측정하는 여러 지표 중 하나이며, 다른 탄성 계수들과 함께 일반화된 후크의 법칙에서 파생된다. 주요 탄성 계수는 다음과 같다.
* 영률 E: 재료에 가해진 축 방향 응력에 대한 변형 정도를 나타낸다. 예를 들어, 전선을 당기면 길이가 늘어나고 기둥 위에 무게를 올리면 높이가 낮아지는 현상과 관련된다.
* 푸아송 비 ν: 축 방향 응력에 대해 수직 방향으로 변형되는 정도를 나타낸다. 예를 들어, 전선을 당기면 가늘어지고 기둥을 누르면 두꺼워지는 현상과 관련된다.
* 체적 탄성 계수 K: 재료가 모든 방향에서 균일한 압력(수압)을 받을 때 부피가 변하는 정도를 나타낸다. 바다 깊은 곳이나 수영장 바닥에서 받는 압력 등이 예시다.
* 층밀림 탄성률 (전단 탄성 계수) G: 재료가 전단 응력(shear stress)을 받을 때 변형되는 정도를 나타낸다. 예를 들어, 무딘 가위로 물체를 자르는 것과 같이 표면에 평행한 힘이 작용하는 경우와 관련된다.

이 탄성 계수들은 서로 독립적이지 않다. 특히 등방성 재료(모든 방향으로 물리적 성질이 동일한 재료)의 경우, 다음 관계식이 성립한다.
:$E\; =\; 2G(1+\backslash nu)\; =\; 3K(1-2\backslash nu)$

층밀림 탄성률은 고체의 한 표면에 평행한 힘이 가해지고, 반대쪽 면에는 그와 반대 방향의 힘이 작용할 때(예: 마찰력) 발생하는 변형과 관련이 있다. 예를 들어, 직육면체 모양의 물체에 이러한 힘이 가해지면 평행육면체 모양으로 변형될 것이다.

이방성 재료(예: 목재, 종이, 그리고 본질적으로 모든 단결정)는 힘이 가해지는 방향에 따라 응력이나 변형에 다르게 반응한다. 이런 경우에는 단일 스칼라 값으로 표현하기 어렵고, 방향에 따른 복잡한 계산이 필요할 수 있다.

유체는 층밀림 탄성률이 0인 물질로 정의할 수 있다. 즉, 유체는 전단 응력에 저항하지 못하고 계속해서 변형된다.

3. 전단파

균질하고 등방성인 고체에는 압력파와 전단파 두 종류의 파동이 존재한다. 전단파의 속도 $(v\_s)$는 층밀림 탄성률에 의해 결정된다.

:$v\_s\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\; \{G\}\; \{\backslash rho\}\; \}$

여기서
:G는 층밀림 탄성률
:$\backslash rho$는 고체의 밀도이다.

4. 금속의 전단 탄성 계수

다음은 다양한 금속 재료들의 실온에서의 일반적인 전단 탄성 계수 값이다.

금속의 전단 탄성 계수는 일반적으로 온도가 증가함에 따라 감소하는 경향을 보인다. 반면, 높은 압력 하에서는 가해지는 압력이 증가함에 따라 전단 탄성 계수도 증가하는 경향이 관찰된다. 또한, 많은 금속에서 녹는점, 공공 형성 에너지, 그리고 전단 탄성 계수 사이에 상관관계가 있음이 밝혀졌다.

금속 및 합금의 전단 탄성 계수를 예측하기 위한 여러 모델이 개발되었다. 특히 소성 흐름 계산에 사용되는 주요 모델들은 다음과 같다.

* 바르슈니-첸-그레이 모델Varshni-Chen-Gray model^영어: 기계적 임계 응력Mechanical Threshold Stress^영어, MTS) 소성 흐름 응력 모델과 함께 사용된다.
* 스타인버그-코크란-기난 모델Steinberg-Cochran-Guinan^영어, SCG): 스타인버그-코크란-기난-룬드 모델Steinberg-Cochran-Guinan-Lund^영어, SCGL) 흐름 응력 모델과 함께 사용된다.
* 나달-르포악 모델Nadal and LePoac^영어, NP): 린데만 기준Lindemann criterion^영어)을 사용하여 온도 의존성을, SCG 모델을 사용하여 압력 의존성을 결정한다.

4.1. 바르슈니-첸-그레이 모델

바르슈니-첸-그레이 모델(Varshni-Chen-Gray model)은 금속 및 합금의 전단 탄성 계수를 예측하는 모델 중 하나로, 기계적 임계 응력(Mechanical Threshold Stress, MTS) 소성 흐름 응력 모델과 함께 사용된다.

이 모델(때로는 바르슈니 방정식이라고도 함)은 다음과 같은 형태를 갖는다.

:$$
\mu(T) = \mu_0 - \frac{D}{\exp(T_0/T) - 1}


여기서 $\backslash mu\_0$는 $T=0K$에서의 전단 탄성률이고, $D$와 $T\_0$는 재료 상수이다.

4.2. 스타인버그-코크란-기난 모델

스타인버그-코크란-기난 모델(Steinberg-Cochran-Guinan, SCG)은 금속의 전단 탄성 계수를 예측하는 모델 중 하나로, 스타인버그-코크란-기난-룬드 모델(Steinberg-Cochran-Guinan-Lund, SCGL) 흐름 응력 모델과 함께 사용하기 위해 개발되었다.

이 모델은 전단 탄성률이 압력에 의존한다는 특징을 가지며, 다음과 같은 수학적 형태로 표현된다.

:$\backslash mu(p,T)\; =\; \backslash mu\_0\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mu\}\{\backslash partial\; p\}\; \backslash frac\{p\}\{\backslash eta^\backslash frac\{1\}\{3\}\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mu\}\{\backslash partial\; T\}(T\; -\; 300)\; ;\; \backslash quad\; \backslash eta\; :=\; \backslash frac\{\backslash rho\}\{\backslash rho\_0\}$

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.
* μ(p,T): 특정 압력(p)과 온도(T)에서의 전단 탄성률
* μ₀: 기준 상태(T = 300 K, p = 0, η = 1)에서의 전단 탄성률
* p: 압력
* T: 온도
* η: 현재 상태의 밀도(ρ)를 기준 상태의 밀도(ρ₀)로 나눈 값 (상대 밀도)
* ∂μ/∂p: 압력 변화에 따른 전단 탄성률의 변화율
* ∂μ/∂T: 온도 변화에 따른 전단 탄성률의 변화율

이 식은 기준 상태의 전단 탄성률에 압력과 온도 변화에 따른 영향을 더하여 특정 조건에서의 전단 탄성률을 계산한다.

4.3. 나달-르 포악 모델

나달-르 포악(NP) 전단 탄성률 모델은 금속 및 합금의 전단 탄성 계수를 예측하는 모델 중 하나로, 스타인버그-코크란-기난 모델(SCG 모델)을 수정한 것이다. 이 모델은 린데만 기준을 사용하여 전단 탄성 계수의 온도 의존성을 결정하고, SCG 모델을 사용하여 압력 의존성을 결정한다. 구체적으로, SCG 모델에서 사용된 경험적인 온도 의존성 부분을 린데만 기준에 기반한 방정식으로 대체하였다.

NP 전단 탄성률 모델은 다음과 같은 식으로 표현된다.

:$\backslash mu(p,T)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mathcal\{J\}\backslash left(\backslash hat\{T\}\backslash right)\}\; \backslash left[\; \backslash left(\backslash mu\_0\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mu\}\{\backslash partial\; p\}\; \backslash frac\{p\}\{\backslash eta^\backslash frac\{1\}\{3\}\}\; \backslash right)\; \backslash left(1\; -\; \backslash hat\{T\}\backslash right)\; +\; \backslash frac\{\backslash rho\}\{Cm\}~T\; \backslash right];\; \backslash quad\; C\; :=\; \backslash frac\{\backslash left(6\backslash pi^2\backslash right)^\backslash frac\{2\}\{3\}\}\{3\}\; f^2$

여기서 $\backslash mathcal\{J\}(\backslash hat\{T\})$는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathcal\{J\}(\backslash hat\{T\})\; :=\; 1\; +\; \backslash exp\backslash left[-\backslash frac\{1\; +\; 1/\backslash zeta\}\; \{1\; +\; \backslash zeta/\backslash left(1\; -\; \backslash hat\{T\}\backslash right)\}\backslash right]\; \backslash quad\; \backslash text\{for\}\; \backslash quad\; \backslash hat\{T\}\; :=\; \backslash frac\{T\}\{T\_m\}\backslash in[0,\; 1\; +\; \backslash zeta],$

각 변수는 다음을 의미한다.
* μ₀: 절대 영도 및 주변 압력에서의 전단 탄성률
* ζ: 면적
* m: 원자 질량
* f: 린데만 상수
* p: 압력
* T: 절대 온도
* T_m: 녹는점 (절대 온도)
* ρ: 밀도
* η: 압축비 (ρ/ρ₀)
* $\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mu\}\{\backslash partial\; p\}$: 압력에 대한 전단 탄성률의 변화율

5. 전단 완화 탄성률

전단 완화 탄성률 $G(t)$는 전단 탄성률 $G$의 시간에 의존하는 일반화이다.
:$G=\backslash lim\_\{t\backslash to\; \backslash infty\}\; G(t)$

6. 탄성률의 상관 관계

전단 탄성 계수(층밀림 탄성률)는 영률, 푸아송 비, 체적 탄성 계수 등과 함께 재료의 강성을 나타내는 여러 지표 중 하나이다. 이 탄성률들은 모두 일반화된 후크의 법칙에 기반한다.

* [[영률]] (E): 재료에 가해진 축 방향 응력(잡아당기거나 누르는 힘)에 따른 길이 변화(늘어나거나 줄어드는 정도)를 나타낸다.
* [[푸아송 비]] (ν): 축 방향 응력을 받을 때, 축에 수직한 방향으로 변형되는 정도를 나타낸다. 예를 들어, 고무줄을 당기면 길이가 늘어나면서 두께는 얇아지는데, 이때의 관계를 설명한다.
* [[체적 탄성 계수]] (K): 재료가 모든 방향에서 균일한 압력(정수압)을 받을 때 부피가 얼마나 변하는지를 나타낸다.
* [[층밀림 탄성률|전단 탄성 계수]] (G): 재료의 한 면에 평행한 힘이 가해지고 반대 면에는 반대 방향 힘이 작용할 때(예: 마찰력이나 가위로 자를 때), 재료가 형태를 유지하려는 정도를 나타낸다.

등방성(모든 방향으로 성질이 같은) 재료의 경우, 이 탄성률들은 서로 독립적이지 않으며 다음과 같은 관계식을 통해 연결된다.
:$E\; =\; 2G(1+\backslash nu)\; =\; 3K(1-2\backslash nu)$

하지만 이방성 재료(예: 목재, 종이, 대부분의 단결정)는 측정하는 방향에 따라 응력이나 변형에 대한 반응이 다르다. 이런 경우에는 단순한 스칼라 값 대신, 방향성을 고려한 텐서 형태의 탄성 계수를 사용해야 한다.

등방성이고 균질한 탄성체의 경우, 영률, 푸아송 비, 체적 탄성률, 전단 탄성률, 그리고 라메의 첫 번째 상수까지 총 다섯 가지 탄성률 중 어느 두 가지만 알면 나머지 세 가지 값을 계산할 수 있다.