영률

1. 개요

영률(Young's modulus)은 재료의 강성을 나타내는 척도로, 선형 탄성 영역에서 응력과 변형률 사이의 관계를 정량화한 값이다. 일반적으로 파스칼(Pa) 단위로 측정되며, 재료에 따라 다르다. 영률은 재료가 외부 힘에 의해 얼마나 변형되는지를 나타내며, 응력-변형률 곡선의 기울기로 표현된다. 이 값은 재료의 탄성적 성질을 이해하고, 구조물 설계 및 다양한 공학적 문제 해결에 활용된다. 영률은 온도에 따라 변화하며, 강도, 경도, 인성 등 다른 재료 특성과 구분된다.

2. 정의

영률(Young's modulus, Young's modulus^영어)은 재료의 선형 탄성 영역에서 응력과 변형률 사이의 관계를 나타내는 값으로, 재료가 얼마나 팽팽한지를 나타내는 척도이다.

고체 재료에 압력이나 장력(당기는 힘)이 가해지면 탄성 변형을 일으킨다. 탄성 변형은 힘이 사라지면 원래 형태로 돌아오는 변형이다. 응력과 변형률이 매우 작은 범위에서는 응력 변형 곡선이 직선으로 나타나며, 훅의 법칙에 따라 응력은 변형률에 비례한다. 이 비례 상수가 바로 영률이다.

영률은 결정 내 원자 간의 결합력과 관련이 깊다. 원자 간의 결합력이 강할수록, 즉 원자 간 거리가 변하기 어려울수록 영률은 커진다. 따라서 같은 종류의 재료에서는 융점과 탄성계수 사이에 어느 정도 상관관계가 나타나기도 한다.

하지만 응력이 일정 수준(비례한도)을 넘어서면, 결정 구조의 변화 등으로 인해 비가역적인 변형이 일어나 응력과 변형률의 관계는 더 이상 선형으로 나타나지 않는다. 이를 항복이라고 한다.

수지와 같이 응력-변형률 곡선에서 선형 영역이 거의 없는 재료의 경우에는 영률 대신 세칸트 계수(응력-변형률 곡선상의 점과 원점을 잇는 직선의 기울기) 등을 사용하기도 한다.

2.1. 선형 탄성

고체 재료는 압력이나 장력이 가해질 때 탄성 변형을 겪는다. 탄성 변형은 가역적이므로, 하중이 제거되면 재료는 원래 모양으로 돌아간다.

응력과 변형률이 0에 가까울 때 응력 변형 곡선은 선형이며, 응력과 변형률 사이의 관계는 응력이 변형률에 비례한다는 훅의 법칙으로 설명된다. 비례 계수는 영률이다. 영률이 높을수록 동일한 양의 변형률을 생성하는 데 더 많은 응력이 필요하다. 이상적인 강체는 무한대의 영률을 갖는다.

영률(E)은 재료의 선형 탄성 영역에서 인장 또는 압축 응력 σ (단위 면적당 힘)과 축 방향 변형률 ε (비례 변형) 사이의 관계를 정량화하는 값이다.

:$E\; =\; \backslash frac\{\backslash sigma\}\{\backslash varepsilon\}$

영률은 일반적으로 국제단위계(SI)에서 파스칼(Pa)의 배수로 측정되며, 일반적인 값은 기가파스칼(GPa) 범위에 있다.

예시:
* 고무 (압력 증가: 길이가 빠르게 증가하므로 E 값이 낮다)
* 알루미늄 (압력 증가: 길이가 느리게 증가하므로 E 값이 높다)

2.2. 공식과 단위

:$E\; =\; \backslash frac\{\backslash sigma\}\{\backslash varepsilon\}$

* E는 영률이다.
* σ는 단축 응력(uniaxial stress), 즉 단위 표면 당 단축 힘(uniaxial force)이다.
* ε는 변형률, 즉 길이의 변화를 원래의 길이로 나눈 것이며 무차원의 값을 가진다.

E와 σ는 압력의 단위를 가지는 반면, ε은 무차원의 값을 가진다(단위 없음). 따라서 영률의 단위는 압력의 단위이므로 표준 단위도 파스칼(Pa)과 같은 압력의 단위를 사용한다. 영률은 보통 파스칼로 표기하기에는 값이 너무 크기 때문에 메가파스칼(MPa 또는 N/mm²)이나 기가파스칼(GPa 또는 kN/mm²)로 표기한다.

일반적인 재료에서는 한 방향의 인장 또는 압축 응력 방향에 대한 변형률의 관계로부터 구한다. 영률은 세로축에 응력, 가로축에 변형률을 취한 응력-변형률 곡선의 직선 부분의 기울기에 해당한다.

예를 들어, 영률이 약 10tf/mm²(=98GPa)인 구리에서는, 단면적 1mm², 길이 1m의 와이어에 10kg의 추를 매달면 0.1%의 변형률이 발생하여 약 1mm 늘어나게 된다.

금속의 영률은 수십~수백 GPa이다.

탄성적 성질은 온도에 따라 변화하므로 해석 시 주의가 필요하다. 변화의 근사식은 다음과 같다.

:$E\; =\; E\_0\; -\; BT\; \backslash exp\backslash left(-\backslash frac\{T\_c\}\{T\}\backslash right)$

여기서 E₀는 0[K]에서의 영률, B, T_c는 재료에 따라 다른 상수이다. 한 예로, 1000℃에서의 강철의 영률은 상온의 2/3 정도로 감소한다.

3. 혼동하기 쉬운 개념들

영률은 재료의 강성(Stiffness)을 나타내는 물리량이지만, 강도, 경도, 인성 등 다른 물리적 특성과 혼동될 수 있다. 이러한 개념들은 다음과 같이 구별된다.

* [[재료강도|강도]](Strength): 재료가 탄성 변형 영역 내에서, 즉 영구적인 변형 없이 견딜 수 있는 최대 응력이다.
* [[경도]](Hardness): 더 단단한 물체의 관통에 대한 재료 표면의 상대적 저항이다.
* [[인성]](Toughness): 재료가 파괴되기 전까지 흡수할 수 있는 에너지의 양이다.

예를 들어, 금속의 영률은 일반적으로 인장강도의 수백 배 크기인데, 이는 금속이 파괴되기 전에 매우 작은 탄성 변형만을 겪는다는 것을 의미한다.

4. 활용

영률은 다양한 공학적 계산에 활용된다. 예를 들어 탄성 재료로 만들어진 봉에 인장이나 압축 하중이 가해질 때, 봉의 치수 변화를 예측할 수 있다. 즉, 재료 샘플이 인장 하중으로 얼마나 늘어날지, 압축 하중으로 얼마나 줄어들지 계산할 수 있다. 영률은 단축 응력, 즉 한 방향으로만 인장 또는 압축 응력이 가해지고 다른 방향으로는 응력이 없을 때 직접 적용된다. 또한, 형강의 지지점 사이에 하중이 가해질 때 정정 형강이 얼마나 휠지 예측하는 데도 사용된다.

이 외의 탄성 계산에는 전단 탄성 계수, 체적 탄성 계수, 푸아송 비와 같은 추가적인 탄성 특성이 필요하다. 등방성 재료의 경우, 이 변수 중 두 개만 알면 탄성을 완전히 설명할 수 있다. 예를 들어, 암세포 피부 조직의 물리적 특성을 계산할 때, 포아송 비 0.43±0.12와 평균 영률 52 KPa로 측정되었다. 피부 탄성 특성을 정의하는 것은 탄성을 임상 도구로 전환하는 첫 단계가 될 수 있다. 균질 등방성 재료의 경우 간단한 관계식을 통해 두 개의 값만으로 모든 탄성 상수를 계산할 수 있다.

일반적인 재료에서 영률은 한 방향의 인장 또는 압축 응력 방향에 대한 변형률 관계로부터 구한다. 응력-변형률 곡선에서 직선 부분의 기울기가 영률에 해당한다.

예를 들어, 영률이 약 98GPa인 구리 와이어(단면적 1mm², 길이 1m)에 10kg의 추를 매달면 약 1mm 늘어난다.

영률은 결정 내 원자 간 거리 변화에 대한 저항으로 생각할 수 있으며, 원자 간 응집력이 탄성적 성질을 결정한다. 따라서 응력과 변형 메커니즘이 같은 종류의 재료 사이에서는 융점과 탄성계수 사이에 어느 정도 상관관계가 있다. 응력이 일정 크기(비례한도)를 넘으면 결정의 불완전한 부분이 비가역적으로 움직여 변형되므로, 응력과 변형률 관계는 선형이 아니게 되고, 응력을 제거해도 원래 치수로 돌아가지 않는다. 이 현상을 항복이라고 한다.

금속의 영률은 수십~수백 GPa이다. 이는 100% 탄성 변형률을 발생시키는 응력 값이지만, 실제 재료는 1% 이하 변형률에서 항복하는 경우가 많아, 영률은 일반적으로 인장강도의 수백 배 크기이다.

탄성적 성질은 온도에 따라 변한다. 1000℃에서 강철의 영률은 상온의 2/3 정도로 감소한다.

수지처럼 응력-변형률 곡선에 선형 영역이 거의 없는 재료에서는 영률 대신 세칸트 계수(응력-변형률 곡선상의 점과 원점을 잇는 직선의 기울기) 등을 사용한다.

4.1. 선형 대 비선형

응력 변형 곡선이 선형적인 구간에서, 응력과 변형 사이의 관계는 응력이 변형에 비례한다는 훅 법칙으로 설명된다. 이때 비례 상수가 영률이다. 영률이 클수록 같은 양의 변형을 일으키기 위해 더 많은 응력이 필요하다. 이상적인 강체는 무한대의 영률 값을 갖는다.

훅 법칙은 재료가 '선형', '탄성'을 띈 상태에서만 유효하다. 현실에서는 어떠한 물질이라도 아주 큰 길이로 늘려지거나 굉장히 큰 힘을 가하면 결국 파괴된다. 하지만 모든 고형 재료는 변형이나 응력이 충분히 크지 않을 경우 거의 훅 법칙을 따르는 반응을 보인다. 훅 법칙이 유효한 범위가 재료에 가해질 것으로 예상되는 응력을 감당하기에 충분히 큰 경우 재료가 선형성을 띈다고 하며, 그렇지 않은(일상적으로 가해지는 응력이 선형 범위를 넘어선) 경우 재료가 비선형성을 띈다고 한다.

보통 강철, 탄소 섬유, 유리는 선형 재료로 여겨지며 고무, 토양 따위는 비선형 재료로 여겨진다. 하지만 이는 절대적인 분류가 아니다. 비선형 재료에 굉장히 미미한 응력이나 변형이 가해진다면 그 반응은 선형적일 것이고, 선형 재료에 굉장히 큰 응력이나 변형이 가해질 때 나타나는 현상은 선형 이론으로는 설명하기 어려울 것이다. 예를 들면 선형 이론은 가역성을 가정하기 때문에, 강철 다리가 감당할 수 없을 정도로 높은 하중이 가해졌을 때 일어날 파괴를 묘사할 수는 없다. 강철이 대부분의 상황에서 선형 재료이기는 하지만, 그러한 끔찍한 파괴가 일어날 때에는 그렇지 않다.

4.2. 방향성 재료

대부분의 금속과 세라믹은 등방성이며, 그 역학적 성질은 모든 방향에서 같다. 하지만 금속과 세라믹은 특정한 불순물을 함유할 수 있으며, 금속은 그 결정 구조가 방향성을 띄도록 기계적으로 가공할 수 있다. 그렇게 되면 이 물질들은 비등방성을 띄며, 영률은 힘 벡터의 방향에 따라 달라지게 된다.

탄소섬유는 섬유에 평행한 방향으로 힘이 가해질 때 영률이 훨씬 높다. 이 밖에도 목재, 강화 콘크리트 따위가 비등방성을 띈다. 공학자들은 이러한 방향성을 구조물을 지을 때 적절하게 활용할 수 있다.

5. 계산

영률 E는 응력-변형도 선도의 탄성(초반, 선형) 구간에서 인장 응력을 공칭 변형률로 나누어 계산할 수 있다.

:$E\; \backslash equiv\; \backslash frac\{\backslash sigma(\backslash varepsilon)\}\{\backslash varepsilon\}=\; \backslash frac\{F/A\}\{\backslash Delta\; L/L\_0\}\; =\; \backslash frac\{F\; L\_0\}\; \{A\; \backslash Delta\; L\}$

* E는 영률(탄성 계수)이다.
* F는 물체에 장력이 가해질 때 생겨나는 힘이다.
* A는 실제의 단면적인데, 작용된 힘의 방향에 수직하는 단면의 면적과 동일하다.
* ΔL은 물체의 길이가 변한 양이다(ΔL은 금속이 늘어나면 양수이고 압축되면 음수이다).
* L₀은 물체의 원래 길이다.

일반적인 재료에서는 한 방향의 인장 또는 압축 응력 방향에 대한 변형률의 관계로부터 영률을 구한다. 영률은 세로축에 응력, 가로축에 변형률을 취한 응력-변형률 곡선의 직선 부분의 기울기에 해당한다.

예를 들어, 영률이 약 10tf/mm²(=98GPa)인 구리에서는, 단면적 1mm², 길이 1m의 와이어에 10kg의 추를 매달면 0.1%의 변형률이 발생하여 약 1mm 늘어나게 된다.

영률은 결정의 원자 간 거리의 변화에 대한 저항으로 생각할 수 있으며, 원자 간 응집력이 탄성적 성질을 결정한다. 금속의 영률은 수십~수백 GPa이다. 이 값은 100%의 탄성 변형률을 발생시키는 응력의 값이지만, 실제 재료는 1% 이하의 변형률에서 항복하는 경우가 많으므로, 영률은 일반적으로 인장강도의 수백 배의 크기이다.

탄성적 성질은 온도에 따라 변화하므로 해석 시 주의가 필요하다. 변화의 근사식은 다음과 같다.

:$E\; =\; E\_0\; -\; BT\; \backslash exp\backslash left(-\backslash frac\{T\_c\}\{T\}\backslash right)$

여기서 E₀는 0[K]에서의 영률, B, T_c는 재료에 따라 다른 상수이다. 한 예로, 1000℃에서의 강철의 영률은 상온의 2/3 정도로 감소한다.

수지처럼 응력-변형률 곡선에 선형 영역이 거의 존재하지 않는 재료에서는 영률로서 세칸트 계수(응력-변형률 곡선상의 점과 원점을 잇는 직선의 기울기) 등을 사용한다.

5.1. 인장 혹은 압축된 재료로 인한 힘

영률을 이용하면 특정 변형률 하에서 재료가 가하는 힘을 계산할 수 있다.

:$F\; =\; \backslash frac\{E\; A\; \backslash Delta\; L\}\; \{L\_0\}$

여기서 F는 재료가 $\backslash Delta\; L$만큼 인장되거나 압축될 때 재료가 가하는 힘이다.

이 식으로부터 인장된 와이어에 대한 훅 법칙을 유도할 수 있다.

:$F\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{E\; A\}\; \{L\_0\}\; \backslash right)\; \backslash Delta\; L\; =\; k\; x\; \backslash ,$

포화 상태에서는 다음과 같다.

:$k\; \backslash equiv\; \backslash begin\{matrix\}\; \backslash frac\; \{E\; A\}\; \{L\_0\}\; \backslash end\{matrix\}\; \backslash ,$ and $x\; \backslash equiv\; \backslash Delta\; L.\; \backslash ,$

하지만 코일 스프링의 탄성은 영률이 아니라 전단 탄성 계수를 통해 구한다는 것을 명심해야 한다.

5.2. 탄성 위치 에너지

선형 탄성 재료에 저장된 탄성 위치 에너지는 훅의 법칙을 적분하여 구할 수 있다.

:$U\_e\; =\; \backslash int\; \{k\; x\}\backslash ,\; dx\; =\; \backslash frac\; \{1\}\; \{2\}\; k\; x^2.$

여러 변수를 사용하여 나타내면 다음과 같다.

:$U\_e\; =\; \backslash int\; \{\backslash frac\{E\; A\; \backslash Delta\; L\}\; \{L\_0\}\}\backslash ,\; d\backslash Delta\; L\; =\; \backslash frac\; \{E\; A\}\; \{L\_0\}\; \backslash int\; \{\; \backslash Delta\; L\; \}\backslash ,\; d\backslash Delta\; L\; =\; \backslash frac\; \{E\; A\; \{\backslash Delta\; L\}^2\}\; \{2\; L\_0\}$

이는 단위 부피 당 탄성 위치 에너지 밀도가 다음과 같이 주어짐을 의미한다.

:$\backslash frac\{U\_e\}\; \{A\; L\_0\}\; =\; \backslash frac\; \{E\; \{\backslash Delta\; L\}^2\}\; \{2\; L\_0^2\}$

간단히 표기하면, 선형 탄성 재료의 경우 $u\_e(\backslash varepsilon)\; =\; \backslash int\; \{E\; \backslash ,\; \backslash varepsilon\}\backslash ,\; d\backslash varepsilon\; =\; \backslash frac\; \{1\}\; \{2\}\; E\; \{\backslash varepsilon\}^2$인데, 여기서 변형률은 $\backslash varepsilon\; \backslash equiv\; \backslash frac\; \{\backslash Delta\; L\}\; \{L\_0\}$로 정의된다.

비선형 탄성 재료에서 영률은 변형률에 관한 함수이므로, 탄성 에너지는 변형률의 이차 함수가 아니며, 다음 식은 성립하지 않는다.

:$u\_e(\backslash varepsilon)\; =\; \backslash int\; \{E(\backslash varepsilon)\; \backslash ,\; \backslash varepsilon\}\backslash ,\; d\backslash varepsilon\; \backslash ne\; \backslash frac\; \{1\}\; \{2\}\; E\; \{\backslash varepsilon\}^2$

5.3. 탄성 상수 간의 관계

균질한 등방성 금속의 경우 탄성 상수(영률 E, 전단 탄성 계수 G, 부피 탄성 계수 K, 푸아송 비 ν) 사이에는 단순한 관계가 성립하여 그 중 두 개의 값만 알고 있으면 나머지를 전부 계산할 수 있다.

: E = 2G(1+ν) = 3K(1-2ν)

등방성 균질 탄성체에서는 영률 E, 푸아송 비 ν, 강성률 G 사이에도 위와 같은 관계가 성립한다.

마찬가지로 영률, 푸아송 비, 체적탄성률, 강성률, 라메의 제1 상수의 다섯 가지 탄성률은 각각 두 가지를 사용하여 나머지 세 가지를 나타낼 수 있다.

6. 온도 의존성

금속의 영률은 온도에 따라 달라지며, 이는 원자 간 결합의 변화와 관련이 있다. 이러한 변화는 금속의 일함수 변화에 따라 달라지는 것으로 밝혀졌다. 고전적으로는 이러한 변화를 명확한 기본 메커니즘 없이 (예: Watchman 공식) 피팅을 통해 예측했지만, Rahemi-Li 모델은 전자 일함수의 변화가 금속의 영률 변화로 이어지는 과정을 보여주고, 레너드-존스 퍼텐셜을 고체에 일반화하여 계산 가능한 매개변수를 사용하여 이러한 변화를 예측한다. 일반적으로 온도가 증가함에 따라 영률은 감소한다.

7. 주요 물질의 영률

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영률은 시료의 조성 및 시험 방법에 따라 다소 달라질 수 있다. 특히 폴리머의 경우 변형 속도가 수집된 데이터에 가장 큰 영향을 미친다. 아래 제시된 값은 근삿값이며 상대적인 비교를 위한 목적으로만 사용된다.