치른하우스 변형

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1. 개요

치른하우스 변환은 일반적인 n차 다항식 방정식을 더 낮은 차수의 항이 없는 형태로 변환하는 방법이다. 이 변환은 1683년 에렌프리트 발터 폰 치른하우스에 의해 처음 소개되었으며, n>2차 다항식에서 x^(n-1) 및 x^(n-2) 항의 계수를 0으로 만들 수 있다. 이후 에를란 사무엘 브링과 조지 제라드에 의해 확장되어, 각각 5차 방정식과 더 높은 차수의 방정식에 적용될 수 있도록 발전했다. 치른하우스 변환은 다항식의 차수를 줄여 방정식을 단순화하는 데 사용되며, 특히 5차 방정식을 브링-제라드 표준형으로 변환하는 데 활용된다.

치른하우스 변형

일반 정보

유형	다항식 변환
분야	수학

역사

이름의 유래	에렌프리트 발터 폰 치른하우스

수학적 속성

설명	주어진 다항식에서 중간 항을 제거하는 방법

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 일반적인 형태
3. 역사
- 3.1. 치른하우스의 초기 연구 (17세기)
- 3.2. 브링과 제라드의 확장 (18~19세기)
4. 방법
5. 응용
- 5.1. 5차 방정식과 브링-제라드 표준형
- 5.2. 갈루아 이론과의 관련성
6. 추가 정보

2. 정의

다항 방정식을 더 간단한 형태로 바꾸는 방법 중 하나이다. 특히, 주어진 $n$ 차 다항식에서 특정 차수의 항(예: $n-1$ 차 항)을 없애는 변환을 말한다.

가장 기본적인 아이디어는 변수를 적절히 치환하는 것이다. 예를 들어, 일반적인 다항 방정식에서 최고차항( $n$ 차항) 다음으로 높은 차수의 항, 즉 $n-1$ 차항(차고차 항)을 없애고 싶다고 하자. 원래 변수 $x$ 대신 새로운 변수 $y$ 를 도입하여 $\textstyle x=y- {b \over \mathbf{n} a}$ 와 같이 치환하면 (여기서 $a$ 는 최고차항 계수, $b$ 는 $n-1$ 차항 계수), $n-1$ 차항의 정보를 다른 항들로 분산시키면서 해당 항을 사라지게 만들 수 있다.

간단한 예로 3차 방정식 $ax^3 + bx^2 + cx +d = 0$ 을 생각해보자. 여기서 2차항( $x^2$ )을 없애기 위해 $x= y -$ 로 치환하면, 방정식은 $y^3+py+q=0$ 과 같이 2차항이 없는 더 단순한 형태로 변형된다. 이 과정을 통해 복잡한 방정식의 해를 구하는 실마리를 얻기도 한다.

2.1. 일반적인 형태

일반적인 $n$ 차 환원 가능 모닉 다항식 방정식 $f(x)=0$ 을 생각해보자. 이 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.
$f(x) = x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n=0$
여기서 $a_1, a_2, ..., a_n$ 은 다항식의 계수이다.

치른하우스 변환은 이 다항식의 근 $x$ 를 새로운 변수 $y$ 로 치환하는 변환으로, 다음과 같은 함수로 정의된다.
$y=k_1x^{n-1} + k_2x^{n-2}+...+k_{n-1}x+k_n$
여기서 $k_1, k_2, ..., k_n$ 은 변환을 위해 적절히 선택된 상수이다.

이 변환을 적용하면 $x$ 에 대한 원래 방정식 $f(x)=0$ 은 $y$ 에 대한 새로운 방정식 $f'(y)=0$ 으로 변환된다. 치른하우스 변환의 주된 목적은 이 새로운 방정식 $f'(y)$ 에서 특정 항의 계수(예: $y^{n-1}$ 항의 계수 $a'_1$ , $y^{n-2}$ 항의 계수 $a'_2$ 등)를 0으로 만들어 방정식을 더 단순한 형태로 만드는 것이다.

보다 추상적인 대수학의 관점에서 치른하우스 변환을 살펴보자. $K$ 를 체(field)라고 하고, $P(t)$ 를 $K$ 상의 기약 다항식이라고 하자. $P(t)$ 에 의해 생성된 주 아이디얼 $(P(t))$ 에 대한 다항식 환 $K[t]$ 의 몫환을 $L$ 이라고 정의하면,
: $L = K[t]/(P(t))$
이 몫환 $L$ 은 $K$ 의 체 확대가 된다. 이 확대체 $L$ 은 $P(t)=0$ 의 한 근 $\alpha$ (정확히는 $(P(t))$ 를 법으로 하는 $t$ 의 동치류)를 $K$ 에 추가하여 얻은 체와 동형이다. 즉, $L = K(\alpha)$ 로 표현할 수 있다.
여기서 $\alpha$ 는 $L$ 의 원시 원소이다. $L$ 에는 $\alpha$ 외에도 다른 원시 원소 $\beta$ 가 존재할 수 있다. 만약 $\beta$ 가 $L$ 의 또 다른 원시 원소라면, $\beta$ 는 $\alpha$ 에 대한 $K$ 계수 다항식으로 표현 가능하며, 그 역도 성립한다.
: $\beta = F(\alpha), \alpha = G(\beta)$
여기서 $F$ 와 $G$ 는 $K$ 를 계수로 하는 다항식이다. 이때, 새로운 원시 원소 $\beta$ 를 근으로 가지는 $K$ 상의 최소 다항식 $Q(t)$ 를 원래 다항식 $P(t)$ 의 치른하우스 변환이라고 부른다.

따라서, 기약 다항식 $P(t)$ 의 모든 치른하우스 변환들의 집합은, 확대체 $L$ 자체는 변하지 않으면서 $L$ 을 생성하는 최소 다항식 $P(t)$ 를 다른 최소 다항식 $Q(t)$ 로 바꾸는 모든 가능한 방법을 기술한다고 할 수 있다. 이러한 개념은 예를 들어 5차 방정식을 브링-제라드 표준형으로 축소하는 과정 등에서 활용된다.

만약 확대체 $L$ 이 $K$ 의 갈루아 확대인 경우, 치른하우스 변환은 갈루아 이론과 밀접한 관련을 가진다. 이 경우, 갈루아 군의 원소들은 $P(t)$ 를 자기 자신으로 보내는 특별한 종류의 치른하우스 변환으로 해석될 수 있다.

3. 역사

치른하우스 변형은 17세기 독일의 수학자 에렌프리트 발터 폰 치른하우스가 1683년에 처음으로 제시한 방법이다. 그는 이 방법을 통해 $n>2$ 차 다항식에서 $x^{n-1}$ 및 $x^{n-2}$ 항의 계수를 0으로 만들 수 있음을 보였다.

이후 치른하우스의 연구는 다른 수학자들에 의해 확장되었다. 1786년, 에를란 사무엘 브링은 이 방법을 일반적인 5차 다항식에 적용하여 유사하게 축소할 수 있음을 증명했다. 1834년에는 조지 제라드가 치른하우스 변형을 사용하여 $n>3$ 차의 일반 다항식에서 $x^{n-1}$ , $x^{n-2}$ , $x^{n-3}$ 항까지 제거할 수 있음을 보이면서 연구를 더욱 발전시켰다.

3.1. 치른하우스의 초기 연구 (17세기)

1683년, 에렌프리트 발터 폰 치른하우스는 다항 방정식의 특정 항의 계수를 0으로 만들어 방정식을 더 간단한 형태로 변환하는 방법을 발표했다. 치른하우스는 자신의 논문에서 르네 데카르트가 2차 방정식( $n=2$ )에서 $x$ 항의 계수를 0으로 만드는 방법을 일반화하여 이 연구를 진행했음을 언급했다.

치른하우스는 3차 방정식 $f(x)=x^3-px^2+qx-r=0$ 을 예시로 들어 설명했다. 그는 변수 변환 $y = x - a$ 를 사용하여 새로운 변수 $y$ 에 대한 방정식을 얻었다. 이때 $a = p/3$ 로 설정하면, 즉 $y = x - p/3$ 라는 변환을 사용하면, 변환된 방정식에서 2차 항( $y^2$ )의 계수가 0이 된다. 결과적으로 방정식은 2차 항이 사라진 $y^3 - q'y - r' = 0$ 와 같은 더 단순한 형태로 표현된다.

치른하우스는 여기서 더 나아가, 일반적인 $n$ 차 다항식( $n>2$ )에 대해서도 $x^{n-1}$ 항과 $x^{n-2}$ 항의 계수를 0으로 만드는 방법을 발표했다. 그는 또한 $x^2=bx+y+a$ 와 같은 다른 형태의 변환을 사용하여 두 개의 계수를 동시에 제거하는 방법도 연구했다.

3.2. 브링과 제라드의 확장 (18~19세기)

에렌프리트 발터 폰 치른하우스가 $n>2$ 차 다항식에서 $x^{n-1}$ 및 $x^{n-2}$ 항의 계수를 0으로 만드는 방법을 발표한 이후, 이 연구는 후대 학자들에 의해 확장되었다.

1786년, 에를란 사무엘 브링은 이 연구를 확장하여 임의의 일반적인 5차 다항식도 치른하우스 변형을 통해 유사하게 축소될 수 있음을 보였다.

1834년에는 조지 제라드가 치른하우스 변형을 사용하여 $n>3$ 차의 일반적인 다항식에서 $x^{n-1}$ , $x^{n-2}$ , 및 $x^{n-3}$ 항을 제거할 수 있음을 보여주면서 치른하우스의 작업을 더욱 발전시켰다.

4. 방법

다항 방정식의 해를 구하는 과정에서 방정식을 더 간단한 형태로 만들기 위해 치른하우스 변환을 사용한다. 이 변환의 주된 목적은 방정식의 특정 항, 특히 최고차항 바로 다음 차수인 $n-1차 항을 소거하는 것이다.가장 기본적인 형태는 n 차 모닉 다항 방정식$
$f(x) = x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n=0$
에서 $x = y - \frac{a_1}{n}$ 로 치환하는 것이다. 이 치환을 통해 새로운 변수 $y$ 에 대한 방정식에서는 $y^{n-1}$ 항이 사라지게 된다. 예를 들어, 3차 방정식의 경우 $x = y - \frac{b}{3a}$ (최고차항 계수가 $a$ , 이차항 계수가 $b$ 일 때) 치환을 통해 이차항을 소거하여 $y^3+py+q=0$ 형태로 만들 수 있다.

더 일반적인 형태의 치른하우스 변환은 다음과 같은 함수로 정의된다.
$y=k_1x^{n-1} + k_2x^{n-2}+...+k_{n-1}x+k_n$
여기서 $k_1, k_2, \dots, k_n$ 은 적절히 선택된 상수이다. 이러한 일반적인 변환을 사용하면, 새로운 변수 $y$ 에 대한 방정식 $f'(y)=0$ 에서 특정 계수들, 예를 들어 $y^{n-1}, y^{n-2}, \dots$ 등의 계수 중 하나 또는 여러 개를 항등적으로 0으로 만들 수 있다.

이 방법은 1683년 에렌프리트 발터 폰 치른하우스(Ehrenfried Walther von Tschirnhaus)가 자신의 논문에서 처음 제시하였다. 그는 이 변환을 이용하여 3차 방정식의 2차항을 소거하는 방법을 보였으며, 나아가 $x^2=bx+y+a$ 와 같은 형태의 변환을 사용하여 두 개의 계수를 동시에 제거하는 방법도 연구했다.

4.1. 2차 방정식에서의 과정

이차 방정식 $ax^2+bx+c=0$ 의 양변을 $a$ 로 나누어 $x^2+{b \over a}x+{c \over a}=0$ 형태로 만든다.
여기에 치른하우스 변형 $x= y- {b \over \mathbf{2} a}$ 를 적용한다.
: $\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2 + {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0$
먼저 $\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2$ 항을 전개하면 다음과 같다.
: $\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)^2= \left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)=\left(y^2-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)$
: $=\left(y^2-2{b \over 2a}y+ \left({b \over \mathbf{2} a} \right)^2 \right)=\left(y^2-{b \over a}y+ {b^2 \over 4a^2} \right)$
이를 원래 식에 대입하여 정리하면,
: $\left(y^2-{b \over a}y+ {b^2 \over 4a^2} \right)+ {b \over a}\left(y- {b \over \mathbf{2} a} \right)+{c \over a}=0$
: $\left(y^2-{b \over a}y+ {b^2 \over 4a^2} \right)+ \left({b \over a}y- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} \right)+{c \over a}=0$
여기서 $y$ 에 대한 1차 항( $-{b \over a}y$ 와 $+{b \over a}y$ )이 서로 소거된다.
: $y^2 \cancel{-{b \over a}y}+ {b^2 \over 4a^2} \cancel{+ {b \over a}y}- {b^2 \over \mathbf{2} a^2} +{c \over a}=0$
남은 항들을 정리하면 다음과 같다.
: $y^2 + \left( {b^2 \over 4a^2} - {b^2 \over 2a^2} \right)+{c \over a}=0$
: $y^2 + \left( {b^2 \over 4a^2} - {2b^2 \over 4a^2} \right)+{c \over a}=0$
: $y^2 - {b^2 \over 4a^2} +{c \over a}=0$
: $y^2 = {b^2 \over 4a^2} -{c \over a}$
우변을 통분하여 정리하면,
: $y^2 = {b^2 \over 4a^2} -{4ac \over 4a^2}$
: $y^2 ={{b^2 -4ac}\over 4a^2}$
따라서 최종적으로 1차 항이 제거된 $y^2 -{{b^2 -4ac}\over 4a^2}=0$ 형태, 즉 $y^2+p=0$ (여기서 $p = -{{b^2 -4ac}\over 4a^2}$ )의 형태로 정리된다.

이 과정에서 사용된 치환값 $-{b \over \mathbf{n} a}$ (2차 방정식의 경우 $n=2$ 이므로 $-{b \over \mathbf{2} a}$ )는 $n$ 차 함수의 그래프에서 꼭짓점의 x좌표 및 대칭축의 위치와 관련된 값이다.

결과적으로 이 변환은 최고차항 다음 차수의 항(2차 방정식에서는 1차 항)을 소거하여 방정식을 더 단순한 형태로 만드는 데 사용될 수 있다. 1786년 에를란드 사무엘 브링(Erland Samuel Bring)은 일반적인 5차 방정식도 이러한 변환을 통해 $x^5+dx+e=0$ 형태로 축소될 수 있음을 보였다.

4.2. 3차 방정식에서의 적용

다항 방정식의 각 항을 최고차항( $n$ 차항)의 계수 $a$ 로 나눈 뒤, $x = y - \frac{b}{na}$ 형태로 치환하면 최고차항 바로 다음 차수의 항(차고차항)을 소거할 수 있다. 이 과정을 통해 차고차항의 정보는 변형된 다른 항들로 분산된다.

예를 들어, 일반적인 3차 방정식은 다음과 같다.
: $ax^3 + bx^2 + cx +d = 0$

이 방정식의 양변을 $a$ 로 나누면,
: $x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$

여기서 $x = y - \frac{b}{3a}$ 로 치환하면 $x^2$ 항이 사라지고 다음과 같은 형태로 정리된다.
: $y^3+py+q=0$

이때 $p$ 와 $q$ 는 다음과 같이 정의된다.
: $p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}$
: $q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$

1683년 치른하우스는 자신의 논문에서 다음 3차 방정식을 푸는 방법을 제시했다.
: $f(x)=x^3-px^2+qx-r=0$

여기에 $y = x - a$ (즉, $x = y + a$ ) 형태의 치른하우스 변환을 적용하면 다음과 같은 새로운 방정식을 얻는다.
: $f'(y;a)=y^3+(3a-p)y^2+(3a^2-2pa+q) y+(a^3-pa^2+qa-r)=0$

새로운 방정식의 계수는 다음과 같다.
: $\begin{cases} a'_1=3a-p \\ a'_2=3a^2-2pa+q \\ a'_3=a^3-pa^2+qa-r \end{cases}$

여기서 2차항의 계수 $a'_1$ 을 0으로 만들기 위해 $3a-p=0$ 조건을 적용하면 $a=\frac{p}{3}$ 를 얻는다. 따라서 치른하우스 변환은 다음과 같다.
: $y=x-\frac{p}{3}$

이 변환을 적용하면 원래 방정식 $f(x)$ 는 2차항이 소거된 다음과 같은 형태로 변환된다.
: $f'(y)=y^3+q'y+r'$ (이때 $q'$ 와 $r'$ 은 $p, q, r$ 로 표현되는 새로운 상수이다.)

치른하우스는 더 나아가 다음과 같은 형태의 변환을 사용하여 두 개의 계수(예: 2차항과 1차항)를 동시에 제거하는 방법도 연구했다.
: $x^2=bx+y+a$

4.3. 고차 방정식으로의 일반화

일반적인 $n$ 차 다항 방정식
$f(x) = x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n=0$
(여기서 $f(x)$ 는 환원 가능하고 모닉이라고 가정한다) 에 대해 치른하우스 변환을 적용할 수 있다. 치른하우스 변환은 다음과 같은 함수이다.
$y=k_1x^{n-1} + k_2x^{n-2}+...+k_{n-1}x+k_n$
이 변환을 통해 원래의 변수 $x$ 대신 새로운 변수 $y$ 에 대한 새로운 다항 방정식 $f'(y)=0$ 을 얻게 된다. 이 새로운 방정식은 특별한 성질을 가지도록 만들 수 있는데, 가장 흔한 경우는 새로운 방정식의 특정 계수들, 예를 들어 $y^{n-1}$ 의 계수 $a'_1$ , $y^{n-2}$ 의 계수 $a'_2$ , ..., $y$ 의 계수 $a'_{n-1}$ 중 일부를 항등적으로 0으로 만드는 것이다.

가장 기본적인 예로, $n-1$ 차 항( $a_1x^{n-1}$ )을 제거하는 경우가 있다. 이는 다항 방정식의 양변을 최고차항( $n$ 차항)의 계수로 나눈 뒤 (즉, 모닉 다항식으로 만든 뒤), $x=y - {a_1 \over n}$ 와 같이 치환하면 된다. 이렇게 하면 $y$ 에 대한 새로운 방정식에서는 $n-1 항이 사라지게 된다.예를 들어, 3차 방정식 ax^3 + bx^2 + cx +d = 0 의 경우, 양변을 a 로 나누어 x^3+{b \over a}x^2+{c \over a}x+d=0 형태로 만든 후, x= y - 로 치환하면 y 에 대한 새로운 방정식은 2차항(y^2)이 없는 형태인 y^3+py+q=0 으로 정리된다. 여기서 p 와 q 는 다음과 같다.$
$p=$
$q=$

5. 응용

치른하우스 변환은 다항 방정식의 특정 항을 소거하여 방정식을 더 간단한 형태로 만드는 데 유용하게 사용된다. 예를 들어, 일반적인 3차 방정식

: $ax^3 + bx^2 + cx +d = 0$

은 $x= y - \frac{b}{3a}$ 형태의 치환을 통해 2차 항( $x^2$ )이 없는 형태, 즉

: $y^3+py+q=0$

과 같은 꼴로 변형될 수 있다. 여기서 새로운 계수 $p$ 와 $q$ 는 다음과 같이 원래 방정식의 계수 $a, b, c, d$ 로 표현된다.

: $p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}$
: $q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$

이처럼 방정식을 더 다루기 쉬운 형태로 만들어 해를 구하는 과정을 단순화하는 것이 치른하우스 변환의 주요 응용 중 하나이다. 이러한 원리는 더 높은 차수의 방정식에도 적용될 수 있으며, 특히 5차 방정식을 브링-제라드 표준형으로 축소하는 데 중요한 역할을 한다. 또한 치른하우스 변환은 갈루아 이론과도 관련성을 가진다.

5.1. 5차 방정식과 브링-제라드 표준형

치른하우스 변형은 주어진 다항식을 변형하여 다른 형태의 다항식을 만드는 방법이다. 이 과정은 다항식의 근으로 생성되는 수학적 구조(체 확대)는 그대로 유지하면서 방정식의 형태를 바꾸는 데 사용된다.

특히 5차 방정식의 해법 연구에서 치른하우스 변형이 중요하게 활용된다. 복잡한 형태의 일반적인 5차 방정식을 치른하우스 변형을 통해 $x^5 + ax + b = 0$ 형태의 브링-제라드 표준형으로 단순화할 수 있다. 이렇게 변형된 방정식은 원래 방정식보다 다루기 용이하여 해를 구하는 데 도움을 준다.

치른하우스 변형은 갈루아 이론과도 밀접한 관련이 있다. 특정 조건(갈루아 확대) 하에서는 갈루아 군의 작용을 치른하우스 변형의 일종으로 해석할 수 있다.

5.2. 갈루아 이론과의 관련성

치른하우스 변환은 체 확대 및 갈루아 이론과 밀접한 관련이 있다.

체 `K`와 `K` 위의 기약다항식 `P(t)`를 생각해보자. 다항식 환 `K[t]`를 `P(t)`로 생성된 주 아이디얼 `(P(t))`로 나눈 몫환 `L = K[t]/(P(t))`는 `K`의 체 확대가 된다. 이 확대체 `L`은 `K`에 `P(t)`의 한 근, 예를 들어 `α` (이는 몫환에서 `t`에 해당한다)를 추가하여 얻은 체 `K(α)`와 같다. 즉, `L`의 모든 원소는 `α`에 대한 다항식으로 표현될 수 있으며, `α`는 `L`의 원시 원소가 된다.

확대체 `L`에는 `α` 외에도 다른 원시 원소 `β`가 존재할 수 있다. 만약 `β`가 또 다른 원시 원소라면, 정의에 따라 `β`는 `α`에 대한 어떤 다항식 `F`로 표현될 수 있고 (`β = F(α)`), 반대로 `α`도 `β`에 대한 어떤 다항식 `G`로 표현될 수 있다 (`α = G(β)`). 이때, 새로운 원시 원소 `β`를 근으로 가지는 `K` 위의 최소 다항식을 `Q(t)`라고 하면, 이 `Q(t)`를 원래 다항식 `P(t)`의 치른하우스 변환이라고 부른다.

따라서, 한 기약다항식 `P(t)`에 대한 모든 치른하우스 변환의 집합은, 그 다항식이 정의하는 확대체 `L`은 그대로 유지하면서 `P(t)`를 다른 다항식 `Q(t)`로 바꾸는 모든 방법을 나타낸다. 이 개념은 예를 들어 5차 방정식을 브링-제라드 표준형이라는 더 간단한 형태로 축소하는 데 사용된다.

특히 체 확대 `L`이 `K`의 갈루아 확대일 경우, 치른하우스 변환은 갈루아 이론과 깊은 관련을 맺는다. 이때 갈루아 군은 다항식 `P(t)`를 자기 자신으로 보내는, 즉 `P(t)`의 근을 `P(t)`의 다른 근으로 보내는 변환에 해당하는 치른하우스 변환들의 집합으로 이해할 수 있다.

6. 추가 정보

일반적인 $n$ 차 환원 가능 모닉 다항식 $f(x)=0$ 에 대해, $f(x) = g(x) / h(x)$ 형태이며, 여기서 $g(x)$ 와 $h(x)$ 는 다항식이고 $h(x)$ 는 $f(x) = 0$ 에서 0이 되지 않는다고 가정하자.
$f(x) = x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n=0$
치른하우스 변환은 다음과 같은 함수이다.
$y=k_1x^{n-1} + k_2x^{n-2}+...+k_{n-1}x+k_n$
이 변환을 통해 $y$ 에 대한 새로운 다항식 방정식 $f'(y)$ 는 특정 성질을 갖게 되는데, 가장 흔한 경우는 새로운 방정식의 계수 $a'_1,...,a'_{n-1}$ 중 일부가 항등적으로 0이 되도록 하는 것이다.

더 자세히 설명하면, $K$ 를 체(field)라고 하고, $P(t)$ 를 $K$ 위의 다항식이라고 하자. 만약 $P$ 가 기약 다항식이라면, $P$ 에 의해 생성된 주 아이디얼에 대한 다항식 환 $K[t]$ 의 몫환은 다음과 같다.
: $K[t]/(P(t)) = L$
이 몫환 $L$ 은 $K$ 의 체 확대가 된다. 우리는 다음을 얻는다.
: $L = K(\alpha)$
여기서 $\alpha$ 는 $(P)$ 를 법으로 하는 $t$ 이다. 즉, $L$ 의 모든 원소는 $\alpha$ 에 대한 다항식으로 표현될 수 있으며, $\alpha$ 는 $L$ 의 원시 원소이다. $L$ 에는 $\alpha$ 외에도 다른 원시 원소 $\beta$ 가 존재할 수 있다. $\beta$ 를 이러한 다른 원시 원소라고 하면, 정의에 따라 다음 관계가 성립한다.
: $\beta = F(\alpha), \alpha = G(\beta)$
여기서 $F$ 와 $G$ 는 $K$ 위의 다항식이다. 이제 $Q$ 가 $K$ 위에서 $\beta$ 의 최소 다항식이라면, $Q$ 를 $P$ 의 치른하우스 변환이라고 부를 수 있다.

따라서, 기약 다항식 $P$ 의 모든 치른하우스 변환들의 집합은, 원래 다항식 $P$ 는 변형시키지만 그로부터 생성된 체 확대 $L$ 은 동일하게 유지하는 모든 방법을 나타낸다. 이 개념은 예를 들어 5차 방정식을 브링-제라드 표준형으로 바꾸는 데 사용된다. 또한, $L$ 이 $K$ 의 갈루아 확대일 경우 갈루아 이론과 관련이 깊다. 이 경우 갈루아 군은 $P$ 자체에 대한 모든 치른하우스 변환들의 집합으로 볼 수 있다.