침식 (형태학)

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1. 개요
2. 이진 침식
3. 회색조 침식
- 3.1. 정의
- 3.2. 효과
4. 완비 격자에서의 침식
- 4.1. 정의
참조

1. 개요

침식(Erosion)은 형태학에서 이미지를 변환하는 연산으로, 이진 침식, 회색조 침식, 완비 격자에서의 침식 등 다양한 형태로 정의된다. 이진 침식은 구조 요소를 사용하여 이미지의 형태를 파악하고, 구조 요소가 이미지 내부에 완전히 포함되는 영역을 추출한다. 회색조 침식은 이미지의 각 픽셀 주변의 최소값을 구하여 이미지를 변환하며, 완비 격자에서의 침식은 하한에 분배되는 연산자로 정의된다. 침식은 이미지 처리, 컴퓨터 비전 등 다양한 분야에 응용된다.

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침식 (형태학)
침식 유형
유형	물질의 점진적인 파괴
관련 프로세스	풍화 작용 운반 침강
속도 영향 요인	기후 암석 유형 식생 지형
침식 작용
유형	하천 침식 해안 침식 빙하 침식 풍식
침식 제어
유형	등고선 쟁기질 계단식 농업 나무 심기

2. 이진 침식

이진 형태학에서 이미지는 특정 차원의 유클리드 공간 $\mathbb{R}^d$ 또는 정수 격자 $\mathbb{Z}^d$ 의 부분집합으로 간주된다. 이진 침식은 기본적인 형태학 연산 중 하나로, 미리 정의된 작은 형태인 구조적 요소를 사용하여 이미지를 탐색하는 방식으로 이루어진다.

이 연산의 핵심 아이디어는 구조적 요소를 이미지 위에서 이동시키면서, 구조적 요소 전체가 이미지 내부에 완전히 포함되는 위치만을 결과 이미지에 남기는 것이다. 즉, 구조적 요소가 이미지 경계에 걸치거나 이미지 외부로 나가는 부분에 해당하는 픽셀들은 제거된다. 이를 통해 이미지 내 객체의 크기를 축소하거나, 객체와 분리된 작은 점(노이즈)들을 제거하는 효과를 얻을 수 있다.

2. 1. 정의

이진 형태학에서 이미지는 어떤 ''d''차원의 유클리드 공간

\mathbb{R}^d

이나 정수 격자

\mathbb{Z}^d

의 부분집합으로 간주된다. 이진 형태학의 기본 아이디어는 구조적 요소라고 불리는, 미리 정의된 단순한 형태를 이용해 이미지를 탐색하고, 이 구조적 요소가 이미지의 형태와 얼마나 잘 맞는지 혹은 벗어나는지를 파악하는 것이다. 구조적 요소 자체도 이진 이미지, 즉 공간이나 격자의 부분집합이다.

''E''를 유클리드 공간 또는 정수 격자라고 하고, ''A''를 ''E'' 안에 있는 이진 이미지라고 하자. 구조적 요소 ''B''에 대한 이진 이미지 ''A''의 '''침식'''(

A \ominus B

)은 다음과 같이 정의된다.

:

A \ominus B = \{z\in E | B_{z} \subseteq A\}

여기서 ''B''_''z''는 ''B''를 벡터 ''z''만큼 평행이동한 것, 즉

B_z = \{b+z|b\in B\}

이다. 다시 말해, 구조적 요소 ''B''의 기준점(보통 중심점)을 이동시키면서 ''B'' 전체가 이미지 ''A''의 내부에 완전히 포함될 때, 그 기준점 ''z''들의 집합이 바로 침식 결과이다.

만약 구조적 요소 ''B''가 중심을 가지고(예: 원판이나 정사각형) 그 중심이 ''E''의 원점에 위치한다면, ''B''에 의한 ''A''의 침식은 ''B''가 ''A''의 내부에서 움직일 때 ''B''의 중심이 그릴 수 있는 자취로 생각할 수 있다. 예를 들어, 원점을 중심으로 하고 한 변의 길이가 10인 정사각형을, 원점을 중심으로 하고 반지름이 2인 원판으로 침식시키면, 결과는 원점을 중심으로 하고 한 변의 길이가 6인 정사각형이 된다.

''B''에 의한 ''A''의 침식은 다음과 같은 표현으로도 나타낼 수 있다.

:

A \ominus B = \bigcap_{b\in B} A_{-b}

여기서 ''A_-b''는 이미지 ''A''를 벡터 ''-b''만큼 평행이동시킨 것을 의미한다.

이 연산은 더 일반적으로 민코프스키 차이로 알려져 있기도 하다.

2. 2. 예시

13x13 크기의 이진 이미지 A와 3x3 크기의 구조 요소 B가 있다고 가정해 보자.
이미지 A (13x13): 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
구조 요소 B (3x3): 1 1 1

1 1 1

1 1 1

구조 요소 B의 중심(이 예시에서는 3x3 행렬의 가운데)을 이미지 A의 각 픽셀 위치에 놓아본다. 이때 B의 모든 요소(1로 표시된 부분)가 A의 해당 위치 및 주변 픽셀과 완전히 겹치면(즉, B가 A에 완전히 포함되면) 해당 중심 픽셀 값을 1로 유지하고, 그렇지 않으면 0으로 변경한다. 이 과정을 이미지 A의 모든 픽셀에 대해 반복한다.

따라서 구조 요소 B를 이용한 이미지 A의 침식 결과는 아래와 같은 13x13 행렬이 된다.
A를 B로 침식한 결과: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

결과를 보면, 구조 요소 B가 이미지 A 내부에 완전히 포함될 수 있는 위치의 픽셀 값만 1로 유지되고, 그렇지 않은 픽셀(경계 부분이거나, A 내부의 0 값 주변)은 0으로 변경(침식)된 것을 확인할 수 있다.

2. 3. 특성

침식 연산은 병진 불변성이다. 즉, 집합이나 구조 요소를 이동시켜도 침식 결과는 동일하게 이동한다.
침식은 단조 증가 성질을 가진다. 이는 집합 $A$ 가 집합 $C$ 에 포함될 때( $A\subseteq C$ ), $A$ 를 구조 요소 $B$ 로 침식한 결과( $A\ominus B$ ) 역시 $C$ 를 $B$ 로 침식한 결과( $C\ominus B$ )에 포함됨( $A\ominus B \subseteq C\ominus B$ )을 의미한다.
만약 구조 요소 ''B''가 전체 공간 ''E''의 원점을 포함한다면, 침식 연산은 ''반확장적''(anti-extensive)이다. 이는 침식 결과( $A\ominus B$ )가 원래 집합 $A$ 보다 크지 않음( $A\ominus B\subseteq A$ )을 뜻한다.
침식 연산은 다음과 같은 관계를 만족시킨다: $(A\ominus B)\ominus C = A\ominus (B\oplus C)$ . 여기서 $\oplus$ 는 팽창 (형태학) 연산을 나타낸다. 이는 두 구조 요소로 연속해서 침식하는 것은 두 구조 요소의 팽창 결과로 한 번 침식하는 것과 같다는 의미이다.
침식 연산은 교집합 연산에 대해 분배 법칙이 성립한다. 즉, 여러 집합의 교집합에 대한 침식은 각 집합을 침식한 결과들의 교집합과 같다.

3. 회색조 침식

5x5 평탄 구조 요소를 사용한 그레이스케일 이미지의 침식 예시. 윗 그림은 원본 이미지의 개별 픽셀에 구조 요소를 적용하는 것을 보여준다. 아래 그림은 침식된 결과 이미지를 보여준다.

회색조 형태학에서 이미지는 유클리드 공간이나 격자에서 각 점마다 특정 밝기 값(실수 값 등)을 가지는 함수로 다루어진다.

회색조 침식은 주어진 이미지 ''f(x)''에 구조 요소 ''b(x)''라는 작은 틀을 적용하여 이미지를 변형하는 연산이다. 구체적으로, 이미지의 각 픽셀 위치 ''x''를 중심으로 구조 요소가 정의하는 범위 내에서, 원본 이미지의 픽셀 값과 구조 요소의 값을 이용한 계산 결과 중 가장 작은 값(하한)을 찾아 해당 픽셀 ''x''의 새로운 값으로 결정한다.

쉽게 말해, 어떤 점의 침식된 값은 구조 요소가 정한 주변 범위 안에서 가장 작은 값(최솟값)이 된다. 이러한 특성 때문에 침식 연산은 이미지의 밝은 부분을 줄이고 어두운 부분을 확장시키는 효과를 가지며, 중앙값 필터나 가우시안 필터와 같은 다른 이미지 필터들과 유사한 점이 있다.

3. 1. 정의

그레이스케일 형태학에서, 이미지는 유클리드 공간 또는 격자 ''E''를

\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}

로 매핑하는 함수로 정의된다. 여기서

\mathbb{R}

는 실수의 집합이고,

\infty

는 임의의 실수보다 큰 요소이며,

-\infty

는 임의의 실수보다 작은 요소이다.

이미지를 ''f(x)''로, 그레이스케일 구조 요소를 ''b(x)''로 표시하고, B는 b(x)가 정의된 공간이라고 할 때, ''b''에 의한 ''f''의 그레이스케일 침식은 다음과 같이 주어진다.

::

(f\ominus b)(x)=\inf_{y\in B}[f(x+y)-b(y)]

여기서 "inf"는 하한을 나타낸다. 즉, 구조 요소 ''b''가 정의된 공간 ''B'' 내의 모든 ''y''에 대해 ''f(x+y) - b(y)''의 최솟값을 찾는 연산이다.

다시 말해, 어떤 한 점에서의 침식 값은 구조 요소에 의해 정의된 주변 이웃 영역 내에 있는 점들의 최솟값으로 결정된다. 이러한 점에서 침식 연산은 중앙값 필터나 가우시안 필터와 같은 다른 종류의 이미지 필터와 유사한 특성을 보인다.

3. 2. 효과

회색조 이미지에 침식을 적용하면, 이미지 내 어두운 영역이 넓어지고 밝은 영역은 줄어드는 효과가 나타난다. 이는 침식 연산이 특정 픽셀과 그 주변 이웃(구조적 요소로 정의된 영역) 중에서 가장 어두운 값(하한)을 찾아 해당 픽셀의 새로운 값으로 결정하기 때문이다. 즉, 한 점의 침식된 값은 구조적 요소로 정의된 근방에 있는 점들의 최솟값이 된다.

이러한 특성으로 인해 침식은 이미지 내의 작은 밝은 점 형태의 노이즈를 제거하는 데 사용될 수 있으며, 이는 중간값 필터나 가우시안 필터와 같은 다른 이미지 필터들과 유사한 방식으로 활용될 수 있는 부분이다.

4. 완비 격자에서의 침식

수학적 형태학에서 다루는 침식 연산은 완비 격자 구조 위에서도 정의될 수 있다.

4. 1. 정의

완비격자는 모든 부분집합이 상한과 하한을 가지는 부분 순서 집합이다. 특히, 이는 최소 원소와 최대 원소(때로는 "전체(universe)"라고도 불림)를 포함한다.

(L,\leq)

를 완비격자라 하고, 그 하한과 상한을 각각

\wedge

와

\vee

로 표기한다. 격자의 최대 원소(전체)와 최소 원소는 각각 ''U''와

\varnothing

로 나타낸다. 또한,

\{ X_{i} \}

는 ''L''에 속하는 원소들의 모임이다.

완비 격자

(L,\leq)

에서 침식(erosion)은 다음 두 조건을 만족하는 연산자

\varepsilon: L\rightarrow L

이다.

하한 연산( $\wedge$ )에 대해 분배된다: $\bigwedge_{i}\varepsilon(X_i)=\varepsilon\left(\bigwedge_{i} X_i\right)$
최대 원소(전체 집합 ''U'')를 보존한다: $\varepsilon(U)=U$

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