케랄라 학파

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1. 개요
2. 역사적 배경
- 2.1. 이슬람 수학의 영향
3. 주요 업적
- 3.1. 무한 급수와 미적분
- 3.2. 주요 학자
4. 케랄라 학파의 재발견과 영향
- 4.1. 유럽으로의 전파 가능성
- 4.2. 현대 수학에의 기여
참조

1. 개요

케랄라 학파는 14세기부터 16세기까지 활동한 인도 수학 및 천문학 연구 집단으로, 무한 급수와 미적분학 분야에 기여했다. 이들은 삼각 함수에 대한 무한 급수를 개발하고, 원주율 π의 근사값을 계산했으며, 미분과 적분 개념을 활용했다. 케랄라 학파의 연구는 19세기 초에 서방 세계에 알려졌으며, 유럽 수학 발전에 영향을 미쳤을 가능성이 제기되지만, 직접적인 증거는 부족하다.

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케랄라 학파 - [지명]에 관한 문서
개요
이름	케랄라 학파
종류	천문학, 수학, 과학
위치	케랄라 주 중부 및 북부
창립자	상가마그라마의 마다바
활동 시기	14세기 ~ 16세기
분야
주요 연구 분야	삼각함수 미적분학 (무한 급수) 대수학 기하학
주요 업적
무한 급수	삼각함수의 무한 급수 표현 발견 (사인 함수, 코사인 함수, 탄젠트 함수 등)
원주율	원주율의 정확한 근사값 계산
천문학적 모델	행성 운동에 대한 개선된 천문학적 모델 개발
영향
유럽 수학	일부 학자들은 케랄라 학파의 연구가 유럽 수학에 영향을 미쳤을 가능성을 제기함.
현대 수학	현대 수학의 발전에 기여
특징
독자성	유럽의 미적분학과는 독립적으로 무한 급수 개념을 발전시킴.
엄밀성	수학적 증명과 엄밀한 논리에 기반한 연구 수행.
추가 정보
기타	케랄라 학파의 업적은 오랫동안 서양 학계에 알려지지 않았으나, 20세기에 재조명됨.

2. 역사적 배경

케랄라 학파는 아리아바타, 바스카라 2세 등 고대 인도 수학자들의 연구를 계승하고 발전시켰다.^[5]^[6] 10세기경 이슬람 수학자들은 적분의 다항식을 찾는 일반적인 공식을 개발했지만, 4차 이상의 다항식에는 관심을 두지 않았다. 17세기 이전 인도 수학자들은 임의의 정수 거듭제곱 합 공식을 사용하여 함수의 멱급수를 계산하고, 미분을 계산하는 방법을 알고 있었다.

2. 1. 이슬람 수학의 영향

이슬람 학자들은 서기 1000년경에 적분의 다항식을 찾는 일반적인 공식을 거의 개발했으며, 그들이 관심을 가진 모든 다항식에 대한 그러한 공식을 찾을 수 있었던 것으로 보인다. 그러나 지금까지 발견된 자료에 따르면, 그들은 4차 이상의 다항식에는 관심을 두지 않은 것으로 보인다. 반면에, 인도 학자들은 1600년까지 이븐 알하이삼의 임의의 정수 거듭제곱 합 공식과 유사한 공식을 사용하여 그들이 관심을 가진 함수의 멱급수를 계산할 수 있었다. 동시에 그들은 이러한 함수의 미분을 계산하는 방법도 알고 있었다. 따라서 아이작 뉴턴보다 여러 세기 전에 이집트와 인도 수학에서 미적분의 기본적인 아이디어 중 일부가 알려졌다. 그러나 이슬람 수학자나 인도 수학자 모두 우리가 미적분이라는 이름으로 포함하는 몇몇 상이한 아이디어를 연결할 필요성을 인식하지 못한 것으로 보인다. 그들은 이러한 아이디어가 필요한 특정 사례에만 관심을 가졌던 것으로 보인다.^[5]^[6]

3. 주요 업적

케랄라 학파는 해석학, 부동 소수점, 미적분학 등 다양한 분야에서 중요한 발견을 했다. 특히, 무한 급수, 멱급수, 테일러 급수, 삼각 급수 등의 연구는 주목할 만하다.

케랄라 학파는 아리아바타나 바스카라 2세 등 고전 시대 학자들의 상세한 주석을 달면서 중세 이후 인도 수학에 기여했다. 천문학 연구에는 π(파이)의 근사값이나 정밀한 삼각표가 필요했고, 이는 역 탄젠트 함수의 멱급수 전개, π(파이)의 멱급수와 π(파이)에 대한 유리 근사, 사인과 코사인 함수의 멱급수 전개, 사인과 코사인 함수에 대한 근사 등의 발견으로 이어졌다.^[1]^[7]^[8]^[9]

3. 1. 무한 급수와 미적분

케랄라 학파는 무한 급수와 미적분학 분야에서 여러 기여를 했는데, 여기에는 다음의 무한 등비 급수가 포함된다.^[7]

:

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \text{ for } |x|<1

케랄라 학파는 수학적 귀납법을 직관적으로 사용했지만, 귀납적 가설은 공식화되거나 증명에 사용되지 않았다.^[1] 이들은 다음 결과에 대한 반 엄격한 증명을 발견했다.

:

1^p+ 2^p + \cdots + n^p \approx \frac{n^{p+1}}{p+1}

(큰 ''n''에 대해)

이들은 미분과 적분 개념을 적용하여

\sin x

,

\cos x

및

\arctan x

에 대한 테일러-매클로린 급수를 얻었다.^[8] ''Tantrasangraha-vakhya''는 시로 된 급수를 제공하며, 이를 수학적 표기법으로 번역하면 다음과 같다.^[1]

:

r\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1}\cdot\frac{ry}{x} -\frac{1}{3}\cdot\frac{ry^3}{x^3} + \frac{1}{5}\cdot\frac{ry^5}{x^5} - \cdots, \text{ where } \frac y x \leq 1.

:

r\sin \frac{x}{r} = x - x\cdot\frac{x^2}{(2^2+2)r^2} + x\cdot \frac{x^2}{(2^2+2)r^2}\cdot\frac{x^2}{(4^2+4)r^2} - \cdots

:

r \left( 1 - \cos \frac{x}{r} \right) = r \frac{x^2}{(2^2-2)r^2} - r \frac{x^2}{(2^2-2)r^2}\cdot \frac{x^2}{(4^2-4)r^2} + \cdots

여기서

r = 1

에 대해 급수는 표준 거듭제곱 급수로 축소된다.

:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

:

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

(케랄라 학파는 "계승" 기호를 사용하지 않았다.)

케랄라 학파는 원호의 교정(길이 계산)을 사용하여 이러한 결과에 대한 증명을 제공했다.^[1] 또한

\arctan x

의 급수 전개를 사용하여

\pi

에 대한 무한 급수 표현(나중에 그레고리 급수로 알려짐)을 얻었다.^[1]

:

\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots

급수의 유한 합에 대한 ''오차''의 합리적인 근사는 특히 흥미롭다. 예를 들어, 급수의 오차

f_i(n+1)

(''n''이 홀수이고, ''i = 1, 2, 3''인 경우)는 다음과 같다.

:

\frac{\pi}{4} \approx 1 - \frac{1}{3}+ \frac{1}{5} - \cdots (-1)^{(n-1)/2}\frac{1}{n} + (-1)^{(n+1)/2}f_i(n+1)

:

f_1(n) = \frac{1}{2n}, \ f_2(n) = \frac{n/2}{n^2+1}, \ f_3(n) = \frac{(n/2)^2+1}{(n^2+5)n/2}.

이들은

\pi

에 대해 더 빠르게 수렴하는 급수를 얻기 위해

\frac{1}{n^3-n}

의 부분 분수 전개를 사용하여 항을 조작했다.^[1]

:

\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3^3-3} - \frac{1}{5^3-5} + \frac{1}{7^3-7} - \cdots

개선된 급수를 사용하여 소수점 9자리까지 정확한

\pi

에 대한 유리식 ^[1]

104348/33215

(

3.141592653

)을 유도했다. 이들은 이러한 결과를 계산하기 위해 극한에 대한 직관적인 개념을 사용했다.^[1] 케랄라 학파는 일부 삼각 함수의 미분에 대한 반 엄격한 방법을 제시했지만,^[9] 함수, 지수 함수, 로그 함수의 개념은 아직 공식화되지 않았다.

3. 2. 주요 학자

마다가 (1340 - 1425): 중세 시대 최고의 수학 천문학자 중 한 명으로 여겨진다.
파라메슈바라 (1380 - 1460): 바스카라 1세와 아리아바타의 주석을 작성했다.
닐라칸타 소마야지 (1444 - 1544): 《아리아바티야》의 주석서인 《아리아바티야 바샤》를 저술했다. 또한 《탄트라상그라하》를 저술하여 마다바의 업적을 확장했다.
제슈타데바 (1500 - 1610): 케랄라 학파의 발전과 많은 정리를 《유크티바사》에 통합하여 세계 최초의 미분학 교과서가 되었다.
샹카라 바리야르 (1500 - 1560경): 바스카라 2세의 《릴라바티》의 주석서인 《크리야크라마카리》를 저술했다.
샹카라 바르만 (1774 - 1839): 케랄라 학파의 마지막 뛰어난 수학자로도 불리며, 케랄라 학파의 업적을 《사드라트나말라》에 정리했다.

4. 케랄라 학파의 재발견과 영향

1825년 존 워렌은 ''Kala Sankalita''라는 책을 출판하여 케랄라 천문학자들이 무한 급수를 발견했다는 사실을 간략하게 언급했다.^[10] 1835년 C. M. Whish는 케랄라 학파의 연구를 서방 세계에 처음으로 기록했는데, 그는 케랄라 수학자들이 "유율법의 완전한 체계를 위한 기초를 닦았으며" 이들의 연구는 "외국의 어떤 연구에서도 찾아볼 수 없는 유율 형태와 급수로 가득"하다고 평가했다.^[11]

Whish의 연구는 1세기 가까이 무시되었고, 이후 C. T. Rajagopal과 그의 동료들이 케랄라 학파의 발견을 다시 연구했다. 이들은 ''Yuktibhasa''의 아크탄젠트 급수 증명, 사인 및 코사인 급수 증명, 그리고 ''Tantrasangrahavakhya''의 산스크리트어 구절(영어 번역 및 해설 포함)을 통해 케랄라 학파의 연구를 재조명했다.^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]

1972년 K. V. Sarma는 ''A History of the Kerala School of Hindu Astronomy''를 출판하여 케랄라 학파의 특징을 설명했다. 그는 13세기부터 17세기까지 지식 전달의 연속성을 강조하며, Govinda Bhattathiri에서 Parameshvara, Damodara에서 Nilakantha Somayaji, Jyesthadeva에서 Acyuta Pisarati로 이어지는 스승과 제자 관계를 통해 "인쇄된 책과 공립 학교가 많지 않던 시대에 천문학과 같은 실용적이고 실증적인 학문"에서 지식이 보존되었다고 설명했다.

1994년에는 지동설이 서기 1500년경 케랄라에서 채택되었다는 주장이 제기되었다.^[17]

4. 1. 유럽으로의 전파 가능성

A. K. 바그는 1979년에 케랄라 학파의 연구 결과가 무역로를 통해 상인과 예수회 선교사에 의해 유럽으로 전파되었을 가능성을 제기했다.^[18] 케랄라는 중국, 아라비아, 유럽과 지속적으로 접촉하고 있었다. 일부 학자들은 통신 경로 및 연대기에 대한 제안^[19]^[20]을 통해 그러한 전달의 가능성을 제시했지만, 그러한 전달이 실제로 이루어졌다는 직접적인 증거는 관련 필사본 형태로 존재하지 않는다.^[20] 데이비드 브레수드에 따르면, "19세기까지 인도 연쇄 작업이 인도, 심지어 케랄라 외부에서 알려졌다는 증거는 없다".^[8]^[21]

V. J. 카츠는 케랄라 학파의 몇몇 아이디어가 11세기 이라크 학자 이븐 알하이삼의 연구와 유사하다는 점을 지적하며, 이슬람 수학에서 케랄라로 아이디어가 전달되었을 가능성을 시사한다.^[9]^[22] 17세기 이전에 인도와 아랍 학자들은 현재 미적분학의 일부로 간주되는 발견을 했다.^[9] 카츠에 따르면, 그들은 도함수와 적분이라는 두 가지 통일된 주제 아래에서 "다양한 아이디어를 결합하고, 이 둘 사이의 관계를 보여주고, 미적분학을 오늘날 우리가 가지고 있는 훌륭한 문제 해결 도구로 만들" 단계에는 이르지 못했다.^[9] 뉴턴과 라이프니츠처럼.^[9] 뉴턴과 라이프니츠의 지적 활동은 잘 기록되어 있으며, 그들의 연구가 독창적이지 않다는 징후는 없다.^[9] 그러나 뉴턴과 라이프니츠의 직접적인 '선배', 특히 페르마와 로베르발이 우리가 현재 알지 못하는 출처를 통해 이슬람 및 인도 수학자들의 일부 아이디어를 습득했는지 여부는 확실히 알려져 있지 않다.^[9]

4. 2. 현대 수학에의 기여

케랄라 학파는 무한 급수와 미적분학 분야에서 여러 중요한 발견을 했다. 특히, |x|<1 일 때 다음의 무한 등비 급수를 포함한다.^[7]

:

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots

케랄라 학파는 수학적 귀납법을 직관적으로 이해하고 사용했지만, 귀납적 가설을 명확하게 표현하거나 증명에 활용하지는 않았다.^[1] 그럼에도 불구하고, 큰 ''n''에 대해 다음과 같은 결과에 대한 부분적인 증명을 발견했다.

:

1^p+ 2^p + \cdots + n^p \approx \frac{n^{p+1}}{p+1}

이들은 미분과 적분 개념을 활용하여

\sin x

,

\cos x

,

\arctan x

에 대한 테일러-매클로린 급수를 유도했다.^[8] ''Tantrasangraha-vakhya''에는 시 형태로 표현된 급수들이 있는데, 이를 현대 수학 기호로 나타내면 다음과 같다.^[1]

:

r\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1}\cdot\frac{ry}{x} -\frac{1}{3}\cdot\frac{ry^3}{x^3} + \frac{1}{5}\cdot\frac{ry^5}{x^5} - \cdots, \text{ where } \frac y x \leq 1.

:

r\sin \frac{x}{r} = x - x\cdot\frac{x^2}{(2^2+2)r^2} + x\cdot \frac{x^2}{(2^2+2)r^2}\cdot\frac{x^2}{(4^2+4)r^2} - \cdots

:

r \left( 1 - \cos \frac{x}{r} \right) = r \frac{x^2}{(2^2-2)r^2} - r \frac{x^2}{(2^2-2)r^2}\cdot \frac{x^2}{(4^2-4)r^2} + \cdots

여기서

r=1

일 때, 이 급수들은 표준적인 삼각함수의 거듭제곱 급수로 표현된다. 예를 들면 다음과 같다.

:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

:

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

(케랄라 학파는 "계승" 기호를 사용하지 않았다.)

케랄라 학파는 원호의 길이 계산을 통해 이러한 결과들을 증명했다. (라이프니츠가 사용한, 원호 아래 면적 계산법은 아직 개발되지 않았다.)^[1] 또한

\arctan x

의 급수 전개를 통해

\pi

에 대한 무한 급수 표현(훗날 그레고리 급수로 알려짐)을 얻었다.^[1]

:

\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots

이들은 급수의 유한 합에 대한 오차의 근삿값을 구하는 데에도 관심을 가졌다. 예를 들어, ''n''이 홀수일 때,

f_i(n+1)

(''i = 1, 2, 3'')에 대한 오차는 다음과 같다.

:

\frac{\pi}{4} \approx 1 - \frac{1}{3}+ \frac{1}{5} - \cdots (-1)^{(n-1)/2}\frac{1}{n} + (-1)^{(n+1)/2}f_i(n+1)

:

f_1(n) = \frac{1}{2n}, \ f_2(n) = \frac{n/2}{n^2+1}, \ f_3(n) = \frac{(n/2)^2+1}{(n^2+5)n/2}.

\pi

에 대해 더 빠르게 수렴하는 급수를 얻기 위해

\frac{1}{n^3-n}

의 부분 분수 전개를 활용하여 항을 조작했다.^[1]

:

\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3^3-3} - \frac{1}{5^3-5} + \frac{1}{7^3-7} - \cdots

이들은 개선된 급수를 통해 소수점 9자리까지 정확한

\pi

의 유리 근삿값

104348/33215

(

3.141592653

)을 유도했다.^[1] 이러한 계산에는 극한 개념이 사용되었다.^[1] 케랄라 학파 수학자들은 일부 삼각 함수에 대한 미분법도 제시했지만,^[9] 함수, 지수 함수, 로그 함수 등의 개념은 아직 명확하게 정의되지 않았다.

케랄라 학파는 해석학과 부동 소수점, 미적분학을 연구했으며, 여기에는 평균값 정리, 극한점의 적분, 곡선 아래 영역과 그 부정 적분 또는 적분, 수렴 판정, 비선형 방정식을 풀기 위한 반복법, 무한 급수, 멱급수, 테일러 급수, 삼각 급수가 포함된다.

참조

_[1] 논문 Discovery of the Series Formula for $\pi$ by Leibniz, Gregory, and Nilakantha. Mathematical Association of America 1990
_[2] 서적 2004
_[3] 서적 2002
_[4] 서적 2001
_[5] 서적 1992
_[6] 서적 1995
_[7] 간행물 On the Use of Series in Hindu Mathematics 1936
_[8] 논문 Was Calculus Invented in India? Mathematical Association of America 2002
_[9] 논문 Ideas of Calculus in Islam and India. https://maa.org/site[...] Mathematical Association of America 1995
_[10] 서적 A Collection of Memoirs on Various Modes According to which Nations of the Southern Part of India Divide Time https://books.google[...] Google Books 1825
_[11] 간행물 XXXIII. On the Hindú Quadrature of the Circle, and the infinite Series of the proportion of the circumference to the diameter exhibited in the four S'ástras, the Tantra Sangraham, the Yucti Bháshá, Carana Padhati, and Sadratnamáka https://archive.org/[...] 1835
_[12] 간행물 A Neglected Chapter of Hindu Mathematics 1949
_[13] 간행물 On the Hindu proof of Gregory's series 1951
_[14] 간행물 The sine and cosine power series in Hindu mathematics 1949
_[15] 간행물 On an untapped source of medieval Keralese mathematics 1977
_[16] 간행물 On Medieval Kerala Mathematics 1986
_[17] 간행물 Modification of the earlier Indian planetary theory by the Kerala astronomers (c. 1500 A.D.) and the implied heliocentric picture of planetary motion https://web.archive.[...] 1994
_[18] 서적 Mathematics in ancient and medieval India Chaukhambha Orientalia, Varanasi/Delhi 1979
_[19] 간행물 Computers, Mathematics Education, and the Alternative Epistemology of the Calculus in the Yuktibhasa 2001
_[20] 간행물 Keralese Mathematics: Its Possible Transmission to Europe and the Consequential Educational Implications 2001
_[21] 간행물 A hitherto unknown Sanskrit work concerning Madhava's derivation of the power series for sine and cosine 1991
_[22] 서적 1995
_[23] 서적 インド天文学・数学集朝日出版社 1980
_[24] 논문 Discovery of the Series Formula for $\pi$ by Leibniz, Gregory, and Nilakantha. Mathematical Association of America 1990
_[25] 서적 Mathematics and its History Springer 2004
_[26] 간행물 Was Calculus Invented in India?
_[27] 간행물 The "Error" in the Indian "Taylor Series Approximation" to the Sine
_[28] 간행물 Hellenophilia versus the History of Science
_[29] 서적 The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook Princeton University Press 2007-07-20

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