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힐베르트 기저 정리

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목차

1. 개요

힐베르트 기저 정리는 가환환 R이 뇌터 환이면, R을 계수로 하는 다항식환 R[x1, ..., xn] 역시 뇌터 환이라는 정리이다. 이 정리는 다비트 힐베르트에 의해 증명되었으며, 불변량의 환의 유한 생성 증명 과정에서 체 위의 다변수 다항식의 특수한 경우로 증명되었다. 이 정리는 대수기하학에서 대수적 집합이 유한 개의 다항식의 공통 근의 집합으로 해석된다. 힐베르트의 증명은 비구성적 증명이며, 괴뢰브너 기저를 통해 구성적인 직접 증명이 가능하다. 이 정리는 대수기하학에서 아핀 대수 집합이 유한 개의 다항식들의 공통 근의 집합으로 정의될 수 있다는 데 핵심적인 역할을 한다.

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힐베르트 기저 정리
일반 정보
다비트 힐베르트의 사진
다비트 힐베르트
이름다비트 힐베르트
로마자 표기Dabiteu Hilbeureuteu
출생1862년 1월 23일
출생지러시아 쾨니히스베르크
사망1943년 2월 14일 (향년 81세)
사망지독일 괴팅겐
국적독일
연구 분야수학 및 물리학
소속쾨니히스베르크 대학교, 괴팅겐 대학교
학문적 스승페르디난트 폰 린데만
학문적 제자헤르만 바일, 리하르트 쿠란트, 에리히 헤케, 후고 슈타인하우스, 빌헬름 아커만
영향다비트 힐베르트의 23가지 문제
힐베르트 기저 정리
분야추상대수학
설명뇌터 환 위에서의 유한 생성 가군은 뇌터 가군이다. 특히, 뇌터 환 위의 다항식환은 뇌터 환이다.
관련 개념뇌터 환, 뇌터 가군, 힐베르트의 영점 정리

2. 정의

힐베르트 기저 정리(Hilbert's basis theorem영어)는 힐베르트가 불변량의 환의 유한 생성 증명 과정에서 증명한 정리이다. 특히 체 위의 다변수 다항식의 특수한 경우에 해당한다. 이 정리는 대수기하학에서 모든 대수적 집합은 유한 개의 다항식의 공통 근의 집합으로 해석된다.

힐베르트의 증명은 비구성적이며, 변수의 개수에 대한 수학적 귀납법으로 진행된다. 각 귀납 단계에서 변수가 하나 적은 경우에 대한 비구성적 증명을 사용한다. 80년 이상 지난 후 소개된 괴뢰브너 기저는 가능한 한 구성적인 직접 증명을 가능하게 한다. 괴뢰브너 기저는 다항식이 다른 다항식에 의해 생성된 아이디얼에 속하는지 테스트하는 알고리즘을 생성한다. 따라서 무한 수열의 다항식이 주어지면, 앞선 다항식에 의해 생성된 아이디얼에 속하지 않는 다항식 목록을 알고리즘으로 구성할 수 있다. 괴뢰브너 기저 이론은 이 목록이 반드시 유한하며, 따라서 아이디얼의 유한 기저임을 의미한다. 그러나 목록이 완전한지 결정하려면 무한 수열의 모든 요소를 고려해야 하며, 이는 알고리즘에 허용된 유한 시간 내에 수행할 수 없다.

2. 1. 상세 정의

R이 가환환이고, R[x_1,\dots,x_n]이 R를 계수로 하는 n개의 부정원(不定元)에 대한 다항식환이라고 할 때, 힐베르트 기저 정리에 따르면, 만약 R가 뇌터 환이라면, R[x_1,\dots,x_n] 역시 뇌터 환이다.

R이 환이라면, R[X]는 R에 대한 변수 X의 다항식 환을 나타낸다. 힐베르트는 R이 뇌터 환일 경우, R[X] 또한 뇌터 환이 된다는 것을 증명했다.[2] 이는 R이 "너무 크지 않다"는 의미이다.

> '''힐베르트 기저 정리.''' 만약 R이 뇌터 환이라면, R[X]는 뇌터 환이다.[2]

> '''따름정리.''' 만약 R이 뇌터 환이라면, R[X_1,\dotsc,X_n]은 뇌터 환이다.

'''정리.''' R이 좌 (또는 우) Noetherian 환이면, 다항식 환 R[X]도 좌 (또는 우) Noetherian 환이다.

:'''참고.''' "좌"의 경우에 대한 증명만 제시하며, "우"의 경우에 대한 증명은 유사하다.

2. 2. 따름정리

따름정리에 의하여 R이 뇌터 환이라면, R[X_1,\dotsc,X_n]은 뇌터 환이다.[2]

3. 증명

힐베르트 기저 정리의 증명은 변수의 개수에 대한 수학적 귀납법을 사용하여 진행되며, 각 귀납 단계는 비구성적 증명을 포함할 수 있다.

괴뢰브너 기저는 가능한 한 구성적인 직접 증명을 가능하게 한다. 괴뢰브너 기저는 다항식이 다른 다항식에 의해 생성된 아이디얼에 속하는지 테스트하는 알고리즘을 생성한다. 따라서 무한 수열의 다항식이 주어지면, 앞선 다항식에 의해 생성된 아이디얼에 속하지 않는 다항식 목록을 알고리즘으로 구성할 수 있다. 괴뢰브너 기저 이론은 이 목록이 반드시 유한하며, 따라서 아이디얼의 유한 기저임을 의미한다. 그러나 목록이 완전한지 결정하려면 무한 수열의 모든 요소를 고려해야 하며, 이는 알고리즘에 허용된 유한 시간 내에 수행할 수 없다.

R이 좌(또는 우) Noetherian 환이면, 다항식 환 R[X]도 좌(또는 우) Noetherian 환이다. 증명은 "좌"의 경우만 고려하며, "우"의 경우에 대한 증명은 유사하다.

3. 1. 증명 방법 1

R이 좌 Noetherian 환이면, 다항식 환 R[X]도 좌 Noetherian 환이라는 것을 증명하기 위해, \mathfrak a \subseteq R[X]가 유한하게 생성되지 않은 좌아이디얼이라고 가정한다.

재귀적으로( 종속 선택 공리를 사용하여) 다항식열 \{ f_0, f_1, \ldots \}을 구성하는데, 여기서 f_n \in \mathfrak a \setminus \mathfrak b_n은 최소 차수를 갖는 다항식이고, \mathfrak b_n은 f_0, \ldots, f_{n-1}에 의해 생성된 좌아이디얼이다. 이때, \{\deg(f_0), \deg(f_1), \ldots \}은 감소하지 않는 자연수열이다.

a_n을 f_n의 최고차항 계수라고 하고, \mathfrak{b}를 a_0,a_1,\ldots에 의해 생성된 R에서의 좌아이디얼이라고 하자. R이 뇌터 환이므로, 아이디얼의 사슬

:(a_0)\subset(a_0,a_1)\subset(a_0,a_1,a_2) \subset \cdots

은 반드시 종료되어야 한다. 따라서 어떤 정수 N에 대해 \mathfrak b = (a_0,\ldots ,a_{N-1})이다. 특히,

:a_N=\sum_{i

이다. 이제 다음을 고려한다.

:g = \sum_{i

이것의 최고차항은 f_N의 최고차항과 같고, g\in\mathfrak b_N이다. 하지만 f_N \notin \mathfrak b_N이므로, f_N - g \in \mathfrak a \setminus \mathfrak b_N는 f_N보다 차수가 작으며, 이는 최소성에 모순된다.

3. 2. 증명 방법 2

\mathfrak a \subseteq R[X]를 왼쪽 아이디얼이라 하자. \mathfrak b를 \mathfrak a의 원소의 최고차항 계수 집합이라고 하면, 이것은 분명히 R에 대한 왼쪽 아이디얼이다. \mathfrak a의 유한 개의 원소들의 최고차항 계수에 의해 유한하게 생성되는데, 예를 들어 f_0, \ldots, f_{N-1}라고 하자. d를 집합 \{\deg(f_0),\ldots, \deg(f_{N-1})\}의 최댓값이라고 하고, \mathfrak b_k를 차수가 \le k인 \mathfrak a의 원소들의 최고차항 계수 집합이라고 하자. 마찬가지로 \mathfrak b_k는 R에 대한 왼쪽 아이디얼이며, \mathfrak a의 유한 개의 원소들의 최고차항 계수에 의해 유한하게 생성된다. 예를 들어

:f^{(k)}_{0}, \ldots, f^{(k)}_{N^{(k)}-1}

와 같이 주어지고, 차수는 \le k이다. 이제 \mathfrak a^*\subseteq R[X]를 다음으로 생성된 왼쪽 아이디얼이라고 하자.

:\left\{f_{i},f^{(k)}_{j} \, : \ i

\mathfrak a^*\subseteq\mathfrak a가 성립하며, \mathfrak a\subseteq\mathfrak a^*도 성립한다고 주장한다. 만약 이것이 성립하지 않는다고 가정하고, 모순을 이끌어내기 위해 h\in \mathfrak a \setminus \mathfrak a^*를 최소 차수를 가지는 원소라고 하고, 최고차항 계수를 a라고 하자.

'''경우 1:''' \deg(h)\ge d. 이 조건에 관계없이 a\in \mathfrak b이므로, a는 왼쪽 선형 결합이다.

::a=\sum_j u_j a_j

:f_j의 계수. 다음을 고려해보자.

::h_0 =\sum_{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j})}f_{j},

:이것은 h와 같은 최고차항을 가진다. 또한 h_0 \in \mathfrak a^*인 반면 h\notin\mathfrak a^*이다. 그러므로 h - h_0 \in \mathfrak a\setminus\mathfrak a^*이고 \deg(h - h_0) < \deg(h)이며, 이는 최소성에 모순된다.

'''경우 2:''' \deg(h) = k < d. 그러면 a\in\mathfrak b_k이므로 a는 왼쪽 선형 결합이다.

::a=\sum_j u_j a^{(k)}_j

:f^{(k)}_j의 최고차항 계수. 다음을 고려해보자.

::h_0=\sum_j u_j X^{\deg(h)-\deg(f^{(k)}_{j})}f^{(k)}_{j},

:경우 1과 유사한 모순이 발생한다.

따라서 주장이 성립하며, \mathfrak a = \mathfrak a^*는 유한하게 생성된다.

요소에 곱해지는 X의 거듭제곱이 구성에서 음수가 아닌지 확인하기 위해 두 경우로 나누어야 했다.

4. 응용

뇌터 환 ''R''이 주어졌을 때, 힐베르트 기저 정리는 몇 가지 따름정리를 갖는다.


  • 귀납법에 의해 R[X_0,\dotsc,X_{n-1}] 역시 뇌터 환이다.
  • R^n 위의 임의의 아핀 대수다양체는 아이디얼 \mathfrak a\subset R[X_0, \dotsc, X_{n-1}]의 근궤적 또는 그 생성원들의 근궤적으로 표현될 수 있다. 따라서 모든 아핀 대수다양체는 유한 개의 다항식의 근궤적, 즉 유한 개의 초곡면의 교집합 (집합론)이다.

4. 1. 대수기하학과의 연관성

힐베르트 기저 정리는 대수기하학에서 핵심적인 역할을 한다. 체 K에 대한 n차원 아핀 공간의 좌표환은 K[x_1,\dots,x_n]이다.

모든 체는 자명하게 뇌터 환이므로, 힐베르트 기저 정리에 따라 아핀 공간의 좌표환 역시 뇌터 환을 이룬다. 아핀 대수 집합은 좌표환 K[x_1,\dots,x_n]의 아이디얼로 정의되는데, 뇌터 환에서는 모든 아이디얼이 유한생성되므로, 모든 아핀 대수 집합 V는 유한 개의 다항식들 \{p_1,\dots,p_m\}\subset K[x_1,\dots,x_n]이 모두 0이 되는 점들의 집합으로 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 꼴이다.

:V=\{x\in\mathbb A^n_K\colon 0=p_1(x)=p_2(x)=\cdots=p_m(x)\}

힐베르트 기저 정리는 보통 귀류법으로 증명하기 때문에, 기저 정리만으로는 이 p_i들을 계산할 수 없으며, 이들을 계산하려면 그뢰브너 기저를 사용할 수 있다.[2]

4. 2. 그뢰브너 기저

힐베르트 기저 정리는 귀류법으로 증명되기 때문에, 기저의 원소들을 직접 계산하는 방법을 제공하지 않는다. 이들을 계산하려면 그뢰브너 기저를 사용할 수 있다.[2]

4. 3. 유한 표시 대수

만약 A가 유한 생성 R-대수라면, A \simeq R[X_0, \dotsc, X_{n-1}] / \mathfrak a임을 알 수 있다. 여기서 \mathfrak a는 아이디얼이다. 힐베르트 기저 정리에 의해 \mathfrak a는 유한 생성되어야 하며, \mathfrak a = (p_0,\dotsc, p_{N-1})라고 할 수 있다. 즉, A는 유한 표시된다.[2]

5. 역사

다비트 힐베르트는 1890년에 R이 체인 경우를 증명하였다.[3] 힐베르트는 불변량의 환의 유한 생성 증명 과정에서 이 정리(특히 체 위의 다변수 다항식의 특수한 경우)를 증명했다. 이 정리는 대수기하학에서 모든 대수적 집합은 유한 개의 다항식의 공통 근의 집합으로 해석된다.

힐베르트의 증명은 매우 비구성적이었다. 변수의 개수에 대한 수학적 귀납법으로 진행되며, 각 귀납 단계에서 변수가 하나 적은 경우에 대한 비구성적 증명을 사용한다. 80년 이상 지난 후 소개된 괴뢰브너 기저는 가능한 한 구성적인 직접 증명을 가능하게 한다.

6. 형식적 증명

미자르 프로젝트([http://www.mizar.org/JFM/Vol12/hilbasis.html HILBASIS 파일] 참조)와 린([https://github.com/leanprover-community/mathlib/blob/937199a/src/ring_theory/polynomial/basic.lean#L353 ring_theory.polynomial] 참조)을 통해 힐베르트 기저 정리의 형식적 증명이 검증되었다.

참조

[1] 서적 1996
[2] 서적 2008
[3] 논문 Ueber die Theorie der algebraischen Formen


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