크룰 높이 정리

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1. 개요

크룰 높이 정리는 가환 뇌터 환에서 행렬의 소행렬식으로 생성된 아이디얼의 높이에 대한 정리이다. 이 정리에 따르면, m x n 행렬의 k x k 소행렬식으로 생성된 아이디얼의 높이는 (m-k+1)(n-k+1) 이하이다. 특히, n=k=1인 경우, m개의 원소로 생성되는 아이디얼의 높이는 m 이하이며, 가역원이 아닌 원소로 생성되는 주 아이디얼의 높이는 1 이하이다. 크룰 높이 정리는 1928년 볼프강 크룰에 의해 주 아이디얼 정리가 증명되었고, 1961년 존 얼론조 이건에 의해 소행렬식에 대해 일반화되었다.

크룰 높이 정리

개요

유형	가환대수학 정리
분야	가환대수학

명칭

다른 이름	크룰의 주 아이디얼 정리 크룰의 단항 아이디얼 정리 크룰 높이 정리
영어 이름	Krull's principal ideal theorem, Krull's Hauptidealsatz

내용

설명	가환환에서 생성원이 n개인 아이디얼의 높이는 n보다 작거나 같다. 특히, 주 아이디얼의 높이는 1보다 작거나 같다.

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 주요 경우
- 2.2. 크룰 정역의 경우
3. 증명
- 3.1. 주 아이디얼 정리의 증명
- 3.2. 높이 정리의 증명
4. 일반화
5. 역사

2. 정의

가환 뇌터 환 $R$ 과 자연수 $m,n\in\mathbb N$ 및 $0\le k\le\min\{m,n\}$ , 그리고 $R$ 성분의 $m\times n$ 행렬 $M\in\operatorname{Mat}(m,n;R)$ 이 주어졌다고 하자. $M$ 은 $\textstyle\binom mk\binom nk$ 개의 $k\times k$ 소행렬식(minor^영어)들을 갖는다. 크룰 높이 정리에 따르면, 이 소행렬식들로 생성되는 $R$ -아이디얼이 $R$ 전체가 아니라면, 그 높이는 $(m-k+1)(n-k+1)$ 이하이다.

2.1. 주요 경우

$n=k=1$ 인 경우, $m$ 개의 원소로 생성되는 아이디얼 $(r_1,r_2,\dots,r_m)\ne R$ 의 높이는 $n$ 이하이다.

: $\operatorname{ht}(r_1,\dots,r_n)\le\{0,1,\dots,n\}\qquad\left((r_1,r_2,\dots,r_m)\ne R\right)$

반대로, 높이가 $n$ 인 소 아이디얼은 $n$ 개의 원소로 생성될 수 있다.

$m=n=k=1$ 을 취하면, 가역원이 아닌 원소로 생성되는 주 아이디얼의 높이는 1 이하임을 알 수 있다.

: $\operatorname{ht}(r)\in\{-\infty,0,1\}\qquad(r\not\in R^\times)$

2.2. 크룰 정역의 경우

크룰 정역의 모든 진 아이디얼인 주 아이디얼의 높이는 0 또는 1이다. 그러나 뇌터 환이 아닌 크룰 정역의 경우에는 2개 이상의 원소로 생성되는 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.

3. 증명

크룰 높이 정리는 주 아이디얼 정리에 대한 귀납법으로 증명할 수 있다. 자세한 증명 과정은 영어 위키백과 문서를 참고할 수 있다.

3.1. 주 아이디얼 정리의 증명

$A$ 를 노에터 링, x를 그 원소, $\mathfrak{p}$ 를 x 위의 최소 소수라고 하자. $A$ 를 국소화 $A_\mathfrak{p}$ 로 대체하면, $A$ 가 극대 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 를 갖는 국소 링이라고 가정할 수 있다. $\mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{p}$ 를 엄격하게 작은 소수 아이디얼로 놓고, $\mathfrak{q}^{(n)} = \mathfrak{q}^n A_{\mathfrak{q}} \cap A$ 로 두자. 이것은 $\mathfrak{q}$ -일차 아이디얼이며 $\mathfrak{q}$ 의 n번째 기호적 거듭제곱이라고 한다. 이것은 아이디얼의 감소하는 체인 $A \supset \mathfrak{q} \supset \mathfrak{q}^{(2)} \supset \mathfrak{q}^{(3)} \supset \cdots$ 을 형성한다. 따라서 링 $\overline{A} = A/(x)$ 에서 아이디얼의 감소하는 체인 $\mathfrak{q}^{(n)} + (x)/(x)$ 가 존재한다.

이제, 근 $\sqrt{(x)}$ 는 $x$ 를 포함하는 모든 최소 소수 아이디얼의 교집합이다. $\mathfrak{p}$ 는 그들 중 하나이다. 그러나 $\mathfrak{p}$ 는 유일한 극대 아이디얼이므로 $\sqrt{(x)} = \mathfrak{p}$ 이다. $(x)$ 가 그 근의 어떤 거듭제곱을 포함하므로, $\overline{A}$ 는 아르틴 링이고, 따라서 체인 $\mathfrak{q}^{(n)} + (x)/(x)$ 는 안정화되며, $\mathfrak{q}^{(n)} + (x) = \mathfrak{q}^{(n+1)} + (x)$ 를 만족하는 어떤 n이 존재한다. 이것은 다음을 의미한다.
: $\mathfrak{q}^{(n)} = \mathfrak{q}^{(n+1)} + x \, \mathfrak{q}^{(n)}$

$\mathfrak{q}^{(n)}$ 이 $\mathfrak{q}$ -일차라는 사실로부터 (만약 $y$ 가 $\mathfrak{q}^{(n)}$ 에 있다면, $y = z + ax$ 이고 $z \in \mathfrak{q}^{(n+1)}$ , $a \in A$ 이다. $\mathfrak{p}$ 가 $x$ 에 대해 최소이므로, $x \not\in \mathfrak{q}$ 이고, 따라서 $ax \in \mathfrak{q}^{(n)}$ 은 $a$ 가 $\mathfrak{q}^{(n)}$ 에 있음을 의미한다.) 이제, 양변을 $\mathfrak{q}^{(n+1)}$ 로 나눔으로써 $\mathfrak{q}^{(n)}/\mathfrak{q}^{(n+1)} = (x)\mathfrak{q}^{(n)}/\mathfrak{q}^{(n+1)}$ 을 얻는다. 그러면, 나카야마 보조정리에 의해, $M = \mathfrak{q}^{(n)}/\mathfrak{q}^{(n+1)} = 0$ 을 얻는다; 즉, $\mathfrak{q}^{(n)} = \mathfrak{q}^{(n+1)}$ 이고, 따라서 $\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} = \mathfrak{q}^{n+1} A_{\mathfrak{q}}$ 이다. 다시 나카야마 보조정리를 사용하면, $\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} = 0$ 이고 $A_{\mathfrak{q}}$ 는 아르틴 링이다; 따라서, $\mathfrak{q}$ 의 높이는 0이다.

3.2. 높이 정리의 증명

크룰 높이 정리는 원리 아이디얼 정리에 대한 귀납법으로 증명할 수 있다. $x_1, \dots, x_n$ 을 $A$ 의 원소, $\mathfrak{p}$ 를 $(x_1, \dots, x_n)$ 위의 최소 소 아이디얼, $\mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{p}$ 를 그 사이에 엄격하게 포함되는 소 아이디얼이 없는 소 아이디얼이라고 하자. $A$ 를 국소화 $A_{\mathfrak{p}}$ 로 대체하여 $(A, \mathfrak{p})$ 가 국소환이라고 가정할 수 있다. 그러면 $\mathfrak{p} = \sqrt{(x_1, \dots, x_n)}$ 임을 알 수 있다. $\mathfrak{p}$ 의 최소성에 의해, $\mathfrak{q}$ 는 모든 $x_i$ 를 포함할 수 없다. 아래첨자를 다시 매겨 $x_1 \not\in \mathfrak{q}$ 라고 하자. $\mathfrak{q} + (x_1)$ 을 포함하는 모든 소 아이디얼은 $\mathfrak{q}$ 와 $\mathfrak{p}$ 사이에 있으므로, $\sqrt{\mathfrak{q} + (x_1)} = \mathfrak{p}$ 이며, 따라서 각 $i \ge 2$ 에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $x_i^{r_i} = y_i + a_i x_1$

여기서 $y_i \in \mathfrak{q}$ 이고 $a_i \in A$ 이다. 이제 환 $\overline{A} = A/(y_2, \dots, y_n)$ 과 그 안의 대응하는 사슬 $\overline{\mathfrak{q}} \subset \overline{\mathfrak{p}}$ 을 고려하자. $\overline{\mathfrak{r}}$ 이 $\overline{x_1}$ 위의 최소 소 아이디얼이면, $\mathfrak{r}$ 은 $x_1, x_2^{r_2}, \dots, x_n^{r_n}$ 을 포함하며, 따라서 $\mathfrak{r} = \mathfrak{p}$ 이다. 즉, $\overline{\mathfrak{p}}$ 는 $\overline{x_1}$ 위의 최소 소 아이디얼이며, 따라서 크룰의 원리 아이디얼 정리에 의해 $\overline{\mathfrak{q}}$ 는 최소 소 아이디얼(0 위)이다. $\mathfrak{q}$ 는 $(y_2, \dots, y_n)$ 위의 최소 소 아이디얼이다. 귀납적 가설에 의해, $\operatorname{ht}(\mathfrak{q}) \le n-1$ 이며, 따라서 $\operatorname{ht}(\mathfrak{p}) \le n$ 이다. $\square$

4. 일반화

뇌터 환에서 r개의 원소로 생성되는 아이디얼의 극소 소인자의 높이는 기껏해야 r이다.

5. 역사

볼프강 크룰이 1928년에 m=n=k=1인 경우(주 아이디얼 정리)를 증명하였다.

1961년에 존 얼론조 이건(John Alonzo Eagon)이 이를 소행렬식에 대하여 일반화하였다.